Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO THỊ THÚY HẰNG MỘT VÀI TÍNH CHẤT VỀ NGHỊCH ĐẢO CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO THỊ THÚY HẰNG MỘT VÀI TÍNH CHẤT VỀ NGHỊCH ĐẢO CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO THỊ THÚY HẰNG MỘT VÀI TÍNH CHẤT VỀ NGHỊCH ĐẢO CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Mở đầu Chương Một vài tính chất hệ số nhị thức 1.1 Hệ số nhị thức 1.2 Hàm tổng lũy thừa 1.3 Hàm tổng tích hệ số nhị thức 1.4 Định lý Faulhaber cho lũy thừa hệ số nhị thức Chương Một vài tính chất nghịch đảo hệ số nhị thức 11 17 2.1 Tổng nghịch đảo hệ số nhị thức 17 2.2 Tổng lũy thừa nghịch đảo hệ số nhị thức 33 Chương Một số tập hệ số nhị thức tốn phổ thơng 38 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Mở đầu Trong toán học, định lý khai triển nhị thức định lý toán học việc khai triển hàm mũ tổng Cụ thể, kết định lý việc khai triển nhị thức bậc n thành đa thức có n + số hạng: n (x + a) = n X n k=0 k x(n−k) ak với n n! = k (n − k)!k! số tổ hợp chập k n phần tử gọi hệ số nhị thức Định lý độc lập chứng minh hai người nhà tốn học học Isaac Newton tìm năm 1665 nhà toán học James Gregory tìm năm 1670 Định lý đặc biệt quan trọng, giảng dạy bậc trung học sử dụng để giải nhiều tốn liên quan Trong nhiều chủ đề, giải tích tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết số, hệ số nhị thức thường xuất cách tự nhiên đóng vai trị quan trọng Ví dụ, hệ số khai triển nhị thức hàng tam giác Pascal Trong toán tổ hợp, số Catalan dãy số tự nhiên xuất nhiều tốn đếm, dãy số Catalan có cơng thức tổng quát hệ số nhị thức Nghịch đảo hệ số nhị thức xuất nhiều tài liệu toán học nhiều kết đẳng thức nghịch đảo hệ số nhị thức tìm Tuy nhiên, ta biết khó để tính giá trị tổng nghịch đảo hệ số nhị thức Sury, Wang Zhao [5] chứng minh với λ 6= −1 có biểu diễn sau: n n−m X X λm+r n−m−r X n − m − r (−1)i λr n = (n + 1) (λ + 1)r+1 i=0 i m+1+i r r=m r=0 n X λn+1 (λ + 1)r+1 + (n + 1) (λ + 1)n+2 r=m r + (1) D H Lehmer chứng minh |x| < 1, X (2x)2m 2x √ sin−1 x 2m = m − x m m≥1 Yang Zhao tìm biểu diễn tổng ∞ X n=1 ∞ X n=1 εn n(n + k) εn n(n + k) 2n , n , 2n+k n ∞ X εn n2 (n + k) n=1 ∞ X n=1 εn n(n + k) 2n n , 2n+2k n+k , |ε| = 1, k số nguyên dương tùy ý với k > Gần đây, Dzhumadil’daev Yeliussizov khảo sát trường hợp tổng lũy thừa hệ số nhị thức với lũy thừa âm ζk (m) = −1 ∞ X i+k−1 i=1 k Mục tiêu luận văn nghiên cứu số tổng hữu hạn, số chuỗi vô hạn liên quan đến hàm nghịch đảo hệ số nhị thức Xuất phát từ lí nên em mạnh dạn chọn đề tài: “Một vài tính chất nghịch đảo hệ số nhị thức” hướng dẫn PGS TS Nông Quốc Chinh Luận văn gồm chương là: Chương 1: Một vài tính chất hệ số nhị thức Chương 2: Một vài tính chất nghịch đảo hệ số nhị thức Chương 3: Một số tập hệ số nhị thức toán phổ thơng Luận văn hồn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Nông Quốc Chinh Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nông Quốc Chinh, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Tốn - Tin, Phịng Đào Tạo, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, thầy cô giáo giúp đỡ em suốt trình học tập hồn thành luận văn cao học Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho em q trình học tập hồn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 08 tháng 07 năm 2016 Tác giả luận văn Cao Thị Thúy Hằng Chương Một vài tính chất hệ số nhị thức 1.1 Hệ số nhị thức Hệ số nhị thức định nghĩa n! , n ≥ m; n = m!(n − m)! m 0 n < m, n m số nguyên không âm Nguồn gốc tên gọi hệ số nhị thức xuất phát từ định lý quan trọng sau Định lý 1.1.1 (Định lý nhị thức) Hệ số xn−k y k khai triển (x + y)n n Nói cách khác, ta có cơng thức k n n n n n n n−1 n n−2 n n−1 (x + y) = x + x y+ x y + ··· + xy + y n−1 n Chứng minh Ta chứng minh kết phương pháp qui nạp theo n Với n = 0, công thức hiển nhiên Giả sử công thức với n Ta với n + Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có biến đổi: (x + y) n+1 n hX n r n−r i = (x + y) (x + y) = xy (x + y) r r=0 n n X X n r+1 n−r n r n−r+1 x y + xy = r r r=0 r=0 n i hn ni n n+1 h n n n = y + + xy + + x2 y n−1 0 1 n+1 h n ni n n+1 X n + r n+1−r n + ··· + + x y+ x = xy n−1 n n r r=0 Từ suy (x + y)n+1 = n+1 P r=0 n+1 r xr y n+1−r Vậy ta suy công thức với n + Tóm lại, cơng thức với số ngun khơng âm n Ta áp dụng định lý nhị thức theo nhiều cách khác để thu công thức khác liên quan đến hệ số nhị thức Ví dụ, thay x = y = 1, ta n n n n n n = + + + ··· + n−1 n Thay x = 1, y = −1, ta n n n n n n 0= − + − + · · · + (−1) n Hệ số nhị thức thỏa mãn nhiều công thức quan trọng Định lý 1.1.2 Hệ số nhị thức thỏa mãn công thức sau: n n = ; k n−k n−1 n−1 n + = ; k−1 k k n n n n n + + + ··· + = 2n n−1 n (1.1) (1.2) (1.3) Chứng minh Theo định nghĩa ta có: n! n n n! = = = k!(n − k!) (n − k)!(n − (n − k))! n−k k Xét đẳng thức n! (n − 1)! (n − 1)! = + k!(n − k)! (k − 1)!(n − k)! k!(n − k − 1)! Chia hai vế đẳng thức với (n − 1)! nhân hai vế đẳng thức với (k − 1)!(n − k − 1)!, đẳng thức trở thành n 1 = + k(n − k) n−k k Đẳng thức nên (1.2) Thay x = y = vào công thức hệ số nhị thức ta thu (1.3) 1.2 Hàm tổng lũy thừa Tổng lũy thừa số nguyên không âm liên tiếp nghiên cứu nhiều nhà toán học từ thời cổ đại, hai tên đặc biệt đáng nhớ là: Jacob Bernoulli (1654-1705) Johann Faulhaber (1580-1635) Trong lý thuyết số, số Bernoulli Bn dãy số hữu tỷ Các giá trị dãy 1 1 B0 = 1, B1 = ± , B2 = , B3 = 0, B4 = − , B5 = 0, B6 = , B7 = 0, B8 = − 30 42 30 1 Nếu giá trị B1 = − dãy số gọi dãy Bernoulli loại Nếu giá trị B1 = 2 dãy số gọi dãy Bernoulli loại hai Ta thấy Bn = với số lẻ n > Dãy Bernoulli có cơng thức đệ quy m Bm (n) = n − m−1 X k=0 m Bk (n) , k m−k+1 B0 (n) = Dãy Bernoulli loại suy từ công thức đệ quy cách lấy n = 0, dãy Bernoulli loại hai suy từ công thức đệ quy cách lấy n = Định lý 1.2.1 (Faulhaber [1]) p X p+1 k = Bj np+1−j , p + j j=0 k=1 n X p với Bj số Bernoulli, B1 = Chứng minh Đặt Sp (n) = n X kp, k=1 p số ngun khơng âm Định nghĩa hàm sinh theo biến z G(z, n) = ∞ X Sp (n) z p p! p=0 Biến đổi ∞ X n n X ∞ n X X X 1 p p G(z, n) = (kz) = (kz) = ekz p! p! p=0 k=1 k=1 p=0 k=1 = ez · − enz − enz = − ez e−z − Ta thấy G(z, n) hàm theo biến z z số phức Tiếp theo, xét hàm sinh đa thức Bernoulli Bj (x) ∞ X zezx zj = Bj (x) , ez − j! j=0 Bj = Bj (0) số Bernoulli Khai triển hàm sinh sau: ! ∞ ∞ X X (−z)j−1 (nz)l G(z, n) = Bj − j! l! j=0 l=1 ∞ X p X z (−1)j Bj np+1−j j!(p + − j)! p=0 j=0 p ∞ p Xz X j p+1 Bj np+1−j = (−1) j p! p + p=0 j=0 = Do p p X j p+1 k = (−1) Bj np+1−j p + j j=0 k=1 n X p Chú ý Bj = với j lẻ lớn Do đó, định nghĩa B1 = nhân tử (−1)j ta viết lại công thức tổng lũy thừa sau p n X X p+1 p k = Bj np+1−j p + j=0 j k=1 ta bỏ qua Ví dụ 1.2.2 n X i= i=1 n X n2 n n(n + 1) + = , 2 n3 n2 n n(n + 1)(2n + 1) + + = , 6 i=1 2 n X n4 n3 n2 n(n + 1) + + = , i = 4 i=1 n X i2 = i4 = i=1 n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1) 30 6n5 + 15n4 + 10n3 − n , 30 n X [n(n + 1)]2 (2n2 + 2n − 1) i5 = 12 i=1 = (1.4) (1.5) (1.6)