Rèn luyện kỹ năng giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất cho học sinh lớp 9

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 Nhóm 7 Quan Thu Hoài Tạ Thị Huế Nguyễn Thảo Huyền RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CHO HỌC SINH LỚP 9 ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Mục Lục[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nhóm Quan Thu Hoài Tạ Thị Huế Nguyễn Thảo Huyền RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CHO HỌC SINH LỚP ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Mục Lục Phần 1: Mở đầu 1.Lý chọn đề tài 2.Mục đích nghiên cứu 3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 4.Giả thuyết khoa học 5.Nhiệm vụ nghiên cứu 6.Phương pháp nghiêm cứu Phần 2: Nội dung Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1: Cơ sở lý luận 1.1.1: Các bước giải toán 1.1.2: Khái niệm Kỹ năng-Kỹ giải toán 1.2: Xác định số kỹ giải toán cần rèn luyện cho học sinh 1.2.1: Kỹ khái quat hóa 1.2.2: Kỹ đặc biệt hóa 1.2.3: Kỹ tính tốn phân tích 1.2.4: Kỹ thực hành 1.3: Một số thực tiễn rèn luyện kỹ giải toán học sinh Kết luận chương I Chương 2: Rèn luyện kỹ giải tập phương trình hệ phương trình bậc cho học sinh lớp 2.1: Một số dạng tập phương trình bậc ẩn 2.1.1: Tóm tắt lý thuyết phương trình bậc ẩn 2.1.2: Các dạng tốn phương trình bậc 2.2: Một số dạng tập phương trình hệ phương trình bậc ẩn 2.2.1: Tóm tắt lý thuyết phương trình hệ phương bậc ẩn 2.2.2: Cách giải hệ phương trình bậc ẩn 2.2.3: Một số dạng tốn phương trình bậc ẩn 2.3: Một số phương pháp rèn luyện kỹ thực hành, tính tốn sử dụng số kiến thức tổng quát dạng phương trình hệ phương trình bậc 2.3.1: Cơ sở lý luận biện pháp 2.3.2: Ý nghĩa mục đích biện pháp 2.3.3: Tổ chức thực Kết luận chương II Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 3.1: Mục đích thực nghiệm 3.2: Nội dung thực nghiệm 3.3: Phương pháp thực nghiệm 3.4: Đối tượng thực nghiệm 3.5: Tổ chức thực nghiệm 3.6: Phân tích đánh giá thực nghiệm 3.7: Kết luận rút từ thực nghiệm Kết luận chương III KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong dạy học mơn Tốn việc cải thiện, nâng cao kỹ giải tập giúp học sinh học tốt nội dung Tốn học mà cịn mục tiêu đào tạo kỹ suốt q trình dạy học Kĩ giải tập khả chuyển hóa kiến thức học dạng kết thông qua việc thực loạt thao tác kỹ thuật cụ thể để tìm mối quan hệ từ kiện với yêu cầu toán Trong đại số 9, vấn đề phương trình bậc hệ phương trình bậc nội dung đóng vai trị quan trọng Mặc dù chưa dược trình bày đầy đủ, hệ thống lớp trên, chúng thể kiến thức để từ làm tảng để học sinh giải toán, dạng toán sau Mảng kiến thức có nhiều dạng phương pháp giải khác nhau, phần kiến thức thường xuyên xuất kì thi tuyển sinh vào 10 Bởi đòi hỏi học sinh cần nắm kiến thức, thành thạo kỹ giải tập Vì học sinh cần rèn luyện phương pháp giải để cải thiện kết học tập khắc phục sai lầm, thiếu sót q trình làm tập Với lý trên, chọn đề tài nghiên cứu là:” Rèn luyện kỹ giải phương trình hệ phương trình bậc cho học sinh lớp 9” Mục đích nghiên cứu Đề xuất cách rèn luyện kỹ giải tập liên quan đến phương trình hệ phương tình bậc cho học sinh lớp Đôi tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng:Các kỹ giải Phương trình hệ phương tình bậc tốn lớp Phạm vi:q trình dạy học mơn Tốn Lớp Giả thuyết khoa học Nếu đề xuất sử dụng cách rèn kỹ giải phương trình hệ phương trình bậc đề xuất đề tài học sinh giải tốn phương trình hệ phương tình bậc hay tốn đưa dạng phương trình hệ phương trình bậc cách dễ dàng Nhiệm vụ Nghiên cứu sở lý luận kỹ giải phương trình hệ phương trình bậc học sinh lớp Phân tích nội dung phương trình hệ phương trình bậc lớp Điều tra thực trạng việc dạy học để phát triển kỹ giải toán liên quan đến phương trình hệ phương trình bậc lớp Đề xuất biện pháp rèn luyện số kỹ để giải phương trình hệ phương tình bậc cho học sinh lớp Thực nghiệm sư phạm Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp quán sát, điều tra Phương pháp thực nghiệm sư phạm Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận chung, tài liệu tham khảo, phụ lục đề tài cịn có chương: Chương I: Cơ sở lý luận thực tiễn Chương II: Rèn luyện kỹ giải tập phương trình hệ phương trình bậc cho học sinh lớp Chương III: Thực nghiệm sư phạm PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận Hoạt động giải toán gồm nhiều giai đoạn khác nhằm thực nhiều mục đích khác Để đạt hiệu việc rèn luyện kỹ giải tập cho học sinh cần phải cho học sinh nắm yêu cầu giải toán theo bước Đồng thời cho học sinh tăng cường rèn lluyenej kỹ càn thiết bước giải 1.1.1 Các bước giải toán Theo Polya kỹ chung để giải tốn gồm bước sau: - Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề Phát biểu đề dạng khác để hiểu rõ nội dung tốn Phân biệt cho phải tìm, phải chứng minh dùng cơng thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ việc diễn tả đề - Bước 2: Tìm cách giải Tìm tịi, phát cách giải nhớ, suy nghĩ có tính chất tìm đoán\ Biến đổi cho, biến đổi phải tìm hay chứng minh, liên hệ cho phải tìm với tri thức biết, liên hệ toán cần giải với toán cũ tương tự, trường hợp riêng, toán tổng qt hay tốn có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với dạng toán chứng minh, phản chứng, quy nạp toán học, tốn dựng hình, tốn quỹ tích Kiểm tra lời giải cách xem lại kỹ bước thực đặc biệt hóa kết tìm đối chiếu kết với số tri thức có liên quan Tìm cách giải khác, so sánh chúng để chọn cách giải hợp lý - Bước 3: Trình bày lời giải Từ cách giải phát hiện, xếp việc phải làm thành chương trình gồm bước theo trình tự thích hợp thực bước - Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải nghiên cứu giải tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề 1.1.2: Khái niệm Kỹ – Kỹ giải toán a) Khái niệm kỹ Thực tiễn sống đặt cho người thuộc lĩnh vực lí luận thực hành hay nhận thức Để giải công việc, người cần vận dụng vốn hiểu biết kinh nghiệm xử lí vấn đề gặp phải Yêu cầu cốt lõi nằm chỗ phải vận dụng chung cho trường hợp cụ thể Trong q trình đó, người dần hình thành cho kĩ giải vấn đề đặt Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ khả vận dụng kiến thức thu nhận lĩnh vực vào thực tế” [12, tr 426] Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng lực sử dụng kiện, tri thức hay khái niệm có, lực vận dụng chúng để phát thuộc tính, chất vật giải thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [1, tr149] Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi Tâm lý học Sư phạm thì: “Kỹ khả vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) để giải nhiệm vụ mới” [5, tr131] Các định nghĩa không giống mặt từ ngữ nói kỹ khả vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải nhiệm vụ b) Khái niệm kỹ giải toán Giải tốn tiến hành hệ thống hành động có mục đích, chủ thể giải tốn cịn phải nắm vững tri thức hành động, thực hành động theo yêu cầu cụ thể tri thức đó, biết hành động có kết điều kiện khác Trong giải tốn, chúng tơi quan niệm kỹ giải toán học sinh sau: “Đó khả vận dụng có mục đích tri thức kinh nghiệm có vào giải tốn cụ thể, thực có kết hệ thống hành động giải toán để đển lời giải toán cách khoa học” Để thực nhiệm vụ mơn Tốn trường THPT, yêu cầu đặc biệt tri thức kỹ cần ý tri thức phương pháp, đặc biệt phương pháp có tính chất thuật toán kỹ tương ứng, chẳng hạn tri thức kỹ giải toán cách lập phương trình, tri thức kỹ chứng minh toán học, kỹ hoạt động tư hàm, ….Tuy nhiên tùy theo nội dung tốn học mà có yêu cầu rèn luyện kỹ khác Có hai phương pháp để cung cấp cho học sinh kỹ giảiToán + Phương pháp gián tiếp Cung cấp cho học sinh số bàitốn có cách giải để sau giải xong học sinh tự rút kỹ giải tốn Đây phương pháp có hiệu nhiều thời gian, khó đánh giá không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào lực trình độ học sinh + Phương pháp trực tiếp Giáo viên soạn thành giảng vềnhững kỹ cách hệ thống đầy đủ Phương pháp hiệu dễ nâng cao độ phức tạp toán cần giải 1.2: Xác định số kỹ giải toán cần rèn luyện cho học sinh 1.2.1: Kỹ khái quát hóa G.Polya cho rằng: “ KQH chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng việc nghiên cứu tập hợp lớn hơn, bao gồm tập hợp ban đầu”.[17] Tác giả Đào Văn Trung viết: “ Từ vật khác nhau, tìm tính chất chung chúng quy kết lại, PP tư gọi khái quát”[22,tr.169] Theo Hồng Chúng[10,tr.23]: “ KQH dùng trí óc tách chung đối tượng, kiện kiện tướng Muốn KQH, thường phải so sánh nhiều đối tượng, tượng, kiện với nhau” “Khi KQH, tách chung đối tượng nghiên cứu, khảo sát chung này, gạt qua bên riêng phân biệt đối tượng với đối tượng khác, không ý tới riêng này” Các nhà sư phạm, nhà toán học V.A Kruchetxki, A.I Marcusêvich, tổ chức quốc tế UNESCO, khẳng định sơ đồ lực toán học số lực trí tuệ lực KQH tài liệu toán học thành phần lực toán học Trong mơn Tốn trường phổ thơng phân mơn Đại số Giải tích KQH hoạt động điển hình, thường xun xuất hiện, kể đến như: - KQH để hình thành khái niệm - KQH để hình thành định lí - KQH tốn - KQH để hình thành phương pháp giải dạng tồn khác Theo nhóm tác giả [12], hai dạng KQH thường gặp mơn Tốn biểu diễn sơ đồ sau:[12,tr5] 1.2.2: Kỹ đặc biệt hóa Đặc biệt hóa chuyển từ khái niệm có ngoại diên rộng sang khái niệm có ngoại diên hẹp ( hay gọi giới hạn khái niệm) Đặc biệt hóa chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng cho sang việc nghiên cứu tập nhỏ chứa tập hợp cho Trong [4], tác giả cho rằng: ”Nếu ĐBH ta nhận mệnh đề sai ta hồn tồn bác bỏ thật”[4,tr147] Như quan niệm ĐBH sau: ĐBH trình chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng cho sang việc nghiên cứu tập hợp nhỏ chứa tập hợp cho nhằm mục đích kiểm nghiệm lại tính đắn KQH, giải vấn đề 1.2.3: Kỹ tính tốn phân tích Đây coi loại trí thơng minh đặc biệt Kỹ tính tốn phân tích bao gồm xử lý vấn đề logic xem xét vật kiện cách khoa học Khả phản ánh hiệu việc thực hoạt động toán học Người có khả tính tốn, phân tích nhận thức, liên hệ vật, việc dạng nhân Bạn xử lý tốt vấn đề khoa học toán học Họ sử dụng lý trí để suy nghĩ hầu hết định mà họ đưa kết trình suy nghĩ họ 1.2.4: Kỹ thực hành Kỹ thực hành toán học bao gồm kỹ vận dụng kiến thức vào hoạt động giải vấn đề, kỹ tốn học hóa tình giới thực (toán học sống) kỹ thực hành cần thiết cho sống 1.3: Một số thực tiễn rèn luyện kỹ giải phương trình hệ phương trình học sinh 1.3.1: Phiếu khảo sát dành cho giáo viên Câu 1: GV có gặp khó khăn việc giúp học sinh nhận dạng dạng tập liên quan đến phương trình hệ phương trình khơng? a) Khơng b) Rất c) Bình thường d)Thường xun Câu 2: Biện pháp GV sử dụng giúp HS phát triển lực giải vấn đè làm tập phần giải phương trình hệ phương trình: a) Thuyết trình đưa vấn đề Thường xuyên Không sử dụng Thỉnh thoảng b) Cho học sinh làm tập (chứa đựng vấn đề cần giải quyết) Thường xuyên Thỉnh thoảng Không sử dụng c) Cho HS phát sai lầm lời giải tốn giải thích ngun nhân đưa cách làm Thường xuyên Thỉnh thoảng Không sử dụng d) Hướng dẫn HS lật ngược lại tốn Thường xun Thỉnh thoảng Khơng sử dụng e) Hướng dẫn HS dựa vào mơ hình quen thuộc xây dựng tình Thường xun Thỉnh thoảng Khơng sử dụng f) Hướng dẫn HS giải toán theo nhiều cách khác Thường xuyên Thỉnh thoảng Không sử dụng Câu3: Những khó khăn dạy học chủ đề Giải phương trình hệ phương trình a)HS khơng hứng thú học chủ đề giải phương trình hệ phương trình Đồng ý Khơng đồng ý b) HS khơng phát vấn đề tương tự Đồng ý c) HS quy lạ quen Không đồng ý Đồng ý Không đồng ý 1.3.2: Phiếu khảo sát dành cho học sinh Câu 1: Mức độ hứng thú em học chủ đề giải phương trình hệ phương trình: Rất thích Thích Bình thường Khơng thích Câu 2: Những khó khăn học chủ đề Giải phương trình hệ phương trình: a) Khơng phân tích mối liên hệ giả thiết kết luận Có Khơng b) Khơng phát vấn đề tương tự Có Khơng c) Khơng biết quy lạ quen Có Khơng Câu 3: Hoạt động em học chủ đề Giải phương trình hệ phương trình: a) Nghe GV giảng ghi chép Thường xuyên Thi thoảng Không b) Thảo luận với bạn để tìm phương pháp giải Thường xuyên Thi thoảng Không c) Suy nghĩ câu trả lời phát biểu Thường xuyên Thi thoảng Không d) Thảo luận với GV để giải vấn đề Thường xuyên Kết luận chương 1: Thi thoảng Khơng Theo tâm lý học kỹ năng vận dụng kiến thức(Khái niệm, thức, phương pháp, ) để giải nhiệm vụ Thực chất hình thành kỹ hình thành cho học sinh nắm vững hệ thống phức tạp thao tác nhằm làm biến đổi sáng tỏ thông tin chứa đựng tập, nhiệm vụ đối chiếu chúng với hành động cụ thể Muốn vậy, hình thành kỹ năng( chủ yếu kỹ học tập) cho học sinh cần: - Giúp học sinh biết cách tìm tịi để tìm yếu tố cho, yếu tố phải tìm mối quan hệ chúng - Giúp học sinh hình thành mơ hình khái qt để giải tập, đối tượng loại - Xác lập mối liên quan tập mơ hình khái quát kiên sthwcs tương ứng Chúng ta có thuật giải tổng quát để giải toán Ngay lớp toán riêng biệt có trường hợp có, có trường hợp khơng có thuật giải Tuy nhiên, trang bị hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tịi, phát giải tốn lại cần thiết Ta sử dụng phương pháp chung mục 1.1.1 để tìm lời giải tốn Sau tác giả xin giới thiệu số phương pháp giải phương trình hệ phương trình giúp đọc giả phát cách giải toán để từ rèn luyện kỹ giải phương trình hệ phương trình Chương 2: Rèn luyện kỹ giải tập phương trình hệ phương trình bậc cho học sinh lớp 2.1: Một số dạng tập phương trình bậc ẩn 2.1.1: Tóm tắt lý thuyết phương trình bậc ẩn a) Phương trình tương đương Hai phương trình gọi tương đương với chúng có chung tập hợp nghiệm Khi nói hai phương trình tương đương với ta phải ý phương trình xét tập hợp số nào, có tập tương đương tập khác lại khơng b) Phương trình bậc ẩn phương pháp giải - Định nghĩa: Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng ax+b = ( a≠0) Thơng thường để giải phương trình ta phải chuyển đơn thức có chứa biến vế, đơn thức không chứa biến vế - Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc biến đổi tương đương: + Quy tắc chuyển vế: Trong phương trình, ta chuyển hạng tử vế sang vế đổi dấu hạng tử + Quy tắc nhân với số: Khi nhân hau vế phương trình với số khác 0, ta phương trình tương đương với phương trình cho - Phương trình bậc ẩn dạng ax+b = ln có nghiệm x=b/a - Phương trình ax+b = gaiir sau: ax + b = ax = -b x = -b/a => Tập nghiệm S={-b/a} c) Phương trình quy phương trình bậc - Dùng phép biến đổi như: nhân đa thức, quy đồng mẫu số, chuyển vế để đưa phương trình cho dạng ax + b = d) Phương trình tích phương trình sau biến đổi có dạng: A(x) B(x) = A(x)=) B(x)=0 e) Phương trình chứa ẩn mẫu - Ngồi phương trình có cách giải đặc biệt, đa số phương trình giải theo bước sau: + Tìm điều kiện xác định + Quy đồng mẫu thức bỏ mẫu + Kiểm tra xem nghiệm vừa tìm có thảo ĐKXĐ khơng Chú ý rõ nghiệm thảo, nghiệm không thỏa + Kết luận số nghiệm phương trình cho giá trị thảo ĐKXĐ f) Giải tốn cách lập phương trình: - Bước 1: Lập phương trình + Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số + Biễu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết + Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng - Bước 2: Giải phương trình - Bước 3: Kiểm tra nghiệm có thỏa mán điều kiện hay khơng kết luận *Chú ý: - ⃑ Số có hai chữ số ký hiệu ab ⃑ Giá trị số là: ab = 10a + b ⃑ - Số có ba chữ số kí hiệu abc - Tốn chuyển động: Quãng đường = vận tốc * thời gian; Hay S=v.t 2.1.2: Các dạng tốn phương trình bậc ẩn a) Dạng 1: Phương trình đưa hương trình bậc *Phương pháp: - Quy đồng mẫu hai vế - Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu - Chuyển vế hạng tử chứa ẩn sang vế, số sang vế - Thu gọn dạng ax+b=0 giải + Trường hợp phương trình thu gọn có hệ số ẩn - Dạng 1: 0x=0: Phương trình có vơ số nghiệm - Dang 2: 0x= c ( c≠0) : Phương trình vơ ngiệm *Ví dụ: Giải phương trình sau: a) 3x-2=2x-3 b) 7-2x=22-3x c) x-12+4x=25+2x-1 d) 2(x+3) = 2(x-4) +14 e) 2x-1+2(2x-x)=1 *Lời giải: a) 3x-2=2x-3  3x-2x=-3+2  x=-1 b) 7-2x=22-3x  -2x+3x=22-7  x=15 c) x-12+4x=25+2x-1  x=12 d) 2(x+3) = 2(x-4) +14  0x=0  Phương trình có vơ số nghiệm e) 2x-1+2(2x-x)=1  0x=-2 Bài tập 1: Giải phương trình sau: a) b) c) d) 11+8x-3= 5x-3+x 3-4y+24+6y = y+27+3y x+2x+3x-19= 3x+5 4-2x+15 = 9x+4-2x Bài tập 2: Giải biện luận phương trình: 2(mx+5) + 5(x+m) =m (*) *Hướng dẫn giải: - Đây dạng phương trình có chứa tham số, cách gaiir sau: Thu gọn dạng ax+b=0 ax=-b, ta phải biện luận trường hợp: Trường hợp a≠0: Phương trình có nghiệm x=-b/a Trường hợp a=0, ta xét tiếp: + b≠0, phương trình vơ nghiệm + b=0, phươn trình có vơ số nghiệm  PT (*)  2mx+10+5x+5m=m (2m+5)x=m-5m-10  + (2m+5)x = -2(2m+5) Biện luận: Nếu 2m+5 ≠0  m ≠ -5/2 => Phương trình có nghiệm x=-2 + Nếu 2m+5=0  m=-5/2 => phương trình có dạng 0x=0 => Phương trình có vơ số nghiệm - Kết luận : Với m≠-5/2 phương trình có tập nghiệm S= {-2} Với m=-5/2 phương trình có tập nghiệm S=R b) Dạng 2: Giải phương trình đưa dạng phương trình tích * Phương pháp: - Để giải phương trình tích, ta áp dụng cơng thức: A(x) B(x)=  A(x) = B(x) = Ta giải hai phương trình A(x)=0 B(x)= 0, lấy tất nghiệm chúng *Ví dụ: Giải phương trình sau: a) (3x-2)(4x+5) = b) 2x(x-3) + 5(x-3)= *Lời giải: a) (3x-2)(4x+5) =  3x-2=0 4x-5=0  x=2/3 x=-5/4 b) 2x(x-3) + 5(x-3) =  (x-3)(2x+5)=0  x=3 x=-5/2 *Bài tập: Giải phương trình sau: a) (3x-2)(4x-5)=0 b) (2x+7)(x-5)(5x+1) = c) (4x-10)(24+5x)= d) (5x+2)(x-7)=0 e) (5x+2)(x+7)=0 f) (4x+2)(x2 +1)=0 g) (x2 +1)(x2 -4x+4)= c) Dạng 3: Phương trình có chứa ẩn mẫu * Phương pháp: - Phương trình có chứa ẩn mẫu phương trình có dạng: -Trong A(x), B(x), C(x), D(x) đa thức chứa biến x + Các bước giải phương trình chứa ẩn mẫu: Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế phương trình, khử mẫu Bước 3: Giải phương trình vừa nhận Bước 4: Trong giá trị ẩn tìm bước 3, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho