Anh văn chuyên ngành sp toán học kiểm tra giữa kì

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM Anh văn chun ngành SP Tốn học Kiểm tra kì Nhóm 07 Sinh viên: Lê Thị Phương Thúy B2007582 Đỗ Thị Minh Thư B2007583 Nguyễn Thị Yến B2007591 Trần Minh Khởi B2100256 Lê Ngọc Thảo Vy B2007589 GVHD: TS Bùi Anh Kiệt 13.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Nhiều phép tốn tốn học có đảo ngược cộng trừ, nhân chia, lũy thừa Bây biết cách tìm đạo hàm nhiều hàm Phép toán đảo ngược, nguyên hàm ( tái tạo lại hàm từ đạo hàm nó), ý phần hai phần NGUYÊN HÀM Hàm F nguyên hàm hàm f 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) Hàm 𝐹(𝑥) = 𝑥3 nguyên hàm hàm 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑑 𝑥3 ( ) = 𝑥2 𝑑𝑥 Tuy nhiên, F(x) nguyên hàm x2 Lưu ý 𝑑 𝑥3 𝑑 𝑥3 𝑑 𝑥3 2 ( + 2) = 𝑥 ( − 𝜋) = 𝑥 ( + √5) = 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Vì 𝑥3 𝑥3 𝑥3 +2 −𝜋 + √5 3 Cũng nguyên hàm 𝑥 đạo hàm 𝑥 Trong thực tế, xuất 𝑥3 +𝐶 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑠ố 𝑡ℎự𝑐 𝐶 Là đạo hàm 𝑥 𝑑 𝑥3 ( + 𝐶) = 𝑥 𝑑𝑥 Nguyên hàm hàm khơng đưa hàm nhất, mà tồn họ hàm Biểu thức 𝑥3 +𝐶 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑠ố 𝑡ℎự𝑐 𝐶 có bao gồm tất nguyên hàm 𝑥 khơng ? Định lí (phát biểu mà không cần chứng minh) câu trả lời có ĐỊNH LÍ 1: Ngun hàm Nếu đạo hàm hai hàm số khoảng mở (a, b), hàm khác nhiều số Ký hiệu, F G hàm số khả vi khoảng (a, b) 𝐹 ′ (𝑥) = 𝐺 ′ (𝑥) với x thuộc (a, b) 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝑘 với k số TÌM HIỂU KHÁI NIỆM Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) Nếu G(x) nguyên hàm f(x), theo định lí 1, đồ thị G(x) phép tịnh tiến theo phương đứng đồ thị F(x) (xem mục 2.2) VÍ DỤ 1: Một họ nguyên hàm Lưu ý 𝑑 𝑥2 ( )=𝑥 𝑑𝑥 (A) Tìm tất nguyên hàm 𝑓(𝑥) = 𝑥 (B) Vẽ đồ thị nguyên hàm 𝑓(𝑥) = 𝑥 qua điểm (0, 0); qua điểm (0, 1); qua điểm (0, 2) (C) Đồ thị ba nguyên hàm phần B có liên quan nào? GIẢI PHÁP (A) Theo định lí 1, nguyên hàm f(x) có dạng 𝑥2 𝐹(𝑥) = +𝑘 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑠ố 𝑡ℎự𝑐 𝑘 02 (B) Vì 𝐹(0) = + 𝑘 = 𝑘 nên hàm 𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝐹1 (𝑥) = +1 𝐹2 (𝑥) = +2 2 Lần lượt qua điểm (0, 0); (0, 1) (0, 2) (xem hình 1) 𝐹0 (𝑥) = Hình (C) Đồ thị ba hàm nguyên hàm phép tịnh tiến dọc Vấn đề tương tự Lưu ý 𝑑 (𝑥 ) = 3𝑥 𝑑𝑥 (A) Tìm tất nguyên hàm 𝑓(𝑥) = 3𝑥 (B) Vẽ đồ thị nguyên hàm 𝑓(𝑥) = 3𝑥 qua điểm (0, 0); qua điểm (0, 1); qua điểm (0, 2) (C) Đồ thị ba nguyên hàm phần B có liên quan nào? GIẢI PHÁP (A) Theo định lí 1, nguyên hàm f(x) có dạng 𝐹(𝑥) = 𝑥 + 𝑘 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑠ố 𝑡ℎự𝑐 𝑘 (B) Vì 𝐹(0) = 03 + 𝑘 = 𝑘 nên hàm 𝐹0 (𝑥) = 𝑥 𝐹1 (𝑥) = 𝑥 + 𝐹2 (𝑥) = 𝑥 + Lần lượt qua điểm (0, 0); (0, 1) (0, 2) (xem hình 2) Hình (C) Đồ thị ba hàm nguyên hàm phép tịnh tiến dọc TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH: CƠNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT Định lí phát biểu đạo hàm hai hàm số nhau, hai hàm số khác nhiều số Chúng ký hiệu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Được gọi tích phân bất định, để biểu diễn họ tất nguyên hàm f(x), viết ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 𝑛ế𝑢 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) Ký hiệu ∫ gọi dấu tích phân, hàm f(x) gọi hàm dấu tích phân Ký hiệu dx trình nguyên hàm thực biến x (Chúng ta nói nhiều ký hiệu ∫ dx phần sau chương) Hằng số tùy ý C gọi số tích phân Đề cập đến thảo luận trước, ta viết 𝑥3 𝑑 𝑥3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = + 𝐶 𝑡ừ ( ) = 𝑥2 𝑑𝑥 Tất nhiên, biến khác với x sử dụng tích phân khơng xác định Ví dụ, 𝑡3 𝑑 𝑡3 ∫ 𝑡 𝑑𝑡 = + 𝐶 𝑡ừ ( ) = 𝑡2 𝑑𝑡 Hoặc 𝑢3 𝑑 𝑢3 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = + 𝐶 𝑡ừ ( ) = 𝑢2 𝑑𝑢 Thực tế tích phân vi phân khơng xác định phép toán ngược lại, ngoại trừ phép cộng số tích phân, biểu diễn ký hiệu sau 𝑑 𝑑𝑥 [∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥] = 𝑓(𝑥) đạo hàm tích phân f(x) f(x) Và ∫ 𝐹 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 tích phân bất định đạo hàm F’(x) F(x)+C Chúng ta phát triển cơng thức cho tích phân bất định số hàm từ công thức đạo hàm chương CƠNG THỨC TÍCH PHÂN KHƠNG XÁC ĐỊNH CỦA CÁC HÀM CƠ BẢN Đối với số C ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 𝑥 +𝐶 𝑛 ≠ −1 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 + 𝐶 ∫ 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 𝑥 𝑥≠0 Công thức liên quan đến logarit tự nhiên giá trị tuyệt đối x Mặc dù hàm logarit tự nhiên xác định cho a > Đồ thị biểu thị hình 2A Lưu ý f(x) giảm x > tăng x < Do đạo hàm f, theo công thức số 𝑓 ′ (𝑥) = , âm với x < dương với x > (xem hình 2B) 𝑥 HÌNH Để chứng minh cho ba công thức, đạo hàm vế phải tích phân vế trái (xem toán 75 – 78 tập 13.1) Lưu ý công thức số không đưa nguyên hàm 𝑥 −1 ( 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 có KHÁM PHÁ VÀ THẢO LUẬN khơng xác định n = - 1), công thức số (E) Nếu 𝑢 = 𝑥 + 5, 𝑑𝑢 = 3𝑥 𝑑𝑥 và, chia hai vế cho 3, 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 3 Trong tích phân, thay 𝑥 + 𝑢 thay 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢: ∫ 4𝑥 √𝑥 3 + 5𝑑𝑥 = ∫ 4√𝑢( 𝑑𝑢) Di chuyển yếu tố liên tục qua dấu tích phân = ∫ √𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢1/2 𝑑𝑢 Sử dụng công thức 4 𝑢3/2 = ∙ +𝐶 3 3/2 = 𝑢 +𝐶 = (𝑥 + 5)3/2 + 𝐶 Vì 𝑢 = 𝑥 + Kiểm tra 𝑑 𝑑 [ (𝑥 + 5)3/2 ] = (𝑥 + 5)1/2 (𝑥 + 5) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = (𝑥 + 5)1/2 (3𝑥 ) = 4𝑥 √𝑥 + Vấn đề tương tự 5: Tích phân (A) ∫ 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 𝑥 (B) ∫ 𝑑𝑥 𝑥 −9 (C) ∫ 5𝑡 (𝑡 + 4)−2 𝑑𝑡 Ngay khơng thể tìm phép thay làm cho tích phân khớp với cơng thức tích phân cách xác, thay đơn giản hóa điều kiện tích phân cách khoa học để kỹ thuật khác sử dụng 𝑥 Ví dụ 6: phương pháp Tìm ∫ √𝑥+2 𝑑𝑥 Lời giải: Tiếp tục trên, cho 𝑢 = 𝑥 + 2, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑢 √𝑥 + √𝑢 Lưu ý thay khơng hồn chỉnh khơng thể hàm lấy tích phân hồn tồn 𝑢 𝑑𝑢 Như lưu ý trước đó, có yếu tố khơng đổi di chuyển qua dấu tích phân, khơng thể di chuyển 𝑥 ngồi dấu tích phân Thay vì, phải quay lại thay ban đầu, giải 𝑥 theo 𝑢 sử dụng phương trình kết để hồn thành thay thế: 𝑢 = 𝑥 + Giải 𝑥 theo 𝑢 𝑢−2=𝑥 Thay biểu thức cho 𝑥 Thật vậy, 𝑥 ∫ √𝑥+2 𝑑𝑥 = ∫ =∫ 𝑢−2 √𝑢 𝑢−2 Đơn giản hóa tích phân 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑢1/2 1/2 = ∫(𝑢 − 2𝑢−1/2 )𝑑𝑢 = ∫ 𝑢1/2 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢−1/2 𝑑𝑢 = 𝑢3/2 −2 𝑢1/2 +𝐶 = (𝑥 + 2)3/2 − 4(𝑥 + 2)1/2 + 𝐶 Kiểm tra Vì 𝑢 = 𝑥 + 𝑑 [ (𝑥 + 2)3/2 − 4(𝑥 + 2)1/2 ] = (𝑥 + 2)1/2 − 2(𝑥 + 2)−1/2 𝑑𝑥 𝑥+2 = − 1/2 1/2 = (𝑥+2) 𝑥 (𝑥+2) (𝑥+2)1/2 Vấn đề tương tự 6: Tìm ∫ 𝑥√𝑥 + 𝑑𝑥 Chúng ta tìm tích phân bất định số hàm theo nhiều cách Cho ví dụ, sử dụng thay để tìm ∫ 𝑥(1 + 𝑥 )2 𝑑𝑥 cách đặt 𝑢 = + 𝑥 Là cách tiếp cận thứ hai, mở rộng tích phân, ta ∫(𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 )𝑑𝑥 Vấn đề tương ứng Tìm ∫ 𝑥 √𝑥 + 𝑑𝑥 Chúng ta tìm thấy tích phân bất định số hàm nhiều cách khác Ví dụ sử dụng phương pháp để tìm ∫ 𝑥(1 + 𝑥 )2 𝑑𝑥 Bằng cách đặt 𝑢 = + 𝑥 Như cách tiếp cận thứ 2, khai triển hàm dấu tích phân thu ∫ 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥 Từ ta dễ dàng tìm nguyên hàm Trong trường hợp vậy, bạn chọn cách tiếp cận mà bạn thấy phù hợp Cũng có nhiều hàm số mà theo phương pháp phương pháp hiệu để tìm tích phân bất định Ví dụ , trường hợp phương pháp khơng có ích ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 , ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 Áp dụng Ví dụ (giá - nhu cầu) Bộ phận nghiên cứu thị trường chuỗi siêu thị xác định rằng, cửa hàng , giá cận biên 𝑝′ (𝑥) x tuýp tuần cho nhãn hiệu kem đánh định đưa 𝑝′ (𝑥) = −0,015𝑒 −0,01𝑥 Tìm phương trình giá - nhu cầu nhu cầu hàng tuần 50 tuýp giá 4,35 Tìm nhu cầu hàng tuần giá tuýp 3,89 đô Lời giải 𝑝(𝑥) = ∫ −0,015𝑒 −0,01𝑥 𝑑𝑥 = −0,015 ∫ 𝑒 −0,01𝑥 𝑑𝑥 = −0,015 ∫ 𝑒 −0,01𝑥 = −0,015 −0,01 −0,01 −0,01 𝑑𝑥 ∫ 𝑒 −0,01𝑥 (−0,01) 𝑑𝑥 Thay u =-0,01x du =-0,01 dx = 1,5 ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 1,5 𝑒 𝑢 + 𝐶 = 1,5 𝑒 −0,01𝑥 + 𝐶 Vì u = -0,01x Chúng ta tìm C ý 𝑝(50) = 1,5 𝑒 −0,01(50) + 𝐶 = 4,35 𝐶 = 4,35 − 1,5 𝑒 −0,5 = 4,35 − 0,91 = 3,44 Nên, 𝑝(𝑥) = 1,5 𝑒 −0,01𝑥 + 3,44 Để tìm nhu cầu giá 3,89 đô, ta giải 𝑝(𝑥) = 3,89 với x : 1,5 𝑒 −0,01𝑥 + 3,44 = 3,89 1,5 𝑒 −0,01𝑥 = 0,45 𝑒 −0,01𝑥 = 0,3 −0,01𝑥 = 𝑙𝑛 0,3 𝑥 = −100 𝑙𝑛 0,3 ≈ 120 𝑡𝑢ý𝑝 Vấn đề tương ứng giá cận biên 𝑝′ (𝑥) mức cung x tuýp tuần cho nhãn hiệu kem đánh định đưa 𝒑′ (𝒙) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒆𝟎,𝟎𝟏𝒙 Tìm phương trình giá-cung nhà cung cấp sẵn sàng cung cấp 100 ống tuần với mức giá $3,65 tuýp Nhà cung cấp sẵn sàng cung cấp tuýp mức giá $3,98 tuýp? Chúng ta kết luận với hai cảnh báo cuối Điều nêu trước đó, có giá trị lặp lặp lại Cảnh báo Một biến khơng thể di chuyển qua dấu tích phân Một tích phân phải biểu diễn hồn tồn dạng u du trước áp dụng công thức tích phân 4, Bài tập 13.2 Bài tập khởi động kĩ Trong vấn đề 1- sử dụng qui tắc dây chuyền để tìm đạo hàm hàm (nếu cần , xem lại mục 11.4) 𝑓(𝑥) = (5𝑥 + 1)10 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓(𝑥) = (4𝑥 − 3)6 𝑓(𝑥) = 6𝑒 𝑥 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)7 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 − 10) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 4)5 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + 5𝑥 + 4) Trong vấn đề 9-44, tìm tích phân bất định hàm kiểm tra kết cách lấy vi phân Trong vấn đề 45-50, tích phân bất định tìm nhiều cách Trước tiên ta sử dụng phương pháp để tìm sau tìm cách khác khơng dùng phương pháp So sánh đáp án tương đương hai cách 45.∫ 5(5𝑥 + 3)𝑑𝑥 48.∫ 3𝑥 (𝑥 + 1)𝑑𝑥 46.∫ −7(4 − 7𝑥)𝑑𝑥 49.∫ 5𝑥 (𝑥 )4 𝑑𝑥 47.∫ 2𝑥(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 50.∫ 8𝑥 (𝑥 )3 𝑑𝑥 51 𝐹(𝑥) = 𝑥 𝑒 𝑥 nguyên hàm 𝑓(𝑥) = 2𝑥𝑒 𝑥 khơng? Giải thích 52 𝐹(𝑥) = 𝑥 nguyên hàm 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 phải khơng? Giải thích 53 𝐹(𝑥) = (𝑥 + 4)6 nguyên hàm 𝑓(𝑥) = 12𝑥(𝑥 + 4)5 phải khơng? Giải thích 54 𝐹(𝑥) = (𝑥 − 1) 100 nguyên hàm 𝑓(𝑥) = 200𝑥(𝑥 − 1) 99 phải khơng? Giải thích 55 𝐹(𝑥) = 𝑒 2𝑥 + nguyên hàm 𝑓(𝑥) = 𝑒 2𝑥 phải khơng? Giải thích 56 𝐹(𝑥) = − 0,2𝑒 −5𝑥 nguyên hàm 𝑓(𝑥) = 𝑒 −5𝑥 phải khơng? Giải thích 57.𝐹(𝑥) = 0,5(ln 𝑥) + 10 nguyên ln 𝑥 hàm 𝑓(𝑥) = 𝑥 phải khơng? Giải thích 58 𝐹(𝑥) = ln(ln 𝑥) nguyên hàm 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 phải khơng? Giải thích Trong vấn đề 59-70, tìm tích phân bất định hàm kiểm tra kết cách lấy vi phân 𝑥3 59.∫ 𝑥√3𝑥 + 7𝑑𝑥 65.∫ 𝑑𝑥 √2𝑥 +3 60 ∫ 𝑥 √2𝑥 + 1𝑑𝑥 66 ∫ 61.∫ 𝑥( 𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 67 ∫ 𝑥2 √4𝑥 −1 (𝑙𝑛 𝑥)3 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 62 ∫ 𝑥( 𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 68 ∫ 63 ∫ 𝑥 ( 𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 69 ∫ 64 ∫( 𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 70 ∫ 𝑒𝑥 𝑥+𝑒 𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 𝑒 −1/𝑥 𝑑𝑥 𝑥.ln 𝑥 𝑑𝑥 Trong vấn đề 71-76, tìm họ tất nguyên hàm đạo hàm 𝑑𝑥 71 𝑑𝑡 = 7𝑡 (𝑡 + 5)6 𝑑𝑚 72 𝑑𝑛 𝑑𝑦 73 𝑑𝑡 = 10𝑛(𝑛2 − 8)7 = 3𝑡 √𝑡 −4 74 75 76 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑝 𝑑𝑥 𝑑𝑚 𝑑𝑡 = = = 5𝑥 (𝑥 −7)2 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 (𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 )2 ln(𝑡−5) 𝑡−5 77 Phương trình giá - nhu cầu Giá cận biên cho nhu cầu hàng tuần x chai dầu gội hiệu thuốc đưa −6000 𝑝′ (𝑥) = (3𝑥 + 50)2 Tìm phương trình giá - nhu cầu nhu cầu hàng tuần 150 giá chai dầu gội đô Nhu cầu hàng tuần giá dầu gội 6,5 đơ? 78 Phương trình giá cả- cung ứng Giá cận biên mức cung ứng x chai nước giặt tuần đưa 300 𝑝′ (𝑥) = (3𝑥 + 25)2 Tìm phương trình giá - cung ứng nhà phân phối chất tẩy rửa sẵn sàng cung cấp 75 chai tuần với mức giá đô chai Nhà cung cấp sẵn sàng cung cấp chai mức giá 5,15 đô chai? 79 Hàm giá Giá cận biên hàng tuần để sản xuất x đôi giày tennis đưa 500 𝐶 ′ (𝑥) = 12 + 𝑥+1 Trong C(x) tính đơn vị đơ.Nếu chi phí cố định 2000 tuần, tìm hàm chi phí Chi phí trung bình cho đơi giày 1000 đơi giày sản xuất tuần? 80 Hàm doanh thu Doanh thu cận biên hàng tuần từ bán x đôi giày tennis đưa 200 𝑅 ′ (𝑥) = 40 − 0,02𝑥 + 𝑥+1 𝑅(0) = 𝑅(𝑥) doanh thu tính la Tìm hàm doanh thu Tìm doanh thu từ việc bán 1.000 đơi giày 81 Tiếp thị Một công ty ô tô chuẩn bị để giới thiệu dòng xe hybrid thơng qua chiến dịch bán hàng tồn quốc Sau thử nghiệm tiếp thị dòng sản phẩm thành phố lựa chọn cẩn thận, phận nghiên cứu tiếp thị ước tính doanh số (tính triệu đô la) tăng với tốc độ hàng tháng t tháng sau chiến dịch bắt đầu 𝑆 ′ (𝑡) = 10 − 10𝑒 −0,1𝑡 ≤ 𝑡 ≤ 24 (A) Tổng doanh số bán hàng 𝑆(𝑡) t tháng sau bắt đầu chiến dịch quốc gia cho không bán hàng bắt đầu chiến dịch? (B) Tổng doanh thu ước tính 12 tháng chiến dịch ? (C) Khi tổng doanh thu ước tính đạt 100 triệu đô la? Sử dụng máy tính vẽ đồ thị để tính gần câu trả lời làm tròn tới chữ số thập phân 82 Tiếp thị Lặp lại vấn đề 81 tốc độ tăng sản lượng hàng tháng xấp xỉ 𝑆 ′ (𝑡) = 20 − 20𝑒 −0,05𝑡 ≤ 𝑡 ≤ 24 83 Sản xuất dầu mỏ Sử dụng liệu sản xuất địa chất, quản lý cơng ty dầu mỏ ước tính dầu bơm từ cánh đồng sản xuất với tốc độ cho trước 100 𝑅(𝑡) = + ≤ 𝑡 ≤ 20 𝑡+1 𝑅(𝑡) tốc độ sản xuất (tính theo đơn vị nghìn năm) t năm sau bắt đầu bơm Bao nhiêu thùng dầu 𝑄(𝑡) mà mỏ sản xuất t năm 𝑄(𝑡) = 0? Có thùng sản xuất năm 84 Sản xuất dầu mỏ giả sử tốc độ vấn đề 83 đưa 120𝑡 𝑅(𝑡) = + ≤ 𝑡 ≤ 20 𝑡 +1 A Khi tốc độ sản xuất lớn B Có thùng dầu sản xuất t tháng đầu 𝑄(𝑡) = 0? Có thùng sản xuất năm 85 Sinh học Một nấm men sống phát triển với tốc độ 𝑤 ′ (𝑡) = 0,2𝑒 0,1𝑡 gam Nếu ban đầu nấm men nặng gram, trọng lượng nấm men 𝑊(𝑡) sau t giờ? Sau giờ? 86 Y học Tỷ lệ chữa lành vết thương ngồi da (tính centimet vng ngày) tính gần 𝐴′ (𝑡) = −0,9𝑒 −0,1𝑡 Nếu vết thương ban đầu có diện tích cm vng diện tích 𝐴(𝑡) sau t ngày? Sau ngày? 87 Ơ nhiễm Một hồ nước bị nhiễm xử lý chất diệt khuẩn Tốc độ gia tăng vi khuẩn có hại t ngày sau điều trị cho 𝑑𝑁 2000𝑡 =− + ≤ 𝑡 ≤ 10 𝑑𝑡 𝑡 +1 𝑁(𝑡) số lượng vi khuẩn 𝑑𝑁 mililit nước Vì 𝑑𝑡 âm nên số lượng vi khuẩn có hại giảm dần 𝑑𝑁 (A) Tìm giá trị nhỏ 𝑑𝑡 (B) Nếu số lượng ban đầu 5000 vi khuẩn mililit, tìm 𝑁(𝑡) tìm lượng vi khuẩn sau 10 ngày (C) Khi (đến hai chữ số thập phân) số lượng vi khuẩn 1000 vi khuẩn mililit? 88 Ô nhiễm Một tàu chở dầu mắc cạn rạn san hô dò dầu tạo vết dầu loang tỏa bên với tốc độ cho trước xấp xỉ 𝑑𝑅 60 = 𝑡≥0 𝑑𝑡 √𝑡 + Trong R bán kính (tính feet) vết loang trịn sau t phút Tìm bán kính vết dầu loang sau 16 phút bán kính t = 89.Học tập Một học sinh trung bình đăng ký lớp đánh máy nâng cao tiến triển với tốc độ 𝑁 ′ (𝑡) = 6𝑒 −0,1𝑡 từ phút tuần, t tuần sau đăng ký khóa học 15 tuần Nếu, bắt đầu khóa học, sinh viên gõ 40 từ phút, học sinh dự kiến gõ từ phút sau t tuần khóa học? Sau hồn thành khóa học? 90 Học tập Một học sinh trung bình ghi danh vào lớp viết rập tiến triển với tốc độ 𝑁 ′ (𝑡) = 12𝑒 −0,06𝑡 từ phút tuần, t tuần sau đăng ký khóa học 15 tuần Nếu, bắt đầu khóa học, sinh viên đánh từ phút, học sinh dự kiến xử lí từ phút sau t tuần khóa học? Sau hồn thành khóa học? Sau hồn thành khóa học? 91 Tuyển sinh đại học Tỷ lệ gia tăng dự kiến tuyển sinh trường đại học ước tính 𝑑𝐸 = 5000(𝑡 + 1)−3/2 𝑡 ≥ 𝑑𝑡 (E) số người đăng ký dự kiến t năm Nếu số lượng đăng ký 2000 (t = 0), tìm số lượng đăng ký dự kiến 15 năm