điều khiển ngẫu nhiên cho quá trình nhảy itô-lévy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN MINH QUANG ĐIỀU KHIỂN NGẪU NHIÊN CHO QUÁ TRÌNH NHẢY ITÔ-LÉVY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011 Lời cảm ơn Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy PGS. TS. Tô Anh Dũng, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này, cũng như lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS. Dương Tôn Đảm, người đã nhiệt tình hỗ trợ tôi về nhiều mặt trong suốt thời gian qua. Tôi cũng không thể quên các thầy cô trong bộ môn Toán Xác suất Thống kê Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, đã tận tình giảng dạy và giúp bao thế hệ sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh có được lối đi trên chính con đường của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy cô trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong những năm qua, đã cho tôi những giờ học lý thú, những kiến thức bổ ích. Tôi cũng xin trân trọng gửi lời cám ơn đến các bạn Trần Thế Vũ, Trần Thế Hiển, Nguyễn Anh Triết và các bạn khác trong bộ môn Toán Xác suất Thống kê, đã giúp tôi trong quá trình học tập, đã tạo cho tôi những động lực, giúp tôi bước đi vững vàng hơn. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, cha mẹ tôi, đã sinh thành và dưỡng dục, tạo điều kiện tốt nhất để tôi được học tập. Xin chân thành biết ơn Trần Minh Quang TP Hồ Chí Minh, 2011. Mục lục Lời cảm ơn i Mục lục ii Bảng kí hiệu 1 Lời nói đầu 3 1 Quá trình khuyếch tán, quá trình Poisson 4 1.1 Quá trình Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Quá trình khuyếch tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Chuyển động Brown với hệ số trượt . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Chuyển động Brown hình học . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Quá trình Poisson không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Quá trình Poisson phức hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 20 2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Nghiệm mạnh, nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Quá trình khuyếch tán có bước nhảy 29 3.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1 Quá trình thích nghi và bộ lọc . . . . . . . . . . . . . . 29 ii MỤC LỤC 3.1.2 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.3 Quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.4 Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Bước nhảy của quá trình Lévy - độ đo ngẫu nhiên Poisson . . . . 42 3.3 Công thức Itô và các kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Lévy . . . . . . . . . . . . . . 49 4 Điều khiển ngẫu nhiên quá trình khuyếch tán có bước nhảy 53 4.1 Qui hoạch động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 Nguyên lí cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3 Ứng dụng vào tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3.1 Bài toán cổ tức tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3.2 Tối ưu tiêu dùng có nắm thông tin nội bộ . . . . . . . . 64 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 69 iii Bảng kí hiệu (Ω,F,(F t ) t≥0 ,P) không gian xác suất được lọc χ G hàm đặc trưng của tập G ∆η t bước nhảy của η t cho bởi η t −η − t R n không gian Euclide n-chiều R + tập số thực không âm R n×m các ma trận thực n ×m T tập gồm tất cả thời điểm dừng ≤ τ S lim,lim limsup,liminf Poi phân phối Poisson sign(x) dấu của x τ G thời điểm đầu tiên mà quá trình X t thoát khỏi tập G: τ G = inf{t > 0;X t /∈ G} Argmax u∈U f (u) {u ∗ ∈U; f (u ∗ ) ≥ f (u),∀u ∈U} A = A Y bộ sinh của nhảy khuyếch tán Y B(t) chuyển động Brown C(U) viết tắt của C(U, R) C(U,V ) các hàm liên tục từ U vào V 1 Bảng kí hiệu C k+α các hàm trong C k có đạo hàm cấp k liên tục Lipschitz theo hệ số mũ α C 0 (U) các hàm trong C(U) có giá compact C k 0 = C k 0 (U) các hàm trong C k (U) có giá compact trong U E[Y ] = E µ [Y ] =  Y dµ kì vọng của biến ngẫu nhiên Y HJB phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman P luật xác suất của η t s ∨t max(s,t) s ∧t min(s,t) h.c.c. hầu chắc chắn cadlag liên tục phải và có giới hạn bên trái caglad liên tục trái và có giới hạn bên phải 2 Chương 1 Quá trình khuyếch tán, quá trình Poisson 1.1 Quá trình Wiener Định nghĩa 1.1.1. Một quá trình ngẫu nhiên {X(t),t ∈T } được gọi là quá trình Gauss nếu vector ngẫu nhiên (X(t 1 ), ,X(t n )) có phân phối chuẩn nhiều chiều, với mọi n và t 1 , ,t n . Định nghĩa 1.1.2. Một quá trình ngẫu nhiên {W (t),t ≥ 0} được gọi là quá trình Wiener, hoặc một chuyển động Brown, nếu i) W (0) = 0, ii) {W(t),t ≥0} có số gia dừng, độc lập iii) W (t) ∼N(0,σ 2 t)∀t > 0. Lưu ý 1.1.1. i) Đặt B(t) := W (t) σ Ta có Var[B(t)] = t. Quá trình ngẫu nhiên {B(t),t ≥ 0} được gọi là chuyển động Brown tiêu chuẩn ii) Ta có thay điều kiện iii) của định nghĩa (1.1.2) bởi W (t + s) −W (s) ∼N(0,σ 2 t) ∀s,t ≥ 0 4 1.2 Quá trình khuyếch tán khi đó ta không cần điều kiện {W (t),t ≥ 0} có số gia dừng nữa. iii) Đặt W ∗ (t) := W(t) + c với c là một hằng số thực, suy ra c = W ∗ (0) và quá trình {W ∗ (t),t ≥0}được gọi là chuyển động Brown bắt đầu từ c. Ta có W ∗ (t) ∼ N(c,σ 2 t), ∀t ≥ 0. Trường hợp c là một biến ngẫu nhiên C độc lập với W(t) với mọi t ≥0. Khi đó E[W ∗ (t)] = E[C] và Var[W ∗ (t)] = σ 2 t + Var[C] iv) W (t) là một hàm liên tục theo t (với xác suất 1). Hơn nữa chuyển động Brown có hướng thay đổi vô hạn trên bất kì khoảng hữu hạn nào. Do đó hàm W (t) là không đâu khả vi v) Ta có thể định nghĩa chuyển động Brown cho quá trình ngẫu nhiên liên tục thời gian, liên tục trạng thái {X(t),t ≥ 0} theo cách khác i) X(0) = 0, ii) {X(t),t ≥ 0} là quá trình Gauss iii) E[X(t)] ≡0, iv) C x (s,t) ≡Cov[X(s),X(t)] = σ 2 mins,t ∀s,t ≥0,σ > 0,σ-hằng số 1.2 Quá trình khuyếch tán Nhắc lại về quá trình Markov, trong trường hợp tổng quát, một quá trình ngẫu nhiên {X(t),t ∈ T} được gọi là quá trình Markov nếu P[X(t n+1 ) ∈A|X(t) = x t ,t ≤ t n ] = P[X(t n+1 ) ∈A|X(t n ) = x t n ] với mọi biến cố A và thời gian t n < t n+1 . Điều này có nghĩa là xác suất mà quá tr ình chuyển từ trạng thái x t n (tại thời điểm t n ) sang trạng thái X t n+1 (tại thời điểm t n+1 ) không phụ thuộc vào quĩ đạo từ x 0 tới x n . Tức là tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại mà không quan tâm đến quá khứ. 5 1.2 Quá trình khuyếch tán Một quá trình Markov liên tục thời gian và liên tục trạng thái {X(t),t ∈ T} được xác định bởi i) hàm mật độ cấp một f (x,x) := ∂ ∂ x P[X(t) ≤ x] ii) hàm mật độ xác suất chuyển có điều kiện, xác định bởi p(x,x 0 ;t,t 0 ) ≡ f X(t)|X(t 0 ) (x|x 0 ) = lim dx↓0 P[X(t) ∈ (x,x + dx]|X(t 0 ) = x 0 ] dx với t > t 0 Do quá trình này nhất thiết phải ở trạng thái nào đó tại thời điểm t, ta có ∞  −∞ f (x;t)dx = 1 và ∞  −∞ p(x,x 0 ;t,t 0 )dx = 1 Ta viết f (x;t) = ∞  −∞ f (x 0 ;t 0 )p(x,x 0 ;t,t 0 )dx 0 Tương tự, từ phương trình Chapman-Kolmogorov ta rút ra p(x,x 0 ;t,t 0 ) = ∞  −∞ p(x,x 1 ;t,t 1 )p(x 1 ,x 0 ;t 1 ,t 0 )dx 1 với t 0 < t 1 < t. Do tại thời điểm ban đầu, phân phối của quá trình là tất định, ta có lim t↓t 0 p(x,x 0 ;t,t 0 ) = δ (x −x 0 ) 6 1.2 Quá trình khuyếch tán với δ (·) là hàm delta Dirac định nghĩa bởi δ(x) =    0 nếu x = 0 ∞ nếu x = 0 do đó ∞  −∞ δ(x)dx = 1 Với những điều kiện nào đó, quá trình Markov liên tục thời gian và liên tục trạng thái trở thành quá trình khuyếch tán; mà quá trình Wiener chính là một điển hình. Định nghĩa 1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên Markov liên tục thời gian và liên tục trạng thái {X (t),t ≥ 0}, có không gian trạng thái là khoảng (a,b), là một quá tr ình khuyếch tán nếu 1) lim ε↓0 1 ε P[|X(t + ε)−X(t)| > δ|X(t) = x] = 0, ∀δ > 0,∀x ∈(a,b). 2) m(x;t) = lim ε↓0 1 ε E[X(t + ε) −X (t)|X(t) = x] và v(x;t) = lim ε↓0 1 ε E[(X(t + ε) −X (t)) 2 |X(t) = x] là các hàm liên tục theo x và t. m(x;t) và v(x;t) lần lượt là trung bình cực vi và phương sai cực vi. Lưu ý 1.2.1. Không gian trạng thái S X(t) của quá trình ngẫu nhiên {X(t),t ≥0} có thể là bất kì khoảng, đoạn nào, kể cả (−∞, +∞). Nếu S X(t) = [a,b], thì hàm m(x;t) và v(x;t) tồn tại (và liên tục) với mọi a < x < b. Ví dụ 1.2.1. Cho quá trình Wiener {W (t),t ≥0}, ta có W (t +ε)|{W (t) = w}∼ N(w,σ 2 ε), với mỗi ε > 0. Ta tính lim ε↓0 1 ε P[|W (t + ε) −W (t)| > δ |W (t) = w] = lim ε↓0 1 ε P[|N(0,σ 2 ε)| > δ] 7 [...]... nghĩa 1.5.2 Cho {N(t),t ≥ 0} là một quá trình Poisson với tham số λ , cho X1 , X2 , · · · là các biến ngẫu nhiên có cùng phân phối sao cho Xk độc lập với quá trình {N(t),t ≥ 0} Quá trình ngẫu nhiên {Y (t),t ≥ 0} cho bởi N(t) Y (t) = ∑ Xk ∀t ≥ 0(và Y (t) = 0 nếu N(t) = 0) k=1 được gọi là quá trình Poisson phức hợp 19 Chương 2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 2.1 2.1.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Ví... cũng có số gia độc lập, hơn nữa, {M(t),t ≥ 0} là một quá trình Poisson với tham số λ = 1 18 1.5 Quá trình Poisson phức hợp 1.5 Quá trình Poisson phức hợp Định nghĩa 1.5.1 Cho X1 , X2 , · · · là các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối; cho N là biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương và độc lập với Xk Biến N SN := ∑ Xk k=1 được gọi là biến ngẫu nhiên phức hợp có trung bình và phương sai lần lượt... quá trình ngẫu nhiên xác định trên một không gian xác suất được lọc (Ω, F, P), Xt được gọi là thích nghi với bộ lọc F (hoặc Ft -thích nghi) nếu Xt là Ft -đo được với mỗi t ≥ 0 Mọi quá trình X đều thích nghi với bộ lọc (tự nhiên) của nó FtX = σ {X(s); 0 ≤ s ≤ t} Và E(X(s)|Fs ) = X(s) h.c.c 29 3.1 Các khái niệm Lưu ý 3.1.1 (1) Cho X và Y là hai quá trình thích nghi với Ft , cho α, β ∈ R thì các quá trình. .. vi của quá trình Wiener là hằng số, nên hàm m(x;t) và v(x;t) là liên tục Một trường hợp quan trọng của quá trình khuyếch tán là khi {X(t),t ≥ 0} là thuần nhất theo thời gian, khi đó các tham số cực vi của {X(t),t ≥ 0} là m(x;t) ≡ m(x) và v(x;t) ≡ v(x) 8 1.2 Quá trình khuyếch tán Ta có thể nói rằng quá trình ngẫu nhiên {Y (t),t ≥ 0} được định nghĩa bởi Y (t) = g[X(t)] với t ≥ 0 cũng là một quá trình. .. là quá trình Markov với hàm mật độ xác suất chuyển có điều kiện thuần nhất theo thời gian Chứng minh Trường hợp tổng quát, ta xét Y (t) := Y (0)eX(t) , Y (t + s) = Y (0)eX(t+s) = Y (0)eX(t+s)−X(t)+X(t) , ⇒ Y (t + s) = Y (t)eX(t+s)−X(t) (1.2.2) Do quá trình Wiener có số gia độc lập Y (t + s) với Y (t) cho trước, không phụ 10 1.3 Quá trình Poisson thuộc vào quá khứ, ta được {Y (t),t ≥ 0} là một quá trình. .. là thời gian mà quá trình có trạng thái i, với i = 0, 1, · · · Các biến ngẫu nhiên τ0 , τ1 , · · · là độc lập và τi có phân phối mũ Exp(λ ) với mọi i Lưu ý 1.3.2 Ta kí hiệu T1 , T2 , · · · là thời điểm bắt đầu của các biến cố tương ứng 12 1.3 Quá trình Poisson của quá trình Poisson {N(t),t ≥ 0} Mệnh đề 1.3.3 Cho Xi ∼ Exp(λ ), với i = 1, 2, · · · , là các biến ngẫu nhiên độc lập, và cho T0 := 0, n Tn... limP(|X(t)| > a) = 0, ∀a t↓0 32 3.1 Các khái niệm Ví dụ 3.1.9 (1) Quá trình Poisson N với tham số λ là một quá trình Lévy, với N(t) ∼ π(λt) nhận giá trị trong N {0} Ta có P(N(t) = n) = (λt)n −λt e , với n = 0, 1, 2, · · · n! (2) Quá trình Poisson phức hợp cũng là một quá trình Lévy Chứng minh Điều kiện (L1) và (L2) là hiển nhiên Ta xét điều kiện (L3), cho a > 0; do tính độc lập, ta có P(|Y (t)| > a) = ∑ ∞P(|Z(1)... {X(t),t ≥ 0} là một martingale dưới dương thì với mọi c > 0, p ≥ 1, và t > 0 P sup X(s) > c ≤ 0≤s≤t 3.1.3 1p E(X(t) p ) c Quá trình Lévy Định nghĩa 3.1.5 (Quá trình Lévy ) Cho X = {X(t),t ≥ 0} là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P) Ta nói rằng X là quá trình Lévy nếu (L1) X(0) = 0 h.c.c (L2) X có số gia dừng và độc lập (L3) X liên tục theo xác suất, tức là, với mọi a >... em(s)−m(s+t) [m(s + t) − m(s)]n ∀s,t ≥ 0 và n = 0, 1, · · · n! m(t) được gọi là hàm giá trị trung bình của quá trình Mệnh đề 1.4.2 Cho {N(t),t ≥ 0} là một quá trình Poisson không thuần nhất với 17 1.4 Quá trình Poisson không thuần nhất hàm mật độ λ (t) Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên S := T1 |{N(t) = 1} được cho bởi λ (s) fS (s) = với 0 < s ≤ t m(t) Chứng minh Nếu 0 < s ≤ t, ta viết lại P[N(s) = 1, N(t)... ∀τ,t ≥ 0 Lưu ý 1.3.1 Quá trình Poisson có số gia dừng do N(τ + t) − N(τ) không phụ thuộc vào τ Hơn nữa, với τ = 0, ta được N(t) = N(0 + t) − N(0) ∼ Poi(λt) ∀t ≥ 0 Mệnh đề 1.3.1 Cho {N1 (t),t ≥ 0} và {N2 (t),t ≥ 0} là hai quá trình Poisson 11 1.3 Quá trình Poisson độc lập, với tham số tỉ lệ λ1 và λ2 Quá trình {N(t),t ≥ 0} định nghĩa bởi N(t) = N1 (t) + N2 (t) ∀t ≥ 0 là một quá trình Poisson với tham . phải 2 Chương 1 Quá trình khuyếch tán, quá trình Poisson 1.1 Quá trình Wiener Định nghĩa 1.1.1. Một quá trình ngẫu nhiên {X(t),t ∈T } được gọi là quá trình Gauss nếu vector ngẫu nhiên (X(t 1 ),. ∀s,t ≥0,σ > 0,σ-hằng số 1.2 Quá trình khuyếch tán Nhắc lại về quá trình Markov, trong trường hợp tổng quát, một quá trình ngẫu nhiên {X(t),t ∈ T} được gọi là quá trình Markov nếu P[X(t n+1 ). THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN MINH QUANG ĐIỀU KHIỂN NGẪU NHIÊN CHO QUÁ TRÌNH NHẢY ITÔ-LÉVY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN