(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu

(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ KIM NGA MỘT VÀI THUẬT TOÁN CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Bài toán cân đơn điệu 1.1 1.2 Kiến thức 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Kiến thức tập lồi hàm lồi Bài toán cân 12 1.2.1 Phát biểu toán 13 1.2.2 Các trường hợp riêng toán cân 17 Hai phương pháp giải toán cân đơn điệu 23 2.1 Song hàm giả đơn điệu 23 2.2 Phép chiếu khoảng cách 28 2.3 Hai thuật toán chiếu 32 2.3.1 Phương pháp chiếu 32 2.3.2 Phương pháp chiếu tổng quát cho toán giả đơn điệu mạnh 38 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn nghiêm túc nhiệt tình GS TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy kính chúc thầy gia đình ln mạnh khỏe Tôi xin gửi lời cảm ơn thầy cô giảng dạy Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam mang lại cho tơi nhiều kiến thức bổ ích giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Tôi chân thành cảm ơn bạn đồng mơn giúp đỡ tơi q trình học tập hoàn thành luận văn trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Cuối cùng, cảm ơn Bố Mẹ vất vả tạo điều kiện cho học tập kết ngày hôm Thái Nguyên, tháng - 2014 Người viết Luận văn Lê Thị Kim Nga ii Mở đầu Bài tốn cân có nhiều ứng dụng khoa học, kỹ thuật đời sống như: vật lý (đặc biệt học), hóa học, sinh học, nơng nghiệp, qn sự, kinh tế, viễn thơng Bài tốn cân tốn tổng qt, bao gồm nhiều trường hợp riêng như: toán tối ưu, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán bất đẳng thức biến phân Do có ứng dụng rộng rãi thực tế nên nghiên cứu toán cân đưa thuật toán giải cần thiết Luận văn nhằm giới thiệu toán cân bằng, số toán quy toán cân phương pháp chiếu để giải toán cân Luận văn gồm mục lục, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Nhắc lại khái niệm, kết không gian Hilbert, tập lồi, hàm lồi, sử dụng chương sau Tiếp theo giới thiệu toán cân trường hợp riêng Chương 2: Ta tìm hiểu hai phương pháp chiếu để giải toán cân đơn điệu Trong phần này, trước hết trình bày song hàm giả đơn điệu phương pháp chiếu khoảng cách Trong phương pháp chiếu khoảng cách ta tìm hiểu hai phương pháp chiếu: phương pháp chiếu bản, phương pháp chiếu tổng quát thuật toán tương ứng Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp quý thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Chương Bài toán cân đơn điệu Trong chương ta trình bày khái niệm không gian Hilbert Ta nhắc lại số kiến thức giải tích lồi Tiếp theo, ta phát biểu toán cân trường hợp riêng toán cân Kiến thức trình bày chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Kiến thức 1.1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian tuyến tính trường số thực R Một tích vơ hướng H ánh xạ ký hiệu h., i : H × H → R, có tính chất sau 1) hx, xi > x 6= 0; hx, xi = ⇔ x = 0, ∀x ∈ H; 2) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ H; 3) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ H; 4) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R; 5) hx, xi = kxk2 = hx, xi , ∀x ∈ H Tích vơ hướng liên hệ với độ dài (chuẩn) véc-tơ hệ thức (5) Khi đó, khơng gian tuyến tính Hh., i gọi khơng gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.2 Không gian đầy đủ không gian mà dãy Cauchy hội tụ Định nghĩa 1.3 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1 Khơng gian L2 (E, µ) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Z hx, yi = x(t)y(t)dµ E Tích phân tồn hữu hạn Z Z |xy| ≤ E x
21 E Z y2
12 < ∞ E L Ví dụ 1.2 Khơng gian C[a,b] gồm tất hàm liên tục đoạn [a, b] với phép tốn tuyến tính thơng thường với tích vơ hướng Z b hx, yi = x(t)y(t)dt a khơng gian tiền Hilbert khơng đủ Ví dụ 1.3 Không gian l2 với chuẩn kxk = ∞ X |ξn |2
21 < +∞, x = (ξ1 , ξ2 , ξn , ) n=1 không gian Hilbert Nhận xét 1.1 Khơng gian tiền Hilbert có tính chất sau i) Tính chất hình bình hành kx + yk2 + kx − yk2 = kxk2 + kyk2 ;
ii) Bất đẳng thức Schwars khx, yik ≤ kxk.kyk; iii) Tích vơ hướng hx, yi hàm số liên tục biến x y Ánh xạ co nguyên lý điểm bất động Định nghĩa 1.4 Cho C tập khác rỗng không gian tiền Hilbert thực H Một hàm f : C → H gọi ánh xạ co trên, tồn θ < cho f (x) phần tử ứng với x ánh xạ f với x1 , x2 ∈ C ta có ρ(f (x1 ), f (x2 )) ≤ θρ(x1 , x2 ), ρ(x, y) = kx − yk gọi "khoảng cách x y " Một phép ánh xạ f có điểm mà ảnh trùng với nó: f (x) = x gọi điểm bất động ánh xạ Ví dụ 1.4 Cho hàm f : R → R với x ∈ R ta có f (x) = 12 x ánh xạ co, với θ = 12 Định lý 1.1 (Định lý Banach) Mọi ánh xạ co P từ không gian Hilbert thực H vào thân có điểm bất động Chứng minh Lấy điểm x0 ∈ H điểm x1 = P x0 , x2 = P x1 , , xn = P xn−1 , Theo định nghĩa ánh xạ co ρ(xn , xn+1 ) = ρ(P xn−1 , P xn ) ≤ θρ(xn−1 , xn ), ρ(xn−1 , xn ) ≤ θρ(xn−2 , xn−1 ), ρ(x1 , x2 ) ≤ θρ(x0 , x1 ), từ suy với n ta có ρ(xn , xn+1 ) ≤ θn ρ(x0 , x1 ) Vậy m > n, ta có ρ(xn , xm ) ≤ ρ(xn , xn+1 ) + ρ(xn+1 , xn+2 ) + + ρ(xm−1 , xm ) ≤ (θn + θn+1 + + θm−1 )ρ(x0 , x1 ) ≤ ∞ X (θk )ρ(x0 , x1 ) = k=n θn ρ(x0 , x1 ) 1−θ Vì θ < nên ρ(xn , xm ) → n, m → ∞, tức {xn } dãy Cauchy H H khơng gian Hilbert nên {xn } phải dần tới giới hạn x Ta có xn = P xn−1 mà xn → x, P xn−1 → P x ρ(P xn−1 , P x) ≤ θρ(xn−1 , x) → Vậy P x = x, nghĩa x điểm bất động Đó điểm bất động y điểm bất động ρ(x, y) = ρ(P x, P y) ≤ θρ(x, y) Với θ < điều xảy ρ(x, y) = tức x = y 1.1.2 Kiến thức tập lồi hàm lồi Định nghĩa 1.5 Cho dãy {xn }n≥0 x0 nằm khơng gian Hilbert thực H Khi i) Dãy {xn } gọi hội tụ mạnh tới x0 ký hiệu xn → x0 lim kxn − x0 k = 0; n→+∞ ii) Dãy {xn } gọi hội tụ yếu tới x0 ký hiệu xn * x0 lim hw, xn i = hw, x0 i, ∀w ∈ H; n→+∞ iii) Điểm x0 gọi điểm tụ mạnh (yếu) dãy {xn } từ dãy lấy dãy hội tụ mạnh (yếu) đến x0 Mệnh đề 1.1 i) Nếu dãy {xn } hội tụ mạnh đến x0 {xn } hội tụ yếu đến x0 ; ii) Nếu dãy {xn } hội tụ yếu tới x0 lim kxn k = kx0 k dãy {xn } hội n→+∞ tụ đến x0 ; iii) Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) bị chặn giới hạn tồn nhất; iv) Nếu không gian Hilbert thực H hữu hạn chiều hội tụ mạnh, yếu tương đương; v) Nếu {xn }n≥0 dãy bị chặn không gian Hilbert H ta lấy dãy từ dãy {xn } dãy hội tụ yếu; vi) Nếu {xn }n≥0 dãy bị chặn khơng gian Hilbert hữu hạn chiều H ta lấy dãy hội tụ mạnh Định nghĩa 1.6 Một đường thẳng qua hai điểm (hai véc-tơ) a, b không gian Hilbert thực H tập hợp tất véc-tơ x ∈ H có dạng {x ∈ H : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1} Định nghĩa 1.7 Đoạn thẳng nối hai điểm a b không gian Hilbert thực H tập hợp véc-tơ x có dạng {x ∈ H : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} Định nghĩa 1.8 Cho tập C khơng gian Hilbert thực H, ta xét tốn tử F : C → C gọi toán tử đơn điệu hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C Ví dụ 1.5 Cho toán tử F xác định R sau F (x) = x, ∀x ∈ R Khi F tốn tử đơn điệu với x, y thuộc R ta có hF (x) − F (y), x − yi = (x − y)2 ≥ 0, ∀x, y ∈ R Định nghĩa 1.9 Trong không gian Hilbert thực H tập D ⊆ H gọi tập lồi D chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức D lồi ∀x, y ∈ H, λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ D Hình 1.1: Đa diện lồi Định nghĩa 1.10 Tập M ⊆ Rn gọi tập affine (hay đa tạp tuyến tính) (1 − λ)a + λb ∈ M với a ∈ M, b ∈ M với λ ∈ R, tức M chứa trọn đường thẳng qua hai điểm Nhận xét 1.2 Nếu M tập affine a ∈ Rn i) a + M = a + x : x ∈ M tập affine ii) M tập affine chứa gốc M không gian con, nghĩa a, b ∈ M điểm λa + µb thuộc M với λ, µ ∈ R Định nghĩa 1.11 Điểm x ∈ H có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn λ1 + λ2 + + λk = gọi tổ hợp affine điểm a1 , a2 , , ak Nhận xét 1.3 i) M tập affine M chứa tổ hợp affine phần tử ii)Giao họ tập affine tập affine Cho E tập Rn , có tập affine chứa E , cụ thể Rn Định nghĩa 1.12 Giao tất tập affine chứa E gọi bao affine E ký hiệu af f E Đó tập affine nhỏ chứa E Ta thấy x ∈ af f E x tổ hợp affine phần tử thuộc E Định nghĩa 1.13 Một tập D gọi nón ∀λ > 0, ∀x ∈ D ⇒ λx ∈ D ... như: toán tối ưu, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán bất đẳng thức biến phân Do có ứng dụng rộng rãi thực tế nên nghiên cứu toán cân đưa thuật toán giải cần thiết Luận văn nhằm giới thiệu toán. .. Phát biểu toán 13 1.2.2 Các trường hợp riêng toán cân 17 Hai phương pháp giải toán cân đơn điệu 23 2.1 Song hàm giả đơn điệu 23 2.2 Phép chiếu khoảng... theo giới thiệu toán cân trường hợp riêng Chương 2: Ta tìm hiểu hai phương pháp chiếu để giải toán cân đơn điệu Trong phần này, trước hết trình bày song hàm giả đơn điệu phương pháp chiếu khoảng