Bài tậpToánrờirạcĐồthị 1 1. Xét P (m, n) là câu ”Đồ thị đầy đủ n đỉnh K n có đúng m cạnh”, ở đây miền giá trị của cả hai biến là tập số nguyên dương. Xác định giá trị chân lý của các khẳng định sau: (a) P (2, 2) = T hay F (b) P (3, 3) = T hay F (c) P (4, 4) = T hay F (d) ∃m ∀n P (n, m) = T hay F (e) ∀n ∃m P (n, m) = T hay F (f) ∃n P (n, 2n) = T hay F 2. Xét đồthị G = (V, E). Ta nhắc lại rằng bậc của một đỉnh v ∈ V , ký hiệu deg(v), là số cạnh liên thuộc với nó. (a) Chứng minh rằng 2|E| = ∑ v∈V deg(v) (b) Chứng minh rằng số đỉnh bậc lẻ của G luôn là số chẵn. (c) Giả sử D và d là bậc lớn nhất và bậc nhỏ nhất của G. Chứng minh rằng d ≤ 2|E| |V | ≤ D. 3. Nhắc lại rằng tô màu đồthị là một cách gán màu cho mỗi đỉnh của đồthị sao cho hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau. Bổ đề (Sai). Xét G là một đồthị có bậc lớn nhất không lớn hơn k. Nếu G có một đỉnh nhỏ hơn k, vậy G có thể tô bằng k màu. (a) Hãy đưa ra một phản ví dụ cho Bổ đề Sai khi k = 1. (b) Hãy chỉ ra chính xác câu nào sai trong chứng minh sau đây của Bổ đề Sai: Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp theo số đỉnh n. Giả thiết quy nạp: P (n) là mệnh đề: Xét một đồthị G có n đỉnh sao cho bậc lớn nhất của nó không vượt quá k. Nếu G có một đỉnh có bậc nhỏ hơn k, thì G tô được bằng k màu. Bước cơ sở: (n = 1) G có chỉ một đỉnh, vậy nó tô được bằng 1 màu. Vậy P (1) đúng. Bước quy nạp: Ta giả sử P (n) đúng, xét G n+1 là đồthị với n + 1 đỉnh và bậc lớn nhất không vượt quá k. Ta giả sử G n+1 có một đỉnh v có bậc nhỏ hơn k. Ta cần chứng minh G n+1 có thể tô bằng k màu. Để làm điều này, trước hết ta xét đồthị G n là đồthị tạo từ G n+1 bằng cách xóa đỉnh v và các cạnh liên quan. Việc xóa đỉnh v giảm bậc của mọi đỉnh kề với v đi 1. Vậy trong G n các đỉnh này có bậc nhỏ hơn k. Và bậc lớn nhất của G n vẫn không vượt quá k. Vậy 1 G n thỏa mãn các điều kiện của giả thiết quy nạp P(n). Ta kết luận rằng G n có thể tô bằng k màu. Bây giờ, k màu của đồthị G n dùng để tô mọi đỉnh của đồthị G n+1 trừ đỉnh v. Vì v có bậc nhỏ hơn k, có ít hơn k màu được gán cho các đỉnh kề với v. Vậy trong số k màu có thể, sẽ có một màu không được dùng cho các nút kề với v, và màu này có thể được gán cho v để tô G n+1 bằng k màu. 4. Một đồthị có độ rộng m nếu các đỉnh có nó có thể được sắp xếp thành dãy v 1 , v 2 , · · · , v n sao cho mỗi đỉnh v i có cạnh nối với nhiều nhất là m đỉnh đứng trước nó (Đỉnh v j đứng trước v i nếu j < i.) Dùng quy nạp để chứng minh rằng mọi đồthị với độ rộng nhỏ hơn hoặc bằng m đều có thể tô bằng (m + 1) màu. 5. Đồthị phẳng là đồthị có thể vẽ trên mặt phẳng sao cho các đường cong biểu diễn cạnh hoặc không giao nhau hoặc chỉ giao nhau ở các đỉnh chung. (a) Chỉ ra rằng đồthị con của một đồthị phẳng cũng là đồthị phẳng. (b) Ta biết rằng mọi đồthị phẳng phải có một đỉnh có bậc không lớn hơn 5. Hãy chứng minh bằng quy nạp rằng mọi đồthị phẳng có thể tô không dùng quá 6 màu. 6. Hai đồthị gọi là đẳng cấu nếu chúng giống hệt nhau về cấu trúc nhưng chỉ khác nhau nhãn của đỉnh. Nói một cách chính xác, hai đồthị G = (V, E) và H = (W, F ) đẳng cấu, và viết G ∼ = H, nếu có một song ánh f : V → W sao cho: {x, y} ∈ E nếu và chỉ nếu {f(x), f (y)} ∈ F với mọi x, y ∈ V . Những cặp đồthị nào từ bốn đồthị dưới đây đẳng cấu với nhau? Tại sao? 2 7. Để hiện đại hóa phương pháp giảng dạy, số giờ lên lớp của môn Toánrờirạc bị giảm đi, thay vào đó mỗi sinh viên phải tham gia vào một số nhóm tự học. Mỗi nhóm tự học này sẽ phải đề cử một sinh viên đại diện cho nhóm để trình bày một nội dung nghiên cứu trước lớp. Yêu cầu bắt buộc là một sinh viên chỉ đại diện cho một nhóm. Làm thế nào để chọn đại diện từ mỗi nhóm để đảm bảo yêu cầu này? (a) Mô hình bàitoán lựa chọn đại diện bằng ghép cặp. (b) Danh sách đăng ký nhóm của sinh viên cho thấy rằng không có sinh viên nào là thành viên của hơn 4 nhóm và mỗi nhóm đều có ít nhất 4 sinh viên. Điều này có đảm bảo được rằng luôn có cách chọn đại diện thích hợp không? hãy giải thích. 8. Xét đồthị sau: (a) Đường kính của đồthị này bằng bao nhiêu? (b) Đồthị này có phải đồthị phẳng không? Giải thích câu trả lời của bạn. (c) Số màu ít nhất cần thiết để tô đồthị trên là bao nhiêu? Giải thích câu trả lời của bạn. 9. Chứng minh hoặc bác bỏ rằng trong mọi đồthị với n ≥ 2 đỉnh luôn có hai đỉnh cùng bậc. 3