a Chứng minh: OCMB là hình vuông b Chứng minh:MA.ME= R2 c Chứng minh:CME ~AMC d Tính độ dài CE và SOEB theo R 2/ Cho O,R đường kính BC, kẻ dây AD vuông góc OB tại trung điểm của OB> Vẽ
Trang 1LUYỆN TẬP ø TIẾP TUYẾN
1/ Cho (O,R) đường kính AB, tiếp tuyến Bx, trên Bx lấy BM=R, kẻ tiếp tuyến MC, AM cắt (O) tại E
a) Chứng minh: OCMB là hình vuông
b) Chứng minh:MA.ME= R2
c) Chứng minh:CME ~AMC
d) Tính độ dài CE và SOEB theo R
2/ Cho (O,R) đường kính BC, kẻ dây AD vuông góc OB tại trung điểm của OB> Vẽ BM,
CN là tiếp tuyến của (A) (M và N là tiếp điểm)
a) Chứng minh:OBAC là hình thoi
b) Chứng minh:BM + NC = BC
c) Chứng minh:M, A, N thẳng hàng
d) Tính SBMNC theo R
3/ Cho nửa(O) đường kính AB, C thuộc (O), kẻ OH vuông góc BC, OH cắt tiếp tuyến tại B
ở E Gọi D là giao điểm của OE với (O), M là giao điểm của AD với BC
a) Chứng minh: A CˆBA BˆE và H là trung điểm của BC
b) Chứng minh: AD là phân giác của C ˆ A B
c) Chứng minh: EC là tiếp tuyến của (O)
d) AD cắt BE tại I, IH cắt BD tại K Chứng minh: KH.BI=IK.BH
4/ Cho AB và AC là 2 tiếp tuyến của(O,R) Kẻ đường kính CM, kẻ OH vuông góc BC tại
H, AM cắt (O) tại N
a) Chứng minh: A BˆC A CˆB
b) Chứng minh: O, H, A thẳng hàng
c) Chứng minh: AB2 =AM.AN
d) Chứng minh: A HˆN A MˆO
e) Biết OA= 3R Tính BC và SAOM theo R
5/ Cho (O) đường kính AB, kẻ bán kính OI vuông góc BC tại H, gọi M là giao điểm của
BC và AI Vẽ (I) bán kính IB,AC cắt (I) tại K
a) Chứng minh: H là trung điểm của BC
b) Chứng minh: AI là phân giác của C ˆ A B
c) Chứng minh: B, I, K thẳng hàng
d) Gọi E là trung điểm của AM, chứng minh: CE là tiếp tuyến của (I)
6/ Cho (O,R) đường kính AB,Trên tiếp tuyến tại A lấy AD=2R, trên (O) lấy điểm C sao cho AD = DC vẽ (I) đường kính OA cắt AC tại M
a) Chứng minh: hai đường tròn tâm O và I tiếp xúc
b) Chứng minh: OM // BC và 3 điểm O, M, D thẳng hàng
c) Chứng minh: DC là tiếp tuyến của (O)
d) Kẻ AI // OC ( I thuộc AD) Chứng minh: AOCI là hình thoi và tính SAOCI theo R
Trang 27/ Cho (O,R) ủửụứng kớnh AB, tieỏp tuyeỏn Ax, treõn Ax laỏy ủieồm M sao cho OM=2R, keỷ tieỏp tuyeỏn MC, keỷ CH vuoõng goực AB vaứ OK vuoõng goực AC Tieỏp tuyeỏn taùi B caột AC taùi D
a) Chửựng minh: O, K, M thaỳng haứng
b) Chửựng minh: AC.AD = 4R2
c) Keỷ CE vuoõng goực AM caột OM taùi P Chửựng minh: OCPA laứ hỡnh thoi
d) Goùi I laứtrung ủieồm cuỷa CH, AI caột BD taùi N Chửựng minh: CN laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa(O)
8/ Cho (O) ủk AB, daõy AC < CB.Tia phaõn giaực A ˆ O C caột tieỏp tuyeỏn ụỷ A taùi M, keỷ CH vuoõng goực AB
a) Chửựng minh: MC laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (O)
b) Chửựng minh: OM // BC
c) OM.CH = MC.BC
d) Goùi I laứ giao ủieồm cuỷa CH vaứ MB Chửựng minh: I laứ trung ủieồm cuỷa CH
9/ Cho (O) ủửụứng kớnh AB, laỏy C thuoọc (O), keỷ baựn kớnh OI // AC , BI caột AC taùi D, AI caột tieỏp tuyeỏn ụỷ B taùi O’ Veừ (O’) baựn kớnh O’B
a) Chửựng minh: O’B2 =O’A.O’I
b) Chửựng minh:AO’ laứ phaõn giaực D ˆ A B
c) Chửựng minh: AD laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (O’)
d) Keỷ daõy cung EF cuỷa (O’) ủi qua I Chửựng minh: IE.AF = IF.AE
10/ Cho (O) ủửụứng kớnh AB, daõy cung AD > DB, keựo daứi AD moọt ủoaùn DM = AD BM caột (O) taùi C, goùi H laứ giao ủieồm cuỷa AC vaứ BD
a) Chửựng minh:AB = BM
b) Chửựng minh: AH.BC = HC.AB
c) Chửựng minh:MH vuoõng goực AB taùi I
d) Chửựng minh: AC.AH + BH.BD = 4R2
e) Goùi K laứ trung ủieồm MH Chửựng minh: DK laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa(O)
11/ Cho ABC coự 3 goực nhoùn , veừ (O) ủửụứng kớnh BC caột AB vaứ AC taùi M vaứ N Goùi H laứ giao ủieồm cuỷa BN vaứ CM
a) Chửựng minh: AH vuoõng goực BC taùi D
b) Chửựng minh: 4 ủieồm B, M, H, D cuứng thuoọc 1 ủửụứng troứn, xaực ủũnh taõm K cuỷa ủửụứng troứn naứy
c) Chửựng minh: AH.AD + BH.BN = AB2
d) Chửựng minh: hai tieỏp tuyeỏn taùi M vaứ N cuứng gaởp nhau taùi 1 ủieồm treõn AH
I Góc ở tâm – liên hệ giữa cung và dây
Bài 1. Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B Dây AC của đờng tròn (O) vuông góc với AO’; dây AD của đờng tròn (O’) vuông góc với AO So sánh các góc AOD , AO'D
Trang 3Bài 2. Trên một đờng tròn (O) có cung AB bằng 140o Gọi A’ B’ lần lợt là đối xứng của A, B qua O; lấy cung AD nhận B’ làm điểm chính giữa; lấy cung CB nhận A’ làm điểm chính giữa Tính số đo cung nhỏ CD
Bài 3. Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) , (O’) cắt nhau tại A, B Kẻ các đờng kính AOC và AO’D Gọi E là giao điểm thứ hai của đờng thẳng AC với (O’)
a) So sánh các cung nhỏ CB, BD
b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa cung EBD
Bài 4. a) Cho đờng tròn (O, R) với hai điểm A, B Tìm quỹ tích trung điểm của các dây trên đờng tròn có độ dài bằng dây AB
b) Cho đờng tròn (O, R) với hai tiếp tuyến AB, AC Một tiếp tuyến di động của đờng tròn (O) cắt các đoạn thẳng AB, AC tại các điểm tơng ứng P, Q Gọi P’, Q’ theo thứ tự là giao điểm của các đoạn thẳng OP, OQ với đờng tròn (O) Chứng minh rằng cung nhỏ P'Q' có số đo không đổi Tìm quỹ tích trung điểm I của P’Q’
Bài 5. Cho đờng tròn (O), dây AB Gọi M là điểm chính giữa cung AB Vẽ dây MC cắt dây AB tại D Vẽ đờng vuông góc với AB tại D, cắt OC tại K KCD là tam giác gì ?
Bài 6. Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý trên đờng tròn (O) Các tiếp tuyến của (O) tại bốn điểm trên cắt nhau tạo thành tứ giác ABCD Tính số đo tổng các góc AOB + COD ?
Bài 7. Cho đờng tròn (O), dây AB Trên dây AB lấy D rồi nối D với C trên đờng tròn (C khác A, B; A, O, C không thẳng hàng) Các đờng trung trực của AD và DC cắt nhau ở M CMR: đờng thẳng MO đi qua điểm chính giữa cung AC
Bài 8. Cho hai đờng tròn đồng tâm (O;R) và (O;2R) P là một điểm ngoài (O;2R) Vẽ đờng tròn (P;PO) cắt đờng tròn (O;2R) tại C và D, cắt đờng tròn (O;R) ở E và F OC và OD cắt (O;R) ở
A và B CMR:
a) CD // EF.
b) PA và PB là hai tiếp tuyến của (O;R)
Bài 9. Cho hình thoi ABCD có cạnh AB =5 cm và đờng chéo AC=8 cm Đờng tròn tâm A bán kính R=5 cm tiếp xúc với đờng tròn tâm C tại M thuộc đoạn AC Đờng tròn này cắt CB tại E
và cắt CD tại F Tính tỉ số độ dài của cung BD và cung EF
Trang 4II góc nội tiếp.
Bài 10. Cho góc xOy bằng x và một độ dài l Hai điểm A,B di động trên hai cạnh tơng ứng sao cho
độ dài AB luôn bằng l Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
a) CMR: Tam giác IAB có các kích thớc không đổi
b) Tìm quỹ tích điểm I
Bài 11 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Qua A kẻ cát tuyến cắt các đờng tròn (O),
(O’) tại các điểm thứ hai C, D Tia DB cắt (O) tại điểm thứ hai là M Các tia OB, BO’ lần lợt cắt (O’) tại các điểm thứ hai là N, P
a) So sánh hai góc ACB và BOO'
b) So sánh hai góc CAM và PAN
Bài 12 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Hai dây AC và BD cắt nhau ở I và cắt (O’) tại C’, D’ Chứng minh rằng C’D’ // CD.
Bài 13 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đờng cao AD, BE, CF đồng quy tại H Các tia AD, BE,
CF cắt (O) tại các điểm thứ hai tơng ứng A’, B’, C’
a) CMR: AB, BC, CA là trung trực của các đoạn thẳng tơng ứng HC’, HA’, HB’
b) CMR: H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
c) CMR: Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác DEF Từ đó so sánh bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác DEF và bán kính đờng tròn (O)
Bài 14 Cho góc vuông xOy vuông, điểm A cố định trên Ox, một điểm B di động trên cạnh Oy
Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa O ngời ta vẽ hình vuông ABCD tâm I Tìm quỹ tích
điểm I
Bài 15 Cho đờng thẳng d và đoạn thẳng AB cắt nhau tại C Dựng điểm M trên d sao cho MC là
phân giác góc AMB
Bài 16 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A Qua A vẽ một cát tuyến cắt (O) tại
B, cắt (O’) tại C Một cát tuyến thứ hai qua A cắt (O) tại D, cắt (O’) tại E Chứng minh rằng
CE // BD.
Bài 17. Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Gọi O là điểm chính giữa cung AB và M là một điểm bất kì của nửa đờng tròn đó Tia AM cắt đờng tròn (O;OA) tại điểm thứ hai là N Chứng minh rằng MN = MB
Bài 18 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đờng tròn Vẽ đờng
tròn (I) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đờng kính AB tại D, đờng tròn này cắt CA, CB lần lợt tại các điểm thứ hai là M, N CMR:
a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng
b) ID MN
c) Đờng thẳng CD đi qua một điểm cố định
d) Suy ra cách dựng đờng tròn (I) nói trên
Bài 19 Cho (O), đờng kính AB, điểm D thuộc đờng tròn Gọi E là điểm đối xứng với A qua D.
a) Tam giác ABE là tam giác gì ?
b) Gọi K là giao điểm của EB với (O) Chứng minh rằng OD AK
Bài 20 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A, B, O nằm trên (O’) Dây AC của (O) cắt (O’)
ở D, dây OE của (O’) cắt (O) ở F Chứng minh :
a) OD BC
b) Điểm F cách đều ba cạnh của tam giác ABE
Trang 5Bài 21 Cho hai đờng thẳng song song Một đờng tròn tiếp xúc với một đờng thẳng tại A và cắt
đ-ờng thẳng kia tại B, C Trên đđ-ờng tròn lấy một điểm D ( không trùng A, B, C ) Chứng minh rằng A cách đều hai đờng thẳng BD và CD
Bài 22 MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) Vẽ (M;MA), C là một điểm nằm trên cung AB của
(M) ( cung AB nằm trong đờng tròn (O) ) Tia AC, BC cắt (O) ở P, Q Chứng minh rằng : P
và Q đối xứng với nhau qua O
Bài 23. Trên cạnh CD của hình vuông ABCD ta lấy một điểm M khác C, D Các đờng tròn đờng
kính CD và AM cắt nhau tại điểm thứ hai N ( khác D ) Tia DN cắt BC tại P Chứng minh rằng: AC PM
III góc giữa tiếp tuyến và một dây
Bài 24 Hai tiếp tuyến tại A và B của đờng tròn (O1) cắt nhau tại C Vẽ đờng tròn (O2) đi qua C, tiếp xúc với đờng thẳng AB tại B và cắt đờng tròn (O1) ở M Chứng minh rằng đờng thẳng
AM chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau
Bài 25 Cho hai đờng tròn (O;R) và (O’;r) với R > r tiếp xúc trong tại A Dây BC của (O;R) tiếp
xúc với (O’;r) tại M ( ba điểm o, A, M không thẳng hàng ) Chứng minh rằng tia AM là phân giác của góc BAC
Bài 26 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính EF Vẽ đờng tròn (O’) tiếp xúc trong với nửa đờng
tròn tâm O tại A Kẻ đờng thẳng vuông góc với EF cắt nửa đờng tròn tâm O tại B và tiếp xúc với (O’) tại M Chứng minh rằng tia AM đI qua một đầu của đờng kính EF
Bài 27 Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH, nó cắt AB ở M
Vẽ đờng tròn tâm K đờng kính CH, nó cắt AC tại N
a) Tứ giác AMHN là hình gì ?
b) CMR: MN là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K)
c) Vẽ tiếp tuyến Ax của đờng tròn ngoại tiếp ABC CMR: Ax // MN
Bài 28 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại B, C Tiếp tuyến tại C của đờng tròn (O) cắt
(O’) tại điểm thứ hai là M Vẽ cát tuyến MBA ( A thuộc đờng tròn tâm O ) Từ M vẽ tiếp tuyến xy của đờng tròn (O’) CMR:
a) MC2 = MA.MB
b) AC // xy
Bài 29.Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Vẽ dây BC của (O) tiếp xúc với (O’) Vẽ
dây BD của (O’) tiếp xúc với (O) CMR:
a) AB2 = AC.AD
b) BC AC
BD AD .
Bài 30.Cho ABC ngoại tiếp đờng tròn (O) Gọi D, E, F là các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC,
CA Gọi M, N, P lần lợt là giao điểm của (O) với các tia OA, OB, OC Chứng minh rằng các
điểm M, N, P lần lợt là tâm của các đờng tròn nội tiếp các tam giác ADF, BDE và CEF
Bài 31.Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A, B Một đờng thẳng tiếp xúc với (O) tại C và
tiếp xúc với (O’) tại D Vẽ đờng tròn (I) qua ba điểm A, C, D cắt đờng thẳng AB tại điểm thứ hai là E CMR:
a) CAD + CBD = 180o
b) Tứ giác BCED là hình bình hành
Bài 32.Cho đờng tròn (O) và một điểm M ở bên ngoài đờng tròn Tia Mx quay quanh M cắt (O)
tại A, B Gọi I là một điểm trên Mx sao cho MI2 = MA.MB Tìm quỹ tích của I
Bài 33.Cho đờng tròn (O) ngoại tiếp ABC Gọi I và J lần lợt là giao điểm của hai phân giác
trong và ngoài của góc B và góc C của ABC Đờng thẳng IJ cắt (O) tại M
a) CMR: MBI = BIM
b) Bốn điểm I, B, J, C cùng nằm trên một đờng tròn
Bài 34.Cho điểm A cố định trên đờng tròn cố định tâm O Một góc xAy = x không đổi quay
quanh A, Ax cắt (O) tại B, Ay cắt (O) tại C Các đờng thẳng qua B và C lần lợt vuông góc với Ay và Ax, cắt (O) theo thứ tự tại P và Q
a) Chứng minh P, Q cố định
b) Tìm tập hợp những điểm H là giao của BP và CQ
Trang 6Bài 35.Cho ABC cân tại A và một dây di động AM của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ấy Đờng
thẳng qua B, vuông góc với AM tại A, cắt CM tại P
a) Chứng tỏ DMB = BMP
b) Chứng minh P thuộc đờng tròn cố định
IV góc có đỉnh bên trong-bên ngoài đ ờng tròn
Bài 36 Cho ABC nội tiếp (O), Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I và cắt (O)
theo thứ tự tại M và N
a) Chứng minh : MB MC , NA NC
b) Chứng minh : MB = MI = MC
c) Gọi k là điểm đối xứng với I qua M CMR: K là tâm đờng tròn bàng tiếp ABC
Bài 37.Cho đờng tròn (O), đờng kính AB vuông góc với dây CD Qua M thuộc cung AD kẻ tiếp tuyến với đờng tròn cắt CD tại I Gọi E là giao điểm của BM và CD
a) Chứng minh rằng : IM = IE
b) Gọi F là giao điểm của AM và CD Chứng minh rằng AFC= ABM
Bài 38.Từ một điểm A bên ngoài đờng tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD Vẽ dây BM
vuông góc với tia phân giác của góc BAC, dây này cắt CD tại E Chứng minh rằng :
a) Tia BM là phân giác của góc CBD
b) MD2 = ME.MB
Bài 39 Ba điểm A, B, C thuộc đờng tròn tâm O sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D Tia phân
giác của góc BAC cắt đờng tròn ở M, tia phân giác của góc D cắt AM ở I Chứng minh DI
AM
Bài 40 Cho ABC cân tại B Qua B kẻ đờng thẳng xy song song với AC Gọi O là một điểm trên
xy Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AC ở D, cắt các cạnh AB và BC ở E và F Chứng minh rằng số đo cung EDF không đổi khi O di chuyển trên xy
Bài 41 Cho ABC nội tiếp (O) Gọi CM, AN, BP lần lợt là các phân giác của ABC chúng giao
nhau tại I MN cắt AB tại E
a) BNI là tam giác gì ?
b) CMR: AE.BN = EB.AN
c) CMR: EI // BC
d) Gọi D là giao của AN và BC CMR: AN AB
BN BD Bài 42.Cho hình thang vuông ABCD ( BC // AD ) Trên AB lấy hai điểm M, N sao cho M, N nhìn
CD dới các góc vuông CMR: SABCD = SMCD + SNCD
Bài 43 Cho các điểm A1, A2, …, A, A19, A20 đợc sắp xếp theo thứ tự đó trên cùng một đờng tròn (O) Chúng chia đờng tròn thành 20 cung bằng nhau Chứng minh rằng dây A1A8 vuông góc với dây A3A16
Bài 44 Cho ABC nội tiếp trong đờng tròn (O); A1, B1, C 1 là các điểm đối xứng của A, B, C qua O; A0, B0, C 0 là trung điểm các cạnh BC, CA, và AB tơng ứng CMR: A1A0 , B1B0 , C 1C0
đồng quy
Bài 45 Cho ABC nội tiếp trong (O) D là điểm chính giữa cung BC Một đờng tròn thay đổi đi
qua A và D cắt các đờng thẳng AB, BD, AC theo thứ tự E, F, G Chứng minh :
a) D là điểm chính giữa cung EG
b) EF luôn song song với một đờng thẳng cố định
Bài 46 Cho góc nhọn xAy, lấy B và C trên Ax và Ay Dựng đờng tròn qua B và C cắt Ax tại P, Ay
tại Q sao cho PQ = m ( m là độ dài cho trớc )
Bài 47 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Gọi TT' là tiếp tuyến chung ngoài của
(O) và (O’), T và T’ là các tiếp điểm tơng ứng của (O) và (O’) Đờng thẳng OO’ cắt (O) tại B (khác A) và cắt (O’) tại C (khác A) BT cắt CT’ tại D Chứng minh BCD và ATT’ đồng dạng
Bài 48 Cho ABC nhọn ; các chân đờng cao xuất phát từ A, B, C trên các cạnh BC, CA, AB là D,
E, F Chứng minh rằng trực tâm ABC trùng với tâm dờng tròn nội tiếp DEF
Bài 49.Cho ABC nội tiếp (O) BD và CE là hai đờng cao xuất phát từ B và C (d) là tiếp tuyến
của (O) tại A CMR: d // DE
Trang 7V cung chứa góc.
Bài 50 Cho ABC nội tiếp (O) D là một điểm chuyển động trên cung BC không chứa A Nối A
với D Kẻ CH vuông góc với AD Tìm quỹ tích điểm H
Bài 51 Cho BC là một dây cung cố định của (O), A là một điểm chạy trên cung lớn BC sao cho
ABC luôn có ba góc nhọn Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC của (O) Tìm quỹ tích trung điểm I của AM
Bài 52 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB và cung EF của nửa đờng tròn (E nằm trên cung AF) sao cho số đo cung EF = 600 Hai tia AE và BF cắt nhau tại M Tìm quỹ tích các điểm M khi cung EF di chuyển trên nửa đờng tròn
Bài 53 Cho ABC vuông tại A Vẽ hai nửa đờng tròn đờng kính AB và AC ra phía ngoài tam
giác Qua A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đờng tròn đờng kính AB, N thuộc nửa đờng tròn đờng kính AC)
a) Tứ giác BMNC là hình gì ?
b) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN khi cát tuyến MAN quay quanh A
Bài 54 Cho ABC đều nội tiếp (O) Trên cung nhỏ AC lấy một điểm D Trên dây BD lấy điểm M sao cho DM = DC
a) MCD là tam giác gì ?
b) Tìm quỹ tích điểm M khi D di động trên cung nhỏ AC
Bài 55 Cho cung một phần t đờng tròn với hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau Trên cung
này lấy một điểm C tùy ý không trùng với A và B Vẽ CH OA Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp HOC
a) Tính số đo góc OIC
b) Chứng minh AIO = CIO
c) Tìm quỹ tích I khi C di động trên cung AB
Bài 56 Cho đờng tròn cố định (O) và điểm A cố định trên đó Một góc nhọn xAy = x không đổi
quay quanh A, cạnh Ax cắt (O) tại B, cạnh Ay cắt (O) tại C Gọi H là trực tâm ABC
a) Tính số đo góc nhọn mà BH và CH tạo ra
b) Tìm quỹ tích H
Bài 57 Cho đờng tròn (O) và P cố định ở ngoài (O) Qua P vẽ cát tuyến thay đổi cắt (O) tại A, B
Gọi I là trung điểm của AB Trên đờng thẳng OI lấy hai điểm M và M’ sao cho IM = IP Tìm quỹ tích M khi cát tuyến PAB thay đổi
Bài 58 Cho đờng tròn (O) ngoại tiếp ABC với B, C cố định Gọi B’, C’ lần lợt là đối xứng của B
qua AC và của C qua AB BC’ cắt CB’ tại M Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại P Chứng tỏ rằng khi A di chuyển trên (O) thì M di chuyển trên đờng tròn ngoại tiếp BPC
Bài 59 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Một đờng thẳng qua B cắt (O) tại C và
(O’) tại D Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O’) tại D cắt nhau ở I Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp ICD luôn đI qua một điểm cố định khi cát tuyến CBD thay đổi
Bài 60 Dựng hình vuông ABCD biết đỉnh A và hai điểm : M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD.
VI tứ giác nội tiếp
Bài 61 Cho ba đờng tròn cùng đi qua điểm P Gọi các giao điểm còn lại của chúng là A, B, C Từ
một điểm D trên đờng tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đờng tròn (PAB) và (PAC) tại M
và N CMR: M, A, N thẳng hàng
Bài 62 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và tiếp tuyến Bx của nửa đờng tròn Trên tia Bx lấy
hai điểm C, D ( C nằm giữa B và D) Các tia AC, AD lần lợt cắt đờng tròn tại E và F Hai dây
AE , BF cắt nhau tại M Hai tia AF, BE cắt nhau tại N Chứng minh rằng :
a) Tứ giác FNEM nội tiếp
b) Tứ giác CDFE nội tiếp
Bài 63. Cho ABC Hai đờng cao BE và CF cắt nhau tại H Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC
a) Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp Tìm tâm O của đờng tròn đó
b) Đờng thẳng DH cắt (O) tại điểm thứ hai là I Chứng minh rằng A, I, F, H, E cùng nằm trên một đờng tròn
Bài 64 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Tia OA cắt (O’) tại C Tia O’A cắt (O)
tại D CMR: O, O’, B, C, D cùng nằm trên một đờng tròn
Bài 65 Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy một điểm M Đờng thẳng qua C vuông góc với
CM cắt các tia AB, AD lần lợt tại E và F Tia CM cắt đờng thẳng AD tại N Chứng minh rằng
Trang 8a) Các tứ giác AMCF và ANEC nội tiếp
b) CM + CN = EF
Bài 66.Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC và BD cắt
nhau tại E Vẽ EF vuông góc với AD Gọi M là trung điểm của DE Chứng minh rằng :
a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp
b) Tia CA là phân giác của góc BCF
c)* Tứ giác BCMF nội tiếp
Bài 67. Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M và P Kẻ dây MA của (O) tiếp xúc với (O’) tại M Kẻ dây MB của (O’) tiếp xúc với (O) ở M Trên tia MP lấy H sao cho PH=PM CMR:
Tứ giác MAHB nội tiếp
Bài 68 Cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O) Các đờng chéo AC, BD cắt nhau tại E, các cạnh
AD, BC kéo dài cắt nhau tại F CMR:
a) A, D, O, E cùng nằm trên một đờng tròn
b) Tứ giác AOCF nội tiếp
Bài 69 Cho ABC vuông tại C Trên AB dựng hình vuông ABMN có tâm I Chứng minh rằng CI
là phân giác của góc tạo bởi AC và BC
Bài 70 Hai cạnh AB và DC của tứ giác ABCD kéo dài cắt nhau tại E, AD và BC kéo dài cắt nhau
tại F Chứng minh các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AED, EBC, ABF và CDF cùng đi qua một điểm
Bài 71 Cho góc vuông xOy và ABC vuông ở A và góc B bằng 300 , BC=a Tam giác ABC di chuyển trong góc vuông xOy sao cho đỉnh B chạy trên Ox, đỉnh C trên Oy, A và O khác phía
đối với BC Tìm quỹ tích điểm A
Bài 72 Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Một cát tuyến qua A cắt các đờng tròn này
tại M, N Các tiếp tuyến tại A của (O), (O’) theo thứ tự cắt BN và BM ở P và Q Chứng minh
PQ // MN
Bài 73. Cho ABC đều Một nửa đờng tròn có tâm O trên cạnh AB, tiếp xúc với AC, BC tại K và
I Kẻ một tiếp tuyến với nửa đờng tròn cắt các cạnh BC và AC tại M và N Đoạn thẳng KI cắt
OM và ON tại P, Q CMR: MN=2PQ
Bài 74 Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB cố định Một điểm C chạy trên đờng tròn Kẻ CD
vuông góc với AB Trên OC lấy M sao cho OM = CD Tìm tập hợp điểm M khi C di chuyển trên (O)
Bài 75 Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB cố định (d) là tiếp tuyến của (O) tại A M là điểm di
động trên (d); MB cắt (O) tại C N là trung điểm của cung BC ON cắt BC tại P
a) Chứng minh tứ giác MAOP nội tiếp
b) Tìm tập hợp điểm P khi m di động trên (d)
Bài 76 Cho ABC vuông tại A Trên đoạn AB lấy D Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E và CD
tại F Chứng minh rằng :
a) Tứ giác ACBF nội tiếp
b) D là tâm đờng tròn nội tiếp AEF
c) B là tâm đờng tròn bàng tiếp của AEF
Bài 77 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại B và C A là điểm trên (O) AB cắt (O’) tại D,
AC cắt (O’) tại E AO cắt DE tại H I là trung điểm của BC
a) Chứng minh tứ giác OIDH nội tiếp Suy ra AH DE
b) (d) là tiếp tuyến của (O) tại A Chứng minh (d) // DE
Bài 78 Cho đờng tròn (O;R) và điểm A ở ngoài (O) Qua A vẽ tiếp tuyến AB của (O), B là tiếp
điểm; vẽ cát tuyến ACD thay đổi cắt (O) tại C và D Gọi H là hình chiếu của B lên AO
a) Chứng minh AB2 = AC.AD
b) Gọi I là giao điểm của BH và CD, J là trung điểm của CD Chứng minh : AI.AJ =
AH.AO
Bài 79. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có đờng trung bình bằng một cạnh bên Chứng minh ABCD có đờng tròn nội tiếp
Bài 80.Cho đờng tròn (O) và một tiếp tuyến tại A Trên tiếp tuyến lấy một điểm C (khác A) Gọi B
là trung điểm của AC Kẻ cát tuyến BEF (E và F thuộc (O) ) Các tia CE và CF cắt (O) tại M
và N Chứng minh MN // AC
VII độ dài – diện tích cung tròn đ ờng tròn
Bài 81 Cho ngũ giác đều ABCDE, AD và BE cắt nhau tại O Chứng minh: DO2 = AO.AD
Trang 9Bài 82. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Lấy điểm M trên AB Vẽ dây CD AB tại M Giả sử AM=1cm, CD=2 3 cm Tính :
a) Độ dài đờng tròn
b) Độ dài cung CAD
Bài 83 Một tam giác đều và một hình vuông có cùng chu vi là 72 cm Hỏi độ dài đờng tròn ngoại
tiếp hình nào lớn hơn ? Lớn hơn bao nhiêu ?
Bài 84 Trên hình dới có nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R C là điểm chính giữa của nửa
đ-ờng tròn Cung AD có tâm B bán kinh 2R Cung BE có tâm C bán kính CD
a) Chứng minh AC= AD
b) Tính độ dài của đờng cong ADEB do ba cung AD, BE, DE chắp nối thành
C
E D
Bài 85 Cho ABC vuông tại A, góc C là 300 và AB = 4cm Vẽ đờng cao AH Gọi M, N theo thứ
tự là trung điểm của AB và AC
a) Chứng minh rằng tứ giác AMHN nội tiếp
b) Tính độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN
Bài 86 Tính diện tích hình vành khăn tạo thành bởi đờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều
cạnh 6 cm
Bài 87 Cho nửa đờng tròn đờng kính BC=10 cm và dây BA = 8cm Vẽ ra phía ngoài ABC các
nửa đờng tròn đờng kính AB và AC
a) Tính diện tích ABC
b) Tính tổng diện tích hai hình viên phân
c) Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết
Bài 88 Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O) Biết BC=2cm, góc ˆA=450
a) Tính diện tích hình tròn (O)
b) Tính diện tích hình viên phân BC (ứng với cung nhỏ BC)
c) Xác định vị trí của A để diện tích ABC lớn nhất Tính diện tích đó
Bài 89 Cho đờng tròn (O) và một dây cung AB=6cm Gọi D là trung điểm của dây AB Tia DO cắt
đờng tròn tại C Biết CD=9cm Hãy tính độ dài của đờng tròn (O)
Bài 90.Cho ABC vuông ở A và đờng cao AH Dựng đờng tròn tâm O đờng kính AB Biết BH =
2cm và HC = 6cm Tính:
a) Diện tích hình tròn (O)
b) Tổng diện tích hai hình viên phân AH và BH (ứng với các cung nhỏ)
c) Diện tích hình quạt tròn AOH (ứng với cung nhỏ AH)
Bài 91 Cho AHB có ˆH=900 , ˆA=300 vaf BH=4cm Tia phân giác của góc B cắt AH tại O Dựng
đờng tròn (O;OH) và đờng tròn (O;OA)
a) Chứng minh rằng (O;OH) tiếp xúc với AB
b) Tính diện tích hình vành khăn giữa hai đờng tròn trên
Bài 92 Cho một phần t đờng tròn có hai bán kính vuông góc là OA và OB bằng R C là một điểm
trên đó Vẽ trong đó hai nửa đờng tròn có đờng kính OA và OB Gọi giao điểm của hai nửa
đờng tròn đó là D Chứng minh rằng:
a) A, B, D thẳng hàng
b) Hai hình ACBDA và OEDFO có cùng diện tích
c) Diện tích các hình OFDAO và OEDBO bằng 1/4 diện tích hình vuông cạnh OA
Bài 93 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R Trên tia đối của tia AB ta lấy một điểm P sao cho
PA=R Vẽ dây BD=R Đoạn thẳng PD cắt đờng tròn (O) tại C
Trang 10a) Chứng minh PC.PD = AD2
b) Gọi cung nhỏ căng dây BD là cung BmD Tính diện tích của hình AbmD
Bài 94 Cho đờng tròn (O;3cm) tiếp xúc ngoài tại A với đờng tròn (O’;1cm) Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài BC của chúng (B, C là các tiếp điểm và B nằm trên (O) )
a) Xác định tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ABC và tính diện tích của hình tròn (I)
b) Tính độ dài các cung AB và AC nằm trong đờng tròn (I) của các đờng tròn (O) và (O’) c) Tính diện tích hình tam giác cong giới hạn bởi hai đờng tròn (O), (O’) và tiếp tuyến chung BC
Bài 95 Cho ABC đều có cạnh bằng 4 cm Vẽ nửa hình tròn đờng kính BC thuộc nửa mặt phẳng
chứa A bờ là BC Hãy tính diện tích phần hình tròn ở ngoài tam giác
Bài 96 Đờng tròn (P) nội tiếp trong một hình quạt tròn ứng với góc ở tâm O bằng 600 Biết rằng bán kính đờng tròn (P) là R, hãy tính bán kính đờng tròn (O)
Bài 97 Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm C Vẽ trong cùng một mặt phẳng bờ AB các nửa đờng
tròn đờng kính AB, AC và BC Kẻ CD vuông góc với AB (D thuộc đờng tròn đờng kính AB) Chứng minh rằng diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi ba nửa đờng tròn bằng diện tích hình tròn đờng kính CD
Bài 98 Trong đờng tròn (O;R) ta vẽ hai đờng tròn (O1;R/2) và (O2;R/2) tiếp xúc nhau tại O Vẽ tiếp hai đờng tròn (O3) và (O4) mỗi đờng tròn đều tiếp xúc với hai đờng tròn (O1) và (O2) và tiếp xúc với (O)
a) Tính bán kính của (O3) và (O4) theo R
b) Tính tỉ số tổng diện tích bốn hình tròn nhỏ và diện tích (O)
BAỉI TAÄP OÂN CHệễNG III HèNH HOẽC 9
A- PHAÀN TRAẫC NGHIEÄM : Khoanh troứn caõu traỷ lụứi ủuựng nhaỏt.
Caõu 1: Kim giụứ vaứ kim phuựt cuỷa moọt ủoàng hoà taùo thaứnh moọt goực ụỷ taõm baống 900 vaứo luực:
Caõu 2: Cho ủửụứng troứn (O) , Goực ụỷ taõm AOB = 1200 , goực ụỷ taõm AOC = 300 Soỏ ủo cung nhoỷ
BC laứ:
khaực
Caõu 3: ẹoỏi vụựi hai cung nhoỷ trong moọt ủửụứng troứn, phaựt bieồu naứo sau ủaõy sai ?
a) Cung lụựn hụn caờng daõy lụựn hụn b) Cung nhoỷ hụn caờng daõy nhoỷ hụn c) Cung baống nhau caờng daõy baống nhau d) Cung nhoỷ hụn caờng daõy lụựn hụn
Caõu 4:Moọt goực noọi tieỏp coự soỏ ủo baống 300 thỡ soỏ ủo cung bũ chaộn baống:
d) Moọt soỏ ủo khaực
Caõu 5: Soỏ ủo cuỷa moọt goực noọi tieỏp khoõng quaự 900 thỡ :
a) Baống nửỷa soỏ ủo cung bũ chaộn b) Baống soỏ ủo cung bũ chaộn
c) Baống nửỷa soỏ ủo goực ụỷ taõm cuứng chaộn 1 cung d) Caỷ a, c ủuựng
Caõu 6: Goùi α laứ soỏ ủo cuỷa goực noọi tieỏp chaộn nửỷa ủửụứng troứn, ta coự:
Caõu 7: Moọt tửự giaực noọi tieỏp thỡ :
a) Coự hai ủửụứng cheựo vuoõng goực vụựi nhau b) Coự toồng caực goực ủoỏi baống 1800
c) Coự boỏn ủổnh naốm treõn moọt ủửụứng troứn d) Caỷ b, c ủuựng
Caõu 8: Cho tửự giaực ABCD noọi tieỏp ủửụứng troứn coự AÂ = 980 , khi ủoự goực C coự soỏ ủo baống:
Caõu 9: Trong caực hỡnh sau ủaõy hỡnh naứo noọi tieỏp ủửụùc trong moọt ủửụứng troứn: