CÁC DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ
MỐT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp bảng nguyên hàm 1. 3 sinx+cosx I= dx sinx-cosx ∫ 2. 1 3 2 0 x I= dx x 1+ ∫ 3. 1 x 0 1 I= dx e +1 ∫ 4. 2 0 sin2x I= dx cosx+1 π ∫ 5. 3 2 2 4 sinx I= dx cos x cos x+1 π π ∫ 6. 3 x 1 dx I= e -1 ∫ ĐS: 2 ln(e +e+1) - 2 7. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Loại 1. Phép thay biến t= f(x) Khi hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng f(x) , lúc đó trong nhiều trường hợp chứ không phải trong mọi trường hợp người ta có thể sử dụng phép thay biến sau t= f(x) 1. ( ) ln3 x 3 x 0 e I= dx e +1 ∫ đặt ( ) x e +1 =t KQ: I= 2-1 2. ( ) ln5 2x x ln2 e I= dx e -1 ∫ đặt ( ) x e -1 =t 20 KQ: I= 3 3. 4 7 3 3 4 0 x I= dx 1 x +1+ ∫ đặt 3 4 t= x +1 3 3 3 KQ: I= ln 8 4 2 + 4. 3 5 3 2 0 x 2 I= dx x +1 x+ ∫ đặt 2 t= x +1 26 KQ: I= 5 5. π 2 3 5 6 0 I= 1-cos x sinxcos xdx ∫ đặt 3 6 t= 1-cos x 12 KQ: I= 91 6. ( ) ln5 x x x ln2 e I= dx (10-e ) e -1 ∫ đặt ( ) x e -1 =t 1 5 KQ: I= ln 3 2 7. e 1 1+3lnxlnx I= dx x ∫ đặt t= 1+3lnx 116 KQ: I= 135 8. e 1 3-2lnx I= dx x 1+2lnx ∫ đặt t= 1+2lnx 10 2 11 KQ: I= 3 − 9. 2 1 xdx I= 1+ x-1 ∫ ĐS: 11 I= -4ln2 3 10. π 2 0 sin2x+sinx I= dx 1+3cosx ∫ ĐS: 34 I= 27 11. 3 2 2 0 xdx I= x +2+2 1+x ∫ ĐS: 3 1 I=ln - 2 6 Loại 2. Phép thay biến x= -t Phép thay biến x=-t thích hợp trong dạng toán sau Khi biểu thức dưới dấu tích phân là hàm chẵn hoặc lẻ, tích phân cần tính có dạng a -a f(x)dx ∫ thì ta sử dụng kết quả sau: Nếu f(x) là hàm số lẻ và khả tích trên [-a;a] thì a -a f(x)dx 0= ∫ Nếu f(x) là hàm số chẵn và khả tích trên [-a;a] thì a a -a 0 f(x)dx 2 f(x)dx= ∫ ∫ Khi tích phân có dạng a a x -a 0 f(x)dx f(x)dx a 1 = + ∫ ∫ 1. 1 2 -1 I= ln(x+ x +1)dx ∫ KQ: I=0 2. π 2 2 π - 2 x+cosx I= dx 4-sin x ∫ 1 KQ: I= ln3 2 3. 1 4 x -1 x I= dx 2 +1 ∫ 1 KQ: I= 5 4. π 2 x -π sin x I= dx 3 +1 ∫ π KQ: I= 2 5. 1 -1 1-2x I= ln dx 1+2x ÷ ∫ KQ: I=0 6. π 4 4 4 x π - 4 sin x+cos x I= dx 3 +1 ∫ 3π KQ: I= 16 Loại 3. Phép thay biến x=a-t Phép thay biến này thường được áp dụng cho 1 lớp tích phân có cận trên là a. trong đó hàm dưới dấu tích phân thường chứa các biểu thức lượng giác và các biểu thức này có liên quan đến cận trên a theo nghĩa chúng có mối liên hệ hàm số lượng giác của các góc liên quan đặc biệt vì thế các tích phân thường có cận trên là π, 2π… 1. π 2 0 xsinx I= dx 4-cos x ∫ π KQ: I= ln3 4 2. π 3 2 3 3 0 sin x I= dx sin x+cos x ∫ π KQ: I= 2 3. π 2 0 1+sinx I= ln dx 1+cosx ∫ KQ: I=0 4. π 2 0 I= ln(1+tanx)dx ∫ π KQ: I= ln2 8 5. π 2 0 sinx I= dx sinx + cosx ∫ 1 KQ: I= 4 6. 0 I= xsinxsin3xdx π ∫ KQ: I=0 7. 2π 3 0 I= xcos xdx ∫ ĐS: I=0 Loại 4. Hàm dưới dấu tích phân có chứa các biểu thức dạng 2 2 a -x ; a>0 Với các tích phân này người ta có thể sử dụng các phép biến đổi sau: x=asint; x=acost 1. ( ) 2 2 3 2 1 - 2 dx I= 1-x ∫ 4 3 KQ: I= 3 2. ( ) 2 2 2 2 0 x dx I= 1-x ∫ π 1 KQ: I= - 8 4 3. 2 2 0 I= x 2x-x dx ∫ π KQ: I= 2 4. 1 2 0 I= -3x +6x+1 dx ∫ 2π 1 KQ: I= 2 3 3 + 5. 8 2 0 I= 16-x dx ∫ ĐS: I=2π+4 6. 3 2 2 3 -3 3 2 dx I= (9-x ) ∫ ĐS: 3+ 3 I= 27 Loại 5. Hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức có dạng 2 k (1+x ) Trong trường hợp này có thể sử dụng phép đổi biến x=tant hoặc x=cott ( ) 1 3 2 - 3 dx I= 1+x ∫ 2+ 3 KQ: I= 2 1 3 2 3 0 x I= dx (1+x ) ∫ 1 KQ: I= 16 3 2 3 3 - 3 dx I= (1+x ) ∫ ĐS: 1+ 3 I= 2 Loại 6. Hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức có dạng 2 2 x -a ; a>0 Dùng phép đổi biến a a x= ; x= sint cost 2 2 2 3 dx I= x x -1 ∫ π KQ: I= 6 6 2 3 2 dx I= x x -9 ∫ ĐS: π I= 36 Loại 7. Hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức bậc 1 của sinx và cosx Ta có thể sử dụng phép thay biến x t=tan 2 Khi đó 2 2 1 dx 1 x dt= = (1+tan )dx x 2 2 2 cos 2 từ đó ta có 2 2 dx= dt 1+t Áp dụng các công thức 2 2 2 2t 1-t sinx= ; cosx= 1+t 1+t ta biến đổi tích phân cần tính về tích phân có hàm dưới dấu tích phân là các biểu thức hữu tỉ của t b a P(t) dt Q(t) ∫ Nếu tích phân có dạng 1 cos(x+a)cos(x+b) ∫ sử dụng sin(a-b) sin[(x+a)-(x+b)] 1= sin(a-b) sin(a-b) = Nếu tích phân có dạng 1 sin(x+a)cos(x+b) ∫ sử dụng cos(a-b) 1= cos(a-b) 1. dx I= sinx ∫ x KQ: I=ln tan +C 2 2. 1 dx asinx+bcosx+c ∫ phụ thuộc vào mối quan hệ 2 2 2 a +b vs c để ta đưa ra cách làm cụ thể, có thể là đồng nhất hệ thức hoặc biến đổi về tan 3. π 2 0 1 I= dx 1+sinx+cosx ∫ KQ: I=ln2 4. π 2 0 1 I= dx 4+5sinx ∫ 1 KQ: I= ln2 3 5. 1 I= dx sin(x+a)sin(x+b) ∫ 1 sin(x+b) KQ: I= ln +C sin(a-b) sin(x+a) 6. 1 I= dx π sinxcos(x+ ) 4 ∫ sinx KQ: I= 2ln +C π cos(x+ ) 4 7. 1 I= dx asinx+bcosx ∫ 2 2 1 cos(x+α)-1 KQ: I=- ln +C cos(x+α)+1 2 a +b 8. 1 1 1 2 2 2 a sinx+b cosx+c I= dx a sinx+b cosx+c ∫ Đạo hàm mẫu được dạng là 2 2 a cosx-b sinx , ta sẽ đồng nhất hệ thức dạng 2 2 2 2 A(a sinx+b cosx)+B(a cosx-b sinx)+C 9. 2 2 1 1 1 2 2 a sin x+b sinxcosx+c cos x I= dx a sinx+b cosx ∫ biến đổi tử số thành dạng 2 2 2 2 (Asinx+Bcosx)(a sinx+b cosx)+C(sin x+cos x) rồi đồng nhất hệ thức ta sẽ có cách làm đơn giản. 10. 2 2 dx I= asin x+bsinxcosx+ccos x ∫ biến đổi về dạng tan để đặt t=tanx Loại 8. Biểu thức dưới dấu tích phân có chứa hàm lượng giác Với dạng tích phân này, các phép biến đổi thông dụng là t=sinx hoặc t=cosx 1. π 2 0 cosx I= dx 7+cos2x ∫ π KQ: I= 6 2 2. π 3 2 2 0 sinxcos x I= dx 1+cos x ∫ 1 KQ: I= (1 ln2) 2 − 3. π 2 10 10 4 4 0 I= (sin x+cos x-cos xsin x)dx ∫ 15π KQ: I= 64 4. π 3 2 π 6 cosx I= dx sin x-5sinx+6 ∫ 18-3 3 KQ: I=ln 20-5 3 5. π 2 sinx 0 I= (e +cosx)cosxdx ∫ π KQ: I=e-1+ 4 6. π 2 0 sin2xcosx I= dx 1+cosx ∫ KQ: I=2ln2-1 7. π 2 4 2 0 sin2x I= dx sin 6sin 5x x+ + ∫ 1 5 KQ: I= ln 4 3 8. π 12 0 π π I= tanxtan( -x)tan( +x)dx 3 3 ∫ 1 KQ: I= ln 2 3 9. π 2 4 0 1-2sin x I= dx 1+sin2x ∫ 1 KQ: I= ln2 2 10. π 2 0 sin2x+sinx I= dx 1+3cosx ∫ 34 KQ: I= 27 t= 1+3cosx 11. π 2 2 2 0 sin2x I= dx 4sin x+cos x ∫ 2 KQ: I= 3 2 t=1+3sin x 12. π 4 6 0 tan x I= dx cos2x ∫ 1 10 KQ: I= ln(2 3) 2 9 3 + − [...]... trọng sau đây về nguyên hàm và tích phân b b ∫ udv=uv-∫ vdu ; ∫ udv=uv| -∫ vdu b a a a Các công thức trên có tên gọi là công thức tính tích phân từng phần, tác b dụng của công thức trên là thay cho việc tính một tích phân khó có dạng ∫ udv a b ta đi đến một tích phân dễ dàng hơn nhiều là ∫ vdu Do đó ta nên chọn việc xác a định u,v một cách thích hợp nhất b Loại 1 Tích phân có dạng ∫ P(x)e ax dx trong... tập áp dụng x2 27 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x ; y= ; y= 8 x S=27ln2 2 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x 2 -2x+2; y=x 2 +4x+5; y=x 2 -4x+3; y=1 S=9/4 ? x2 1 8 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= ; y= ; y= ; x=1 8 x x S=15ln2-7/3 Loại 4 Diện tích lớn nhất và diện tích nhỏ nhất Tìm diện tích lớn nhất và diện tích nhỏ nhất của hình phẳng... 9 S= 4 5 Tính diện tích giới hạn bởi các đường y=|x 2 -4x+3| và y=3 S=8 x2 x2 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 4- ; y= 4 4 2 4 S=2π+ 3 -x 2 +4x-4 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y= , tiệm cận xiên x-1 của đồ thị và hai đường thẳng x=2 và x=5 S=2ln2 8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=(e+1)x; y=(e x +1)x e S= -1 2 9 Tính diện tích hình phẳng giới... |g(x)-f(x)|dx + ∫ |f(x)-g(x)|dx 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi P y = − x 2 + 4 x và đường thẳng y=x S=9/2 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x 2 -2x; y=-x 2 +4x S=9 3 Cho Parabol y 2 =2x chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn x 2 +y 2 =8 thành 2 phần, tính diện tích mỗi phần đó S=6π- 4 3 Tính diện tích hình phẳng là phần còn lại 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường... y dx=π ∫ (f(x)) dx 2 a a 1 Tính thể tích khối tròn xoay do H giới hạn bởi 4 đường y=2x-x 2 ; y=0 V= 2 Cho hình giới hạn Elip 16π 15 x2 2 +y =1 quay quanh trục hoành, tính thể tích khối tròn 4 8π 3 3 Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi y=lnx; y=0 và x=2 V=2π(ln2-1) 2 π 4 Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi y = x( x − 1) 2 ; y=0 V= 105 x 5 Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi... phương trình trên để tìm nghiệm trong đoạn [a,b]; Nếu phương trình trên vô nghiệm thì xét dấu rồi tính công thức tính diện tích như bình thường Nếu phương trình trên có nghiệm thì xét dấu trong khoảng các nghiệm để tính diện tích Chú ý: − Diện tích S luôn là một giá trị dương; − Tính diện tích giới hạn bởi đường y=f(x) thì ta phải hiểu đó là sự giới hạn bởi C và trục hoành − Một số hàm số có tính đối xứng... đối xứng để nhân 2, nhân 3 diện tích − Phần lớn các bài toán ta nên dùng bằng phương pháp đồ thị sẽ hiệu quả hơn bởi cách nhìn hình dễ hơn phương pháp đại số Bài tập áp dụng 1 Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đường cong y=x 1+x 2 , trục 1 Ox và x=1 S= (2 2-1) 3 1+lnx 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= ; x=1; x=e x 2 S= (2 2-1) 3 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các... vào biểu thức dưới dấu tích phân rồi đổi biến 1 x9 I= ∫ dx biến đổi về dạng I= ∫ 10 10 dx đặt t=(x10 +1) 1 10 2 2 x(x +1) x (x +1) 1 x10 1 KQ: I= ln 10 + +C 10 x +1 10(x10 +1) x 4 -3 I= ∫ dx biến đổi về dạng 2 x(x 8 +3x 4 +2) x3 x3 I= ∫ 8 dx − 3∫ 4 8 dx đặt t=x 4 (x +3x 4 +2) x (x +3x 4 +2) 1 x 4 +1 3 x4 3 x4 KQ: I= ln 4 - ln 4 + ln 4 +C 4 x +2 4 x +1 8 x +2 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Dựa vào... I= ∫ (1+x 4 )2 0 ĐS: I= 2ln2-1 8 b b a a Loại 2 Tích phân có dạng ∫ P(x)sinaxdx; ∫ P(x)cosaxdx trong đó P(x) là đa thức Cách làm dạng này là u=P(x); dv=sinaxdx (dv=cosxdx) 1 π 2 I= ∫ (x+1)sin2xdx KQ: I=1+ 0 2 π 2 I= ∫ (x 2 +1)sinxdx π 4 KQ: I=π-1 0 3 π 4 x dx 1+cos2x 0 I= ∫ KQ: I= π 1 − ln 2 8 4 KQ: I= 2 π 1 4 I= ∫ sin(π x )dx đặt t= x 0 b Loại 3 Tích phân có dạng ∫ e cosbxdx ax a b ( ∫ eax sinbxdx)... dv=eax dx Trong dạng này học sinh nên chú ý nếu ta chọn u=eax ở tích phân lần thứ nhất thì ở lần thứ hai ta cũng nên chọn như vậy nếu không nó sẽ sẽ xảy ra hiện tượng xoay vòng 1 π 2 KQ: I= I= ∫ sin 2 xe 2x dx KQ: I= 0 π 2 3 5+3e 34 I= ∫ e3xsin5xdx 0 π 2 I= ∫ (2cos 2 0 x +xcosx)esinx dx 2 3π 2 1 2π (e -1) 8 KQ: I= e-1+e π 2 b k Loại 4 Tích phân có dạng ∫ P(x)ln xdx , cách giải là ta đặt u=ln k x; dv=P(x)dx . 1-t sinx= ; cosx= 1+t 1+t ta biến đổi tích phân cần tính về tích phân có hàm dưới dấu tích phân là các biểu thức hữu tỉ của t b a P(t) dt Q(t) ∫ Nếu tích phân có dạng 1 cos(x+a)cos(x+b) ∫ sử. trên có tên gọi là công thức tính tích phân từng phần, tác dụng của công thức trên là thay cho việc tính một tích phân khó có dạng b a udv ∫ ta đi đến một tích phân dễ dàng hơn nhiều là b a vdu ∫ toán sau Khi biểu thức dưới dấu tích phân là hàm chẵn hoặc lẻ, tích phân cần tính có dạng a -a f(x)dx ∫ thì ta sử dụng kết quả sau: Nếu f(x) là hàm số lẻ và khả tích trên [-a;a] thì a -a f(x)dx