Khái niệm Logic mờ Lôgic mờ (tiếng Anh: Fuzzy logic) được phát triển từ lý thuyết tập mờ để thực hiện lập luận một cách xấp xỉ thay vì lập luận chính xác theo lôgic vị từ cổ điển. Lôgic mờ có thể được coi là mặt ứng dụng của lý thuyết tập mờ để xử lý các giá trị trong thế giới thực cho các bài toán phức tạp (Klir 1997). Đây là 1 quyển sách rất có ích cho các bạn CNTT
61 Chương 2 LÔGIC MỜ 2.1. Các mệnh ñề mờ Nhìn chung ñối tượng nghiên cứu của lôgic là các mệnh ñề cùng với giá trị chân lý của chúng. Trong chương này chúng ta nghiên cứu các mệnh ñề mờ và việc ñịnh giá giá trị chân lý của chúng. Mệnh ñề mờ chứa những khái niệm không chính xác, không chắc chắn và do ñó không có ñủ thông tin ñể ñịnh giá giá trị chân lý là “tuyệt ñối ñúng” I hay “tuyệt ñối sai” O, giá trị chân lý ñúng, sai theo nghĩa kinh ñiển. Vì giá trị chân lý của các mệnh ñề mờ có thể nằm trong ñoạn [0;1]. Sau ñây chúng ta sẽ khảo sát 4 loại mệnh ñề mờ và việc ñịnh giá giá trị chân lý của chúng. 2.1.1. Mệnh ñề mờ không ñiều kiện và không bị giới hạn Trước hết ta làm sáng tỏ cụm từ “giới hạn” (qualified). Một mệnh ñề bao giờ cũng có giá trị chân lý. Vấn ñề là chúng ta có “tuyên bố” một cách rõ ràng giá trị chân lý của nó hay không. Nếu chúng ta tuyên bố rõ giá trị chân lý của nó, tức là chúng ta ñã “giới hạn” giá trị chân lý của nó vào một giá trị cụ thể nào ñấy, nếu không ta nói mệnh ñề ñó không bị giới hạn. Còn mệnh ñề ñiều kiện là mệnh ñề nếu-thì, nếu không như vậy mệnh ñề ñó ñược gọi là mệnh ñề không ñiều kiện. Mệnh ñề mờ không ñiều kiện và không giới hạn là mệnh ñề dạng sau: p : X là A, (1*) trong ñó X là biến với miền tham chiếu U, A là tập mờ trên U biểu thị ngữ nghĩa của giá trị ngôn ngữ như trẻ, rất cao, nhanh nhẹn, … ðể ñơn giản ta ký hiệu hàm thuộc của tập mờ A là A(u). Câu hỏi ñặt ra là nếu X nhận giá trị cụ thể u ∈ U thì giá trị chân lý của mệnh ñề p ñược cho bởi (1*) là bao nhiêu. Trong trường hợp cụ thể như vậy, (1*) trờ thành u là A (2*) 62 Như chúng ta ñã biết (2*) ñược hiểu là u là phần tử của tập mờ A với ñộ thuộc A(u) hay có thể hiểu A(u) là giá trị chân lý của mệnh ñề (2*) và ta ký hiệu tv(p) = A(u), u ∈ U. (3*) Chẳng hạn, ta xét O là một cộng ñồng dân cư, biến X chỉ chiều cao của các cá thể trong cộng ñồng nhận giá trị trong miền tham chiếu U = [0, 220] tính theo ñơn vị cm và A là tập mờ biểu thị ngữ nghĩa của từ cao, mô tả chiều cao của các cá thể trong cộng ñồng. Khi ñó, mệnh ñề (1*) ñược cụ thể hóa thành p : Chiều cao (X) là cao (A) (4*) Nếu X nhận giá trị 170 thì giá trị chân lý của mệnh ñề (4*) là tv(p) = 0,85 ∈ [0, 1], nếu X nhận giá trị u ≤ 150 thì tv(p) = 0,0. Trong thực tế người ta thường chỉ chiều cao của một ñối tượng hay một cá thể cụ thể o ∈ O, và (1*) khi ñó ñược viết cụ thể như sau: p : X(o) là A Chẳng hạn, X chỉ biến tuổi Age và A là tập mờ biểu thị khái niệm “trẻ” và o là một cá thể thì ta thường viết p : Age(o) là trẻ trong ñó Age(o) chỉ tuổi tính theo năm của cá thể o. Giá trị chân lý của p khi ñó là tv(p) = trẻ(Age(o)). 2.1.2. Mệnh ñề mờ không ñiều kiện có giới hạn chân lý (qualified) Thường một mệnh ñề trong cuộc sống thực tiễn hàng ngày của chúng ta ñều có một ñộ tin cậy hay một mức ñộ ñúng hay sai nhất ñịnh. Chẳng hạn ta có mệnh ñề khẳng ñịnh “Ngày mai chắc trời nắng” trong khi hôm nay trời ñang u ám. Nếu khẳng ñịnh này ñược một dân làng nói thì ñộ tin cậy không bằng khẳng ñịnh như vậy của cơ quan dự báo thời tiết có uy tín. Một chuyên gia y tế khẳng ñịnh “Cháu bé ñau ruột thừa” có ñộ tin cậy hay tính ñúng chân lý cao hơn là khẳng ñịnh ñó ñược nhận từ một sinh viên y khoa. Như vậy, một cao Rất cao 90 220 Hình 2.1: Tập mờ cao chỉ chiều cao của các cá thể 150 195 170 0,85 1,00 63 nhu cầu tự nhiên là chúng ta cần biểu thị một mệnh ñề mờ cùng với giá trị chân lý của nó. Một mệnh ñề mờ không ñiều kiện và giới hạn ñược biểu thị ở dạng chuẩn sau p : “X là A” là τ (5*), trong ñó X và A là các ñại lượng giống như trường hợp trên, còn τ là phép giới hạn chân lý mờ (fuzzy truth qualifier) và nó là tập mờ trên tập U = [0;1]. Chẳng hạn, ta lấy ví dụ một mệnh ñề dạng (i) “Kết quả học tập của sinh viên Nam là giỏi là rất ñúng”, hay (ii) “Trình ñộ ñội tuyển Olympic Toán của Việt Nam là giỏi là khá ñúng”. Câu hỏi ñược ñặt ra là với một cá thể cụ thể o và một giá trị u ∈ U của biến cơ sở của A, giá trị chân lý của mệnh ñề p ở dạng (5*) là bao nhiêu. Ý tưởng ñịnh giá giá trị chân lý này như sau: Xét mệnh ñề (i) với khái niệm “giỏi” ñược biểu diễn bằng tập mờ trong Hình 2.3 và khái niệm chân lý “rất ñúng” ñược cho trong Hình 2.2. Giả sử Kết quả(Nam) = 7. Khi ñó, tv(Kết quả(Nam) là giỏi) = giỏi(7) = 0,75. Vì giá trị chân lý của mệnh ñề “Kết quả(Nam) là giỏi” là rất ñúng với hàm thuộc ñược cho trong Hình 2.2, nên giá trị chân lý của mệnh ñề p sẽ bằng ñộ thuộc của giá trị 0,75 vào tập mờ biểu diễn khái niệm chân lý rất ñúng. tv(p) = rất ñúng(0,75) = 0,30. Bây giờ chúng ta vẫn xét mệnh ñề này với một sự thay ñổi giá trị chân lý rất ñúng của nó thành khá ñúng ta có mệnh ñề “Kết quả học tập của sinh viên Nam là giỏi là khá ñúng” và ta kí hiệu là mệnh ñề p’. Khi ñó, ta có tv(p’) = khá ñúng(0,75) = 0,87. hay tv(p) < tv(p’). Chúng ta hãy tự giải thích xem như vậy có hợp lý không? Giỏi 0 10 Hình 2.3: Tập mờ giỏi 7 5 0,75 1,00 Hình 2.2 ñúng Khá ñúng Rất ñúng 0 1 0,75 0,30 0,87 1 64 Trong trường hợp tổng quát, với mệnh ñề giới hạn chân lý p trong (5*) và với mỗi phần tử u ∈ U, giá trị chân lý tv(p) của mệnh ñề p ñược ñịnh giá bằng công thức tv(p) = τ (A(u)) (6*) Dựa trên (6*), nếu τ là hàm ñồng nhất, τ (t) = t, với t ∈ [0;1], ta sẽ có lại ñược công thức ñịnh giá chân lý (3*) của mệnh ñề không giới hạn chân lý. ðiều này chỉ ra rằng mệnh ñề không giới hạn chân lý có thể xem như là mệnh ñề giới hạn chân lý với τ = true mà hàm thuộc của nó là hàm ñồng nhất. Lưu ý rằng không phải trong bất kỳ bài toán nào giá trị chân lý ngôn ngữ cũng ñược biểu thị ngữ nghĩa bằng hàm ñồng nhất. 2.1.3. Mệnh ñề ñiều kiện không giới hạn chân lý Mệnh ñề ñiều kiện không giới hạn chân lý (conditional and unqualified proposition) là mệnh ñề có dạng sau p : Nếu X là A, thì Y là B (7*) trong ñó X và Y là các biến nhận các giá trị tương ứng trong miền cơ sở U và V, còn A và B là các tập mờ tương ứng trên miền U và V. Như chúng ta ñã dề cập trong Mục 1.4 chương 1 về quan hệ mờ và tri thực dạng luật nếu-thì, mệnh ñề (7*) xác ñịnh một quan hệ mờ R giữa hai ñại lượng X và Y . R là tập mờ trên tích ðề-các U × V. Khi ñó, (7*) có thể ñược hiểu là mệnh ñề sau: p : (X,Y) là R, (8*) trong ñó, như trong Mục 1.4 chương 1, quan hệ mờ R ñược xác ñịnh qua các tập mờ A và B và một phép kéo theo Imp, với A(u) và B(v) là các hàm thuộc tương ứng của A và B, ta có R(u, v) = Imp(A(u), B(v)). Nếu ký hiệu Imp là * → , thì biểu thức trên có dạng quen nhìn hơn là R(u, v) = A(u) * → B(v). 2.1.4. Mệnh ñề ñiều kiện và giới hạn chân lý Mệnh ñề ñiều kiện có giới hạn chân lý là mệnh ñề có dạng sau 65 p : “Nếu X là A, thì Y là B” là τ (9*) với τ là giá trị chân lý ngôn ngữ biểu thị bằng hàm thuộc τ (t), t ∈ [0;1]. (9*) sẽ xác ñịnh một quan hệ mờ R* với hàm thuộc R*(u, v) ñược ñịnh nghĩa như sau: Như trên, mệnh ñề “Nếu X là A, thì Y là B” sẽ xác ñịnh một quan hệ mờ R trên tích ðề-các U × V, với ñộ thuộc R(u, v) ∈ [0;1]. Vì vậy, chúng ta có thể ñịnh nghĩa hàm thuộc R*(u, v) = τ (R(u, v)). 2.2. Phép kéo theo mờ Trong Mục 1.4 chương 1 khi ñề cập về quan hệ mờ và việc biểu diễn tri thức dạng luật “Nếu p, thì q”, chúng ta ñã thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa ngữ nghĩa của mệnh ñề mờ dạng nếu-thì và các loại phép kéo theo lôgic s → t, s, t ∈ [0;1]. Có thể với lý do ñó, các phép kéo theo như vậy ñược gọi là các phép kéo theo mờ. Vì tri thức dạng luật là một yếu tố quan trọng trong biểu diễn tri thức và trong lập luận xấp xỉ, nên việc nghiên cứu các phép kéo theo mờ có vị trí quan trọng. Sau ñây chúng ta tìm hiểu một số kiến thức cơ bản về loại phép tính này. Một cách tổng quát, phép kéo theo mờ là một hàm 2-ngôi J : [0;1] 2 → [0;1] với ý nghĩa nói rằng với giá trị chân lý s và t tương ứng của hai mệnh ñề p và q, J(s, t) sẽ cho ta giá trị chân lý của mệnh ñề “Nếu p, thì q”. Nó ñược xem như là một sự mở rộng của phép kéo theo kinh ñiển khi hạn chế giá trị chân lý vào tập {0, 1}. Trong Mục 1.4 chương 1 chúng ta ñã ñưa ra một số ví dụ về các phép kéo theo này, tuy không gọi là phép kéo theo mờ. Có nhiều cách tiếp cận ñể xác ñịnh phép kéo theo mờ, mặc dù về nguyên tắc không có một ràng buộc cứng nhắc việc ñịnh nghĩa này. Ta sẽ ñưa ra một số ñịnh nghĩa khác nhau sau ñể làm ví dụ: - ðịnh nghĩa dựa trên sự khái quát phép kéo theo 2-trị: Phép kéo theo Kleene-Dienes 66 J b (s, t) = – s ∨ t, ∀s, t ∈ [0;1] và – s = 1 – t, ở ñây chỉ số b có nghĩa là binary. - Khi nghiên cứu phương pháp lập luận xấp xỉ ñể ứng dụng vào ñiều khiển quá trình tôi luyện thép, Mamdani ñã ñưa ra ñịnh nghĩa sau: J(s, t) = min(s, t). - Một cách khái quát tương tự, giả sử N là hàm phủ ñịnh và S là phép hợp, chẳng hạn S là t-conorm, ta có thể ñịnh nghĩa J(s, t) = S(N(s), t). Mặt khác, trong lôgic kinh ñiển biểu thức Boole (– s ∨ t) tương ñương với các biểu thức sau: – s ∨ (s ∧ t) và (– s ∧ – t) ∨ t và do ñó ta có công thức khái quát sang miền trị chân lý [0;1], với T là phép t- norm, như sau: J(s, t) = S(N(s), T(s, t)) và S(T(N(s), N(t)), t). - Nếu xem tổng ñại số như là phép hợp mờ, ta có phép kéo theo Reichenbach: J r (s, t) = 1− s + s.t. - Nếu ta chọn phép hợp mờ là phép tổng giới nội S(s, t) = min {1, s + t}, ta có phép kéo theo Lukasiewicz: J a (s, t) = min {1, 1 – s + t}. - Phép kéo theo của Goguen ñưa ra năm 1969: J Goguen (s, t) = min s t ,1 . - Phép kéo theo Gaines-Rescher J g-r (s, t) = > ≤ tsnêu tsnêu 0 1 - Nếu chọn phép giao chuẩn, phép ∧, ta có phép kéo theo Goedel J g (s, t) = sup {x : s ∧ x ≤ t} = > ≤ tsnêut tsnêu1 - Nếu chọn phép giao t-norm T(s, t) = s.t, ta có phép kéo theo Goguen J ∆ (s, t) = sup {x : s . x ≤ t} = > ≤ tsnêust tsnêu / 1 67 - Phép kéo theo Wu J wu (s, t) = >− ≤ tsnêuts tsnêu },1min{ 1 Tuy nhiên, trong lôgic kinh ñiển và không kinh ñiển (chẳng hạn lôgic trực giác) một loại phép kéo theo ñược ñịnh nghĩa thông qua phép hội. Cụ thể, ta có : J(s, t) = max {u ∈ {0, 1} : s ∧ u ≤ t} (10*) Có thể thấy phép kéo theo trong lôgic mệnh ñề và lôgic vị từ thỏa biểu thức (10*). Bây giờ ta trình bày phép kéo theo mờ ñược khái quát hóa từ ñịnh nghĩa (10*) và khảo sát các tính chất của loại phép kéo theo này. 2.2.1. Cách tiếp cận qua phép t-norm Tổng quát hóa công thức (10*) ở trên bằng cách mở rộng giá trị chân lý trong miền 2-trị {0, 1} sang ñoạn [0;1] và thay thế phép hội ∧ bằng phép t- norm T, ta có công thức tính sau J T (s, t) = sup {u ∈ [0, 1] : T(s, u) ≤ t} (11*) ðịnh lý 2.1. Phép kéo theo J T có các tính chất sau (i) T(s, u) ≤ t nếu và chỉ nếu J T (s, t) ≥ u; (ii) J T (J T (s, t), t) ≥ s; (iii) J T (T(s, t), u) = J T (s, J T (t, u)); (iv) s ≤ t ⇒ J T (s, u) ≥ J T (t, u) và J T (u, s) ≤ J T (u, t); (v) T(J T (s, t), J T (t, u)) ≤ J T (s, u); (vi) J T (inf j∈J s j , t) ≥ sup j∈J J T (s j , t); (vii) J T (sup j∈J s j , t) = inf j∈J J T (s j , t); (viii) J T (t, sup j∈J s j ) ≥ sup j∈J J T (t, s j ); (ix) J T (t, inf j∈J s j ) = inf j∈J J T (t, s j ); (x) T(s, J T (s, t)) ≤ t Chứng minh: Chúng ta sẽ chững minh một số tính chất phát biểu trong ñịnh lý trên. 68 (i) Nếu T(s, u) ≤ t thì u ∈ {x : T(s, x) ≤ t}. Do vậy, theo ñịnh nghĩa, u ≤ sup{x : T(s, x) ≤ t} = J sup (s, t). Ngược lại, nếu u ≤ J sup (s, t) thì, theo tính ñơn ñiệu của phép t-norm, T(s, u) ≤ T(s, J sup (s, t)) = T(s, sup{x : T(s, x) ≤ t}). Do tính liên tục của phép t-norm T ta có, T(s, sup{x : T(s, x) ≤ t}) = sup{T(s, x) : x ∈ {x : T(s, x) ≤ t}} ≤ t. (ii) Ta có, J sup (s, t) = sup{x : T(s, x) ≤ t} và do ñó, cùng với tính liên tục của T, ta có : J T (J T (s, t), t) = sup{y : T(J T (s, t), y) ≤ t} = sup{y : T(sup{x : T(s, x) ≤ t}, y) ≤ t} = sup{y : sup{T(x, y) : x ∈ {x : T(s, x) ≤ t}} ≤ t} (iii) Ta chứng minh J T (T(s, t), u) = J T (s, J T (t, u)). Theo ñịnh nghĩa J T (s, J T (t, u)) = sup{x : T(s, x) ≤ J T (t, u)} Ta thấy, T(s, x) ≤ J T (t, u) ⇔ T(t, T(s, x)) ≤ u ⇔ T(T(s, t), x) ≤ u (do tính kết hợp của T) ⇔ x ≤ J T (T(s, t), u). Do vậy, J T (s, J T (t, u)) = sup{x ≤ J T (T(s, t), u)} = J T (T(s, t), u). (iv) Giả sử s ≤ t. Do tính ñơn ñiệu của T, ta có T(s, x) ≤ T(t, x) và do ñó sup{x : T(s, x) ≤ u} ≥ sup{x : T(t, x) ≤ u} hay J T (s, u) ≥ J T (t, u). Một cách tương tự ta chứng minh bất ñẳng thức còn lại. (v) Theo ñịnh nghĩa T(J T (s, t), J T (t, u)) = T(sup{x : T(s, x) ≤ t}, sup{y : T(t, y) ≤ u}) Theo tính liên tục của T và do T(s, x) ≤ t & T(t, y) ≤ u ⇒ T(s, T(x, y)) ≤ u. ta suy ra T(J T (s, t), J T (t, u)) = sup x {T(x, sup{y : T(t, y) ≤ u}) : T(s, x) ≤ t} = sup x sup y {T(x, y) : T(s, x) ≤ t & T(t, y) ≤ u} ≤ sup x sup y {T(x, y) : T(s, T(x, y)) ≤ u} = sup x sup y {T(x, y) : T(x, y) ≤ J T (s, u)} = J T (s, u). (vi) Lưu ý rằng {x: inf j∈J T(s j , x) ≤ t} ⊇ {x: sup j∈J T(s j , x) ≤ t}. Do ñó, ta có J T (inf j∈J s j , t) = sup x {x: T(inf j∈J s j , x) ≤ t} = sup x {x: inf j∈J T(s j , x) ≤ t} ≥ sup x {x: sup j∈J T(s j , x) ≤ t} = sup j∈J sup x {x: T(s j , x) ≤ t}= sup j∈J J T (s j , t). 69 (vii) ðặt s 0 = sup j∈J a j . Khi ñó, s 0 ≥ a j và, do tính chất (iv) ñã chứng minh, ta có J T (s 0 , t) ≤ J T (s j , t), với mọi j∈J. Do vậy, J T (s 0 , t) ≤ inf j∈J J T (s j , t). Mặt khác, do u = inf j∈J J T (s j , t) ≤ J T (s i , t) với mọi i∈J, từ tính chất (i) ta suy ra T(s i , inf j∈J J T (s j , t)) ≤ t, với mọi i∈J. Vậy, từ tính liên tục của T, ta suy ra T(s 0 , inf j∈J J T (s j , t)) = sup i∈J T(s i , inf j∈J J T (s j , t)) ≤ t. Nhờ tính chất (i) ta suy tiếp ra J T (s 0 , t) ≥ inf j∈J J T (s j , t). Kết hợp các kết quả lại ta có J T (sup j∈J a j , t) = J T (s 0 , t) = inf j∈J J T (s j , t). (viii) Với lưu ý rằng {x : T(t, x) ≤ sup j∈J s j } ⊇ {x : T(t, x) ≤ s j }, với mọi j∈J, ta có J T (t, sup j∈J s j ) = sup x {x : T(t, x) ≤ sup j∈J s j } ≥ sup x {x : T(t, x) ≤ s j } = J T (t, s j ), với mọi j∈J. Do vậy, ta rút ra tính chất (viii). (x) Do tính liên tục của T, ta có T(s, J T (s, t)) = T(s, sup x {x: T(s, x) ≤ t}) = sup x {T(s, x) : T(s, x) ≤ t} ≤ t, ñó là ñiều ta cần chứng minh. 2.2.2 Cách tiếp cận tiên ñề Trong cách tiếp cận tiên ñề chúng ta sẽ ñưa ra các yêu cầu về tính chất của các phép kéo theo mờ và xem chúng là các tiên ñề của phép kéo theo mờ. Bản chất ngư nghĩa kép theo mờ trong ngôn ngữ tự nhiên hay trong lập luận của con người rất phức tạp, khó có một hệ tiên ñề chung cho mọi tình huống. Vì vậy, những tiên ñề sau ñây không nhất thiết bắt buộc mọi phép kéo theo mờ phải thỏa mãn. Chỉ có ứng dụng thực tiễn là tiêu chuẩn cuối cùng chứng minh tính phù hợp của một ñịnh nghĩa phép kéo theo mờ. Một số tiên ñề là sự khái quát của phép kéo theo kinh ñiển. Tiên ñề 1. s ≤ s’ ⇒ J(s, t) ≤ J(s’, t) (Tính ñơn ñiệu tăng ñối với biến thứ nhất). Tiên ñề 2. t ≤ t’ ⇒ J(s, t) ≤ J(s, t’) (Tính ñơn ñiệu tăng ñối với biến thứ hai). Tiên ñề 3. J(0, t) = 1 (Tính chi phối của giá trị chân lý sai). Tiên ñề này có nghĩa nếu giá trị chân lý của phần tiền tố là sai thì nó chi phối giá trị chân lý của cả mệnh ñề nếu-thì. Tiên ñề 4. J(1, t) = t (Tính trung tính của giá trị chân lý ñúng). 70 ðiều này nói rằng giá trị chân lý ñúng của phần tiền tố không ñóng góp ñược bất kỳ sự thay ñổi giá trị chân lý của phần hậu tố còn lại. Tiên ñề 5. J(s, s) = 1 (Tính ñồng nhất). Tiên ñề 6. J(s, J(t, u)) = J(t, J(s, u)) (tính chất hoán ñổi). Tiên ñề 7. J(s, t) = 1 nếu và chỉ nếu s ≤ t (Tính chất về ñiều kiện giới nội). ðiều này nói rằng giá trị chân lý của mệnh ñề nếu-thì là ñúng nếu và chỉ nếu giá trị chân lý của phần tiền tố bị chặn bởi giá trị chân lý của phần hậu tố. Tiên ñề 8. J(s, t) = J(N(t), N(s)), trong ñó N là hàm phủ ñịnh. Tiên ñề 8 là sự khái quát hóa tính chất của phép kéo theo kinh ñiển nói rằng p → q ≅ ¬q → ¬p. Tiên ñề 9. J là hàm liên tục theo cả hai biến. Mặc dù, trên một góc nhì nào ñó, Tiên ñề 9 là một ñòi hỏi tự nhiên nhưng nhiều phép kéo theo trong các ví dụ ñược trình bày ở ñầu tiết không thỏa tính liên tục, chẳng hạn phép kéo theo Goedel hay Goguen. Vì vậy, cần nhấn mạnh một lần nữa rằng không nhất thiết bắt buộc mỗi phép kéo theo mờ phải thỏa mãn mọi tiên ñề nêu trên, ñồng thời ta cũng có quyền ñặt ra các yêu cầu về một tính chất nào ñó khác mà một phéo kéo theo cần phải có. Một câu hỏi nẩy sinh là liệu có tồn tại một phép kéo theo mờ thỏa mãn tất cả 9 ñòi hỏi trên? Câu trả lời ñược phát biểu trong mệnh ñề sau. ðịnh lý 2.2. Một hàm 2-biến J : [0;1] 2 → [0;1] thỏa các Tiên ñề 1 – 9 về phép kéo theo mờ nếu và chỉ nếu có tồn tại một hàm liên tục ñơn ñiệu tăng thực sự f : [0;1] → [0;+∞) sao cho f(0) = 0 và J(s, t) = f −1 (f(1) – f(s) + f(t)), với ∀s, t ∈ [0;1], và N(s) = f −1 (f(1) – f(s)), với ∀s ∈ [0;1]. Trong các ví dụ ñã ñề cập ở trên, chỉ có phép kêó theo Lukasiewicz thỏa mãn cả 9 tiên ñề, với hàm phủ ñịnh mở chuẩn, t.l. N(s) = 1 – s, nghĩa là nó thỏa ðịnh lý 2.2. với hàm f là hàm ñồng nhất. Một ví dụ khác về loại phép kéo theo mờ thỏa ñịnh lý trên với hàm f ñược cho như sau: [...]... tiên và ñư c nghiên c u nhi u tác gi trong và ngoài nư c nghiên c u Zadeh xu t phát t ví d sau v phương pháp l p lu n c a con ngư i: Ti n ñ 1: N u v c a qu cà chua là ñ , thì qu cà chua là chín Ti n ñ 2: V c a qu cà chua c là r t ñ (18*) K t lu n: qu cà chua c là r t chín 74 Ti n ñ th nh t th hi n tri th c, s hi u bi t c a chúng ta, ti n ñ th hai là d ki n hay s ki n (fact) và k t lu n ñư c rút ra... thành M t cách t ng quát, lư c ñ l p lu n (18*) ñư c bi u th như sau v i A, A’, B và B’ là các t p m tương ng trên các không gian tham chi u U c a X và V c a Y, Ti n ñ 1: N u X là A, thì Y là B Ti n ñ 2: X là A’ K t lu n: Y là B’ (19*) Ti n ñ 1 bi u th m i quan h gi a hai ñ i lư ng X và Y, v i X nh n giá tr trong U và Y nh n giá tr trong V Lư c ñ l p lu n (19*) ñư c g i là quy t c c t ñuôi t ng quát... Như v y, ta suy ra B’ = 0,9/v1 + 0,7/v2 Quy t c suy lu n h p thành cũng có th ng d ng cho quy t c modus tollens t ng quát hóa có d ng lư c ñ l p lu n sau: Ti n ñ 1: N u X là A, thì Y là B Ti n ñ 2: Y là B’ K t lu n: X là A’ (24*) Lưu ý r ng nói chung B’ ≠ B Khác v i quan h hàm s , quan h m R có tính ñ i x ng gi a hai bi n X và Y, cho nên s d ng phép h p thành trên các quan h m , vi c suy lu n . trong (22 *) và (23 *), ta có quy tắc suy luận hợp thành max-T ñược ký hiệu là o T , cụ thể ta có µ B’ (v’) = ∨ u’ ∈ U T( µ A’ (u’), µ R (u’, v’)), ∀v’ ∈ V (22 *.1) và B’ = A’ T o R (23 *.1). ¬B). 2. 4 .2. Việc lựa chọn phép kéo theo mờ cho phương pháp lập luận xấp xỉ 2. 4 .2. 1. ðối với quy tắc cắt ñuối tổng quát hóa ðể thấy rõ vai trò của phép kéo theo mờ, dựa vào (22 *.1) công. người khá cao” tỷ lệ này sẽ là (lưu ý là P 2 là tập con của tập P 1 ) prC(P 1 ∩ P 2 ) = C(P 1 ∩ P 2 )/C(P 1 ) = ( ∑ ∈Oo min{A 1 (X 1 (o)), A 2 (X 2 (o))}) / ∑ ∈Oo A 1 (X 1 (o)) và giá