Dan nhiet on dinh mot chieu

Chương II Sunday, October 05, 2008 DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU A PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT Ta khảo sát ba hệ tọa độ tương ứng với trường hợp vách phẳng, vật hình trụ vật hình cầu I TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách phẳng rộng so với chiều dày, mật độ dòng nhiệt đồng → Nhiệt độ thay đổi theo phương vuông góc vách → Mặt đẳng nhiệt song song bề mặt vách Xét phần tử vách sau → Chọn trục tọa độ vuông góc mặt đẳng nhiệt → Phương trình bảo toàn lượng cho phần tử khảo sát sau ⎛ nhiệt lượng ⎞ ⎛ nhiệt lượng ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dẫn vào x ⎠ ⎝ dẫn x + Δx ⎠ nhiệt lượng biến thiên ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ + ⎜⎜ phá t sinh V Δ nă n g lượ n g Δ V ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nguyễn toàn phong of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Q x − Q x + Δx + Q ΔV = Δ E ΔV Δτ (2-1) Với ⎧ΔE = E ΔV τ + Δτ − E τ ⎪⎪ = Δm ⋅ C ⋅ (t τ + Δτ − t τ ) = ρ ⋅ C ⋅ F ⋅ Δx ⋅ (t τ + Δτ − t τ ) ⎨ ⎪ ⎪⎩Q ΔV = q v ⋅ ΔV = q v ⋅ F ⋅ Δx Thế vào phương trình 2-1, ta có: Q x − Q x + Δx + q v ⋅ F ⋅ Δx = ρ ⋅ C ⋅ F ⋅ Δx ⋅ Nguyễn toàn phong of 48 t τ + Δτ − t τ Δτ Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Chia phương trình cho F ⋅ Δx , ta t −t − Qx Q − ⋅ x + Δx + q v = ρ ⋅ C ⋅ τ + Δτ τ Δτ F Δx ⎧Δx → Lấy giới hạn ⎨ ⎩Δτ → ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂t ⋅ ⎜ λ ⋅ F ⋅ ⎟ + qv = ρ ⋅ C ⋅ ∂τ F ∂x ⎝ ∂x ⎠ (2-2) (2-3) Trong − Q x ∂Q x Q ∂ ⎛ ∂t ⎞ = = ⎜− λ ⋅ F⋅ ⎟ lim x + Δx Δx → Δx ∂x ∂x ⎠ ∂x ⎝ Với diện tích F = const , phương trình 2-3 viết lại ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂t ⎜ λ ⋅ ⎟ + qv = ρ ⋅ C ⋅ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂τ Nguyễn toàn phong of 48 (2-4) Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều II TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách trụ có chiều dài lớn so với bán kính, mật độ dòng nhiệt đồng → Nhiệt độ thay đổi theo phương bán kính → Mặt đẳng nhiệt mặt trụ đồng tâm Xét phần tử vách sau → Chọn trục tọa độ trùng với trục ống → Phương trình bảo toàn lượng cho phần tử khảo sát sau Nguyễn toàn phong of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều ⎛ nhiệt lượng ⎞ ⎛ nhiệt lượng ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎜⎜ dẫ n o tạ i r + Δ dẫ n tạ i r r ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ nhiệt lượng biến thiên ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ + ⎜⎜ ⎝ phaùt sinh ΔV ⎠ ⎝ lượng ΔV ⎠ ΔE ΔV (2-5) Q r − Q r + Δr + Q ΔV = Δτ Với ⎧ ΔE = E ΔV τ + Δτ − E τ ⎪⎪ = Δm ⋅ C ⋅ (t τ + Δτ − t τ ) = ρ ⋅ C ⋅ F ⋅ Δr ⋅ (t τ + Δτ − t τ ) ⎨ ⎪ ⎪⎩Q ΔV = q v ⋅ ΔV = q v ⋅ F ⋅ Δr Thế vào phương trình 2-5, ta có: Q r − Q r + Δr + q v ⋅ F ⋅ Δ r = ρ ⋅ C ⋅ F ⋅ Δ r ⋅ t τ + Δτ − t τ Δτ Chia phương trình cho F ⋅ Δr , lấy giới hạn sử dụng định luật Fourier t τ + Δτ − t τ Q r + Δr − Q r − ⋅ + qv = ρ ⋅ C ⋅ (2-6) F Δr Δτ ∂t ⎞ ∂t ∂⎛ ⋅ ⎜ λ ⋅ F ⋅ ⎟ + qv = ρ ⋅ C ⋅ (2-7) ∂r ⎠ ∂τ F ∂r ⎝ Với diện tích F = 2π ⋅ r ⋅ L , phương trình 2-7 viết laïi ∂⎛ ∂t ⎞ ∂t ⋅ ⎜ r ⋅ λ ⋅ ⎟ + qv = ρ ⋅ C ⋅ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂τ Nguyễn toàn phong of 48 (2-8) Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều III TRONG HỆ TỌA ĐỘ CẦU Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách cầu, mật độ dòng nhiệt đồng bề mặt → Nhiệt độ thay đổi theo phương bán kính → Mặt đẳng nhiệt mặt cầu đồng tâm Xét phần tử vách sau Thực tương tự phần vách trụ, với lưu ý diện tích F = 4π ⋅ r vào 2-7, phương trình dẫn nhiệt ∂⎛ ∂t ⎞ ∂t ⋅ ⎜ r ⋅ λ ⋅ ⎟ + qv = ρ ⋅ C ⋅ ∂r ⎠ ∂τ r ∂r ⎝ Nguyễn toàn phong of 48 (2-9) Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều IV TRƯỜNG HP TỔNG QUÁT CHO TRƯỜNG MỘT CHIỀU Từ phương trình 2-4, 2-8 2-9, ta có dạng tổng quát cho trường chiều sau: ∂⎛ n ∂t ⎞ ∂t ⋅ r ⋅ λ ⋅ + q = ρ ⋅ C ⋅ ⎜ ⎟ v ∂r ⎠ ∂τ r n ∂r ⎝ (2-10) i Tọa độ vuông góc ⎧n = ⇒ ⎨ ⎩x ≡ r ii Toïa độ trụ ⇒ n =1 iii Tọa độ cầu ⇒ n=2 Nguyễn toàn phong of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Trường hợp hệ số dẫn nhieät λ = const ∂ ⎛ n ∂t ⎞ q v ∂t ⋅ ⎜r ⋅ ⎟ + = ⋅ n ∂r ⎠ λ a ∂τ r ∂r ⎝ (2-11) i Trường hợp dẫn nhiệt ổn định ∂t d dt q = → n ⋅ ⎛⎜ r n ⋅ ⎞⎟ + v = ∂τ r dr ⎝ dr ⎠ λ (2-12) ii Trường hợp nguồn nhiệt bên qv = → ∂ ⎛ n ∂t ⎞ ∂t ⋅ ⎜r ⋅ ⎟ = ⋅ n r ∂r ⎝ ∂r ⎠ a ∂τ iii Trường hợp dẫn nhiệt ổn định nguồn nhiệt bên ⎧ ∂t d ⎛ n dt ⎞ ⎪ =0 → ∂ τ ⎜r ⋅ ⎟ = ⎨ dr ⎝ dr ⎠ ⎪⎩q v = Nguyeãn toàn phong of 48 (2-13) (2-14) Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều B ĐIỀU KIỆN BIÊN - ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU Giải phương trình vi phân ta nghiệm tổng quát, trường hợp cụ thể có tương ứng điều kiện biên, kết hợp lại xác định phương trình riêng tương ứng I ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU Là hàm phân bố nhiệt độ thời điểm bắt đầu khảo sát, tổng quát t (x, y, z,0 ) = t (x, y, z ) (2-15) II ĐIỀU KIỆN BIÊN THEO NHIỆT ĐỘ Nhiệt độ bề mặt dễ xác định, điều kiện biên nhiệt cho theo nhiệt độ bề mặt Ví dụ cho trường hợp vách phẳng có chiều daøy δ ⎧t (0, τ ) = t ⎨ ⎩t (δ, τ ) = t Nguyễn toàn phong of 48 (2-16) Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều III ĐIỀU KIỆN BIÊN MẬT ĐỘ DÒNG NHIỆT Khi biết đầy đủ thông tin tương tác lượng bề mặt → xác định mật độ dòng nhiệt → sử dụng làm điều kiện biên ∂t ⎛ dòng nhiệt trao đổi ⎞ ⎟ q = −λ ⋅ = ⎜⎜ ∂x ⎝ bề mặt vị trí x ⎟⎠ (2-17) Lưu ý: Chiều hướng dòng nhiệt dẫn vách dòng nhiệt bề mặt Điều kiện biên: ∂t (0, τ) −λ⋅ = q0 ∂x −λ⋅ ∂t (δ, τ ) = qδ ∂x Nguyễn toàn phong 10 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Trường hợp vách trụ có n lớp Nhiệt lượng truyền qua vách trụ n lớp: Q= π ⋅ L ⋅ (t1 − t n +1 ) n ⎛ d i +1 ⎞ ⋅ ln ⎜ ⎟ ∑ i =1 λ i ⎝ di ⎠ (2-63) Nhieät độ biên vách: t k +1 k ⎛d ⎞ Q = t1 − ⋅ ∑ ⋅ ln⎜ i +1 ⎟ π ⋅ L i =1 λ i ⎝ di ⎠ (2-64) Hay theo dạng vách phẳng, xem lại 2-61 Q= Nguyễn toàn phong t − t n +1 W n δi ⋅∑ π ⋅ L i =1 d i tb ⋅ λ i 34 of 48 (2-65) Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Trao Đổi Nhiệt Giữa Hai Lưu Chất Qua Vách Trụ Ta xét trường hợp trao đổi nhiệt đối lưu vách trụ Q α = F ⋅ α ⋅ (t w − t f ), W = 2π.r ⋅ L ⋅ α ⋅ (t w − t f ), W = (2-66) tw − tf t −t = w f ,W (2π.L ⋅ r ⋅ α) Rα nhiệt trở đối lưu vách trụ có chiều π.L ⋅ r ⋅ α dài L bán kính r, K W Rα = Trong trường hợp trao đổi nhiệt ổn định, ta có Q α1 = Q λ = Q α = Q Nguyễn toàn phong 35 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Từ sơ đồ mạng nhiệt trở ta có t f − t1 t f1 − t t1 − t f = = Q= R α1 R α1 + R λ R λ + R α = t f1 − t1 t1 − t t − t f t f1 − t f = = = R α1 Rλ Rα2 R α1 + R λ + R α (2-67) π ⋅ L ⋅ (t f − t f ) ,W = ln(r2 r1 ) + + r1 ⋅ α1 r2 ⋅ α λ Đối với vách trụ thường tính nhiệt lượng trao đổi ứng với m chiều dài: Q π ⋅ (t f − t f ) ql = = ,W m ( ) ln r r L + + (2-68) r1 ⋅ α1 λ r2 ⋅ α = k l ⋅ (t f − t f ), W m Với k l = 2π ln(r2 r1 ) + + r1 ⋅ α1 λ r2 ⋅ α Gọi hệ số truyền nhiệt vách trụ lớp, W (m.K ) Trường hợp vách n lớp k cyl = 2π n ln (ri +1 ri ) +∑ + r1 ⋅ α1 i =1 λi r2 ⋅ α W (m.K ) (2-69) gọi hệ số truyền nhiệt vách trụ n lớp Nguyễn toàn phong 36 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Nhiệt lượng trao đổi với vách trụ có chiều dài L Q = L ⋅ q l = k l ⋅ L ⋅ (t f − t f ) , W Nhiệt độ nơi tiếp xúc (lý tưởng) Q 1 = t f1 − q l ⋅ t1 = t f1 − ⋅ L π.r1 ⋅ α1 2π.r1 ⋅ α1 t k +1 ln (ri +1 ri ) Q = t1 − ⋅∑ λi 2π ⋅ L i =1 Nguyễn toàn phong k 37 of 48 (2-70) (2-71) Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều IV DẪN NHIỆT QUA VÁCH CẦU Trường Hợp Vách Cầu Một Lớp Xét vách cầu lớp hình bên Phương trình 2-24 viết lại sau: d ⎛ dt ⎞ ⎜r ⋅ ⎟ = dr ⎝ dr ⎠ ⎧t (r1 ) = t1 Điều kiện biên ⎨ ⎩t (r2 ) = t Tích phân phương trình 2-72 ta nghiệm: dt C1 = dr r C t = − + C2 r Nguyễn toàn phong 38 of 48 (2-72) (2-73) (2-74) Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Thế điều kiện biên 2-73, số C1, C2 tìm từ hệ sau C1 r2 ⋅ r1 ⎧ ⎧ t C C = − + ⋅ (t − t ) = − ⎪⎪ ⎪ r1 r2 − r1 ⎪ ⇒⎨ ⎨ C ⎪t = − + C ⎪C = r2 ⋅ t − r1 ⋅ t ⎪⎩ ⎪⎩ r2 r2 − r1 Thế vào phương trình trường nhiệt độ t (r ) = r2 ⋅ r1 (t1 − t ) r2 ⋅ t − r1 ⋅ t1 ⋅ + (r2 − r1 ) r r2 − r1 Theo định luaät Fourier: dt C Q sphere = −λ ⋅ F ⋅ = −λ ⋅ (4π.r )⋅ 21 dr r t −t = 4π ⋅ λ ⋅ r2 ⋅ r1 ⋅ , W r2 − r1 (2-75) (2-76) Có thể tìm nhiệt lượng truyền qua vách cầu sau ⎛ nhiệt lượng ⎞ ⎛ nhiệt lượng ⎞ ⎛ biến thiên lượng ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ vách ⎝ dẫn vào vách ⎠ ⎝ dẫn vách ⎠ ⎝ ⎠ hay Q vào − Q = Dẫn nhiệt ổn định → dE dτ (2-77) dE =0 dτ Q vaøo = Q = Q sphere = const (2-78) Nhiệt dẫn qua vách cầu xác định sau Nguyễn toàn phong 39 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều dt Q sphere = −λ ⋅ F ⋅ dr dr Q sphere ⋅ = −λ ⋅ dt F hay với F = π.r , lấy tích phân phương trình t2 Q sphere dr ∫r 4π ⋅ r = − t∫ λ ⋅ dt 1 r2 (2-79) Ta kết phương trình 2-76 t −t Q sphere = π ⋅ λ ⋅ r2 ⋅ r1 ⋅ , W r2 − r1 Phương trình viết dạng mạng nhiệt trở t −t (2-80) Q sphere = R sph Với nhiệt trở Rsph R sph = Nguyễn toaøn phong r2 − r1 ,K W π ⋅ λ ⋅ r2 ⋅ r1 40 of 48 (2-81) Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Lưu ý: Nhiệt lượng truyền qua hai bề mặt Q = Q1 Nhưng mật độ dòng nhiệt khác hai bề mặt: Q1 Q2 q1 = q = 2 π ⋅ r1 π ⋅ r2 → q1 > q Nguyễn toàn phong 41 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Dẫn Nhiệt Qua Vách Cầu Nhiều Lớp t1 − t Q= R λ1 + R λ + R λ π ⋅ (t − t ) = r −r r −r r2 − r1 + + λ1 ⋅ r2 ⋅ r1 λ ⋅ r3 ⋅ r2 λ ⋅ r4 ⋅ r3 (2-82) Trường hợp vách cầu có n lớp Nhiệt lượng truyền qua vách trụ n lớp: Q= π ⋅ (t − t n +1 ) n ⎛ ri +1 − ri ⎞ ⎜ ⎟ ∑ λ ⋅ ⋅ r r i =1 ⎝ i i +1 i ⎠ (2-83) Nhiệt độ biên vách: t k +1 Nguyễn toàn phong Q k ⎛ ri +1 − ri ⎞ = t1 − ⋅ ∑⎜ ⎟ π i =1 ⎝ λ i ⋅ ri +1 ⋅ ri ⎠ 42 of 48 (2-84) Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Trao Đổi Nhiệt Giữa Hai Lưu Chất Qua Vách Cầu Ta xét trường hợp trao đổi nhiệt đối lưu vách cầu Q α = F ⋅ α ⋅ (t w − t f ), W = 4π.r ⋅ α ⋅ (t w − t f ), W = (2-85) tw − tf tw − tf = ,W Rα (4π ⋅ r ⋅ α ) nhiệt trở đối lưu vách cầu bán 4π ⋅ r ⋅ α kính r, K W Rα = Xét vách cầu hình sau Nguyễn toàn phong 43 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Trong trường hợp dẫn nhiệt ổn định, ta có Q α1 = Q λ = Q α = Q Ta có hệ phương trình từ sơ đồ mạng nhiệt trở t −t t −t t −t Q = f1 = f1 = f R α1 R α1 + R λ R λ + R α = = t f − t1 t1 − t t − t f t f1 − t f = = = R α1 Rλ R α2 R α1 + R λ + R α (2-86) π ⋅ (t f − t f ) = k sph ⋅ (t f − t f ) r2 − r1 + + 2 r1 ⋅ α1 λ ⋅ r2 ⋅ r1 r2 ⋅ α Trường hợp vách n lớp k sph = 4π n ⎛ ri +1 − ri ⎞ 1 + + ⎜ ⎟ ∑ 2 r1 ⋅ α1 i =1 ⎝ λ i ⋅ ri +1 ⋅ ri ⎠ r2 ⋅ α WK (2-87) gọi hệ số truyền nhiệt vách cầu nhiệt độ t1 = t f1 − Q 4π.r1 ⋅ α1 t k +1 = t − Nguyễn toàn phong ⎛ r −r ⎞ Q ⋅ ∑ ⎜ i +1 i ⎟ π i =1 ⎝ λ i ⋅ ri +1 ⋅ ri ⎠ k 44 of 48 (2-88) Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều V TRƯỜNG HP HỆ SỐ DẪN NHIỆT PHỤ THUỘC NHIỆT ĐỘ Hệ số dẫn nhiệt hàm phụ thuộc nhiệt độ, thay đổi bỏ qua xem số, trường hợp mà ta xét Khi thay đổi lớn phải xét thay đổi Ta xét trường hợp vách phẳng dẫn nhiệt ổn định, nguồn nhiệt bên trong, hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc nhiệt độ λ = λ (t ) Phương trình cân lượng cho vách ⎛ nhiệt lượng ⎞ ⎛ nhiệt lượng ⎞ ⎛ biến thiên lượng ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ vách ⎝ dẫn vào vách ⎠ ⎝ dẫn vách ⎠ ⎝ ⎠ Q vào − Q = dE dτ Do dẫn nhiệt ổn định nên dE = → Q vào = Q = Q = const dτ Theo định luật Fourier dt Q Q = − λ (t ) ⋅ F ⋅ hay ⋅ dx = −λ (t ) ⋅ dt F dx (2-89) Lấy tích phân phương trình t δ Q ⋅ ∫ dx = − ∫ λ (t ) ⋅ dt F t1 Nguyễn toàn phong 45 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều t F Q = ⋅ ∫ λ (t ) ⋅ dt δ t2 hay (2-90) ta so sánh với biểu thức trường hợp λ = const F Q = ⋅ λ ⋅ (t − t ) δ Biểu thức 2-90 viết lại F Q = ⋅ λ tb ⋅ (t1 − t ) δ (2-91) Từ 2-90 2-91 ta xác định λtb t1 λ tb = ∫t λ(t ) ⋅ dt (2-92) t1 − t Tương tự, 2-52 2-76 cho trường hợp vách trụ vách cầu viết lại t Q cylinder 2π ⋅ L 2π ⋅ L = ⋅ ∫ λ (t ) ⋅ dt = ⋅ λ tb ⋅ (t1 − t ) ln (r2 r1 ) ln (r2 r1 ) t Qsphere = t1 π ⋅ r2 ⋅ r1 π ⋅ r2 ⋅ r1 ⋅ ∫ λ (t ) ⋅ dt = ⋅ λ tb ⋅ (t1 − t ) r2 − r1 t r2 − r1 Nhận xét: Khi hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc nhiệt độ, ta sử dụng biểu thức cho trường hợp hệ số dẫn nhiệt số Thay λ λtb tính theo 2-92 Nguyễn toàn phong 46 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Thông thường hệ số dẫn nhiệt vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ theo quan hệ tuyến tính: λ = λ o (1 + β ⋅ t ) (2-93) β Hệ số phụ thuộc đặc tính vật liệu xác định thực nghiệm Trường hợp λtb có giá trị t 1 ⎛ + β ⋅ t + t ⎞ = λ (t ) ( ) λ tb = λ ⋅ = λ t dt ⎟ o⎜ tb t1 − t t∫2 ⎠ ⎝ (2-94) Ví dụ: Xác định phân bố nhiệt độ vách phẳng Theo định luật Fourier Q = − λ (t ) ⋅ F ⋅ dt dx Nếu Q phân bố đồng diện tích F → Thế nhiệt lượng mật độ dòng nhiệt → Tách biến tích phân phương trình x t t1 q ⋅ ∫ dx = − ∫ λ (t ) ⋅ dt [ → q ⋅ x = −λ o ⋅ (t − t ) + β ⋅ (t − t ) 2 ] (2-95) Phương trình phân bố nhiệt độ vách có dạng: 2⋅q ⎛1 ⎞ t = − ± ⎜ + t1 ⎟ − ⋅x β ⎝β ⎠ λo ⋅β o C (2.96) Dấu “+” “-” chọn cho t ∈ (t1 ÷ t ) Nguyễn toàn phong 47 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều Hình biểu diễn phân bố nhiệt độ vách λ phụ thuộc nhiệt độ theo quan hệ tuyến tính (phương trình giả sử chọn dấu “+”) Nguyễn toàn phong 48 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐịnhMột Chiều