SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài 120[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: TỐN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn) Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18 tháng năm 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang Câu I (2,0 điểm) Cho ba số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện Chứng minh ba số Cho có số ba số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện Tính giá trị biểu thức: Câu II (2,0 điểm) Giải hệ phương trình Giải hệ phương trình Câu III (2,0 điểm) Tìm cặp số nguyên thỏa mãn Chứng minh ) Câu IV (3,0 điểm) , , số tự nhiên thỏa mãn , chia hết cho Cho tam giác ( với nhọn có Đường thẳng Vè phía ngồi tam giác cắt đoạn thẳng , đường thẳng dựng hình vng cắt đoạn thẳng Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Gọi trung điểm đoạn thẳng Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường thẳng cắt cắt đường thẳng ( khác Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ) Các tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt Chứng minh bốn điểm thẳng hàng Câu V (2,0 điểm) Trên đường tròn người ta lấy điểm phân biệt, điểm tô màu xanh màu đỏ xem kẻ Tại điểm người ta ghi số thực khác cho quy tắc sau thỏa mãn “số điểm màu xanh tổng hai số ghi điểm màu đỏ kề nó, số ghi điểm màu đỏ tích hai số ghi điểm màu xanh kề nó” Tính tổng số - HẾT Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 - Trang | 1- LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: TỐN CHUN Câu I.1 Cho EMBED Equation.DSMT4 ba số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện EMBED Lời giải Chứng minh ba số EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 có số EMBED Equation.DSMT4 Xét tích Từ Suy Vậy ba số có số Câu I.2 Cho EMBED Equation.DSMT4 ba số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện EMBED Lời giải Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 Tính giá trị biểu thức : Ta thấy, với ba số tùy ý EMBED Equation.DSMT4 Do đó, Đặt từ giả thiết suy Mặt khác, theo giả thiết ta có Vậy hoặc Nếu Tương tự Vậy suy Theo suy , suy Câu II.1 Giải hệ phương trình EMBED Equation.DSMT4 Lời giải Điều kiện xác định - Nếu phương trình vơ nghiệm hai vế trái dấu - Nếu phương trình tương đường với Đặt phương trình trở thành Khi Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 (do - Trang | 2- ) Kết hợp điều kiện có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình cho có hai nghiệm Câu II.2 Giải hệ phương trình EMBED Equation.DSMT4 Lời giải Nhân phương trình đầu với trừ phương trình thứ hai vế với vế ta - Nếu Với , thay vào phương trình đầu ta suy Với , nên hệ phương trình có nghiệm suy , nên hệ phương trình có nghiệm - Nếu , thay vào phương trình đầu ta Vậy hệ phương trình có , Câu III nghiệm , , Lời giảithỏa mãn EMBED Equation.DSMT4 Tìm cặp số nguyên EMBED Equation.DSMT4 Chứng minh EMBED Equation.DSMT4 ( với EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 số tự nhiên thỏa mãn EMBED 1.Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) EMBED Equation.DSMT4 chia hết cho TH1: giá trị TH2: , ta có thỏa mãn , mà số nguyên nên hai số phương liên tiếp Suy không tồn số nguyên thỏa mãn TH3: , mà , ta có hai số phương liên tiếp Suy khơng tồn số nguyên TH4: số nguyên nên và thỏa mãn Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 - Trang | 3- TH5: TH6: Vậy cặp số nguyên thỏa mãn Vì mà Đặt ( với TH1: nên , , , có tận số tự nhiên thỏa mãn ), có tận 6, suy TH2: tận (2) (1) có tận ( , hay có tận ) Suy có Khi Từ (1) (2) ta điều phải chứng minh Câu IV Cho tam giác EMBED Equation.DSMT4 nhọn có EMBED Equation.DSMT4 Vè phía Lờicác giảihình vng EMBED Equation.DSMT4 ngồi tam giác EMBED Equation.DSMT4 dựng 1.EMBED Equation.DSMT4 Đường thẳng EMBED Equation.DSMT4 cắt đoạn thẳng EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , đường thẳng EMBED Equation.DSMT4 cắt đoạn thẳng EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 Chứng minh tứ giác EMBED Equation.DSMT4 nội tiếp đường tròn Gọi EMBED Equation.DSMT4 trung điểm đoạn thẳng EMBED Equation.DSMT4 Chứng minh EMBED Equation.DSMT4 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EMBED Equation.DSMT4 Đường thẳng EMBED Equation.DSMT4 cắt đường thẳng EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 Các đường tròn ngoại tiếp tam giác EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 cắt EMBED Equation.DSMT4 ( EMBED Equation.DSMT4 Xét hai tam giác vng ta có nên chúng đồng dạng, suy Xét hai tam giác ) có (đối đỉnh) nên chúng đồng dạng, suy Do tứ giác Gọi (cùng phụ với nội tiếp đường tròn giao điểm hai đường thẳng Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 - Trang | 4- Tứ giác có nên hình bình hành Vì trung điểm đoạn thẳng nên trung điểm đoạn thẳng Suy ba điểm thẳng hàng Mặt khác, ta thấy tứ giác kính Suy có nên nội tiếp đường tròn đường tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Ta chứng minh Gọi thẳng hàng giao điểm Lại có Do tứ giác Dẽ thấy tứ giác (Do tứ giác nội tiếp nội tiếp), suy Mặt khác, nội tiếp nên năm điểm đường tròn ngoại tiêp tam giác Chứng minh tương tự ta có Suy Do năm điểm thuộc đường tròn Vậy Mặt khác thuộc thẳng hàng (1) thẳng hàng nội tiếp nên nên tứ giác Do năm điểm , suy ba điểm , suy Từ Tương tự ta có , suy tiếp góc tâm chắn cung) Suy tứ giác Mà thuộc đường trịn nên suy tứ giác thuộc đường tròn ngoại tiêp tam giác Vậy ba điểm Ta chứng minh nên (góc nội nội tiếp nội tiếp thuộc đường trịn nên ta có , suy thẳng hàng (2) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 - Trang | 5- Từ (1) (2) ta suy bốn điểm thẳng hàng Trên đường tròn người ta lấy EMBED Equation.DSMT4 điểm phân biệt, điểm tô Lời giải màu xanh màu đỏ xem kẻ Tại điểm người ta ghi số thực khác EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 cho quy tắc sau thỏa mãn “số điểm màu xanh tổng hai số ghi điểm màu đỏ kề nó, số ghi điểm màu đỏ tích hai số ghi điểm màu xanh kề nó” Tính tổng EMBED Equation.DSMT4 số đố Theo chiều kim đồng hồ ta gọi hai số ghi hai điểm màu xanh liên tiếp đường trịng ( khác ) Khi số ghi điểm màu đỏ nằm hai điểm màu xanh nói Theo quy tắc ghi số cho, năm điểm liên tiếp sễ ghi năm số (xem hình trên) Tổng số ghi điểm Cũng theo quy tắc ghi số này, dễ suy điểm thứ tơ màu xanh ghi Từ suy điểm thứ tô màu đỏ ghi số ghi số Như vậy, điểm lặp lại điểm Do đó, số ghi chia thành nhóm, nhóm gồm Vậy tổng số ghi đường tròn Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 , điểm thứ tô màu xanh số theo quy luật - Trang | 6-