ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm CHỦ ĐỀ I: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM §1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b) 1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈(a,b) mà x 1 <x 2 thì f(x 1 )<f(x 2 ). 2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈(a,b) mà x 1 <x 2 thì f(x 1 )>f(x 2 ). 3) x 0 ∈(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) khơng xác định hay bằng 0. II. Định lý: 1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại một điểm c∈(a,b) sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) '( ).( ) '( ) f b f a f b f a f c b a hay f c b a − − = − = − 2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b). • Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b). • Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b). (Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng). CÁC DẠNG BÀI TẬP Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng xác đònh): y / ≥ 0 ∀x ∈ R    ≤∆ > 0 0a Giải tìm m  Chú ý: Nếu hệ số a của y / có chứa tham số thì phải xét khi a = 0 • Tương tự cho hàm số giảm : y / ≤ 0 ∀x∈ R    ≤∆ < ⇔ 0 0a 2.Hàm số nhất biến : dcx bax y + + =  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác đònh : y / > 0 ( y / < 0 ) . Giải tìm m  Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0. B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Cho hàm số 3 2 3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − + . a) Khảo sát hàm số khi m=1. b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. c) Định m để hàm số giảm trên (1,4). Bài 2: Cho hàm số 2 2y x x= − a) Tính y’’(1) b) Xét tính đơn điệu của hàm số. Bài 3: Cho hàm số 1 2 mx y x m − = + a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2. b) Xác định m để đồ thi hàm số khơng cắt đường thẳng x=-1. c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số ln đồng biến trên khoảng xác định của nó. Bài 4: Chứng minh rằng a) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2). b) 1 2 x R x e x + ≥ + ∀ ∈ . c) x>1 ln x e x ≥ ∀ . Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm : 5 3 2 1 0x x x− + − = §2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a; b) và điểm x 0 ∈(a; b) . • Điểm x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x 0 ta có f(x) < f(x 0 ) (x ≠ x 0 ). • Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x 0 ta có f(x)>f(x 0 ) (x ≠ x 0 ). 2. Điều kiện để hàm số có cực trị: Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a; b) có đạo hàm tại x 0 ∈(a; b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x 0 ) = 0. Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ) Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm a) Nếu f’(x 0 ) > 0 trên khoảng (x 0 -δ; x 0 ); f’(x) < 0 trên khoảng (x 0 ; x 0 + δ) thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x 0 - δ; x 0 ) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x 0 ; δ+ x 0 ) thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x 0 , đạo hàm đổi dấu thì điểm x 0 là điểm cực trị. Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x 0 và f’(x 0 ) = 0, f''(x o ) ≠ 0 thì x o là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa 1) Nếu f”(x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu. 2) Nếu f”(x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại. Nói cách khác: 1) f’(x 0 ) = 0, f”(x 0 ) > 0 ⇒ x 0 là điểm cực tiểu. 2) f’(x 0 ) = 0, f”(x 0 ) < 0 ⇒ x 0 là điểm cực đại. Chú ý: 1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b). 2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y / = 0. 3) x 0 là cực trị của hàm số  / ( ) 0 0 / ( ) =    y x y x • Tìm m để hàm sốá có cự c đại , cực tiểu  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y / = 0 có hai nghiệm phân biệt    >∆ ≠ 0 0a  Giải tìm m • Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trò  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Giải phương trình y / = 0 tìm nghiệm x 0  Đạo hàm y // .Tính y // (x 0 ) * Nếu y // (x 0 ) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x 0 * Nếu y // (x 0 ) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x 0 • Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x 0 Cách 1:  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Hàm số đạt cực trò tại x 0 : y / (x 0 ) = 0 y / đổi dấu khi x qua x 0  Chú ý : • Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 : 0 y'(x ) = 0 y' doi dau tu " - " sang " +"    • Hàm số đạt cực đại tại x 0 : • 0 '( ) 0 ' dau tu "+" sang "-" y x y doi =    Cách 2:  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Đạo hàm y //  Hàm số đạt cực trò tại x 0 :    ≠ = 0)( 0)( 0 // 0 / xy xy  Cực đại: { y / (x 0 ) = 0 và y // (x 0 ) < 0 }  Cực tiểu : { y / (x 0 ) = 0 và y // (x 0 ) > 0} • Hàm số đạt cực trò bằng y 0 tại x 0  Tập xác đònh  Đạo hàm y / = f / (x)  Hàm số đạt cực trò bằng y 0 tại x 0 khi      ≠ = = 0)( )( 0)( 0 // 00 0 / xf yxf xf đổi dấu qua x 0 Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y / khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… ) * Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y = phần dư của phép chia f(x) cho f / (x). Dạng 2: Cực trò của hàm hữu tỉ (xem thêm để thi ĐH nhé) Cho h/s y = u v u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D Và y / = u v vu 2 v ′ ′ − = g(x) 2 v dấu của y / là dấu của g(x) Nếu h/s đạt cực trò tại x 0 thì y / (x 0 )= 0 => g(x 0 ) = 0 <=> u / v−v / u = 0 => u u v v ′ = ′ . Do đó giá trò cực trò y(x 0 ) = u (x ) 0 v (x ) 0 ′ ′ Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp - Để hàm số ( ) y f x= có 2 cực trị ( ) 0 ' 0 ó nghiêm 0 a f x c ≠  ⇔ = ⇔  ∆ >  - Để hàm số ( ) y f x= có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hồnh . 0 CD CT y y⇔ < - Để hàm số ( ) y f x= có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung . 0 CD CT x x⇔ < - Để hàm số ( ) y f x= có hai cực trị nằm trên trục hồnh 0 . 0 CD CT CD CT y y y y + >  ⇔  >  - Để hàm số ( ) y f x= có hai cực trị nằm dưới trục hồnh 0 . 0 CD CT CD CT y y y y + <  ⇔  <  - Để hàm số ( ) y f x= có cực trị tiếp xúc với trục hồnh . 0 CD CT y y⇔ =  u cầu đối với học sinh :  Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:  Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) → khơng có cực trị hoặc có 2 cực trị.  Hàm số bậc 4 dạng : y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.  Hàm số nhất biến dạng: ax+b cx+d =y → chỉ tăng hoặc chỉ giảm và khơng có cực trị. B . CÁC BÀI TẬP: Bài:1 Định tham số m để: i) Hàm số y = 3 2 1 ( 6) 1 3 x mx m x + + + − có cực đại và cực tiểu.Kết quả: m < - 2 hay m > 3 2i)Hsố y = 2 2 1 x mx mx + − − có cực trị. Kết quả: - 1 < m < 1 3i) Hàm số y = 2x 3 – 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x 1 , x 2 và khi đó x 2 – x 1 khơng phụ thuộc tham số m. Kết quả : ∀m và x 2 – x 1 = 1 Bài 2: Hàm số y = x 3 – 3x 2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M 1 (x 1 ;y 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : 1 2 1 2 1 2 ( )( 1) y y x x x x − − − = 2.Kết quả : m < 1 Bài 3: Cho hàm số 4 2 2 2 1y x mx m= − + − + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3. GV: Dương Bảo Quốc Tổ: Tốn -Tin học Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hồnh. c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1). Bài 4: Cho hàm số mmxxmxy 26)1(32 23 −++−= a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hồnh là tiếp tuyến của (C). b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó. Bài 5: Định m để hàm số 3 2 2 1 ( 1) 1 3 y x mx m m x= − + − + + đạt cực tiểu tại x = 1. Bài 6: Cho hàm số 2 1 x x m y x − + = + Xác định m sao cho hàm số. a) Có cực trị. b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau. Bài 7: Cho hàm số 3 2 ( ) 3x 3 x+3m- 4y f x x m= = − + − a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m. b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 0 0 : ( ) : ( ) x D f x M x D f x M ∀ ∈ ≤ ∃ ∈ = (ký hiệu M=maxf(x) ) Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 0 0 : ( ) : ( ) x D f x m x D f x m ∀ ∈ ≥ ∃ ∈ = (ký hiệu m=minf(x) ) 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a; b) + Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a; b) + Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại (cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN (GTNN) của hàm số trên (a; b) 3)Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b]. • Xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b] • Đạo hàm : y / = ? cho y / = 0 ( nếu có ) _ x 1 , x 2 … . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b] • Tính f(x 1 ) ; f(x 2 ) ………. So sánh → KL f(a) ; f(b) • Kết luận: max y [a;b] = ? min y [a;b] = ? B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) 3 2 2 3 1y x x= + − trên [-2;-1/2] ; [1,3). b) 2 4y x x= + − . c) 3 4 2sinx- sin 3 y x= trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ) d) 2 os2x+4sinxy c= x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ) e) 2 3 2y x x= − + trên đoạn [-10,10]. Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y= x 1 3x 6x 9 + + − + + trên đoạn[-1,3]. ℑ4. TIỆM CẬN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Tiệm cận đứng: Nếu 0 lim ( ) x x f x → = ∞ thì đường thẳng (d) có phương trình x= x 0 là tiệm cân đứng của đồ thị (C). 2) Tiệm cận ngang: GV: Dương Bảo Quốc Tổ: Tốn -Tin học Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm Nếu 0 lim ( ) x f x y →∞ = thì đường thẳng (d) có phương trình y= x 0 là tiệm cân ngang của đồ thị (C). Cách xác đònh tiệm cận : • Tiệm cận đứng : f (x) lim x x 0 = ±∞ ± → => x = x 0 là tiệm cận đứng Chú ý : tìm x 0 là những điểm hàm số không xác đònh • Tiệm cận ngang : f (x) y lim 0 x = →±∞ => y = y 0 là tiệm cận ngang Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang B. CÁC BÀI TẬP: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số a) 2 1y x= − b) 3 2 1 1 x x y x + + = − c) 2 3 1 1 2 x x y x + + = − . d) 2 2 1 3 2 5 x x y x x + + = − − PHẦN II: ƠN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ 1.Tìm tập xác định: D=… 2. Sự biến thiên: - Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm nghiệm - Chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến - Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU - Tính giới hạn: lim x y →±∞ = - Lập bảng biến thiên 3. Vẽ đồ thị: Cần Nhận xét về đồ thị: • Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị) • Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox • Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ • Vẽ đồ thị. 1.Tìm tập xác định: D=… 2. Sự biến thiên: - Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm nghiệm - Chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến - Tính giới hạn: lim lim o x x x y y ± → →±∞ = = với x o là nghiệm mẫu - Tìm phương trình tiệm cận: TCĐ: x = …; TCN: y=… - Lập bảng biến thiên 3. Vẽ đồ thị: Cần Nhận xét về đồ thị: • Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị) • Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox • Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ • Vẽ đồ thị. Sự khác biệt : Hàm đa thức đồ thị khơng có tiệm cận, hàm phân thức ln có các tiệm cận. Các bước cơ bản thực hiện khảo sát và vẽ đồ thị đối với một số hàm cụ thể 1. Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y / = 3ax 2 + 2bx + c với ∆ / = b 2 − 3ac ∆ / ≤ 0 ∆ / > 0 y / cùng dấu với hệ số a •KL: hàm số tăng trên? (luôn giảm trên?) y / = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 •KL: hàm số tăng? Giảm? •Hàm số không có cực trò • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu? + Giới hạn: • )(lim 23 dcxbxax x +++ +∞→ =    <∞− >+∞ )0( )0( a a • )(lim 23 dcxbxax x +++ −∞→ =    <∞+ >−∞ )0( )0( a a + Bảng biến thiên: x − ∞ + ∞ x − ∞ x 1 x 2 + ∞ y / + y / + 0 − 0 + y + ∞ - ∞ y CĐ + ∞ - ∞ CT GV: Dương Bảo Quốc Tổ: Tốn -Tin học a > 0 Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm x − ∞ + ∞ x − ∞ x 1 x 2 + ∞ y / − y / − 0 + 0 − y + ∞ − ∞ y + ∞ CĐ CT − ∞ Chú ý: dù y / = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng + Kỹ năng vẽ đồ thị:  Xác định toạ độ các điểm cực trị (nếu có)  Tìm tâm đối xứng I: Nếu hàm số có hai cực trị thì toạ độ của I sẽ là trung điểm của đoạn nối cực đại cực tiểu. Tức là: ; 2 2 D DC CT C CT I I x x y y x y + + = = . Nếu hàm số khơng có cực trị thì hồnh độ của I là nghiệm của pt y” = 0.  Cho thêm điểm đặc biệt a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT 2. Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y / = 4ax 3 + 2b.x =2x.(2a.x 2 + b) a,b cùng dấu a, b trái dấu y / = 0 ⇔ x = 0 •KL: tăng? Giảm y / = 0 ⇔ 2x (2ax 2 + b) = 0 ⇔ x= 0; x 1,2 =± a b 2 − •KL: tăng? Giảm? •Giá trò cực trò : y(0) = c có một cực trò • Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(± a b 2 − ) =− a4 ∆ Có 3 cực trò + Giới hạn : )(lim 24 cbxax x ++ ±∞→ =    <∞− >+∞ )0( )0( a a + Bảng biến thiên : x − ∞ 0 + ∞ x − ∞ x 1 0 x 2 + ∞ y / − 0 + y / − 0 + 0 − 0 + y + ∞ + ∞ y + ∞ CĐ + ∞ CT CT x − ∞ 0 + ∞ x − ∞ x 1 0 x 2 + ∞ y / + 0 − y / + 0 − 0 + 0 − y − ∞ − ∞ y CĐ CĐ - ∞ CT - ∞ GV: Dương Bảo Quốc Tổ: Tốn -Tin học a < 0 CĐ a < 0 a > 0 CT x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 2:hàm số khơng có cực trị ⇔ ? x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ? Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm + Vẽ đồ thò : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương 3. Hàm nhất biến : y = dcx bax + + ( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 ) + TXĐ : D = R\       − c d + Đạo hàm : y / = 2 )( dcx bcad + − (đạo hàm ln âm hoặc dương) ad−bc < 0 ad−bc > 0 y / < 0 ∀ x ∈D y / > 0 ∀ x ∈D Hàm số không có cực trò Hàm số nghòch biến trên D Hàm số đồng biến trên D + Tiệm cận: • x = c d − là tiệm cận đứng vì lim d x c ax b cx d ±   → −  ÷   + + = ?∞ • y = c a là tiệm cận ngang vì lim x ax b cx d →±∞ + + = c a +Bảng biến thiên : x − ∞ −d/c + ∞ x − ∞ −d/c + ∞ y / − || − y / + || + y a/c ||+ ∞ − ∞ a/c y + ∞ || a/c a/c − ∞ + Vẽ đồ thò : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt − Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận . Phần III: ƠN TẬP CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình: f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát + Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi ln cùng phương với trục Ox. Các bước giải Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) GV: Dương Bảo Quốc Tổ: Tốn -Tin học y I x y O Dạng 2: h/số nghịch biếnDạng 1: h/số đồng biến x O I x y O x y O a < 0 b<0 a > 0 b>0 Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ? x y O x y O a < 0 b>0 a > 0 b<0 Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ? Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận: Ví dụ 1: 1. Biện luận phương trình 3 2 1 3 x x− = m 2. Biện luận phương trình 3 2 1 3 x x− = 3m -2 3. Biện luận phương trình 3 2 1 3 x x− = 3 2 1 3 m m− Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.(xem chi tiết ở phần sau) Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các công thức: • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b) → Ta sử dụng công thức b a S f x dx= ∫ ( ) (I) • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), y = g(x) / [a;b] → Ta sử dụng công thức b a S f x g x dx = − ∫ ( ) ( ) (II) • Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox. → Ta dùng công thức [ ] 2 b a V f x dx π = ∫ ( ) (III) • Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy.(xem thêm) → Ta dùng công thức [ ] 2 = ∫ b a V g y dy( ) π (IV) Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng thời nắm được các bước cơ bản khi giải dạng toán này:  Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng:  Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).  Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).  Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b]).  Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết quả.  Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:  Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)  Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả. Ví dụ : (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = e x , y = 2 và đường thẳng x = 1. Giải: (0,75 đ) Ta có: e x = 2 ⇔ x = ln2 Diện tích hình phẳng cần tìm S = ( ) 1 1 ln2 ln2 2 2 x x e dx e dx− = − ∫ ∫ (0,25 đ) = ( ) 1 ln2 2 ( 2) (2 2ln 2) 2ln 2 4 x e x e e− = − − − = + − (đvdt) (0,25đ + 0,25đ) Ví dụ : ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x 3 – 3x 2 và trục Ox. Giải: GV: Dương Bảo Quốc Tổ: Toán -Tin học Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Từ đồ thị ta có: 3 3 3 2 3 2 0 0 3 ( 3 )S x x dx x x dx= − + = − + ∫ ∫ 3 4 3 0 4 x x   = − +  ÷   = 27/4 ( đvdt) Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2) Bài 1: Cho hàm số y = x 3 – mx + m + 2. có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát hàm số khi m = 3. b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x 3 – 3x – k +1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3. Bài 2: Cho hàm số y = x 3 – 2x 2 – (m - 1)x + m = 0 a) Xác định m để hàm số có cực trị. b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C). c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA. Bài 3: Cho hàm số y = (x +1) 2 (x –1) 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x 2 – 1) 2 – 2n + 1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hồnh. Bài 4: Cho hàm số mx mxm y − +− = )1( (m khác 0) và có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C 2 ). b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C 2 ), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x = 4. Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : y = 2 4 1 x ; y = xx 3 2 1 2 +− . Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x 2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox. Bài 7: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x 2 và y = x quay quanh Ox. Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)(Đường thẳng và đường cong) PP chung: Ta tìm Số giao diểm của hai đường cong (C 1 ) y= f(x) và (C 2 ) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hồnh độ giao điểm f(x) = g(x) (1) PP cụ thể: 1. Cho hai đồ thò (C 1 ) : y = f(x) ; (C 2 ) : y = g(x) Hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) nếu có là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1) • pt(1) vô nghiệm <=> (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung • pt(1) có n nghiệm <=> (C 1 ) và (C 2 ) có n điểm chung * Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong. 2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thò (C 1 ) tiếp xúc (C 2 ) <=> hệ pt f (x) g(x) f (x) g (x) = ′ ′ =    có nghiệm • Biện luận số giao điểm của ( C) và d  (d): y = k(x – x A ) + y A = g(x)  Phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) • Nếu (*) là phương trình bậc 2 : 1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d) 2) Xét a ≠ 0 : + Lập ∆ = b 2 – 4ac + Xét dấu ∆ và kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt    >∆ ≠ ⇔ 0 0a • Nếu (*) là phương trình bậc 3 : GV: Dương Bảo Quốc Tổ: Tốn -Tin học Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm 1) Đưa về dạng (x – x 0 )(Ax 2 + Bx + C) = 0    ==++ = (2) )(0 2 0 xgCBxAx xx 2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x 0 3) Tính ∆ của (2), xét dấu ∆ và kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 2 n o pb x 1 , x 2 khác x 0 )      ≠ >∆ ≠ ⇔ 0)( 0 0 0 )2( xg A Ví dụ Cho hàm số 1 1 − + = x x y và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong. Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình 1 1 1 −= − + mx x x (điều kiện x khác 1) 0)2( 2 =+−⇔ xmmx 0))2(( =+−⇔ mmxx +Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm +Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và x = 2m m + . Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1) Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm. + m ≠ 0 và m ≠ - 2 có hai giao điểm. B ÀI TÂP: Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): 3 2 2 3 2 x x y x= + − và đường thẳng (T): 13 1 ( ) 12 2 y m x − = + . KQ: 1 giao điểm ( m ≤ 27 12 − ), 3 giao điểm ( m > 27 12 − ) Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 khơng cắt đồ thị hàm số 3 4 1 x y x + = − . KQ: -28 < a ≤ 0 Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số u cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài tốn sau: Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 )) o TT có phương trình là : y - f(x 0 )= f / (x 0 )(x− x 0 ) o Từ x 0 tính f(x 0 ) ; Đạo hàm : y / = f / (x) => f / (x 0 ) = ? o P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f / (x 0 )(x− x 0 ) + f(x 0 ) 2. Tiếp tuyến đi qua (kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thò h/s y =f(x) ( các em xem thêm ) 1. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x 1 ) + y 1 2. Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thò (C) là hệ phương trình : (1) = − + =    f(x) k(x x ) y 1 1 / f (x) k (2) có nghiệm 3. Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận 3. Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = − a 1 4. Giả sử M(x 0 ; f(x 0 )) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f / (x 0 ). 5. Giải phương trình f / (x 0 ) = k => x 0 = ? −> f(x 0 ) = ? 6. Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x 0 ) + f(x 0 ) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k 1 .k 2 = −1 GV: Dương Bảo Quốc Tổ: Tốn -Tin học [...]... g ( x ) ; x = a; x = b x = a; x = b (trong đó hai đường thẳng giới hạn bởi : có thể thi u một hoặc cả hai) b a) Cơng thức: S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a (2) b) Các bước thực hiện: x = a, x = b • Bước1: Nếu hai đường • Bước 2: Áp dụng cơng thức (2) f ( x ) = g ( x ) (PTHĐGĐ của ( C1 ) và ( C2 ) để tìm.) • đề bài cho thi u một hoặc cả hai thì giải phương trình Bước 3: Rút gọn biểu thức f ( x ) − g ( x... Quốc Tổ: Tốn -Tin học Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 • Trường THPT Khánh Lâm Bước 3: Dùng cơng thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ 3) Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox: ( C ) : y = f ( x ) ; Ox; x = a; x = b (trong đó hai đường thẳng x = a; x = b có thể thi u một hoặc cả hai) b V = π ∫ ... b) y = log x 2 b) y = ln a) y = ln x + ln x 2 − 2 ln 2 x − 2 6.Xét sự biến thi n và tìm cực trị của hàm số ( ) 2 x a) y = x − 4 x e 7.Chứng minh rằng ( x −1 x+2 c) y = l ogx-3log(2x-3) c) y = (2 x) x d) y = x x − 2 ) 2 b) y = ln x + 1 ex − x ≥ 1 Bài 6 Phương trình mũ và logarit GV: Dương Bảo Quốc Tổ: Tốn -Tin học Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm *Giải phương trình mũ: 6 cách... AC] 2 S∆ABC = • 2.S ∆ABC Đường cao AH = BC • Shbh = [AB, AC] → Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành • Chứng minh A, B, C không thẳng hàng • ABCD là hbh ⇔ AB = DC Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện: GV: Dương Bảo Quốc  Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp(α) : ta cóVTCP là ad = nα   r cho c = ka + lb • 1) H là hình chiếu của M trên mp (α )  e) Cho hai vectơ khơng cùng... số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung cơng thức hạ bậc) *) n, m ∈ Z nếu n+m là số ngun chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax ∫ Dạng 3: R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học) *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx... hợp 2: tính ∫ g(x) dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) Nên * Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức * Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắng hạn: GV: Dương Bảo Quốc Tổ: Tốn -Tin học Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm r(x) r(x) A B C = = + + 2 (x − x ) (x − x ) (x − x ) 2 g(x) a(x − α ).(x − x ) 1 2 1 2 2 (*) ( x1; x2 là nghiệm của g(x)) r ( x) = A( x − x2 ) 2 + B ( x... là ngun hàm của hàm số 2 f ( x ) Bài 10: Tìm ngun hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = GV: Dương Bảo Quốc 1 x 3 + 3x 2 + 3x − 1 ,biết rằng F ( 1) = (TNPT 2003) 2 3 x + 2x + 1 Tổ: Tốn -Tin học Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm §2 TÍCH PHÂN : b 1) b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) Định nghĩa: a a = F ( b) − F ( a)  Ghi nhớ: − Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới... sin x − 3 cos x ).dx ∫ sin x.sin 4 x.dx 6 π π 3x − 1 dx x +1 1 ∫ 3 19 ∫ x − 2 dx 0 π 22 2 x ∫π sin 3 dx − §3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: GV: Dương Bảo Quốc Tổ: Tốn -Tin học Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm β α 1) b a Cơng thức tổng qt:   ∫ f ϕ ( x ) .ϕ′( x ) dx = ∫ f ( t ) dt Cơng thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái Hàm số dưới dấu tích... nếu như biểu thức ptgx + q nằm trong dấu β e) → Đặt → n ) nếu như biểu thức pcotx + q nằm trong n ( p, q ∈ ¡ ) pe x + q nếu như biểu thức pe x + q nằm trong n Bài tập: Tổ: Tốn -Tin học Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm Bài 1: Tính các tích phân sau đây: π 6 π 2 cos xdx ∫ ( 2 sin x + 1) a ∫ π b 3 0 e 6 cos x + 1 sin xdx 3 xdx 19 dx c ∫ x ( 3 ln x + 2 ) 1 d ∫ 0 3 x2 + 8 Bài... dx (t = e − 1) 1 7 ∫ ln8 12 13 ∫ e x + 1dx (t = e x + 1) πln 3 4 tan x + 2 e ∫ cos 1 2 x dx ` (t = tanx+2) §4 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: GV: Dương Bảo Quốc Tổ: Tốn -Tin học Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm b 1) ∫ uv′dx = ( uv ) Cơng thức tổng qt: a b a 2) a − ∫ vu′dx a b b ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu hay b b (1) a Các bước thực hiện: • Bước 1:  u = u( x ) du . k 1 .k 2 = −1 GV: Dương Bảo Quốc Tổ: Tốn -Tin học Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010 -2011 Trường THPT Khánh Lâm + Hai ñöôøng thaúng song song nhau : k 1 = k 2 Bài tập về PTTT của đồ thị (C ): Bài. (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định. tớnh bng nh ngha hoc i bin s hoc tớch phõn tng phn tựy tng bi toỏn c th m ta phi xem xột). 3). Cỏc dng tớch phõn tớnh bng phng phỏp tng phn: Tớch phõn tng phn thng c ỏp dng tớnh cỏc tớch phõn