CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Page 1 BÀI 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bất phương trình bậc nhất hai ẩn ,x y là[.]
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN BẤT PHƯƠNG TRÌNH II HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LÝ THUYẾT I = I BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bất phương trình bậc hai ẩn x, y bất phương trình có dạng sau: ax + by c ; ax + by c; ax + by c; ax + by c a, b, c số thực cho, a b không đồng thời 0, x y ẩn số Cho bất phương trình bậc hai ẩn x, y : ax + by c (1) Mỗi cặp số ( x0 ; y0 ) cho ax0 + by0 c mệnh đề gọi nghiệm bất phương trình (1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp tất điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình (1) gọi miền nghiệm bất phương trình (1) II BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cũng bất phương trình bậc ẩn, bất phương trình bậc hai ẩn thường có vô số nghiệm để mô tả tập nghiệm chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm có tọa độ nghiệm bất phương trình (1) gọi miền nghiệm Từ ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) bất phương trình ax + by c sau (tương tự cho bất phương trình ax + by c ) - Bước Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng : ax + by = c - Bước Lấy điểm M ( x0 ; y0 ) không thuộc (ta thường lấy gốc tọa độ O ) - Bước Tính ax0 + by0 so sánh ax0 + by0 với c - Bước Kết luận Nếu ax0 + by0 c nửa mặt phẳng bờ chứa M0 miền nghiệm ax0 + by0 c Nếu ax0 + by0 c nửa mặt phẳng bờ khơng chứa M0 miền nghiệm ax0 + by0 c Chú ý: Miền nghiệm bất phương trình ax0 + by0 c bỏ đường thẳng ax + by = c miền nghiệm bất phương trình ax0 + by0 c BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 1: Cặp số sau nghiệm bất phương trình x − y ? a) (0; −1) Câu 2: b) (2;1) c) (3;1) Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình sau: Page CHUN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN a) x + y b) 3x − y −3 c) y −2 x + d) y − x Câu 3: Phần khơng gạch (khơng kể d) Hình a, b, c miền nghiệm bất phương trình nào? Câu 4: Một gian hàng trưng bày bàn ghế rộng 60 m Diện tích để kê ghế 0,5 m2 , bàn 1,2 m2 Gọi x số ghế, y số bàn kê a) Viết bất phương trình bậc hai ẩn x, y cho phần mặt sàn để kê bàn ghế, biết diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu 12m b) Chỉ ba nghiệm bất phương trình Câu 5: Trong lạng (100 g thịt bò chứa khoảng 26 g protein, lạng cá rô phi chứa khoảng 20 g protein Trung bình ngày, người phụ nữ cần tối thiểu 46 g protein (Nguồn:https://vinmec.com https://thanhnien.vn) Gọi x, y số lạng thịt bị số lạng cá rơ phi mà người phụ nữ nên ăn ngày Viết bất phương trình bậc hai ẩn x, y để biểu diễn lượng protein cần thiết cho người phụ nữ ngày ba nghiệm bất phương trình BÀI TẬP Câu Bất phương trình sau bất phương trình bậc hai ẩn? b) 22 x + y ; c) 2x2 − y a) x + y ; Câu Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình sau mặt phẳng toạ độ: a) 3x + y 300 ; b) x + 20 y Câu Ơng An muốn th tơ (có lái xe) tuần Giá thuê xe cho bảng sau: Phí cố định (nghìn đồng/ngày) Từ thứ Hai đến thứ Sáu Thứ Bảy Chủ nhật Phí tính theo qng đường di chuyển (nghìn đồng/kilơmét) 900 1500 10 a) Gọi x y số kilômét ông An ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu hai ngày cuối tuần Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ x y cho tổng số tiền ông An phải trả không 14 triệu đồng Page CHUN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN b) Biểu diển miền nghiệm bất phương trình câu a mặt phẳng toạ độ Page CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN BÀI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Tương tự hệ bất phương trình ẩn Hệ bất phương trình bậc hai ẩn gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi nghiệm chung gọi nghiệm hệ bất phương trình cho Cũng bất phương trình bậc hai ẩn, ta biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn II BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Để biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc ẩn ta làm nư sau: - Trong hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm bất phương trình hệ cách gạch bỏ phần khơng thuộc miền nghiệm - Phần khơng bị gạch miền nghiệm cần tìm III ÁP DỤNG VÀO BÀI TỐN THỰC TIỄN Giải số tốn kinh tế thường dẫn đến việc xét hệ bất phương trình bậc hai ẩn giải chúng Loại toán nghiên cứu ngành toán học có tên gọi Quy hoạch tuyến tính BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 1: Kiểm tra xem cặp số (x;y) cho có nghiệm hệ bất phương trình tương ứng khơng 3x + y −6 (0; 2), (1;0) a) x + y 4 x + y −3 (−1; −3), (0; −3) b) −3x + y −12 Câu 2: Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình: x + y −4 y x + 4 x − y x y Câu 3: Miền khơng bị gạch Hình 12a,12 b miền nghiệm hệ bất phương trình cho đây? Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN 12a) 12b) x + y a) x −3 y −1 y x b) x y −3 y −x +1 c) x y 1 Câu 4: II = = Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ Thời gian để làm mũ kiểu thứ nhiều gấp hai lần thời gian làm mũ kiểu thứ hai Nếu sản xuất tồn kiểu mũ thứ hai phân xưởng làm 60 Phân xưởng làm việc tiếng ngày thị trường tiêu thụ tối đa ngày 200 mũ kiểu thứ 240 mũ kiểu thứ hai Tiền lãi bán mũ kiểu thứ 24 nghìn đồng, mũ kiểu thứ hai 15 nghìn đồng Tính số lượng mũ kiểu thứ kiểu thứ hai ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu cao HỆ THỐNG BÀI TẬP BÀI TẬP Câu Hệ bất phương trình sau hệ bất phương trình bậc hai ẩn? x0 a) y 0; x + y2 b) y − x 1; x + y + z c) y 0; −2 x + y 32 d) 4 x + y Câu Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau mặt phẳng tọa độ: y − x −1 a) x y 0; x0 b) y 2 x + y 4; x0 c) x + y x − y Câu Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kilơgam thịt bị chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua nhiều 1,6 kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn; giá tiền kg thịt bị 250 nghìn đồng; kg thịt lợn 160 nghìn đồng Giả sử gia đình mua x kilơgam thịt bị y kilơgam thịt lợn a) Viết bất phương trình biểu thị điều kiện toán thành hệ bất phương trình xác định miền nghiệm hệ b) Gọi F (nghìn đồng) số tiền phải trả cho x kilơgam thịt bị y kilơgam thịt lợn Hãy biểu diễn F theo x y c) Tìm số kilơgam thịt loại mà gia đình cần mua để chi phí = BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN LIÊN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Câu 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình x + y Câu 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình −3x + y + Câu 3: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình x + + 2(2 y + 5) 2(1 − x) Câu 4: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình + x − − y ( ) ( ) DẠNG 2: CÁC BÀI TỐN HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 3 x + y x + y Câu 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình x y Câu 2: x − 3y Tìm miền nghiệm hệ bất phương trình x + y −3 y + x Câu 3: 0 y4 x0 Tìm trị lớn biểu thức F ( x; y ) = x + y , với điều kiện x − y − x + y − 10 DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức T x , y ax by với x ; y nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn cho trước Bước 1: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình cho Kết thường miền nghiệm S đa giác Bước 2: Tính giá trị F tương ứng với x ; y tọa độ đỉnh đa giác Câu 1: Bước 3: Kết luận: Giá trị lớn F số lớn giá trị tìm Giá trị nhỏ F số nhỏ giá trị tìm Một hộ nông dân định trồng đậu cà diện tích 800 m2 Nếu trồng đậu cần 20 cơng thu 3.000.000 đồng 100 m2 trồng cà cần 30 cơng thu 4.000.000 đồng 100 m2 Hỏi cần trồng loại diện tích để thu nhiều tiền tổng số công không 180 Page CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Câu 2: Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade vòng tay vòng đeo cổ Mỗi vòng tay làm giờ, bán 40 ngàn đồng Mỗi vòng đeo cổ làm giờ, bán 80 ngàn đồng Mỗi tuần bạn An bán khơng q 15 vịng tay vịng đeo cổ Tính số tối thiểu tuần An cần dùng để bán 400 ngàn đồng? Page CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Câu 3: Câu 4: Một xưởng khí có hai cơng nhân Chiến Bình Xưởng sản xuất loại sản phẩm I II Mỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, sản phẩm II bán lãi 400 nghìn đồng Để sản xuất sản phẩm I Chiến phải làm việc giờ, Bình phải làm việc Để sản xuất sản phẩm II Chiến phải làm việc giờ, Bình phải làm việc Một người làm đồng thời hai sản phẩm Biết tháng Chiến làm việc 180 Bình khơng thể làm việc q 220 Tính số tiền lãi lớn tháng xưởng Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua nhiều 1, kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn Giá tiền kg thịt bị 160 nghìn đồng, kg thịt lợn 110 nghìn đồng Gọi x , y số kg thịt bò thịt lợn mà gia đình cần mua Tìm x , y để tổng số tiền họ phải Câu 5: = Câu 1: trả mà đảm bảo lượng protein lipit thức ăn? Một hộ nông dân định trồng dứa củ đậu diện tích 8ha Trên diện tích , trồng dứa cần 20 công thu triệu đồng, trồng củ đậu cần 30 cơng thu triệu đồng Hỏi cần trồng loại với diện tích để thu nhiều tiền nhất, biết tổng số công không 180 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bất phương trình 3x – ( y – x + 1) tương đương với bất phương trình sau đây? A x – y – Câu 2: B x – y – C 5x – y –1 D x – y – Cho bất phương trình 3( x −1) + ( y − 2) 5x − Khẳng định khẳng định đúng? A Điểm O ( 0;0) thuộc miền nghiệm bất phương trình cho B Điểm B ( −2;2 ) thuộc miền nghiệm bất phương trình cho C Điểm C ( −4;2) thuộc miền nghiệm bất phương trình cho D Điểm D ( −5;3) thuộc miền nghiệm bất phương trình cho Câu 3: Cho bất phương trình x + + ( y + 5) (1 − x ) Khẳng định khẳng định sai? A Điểm A ( −3; −4) thuộc miền nghiệm bất phương trình cho B Điểm B ( −2; −5) thuộc miền nghiệm bất phương trình cho C Điểm C ( −1; −6 ) thuộc miền nghiệm bất phương trình cho D Điểm O ( 0;0) thuộc miền nghiệm bất phương trình cho Câu 4: Cặp số (1; –1) nghiệm bất phương trình sau đây? A x + y – Câu 5: D – x – y –1 B ( 2;1) C ( –1; –2) D ( −4; ) Cặp số sau khơng nghiệm bất phương trình 5x − ( y − 1) ? A ( 0;1) Câu 7: C x + y + Cặp số sau nghiệm bất phương trình –2 ( x – y ) + y ? A ( 4; –4 ) Câu 6: B – x – y B (1;3) C ( –1;1) D ( –1;0) Miền nghiệm bất phương trình 3x − y −6 Page CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN y y 3 A B x −2 O x O y y C −2 Câu 8: −2 O x O D x Miền nghiệm bất phương trình 3x + y y y 3 A B −2 x x O O y y −2 x O C D −2 Câu 9: O x Miền nghiệm bất phương trình 3x − y −6 Page CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN y y 3 A B −2 x x O O y y −2 x O C D −2 Câu 10: x O Miền nghiệm bất phương trình 3x + y −6 y y 3 A B −2 x x O O y y −2 x O C D −2 O x Page 10 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN d1 : y d2 : x y Ta thấy ; 4 nghiệm hai bất phương trình Điều có nghĩa điểm ; 4 thuộc hai miền nghiệm hai bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ x y Câu 45: Miền nghiệm hệ bất phương trình khơng chứa điểm sau đây? x y 2 A A 1 ; 0 B B 1 ; 0 C C 3 ; 4 D D ; 3 Lời giải Chọn B Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: d1 : x y d2 : x y 2 Ta thấy ; 1 nghiệm hai bất phương trình Điều có nghĩa điểm ; 1 thuộc hai miền nghiệm hai bất phương trình Sau gạch bỏ phần khơng thích hợp, phần khơng bị gạch miền nghiệm hệ 3x y 3y không chứa điểm sau đây? Câu 46: Miền nghiệm hệ bất phương trình 2( x 1) x A A ; 2 B B ; C C 1 ; 1 D D ; 3 Lời giải Page 17 CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Chọn C Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: d1 : 3x y d2 : 4x y 12 d3 : x Ta thấy ; 1 nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm ; 1 thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền không bị gạch miền nghiệm hệ x y Câu 47: Miền nghiệm hệ bất phương trình x y 3 không chứa điểm sau đây? x y A A ; B B ; 3 C C ; D D ; 4 Lời giải Chọn A Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: d1 : x y d2 : x y 3 d3 : x y Ta thấy ; 3 nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm ; 3 thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ x 3y Câu 48: Miền nghiệm hệ bất phương trình x y 3 không chứa điểm sau đây? y x Page 18 CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN A A ; 1 B B 1 ; 1 C C 3 ; D D 3 ; 1 Lời giải Chọn C Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: d1 : x y d2 : x y 3 d3 : x y Ta thấy 1; 0 nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm 1; 0 thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ DẠNG TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT y 2x Câu 49: Giá trị nhỏ biểu thức F y x miền xác định hệ 2 y x x y 5 A F x , y C F x , y B F x , y D F x , y Lời giải Chọn A y 2x Miền nghiệm hệ 2 y x miền tam giác ABC kể biên x y 5 Page 19 CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Ta thấy F y x đạt giá trị nhỏ điểm A , B , C Tại A 0;2 F Tại B 1;4 F F Tại A 2;3 Vậy F x , y 2x y Câu 50: Giá trị nhỏ biết thức F y x miền xác định hệ x y 5 x y 4 A F 3 x 1, y B F x 0, y C F 2 x , y Chọn C D F x 2, y Lời giải 2x y Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình x y hệ trục tọa độ đây: 5 x y 4 Page 20 CHUN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Giá trị nhỏ biết thức F y x đạt điểm 1 7 A 2;6 , C ; , B ; 3 3 3 Ta có: F A 8; F B 2; F C 2 Vậy F 2 x , y 3 x y 3x y 15 Khẳng định sau khẳng định sai? Câu 51: Cho hệ bất phương trình x y A Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn miền nghiệm hệbất phương trình cho miền tứ 25 ; , C 2;0 O 0;0 8 giác ABCO kể cạnh với A 0;3 , B B Đường thẳng : x y m có giao điểm với tứ giác ABCO kể 1 m 17 C Giá trị lớn biểu thức x y , với x y thỏa mãn hệ bất phương trình cho 17 D Giá trị nhỏ biểu thức x y , với x y thõa mãn hệ bất phương trình cho Lời giải Chọn B Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng: d1 : x y d2 :3x y 15 d3 : x d4 : y Miền nghiệm phần không bị gạch, kể biên Page 21 CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN 0 y4 x0 Câu 52: Giá trị lớn biết thức F x; y x y với điều kiện x y 1 x y 10 A B C 10 D 12 Lời giải Chọn C Vẽ đường thẳng d1 : x y , đường thẳng Vẽ đường thẳng d2 : x y 10 Vẽ đường thẳng d3 : y d1 , đường thẳng qua hai điểm 0; 1 1; d2 qua hai điểm 0;5 2;4 Miền nghiệm ngũ giác ABCOE với A 4;3 , B 2;4 , C 0;4 , E 1;0 Ta có: F 4;3 10 , F 2;4 10 , F 0;4 , F 1;0 1, F 0;0 Vậy giá trị lớn biết thức F x; y x y 10 0 y 5 x0 F x ; y x y Câu 53: Giá trị nhỏ biết thức với điều kiện x y x y A 10 B 12 C 8 D 6 Lời giải Chọn A 0 y 5 x0 Biểu diễn miền ngiệm hệ bất phương trình hệ trục tọa độ đây: x y x y Page 22 CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Nhận thấy biết thức F y x đạt giá trị nhỏ điểm A, B , C D Ta có: F A 3; F B 2 10 F C 2 4, F D Vậy F 10 x 0, y 2 x y 2 x 2y Câu 54: Biểu thức F y – x đạt giá trị nhỏ với điều kiện điểm S x; y có toạ độ x y 5 x0 A 4;1 B 3;1 Chọn A C 2;1 D 1;1 Lời giải 2 x y 2 x 2y Biểu diễn miền ngiệm hệ bất phương trình hệ trục tọa độ đây: x y x0 Nhận thấy biết thức F y x đạt giá trị nhỏ điểm A, B C Chỉ C 4;1 có tọa độ nguyên nên thỏa mãn Vậy F 3 x 4, y Page 23 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN 2 x y Câu 55: Biểu thức L y x , với x y thõa mãn hệ bất phương trình x , đạt giá trị lớn 2 x y a đạt giá trị nhỏ b Hãy chọn kết kết sau: A a 25 b 2 B a b 11 C a b 12 D a b Lời giải Chọn B Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: d1 : 2x 3y d2 : x d3 : x y Ta thấy ; 0 nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa gốc tọa độ thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ 1 7 5 ; , C ; 3 4 6 Miền nghiệm hình tam giác ABC , với A ; 2 , B Vậy ta có a 2, b 11 12 DẠNG ÁP DỤNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN Câu 56: Trong thi pha chế, hai đội A, B sử dụng tối đa 24g hương liệu, lít nước 210 g đường để pha chế nước cam nước táo Để pha chế lít nước cam cần 30 g đường, lít nước 1g hương liệu; pha chế lít nước táo cần 10 g đường, lít nước 4g hương liệu Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, lít nước táo nhận 80 điểm thưởng Đội A pha chế a lít nước cam b lít nước táo dành điểm thưởng cao Hiệu số a b A B C 1 D 6 Lời giải Page 24 CHUN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Chọn C Gọi x, y số lít nước cam nước táo mà đội cần pha chế x 0; y 0 Để pha chế x lít nước cam cần 30x g đường, x lít nước x g hương liệu Để pha chế y lít nước táo cần 10 y g đường, y lít nước y g hương liệu Theo ta có hệ bất phương trình: 30 x 10 y 210 x y * x y 24 x 0; y Số điểm đạt pha x lít nước cam y lít nước táo M x, y 60 x 80 y Bài tốn trở thành tìm x, y để M x, y đạt giá trị lớn Ta biểu diễn miền nghiệm hệ * mặt phẳng tọa độ sau: y x+y=9 E A x+4y=24 B D≡O C x 30x + 10y = 210 Miền nghiệm ngũ giác ABCDE Tọa độ điểm: A 4;5 , B 6;3 , C 7;0 , D 0;0 , E 0;6 M x, y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đỉnh miền nghiệm nên thay tọa độ điểm vào biểu thức M x, y ta được: M 4;5 640 ; M 6;3 600 , M 7;0 420 , M 0;0 , M 0; 480 Vậy giá trị lớn M x ; y 640 x 4; y a 4; b a b 1 Câu 57: Một hộ nông dân định trồng đậu cà diện tích 800 m Nếu trồng đậu diện tích 100 m cần 20 công làm thu 3000000 đồng Nếu trồng cà diện tích 100 m cần 30 công làm thu 4000000 đồng Hỏi cần trồng loại diện tích để thu nhiều tiền tổng số công làm không 180 công Hãy chọn phương án phương án sau: A Trồng 600 m đậu; 200 m cà B Trồng 500 m đậu; 300 m cà C Trồng 400 m đậu; 200 m cà D Trồng 200 m đậu; 600 m cà Lời giải Chọn A Giả sử diện tích trồng đậu x ;suy diện tích trồng cà x Page 25 CHUN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Ta có thu nhập thu S x 3 x x 10000 10000 x 32 đồng Tổng số công 20 x 30 8 x 10 x 240 Theo giả thiết có 10 x 240 180 x Mà hàm số S x hàm nghịch biến nên S x đạt giá trị lớn x Do trồng 600 m đậu, 200 m cà Câu 58: Một công ty TNHH đợt quảng cáo bán khuyến hàng hóa ( sản phẩm công ty) cần thuê xe để chở 140 người hàng Nơi thuê có hai loại xe A B Trong xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có Một xe loại A cho thuê với giá triệu, loại B giá triệu Hỏi phải thuê xe loại để chi phí vận chuyển thấp Biết xe A chở tối đa 20 người 0, hàng Xe B chở tối đa 10 người 1, hàng A xe A xe B B xe A xe B C xe A xe B D xe A xe B Lời giải Chọn D Gọi x số xe loại A x 10; x , y số xe loại B y 9; y Khi tổng chi phí thuê xe T x y Xe A chở tối đa 20 người, xe B chở tối đa 10 người nên tổng số người xe chở tối đa 20 x 10 y Xe A chở 0, hàng, xe B chở 1, hàng nên tổng lượng hàng xe chở 0, x 1,5 y 0 x 10 0 y Theo giả thiết, ta có * 20 x 10 y 140 0, x 1,5 y Page 26 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình * tứ giác ABCD kể miền tứ giác Biểu thức T x y đạt giá trị nhỏ đỉnh tứ giác ABCD x 5 Tại đỉnh A 10; ; B 10;9 ; C ;9 ; D 5; , ta thấy T đạt giá trị nhỏ 2 y Khi Tmin 32 Câu 59: Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua nhiều 1,6 kg thịt bị 1,1 kg thịt lợn Giá tiền kg thịt bị 160 nghìn đồng, kg thịt lợn 110 nghìn đồng Gọi x, y số kg thịt bị thịt lợn mà gia đình cần mua để tổng số tiền họ phải trả mà đảm bảo lượng protein lipit thức ăn Tính x y A x2 y 1,3 B x y 2,6 C x2 y 1,09 D x2 y 0,58 Lời giải Chọn A Điều kiện: x 1,6 ; y 1,1 Khi số protein có 800 x 600 y số lipit có 200 x 400 y Vì gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày nên điều kiện tương ứng là: 800 x 600 y 900 200 x 400 y 400 x y x y 0 x 1,6 0 y 1,1 8 x y x y Miền nghiệm hệ miền nghiệm tứ giác ABCD Chi phí để mua x kg thịt bò y kg thịt lợn T 160 x 110 y Biết T đạt giá trị nhỏ đỉnh tứ giác ABCD Tại A: T 160.0, 110.0, 173 Tại B: T 160.1,6 110.0,2 278 Tại C: T 160.1, 110.1,1 377 Tại D: T 160.0,3 110.1,1 169 Page 27 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Vậy T đạt GTNN x 0,3 ; y 1,1 x y 0,32 1,12 1,3 Câu 60: Có hai giỏ đựng trứng gồm giỏ A giỏ B, trứng có hai loại trứng lành trứng hỏng Tổng số trứng hai giỏ 20 số trứng giỏ A nhiều số B Lấy ngẫu nhiên giỏ trứng, biết xác suất để lấy hai trứng giỏ 55 Tìm số trứng lành giỏ A trứng lành 84 A B 14 C 11 D 10 Lời giải Chọn C Gọi a số trứng lành, b số trứng hỏng giỏ A Gọi x số trứng lành, y số trứng hỏng giỏ B Lấy ngẫu nhiên giỏ trứng, xác suất để lấy hai trứng lành: a x 55 a b x y 84 a.x 55 a b 14 a b x y 84 a 11 x y Do đó: a b x y 20 x5 a.x 55 a b x y a b x y 100 Suy ra: Giỏ A có 11 trứng lành Câu 61: Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, lít nước 210 gam đường để pha chế nước loại I nước loại II Để pha chế lít nước loại I cần 10 gam đường, lít nước gam hương liệu Để pha chế lít nước loại II cần 30 gam đường, lít nước gam hương liệu Mỗi lít nước loại I 80 điểm thưởng, lít nước loại II 60 điểm thưởng Hỏi số điểm thưởng cao đội thi bao nhiêu? A 540 B 600 C 640 D 720 Lời giải Chọn C Page 28 CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Gọi số lít nước loại I x số lít nước loại II y Khi ta có hệ điều kiện vật 10 x 30 y 210 x y 210 x y 24 x y 24 liệu ban đầu mà đội cung cấp: x y 9 x y 9 x , y x, y Điểm thưởng đạt được: P 80 x 60 y Bài tốn đưa tìm giá trị lớn biểu thức P miền D cho hệ điều kiện Biến đổi biểu thức P 80 x 60 y 80 x 60 y P họ đường thẳng Δ hệ tọa độ Oxy Miền D xác định hình vẽ bên dưới: y A O x Δ(P) Giá trị lớn P ứng với đường thẳng Δ qua điểm A(5; 4) , suy ra: 80.5 60.4 P P 640 Pmax Câu 62: Một xưởng khí có hai cơng nhân Chiến Bình Xưởng sản xuất loại sản phẩm I II Mỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, sản phẩm II bán lãi 400 nghìn đồng Để sản xuất sản phẩm I Chiến phải làm việc giờ, Bình phải làm việc Để sản xuất sản phẩm II Chiến phải làm việc giờ, Bình phải làm việc Một người làm đồng thời hai sản phẩm Biết tháng Chiến làm việc q 180 Bình khơng thể làm việc 220 Số tiền lãi lớn tháng xưởng A 32 triệu đồng B 35 triệu đồng C 14 triệu đồng D 30 triệu đồng Lời giải Chọn A Gọi x , y số sản phẩm loại I loại II sản xuất Điều kiện x , y nguyên dương Page 29 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN 3x y 180 x y 220 Ta có hệ bất phương trình sau: x y Miền nghiệm hệ y 90 B C x O A Tiền lãi tháng xưởng T 0,5 x 0, y Ta thấy T đạt giá trị lớn điểm A , B , C Vì C có tọa độ khơng ngun nên loại Tại A 60;0 T 30 triệu đồng Tại B 40;30 T 32 triệu đồng Vậy tiền lãi lớn tháng xưởng 32 triệu đồng Câu 63: Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua nhiều 1,6 kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn Giá tiền kg thịt bò 160 nghìn đồng, kg thịt lợn 110 nghìn đồng Gọi x , y số kg thịt bị thịt lợn mà gia đình cần mua Tìm x , y để tổng số tiền họ phải trả mà đảm bảo lượng protein lipit thức ăn? A x 0,3 y 1,1 B x 0,3 y 0,7 C x 0, y 0,7 D x 1, y 0, Lời giải Chọn A 0 x 1,6 Theo ta có số tiền gia đình cần trả 160.x 110 y với x , y thỏa mãn: 0 y 1,1 Số đơn vị protein gia đình có 0,8.x 0,6 y 0,9 x y d1 Số đơn vị lipit gia đình có 0, 2.x 0, y 0, x y d2 0 x 1, 0 y 1,1 Bài tốn trở thành: Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình cho 8 x y x y T 160.x 110 y nhỏ Page 30 CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN y x 1,6 D O y 1,1 A C B x x 2y 8x 6y Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm tọa độ điểm A 1, 6;1,1 ; B 1, 6;0, ; C 0,6;0, ; D 0,3;1,1 Nhận xét: T A 377 nghìn, T B 278 nghìn, T C 173 nghìn, T D 169 nghìn Vậy tổng số tiền họ phải trả mà đảm bảo lượng protein lipit thức ăn x 0, y 0,7 Page 31