Một mạch điện xoay chiều có thể được mô hình hóa bằng một (hệ) phương trình vi (tích) phân. Để phân tích mạch điện, chúng ta phải giải (hệ) phương trình vi (tích) phân. Số phức là một công cụ toán học giúp chuyển việc giải phương trình vi (tích) phân về việc giải phương trình đại số tuyến tính. Khi đó, các phương pháp phân tích mạch điện một chiều cũng được áp dụng cho phân tích mạch điện xoay chiều. Việc nghiên cứu, phân tích mạch điện xoay chiều sẽ thuận lợi và chính xác.
MỞ ĐẦU Một mạch điện xoay chiều mơ hình hóa (hệ) phương trình vi (tích) phân Để phân tích mạch điện, phải giải (hệ) phương trình vi (tích) phân Số phức cơng cụ tốn học giúp chuyển việc giải phương trình vi (tích) phân việc giải phương trình đại số tuyến tính Khi đó, phương pháp phân tích mạch điện chiều áp dụng cho phân tích mạch điện xoay chiều Việc nghiên cứu, phân tích mạch điện xoay chiều thuận lợi xác I SỐ PHỨC A CÁC KHÁI NIỆM Định nghĩa số phức ´ jb a , b ∈ R j2 = -1 Số phức biểu thức có dạng Z=a+ Trong biểu thức này, a gọi phần thực, b gọi phần ảo số phức Tập hợp số phức ký hiệu C Biểu diễn số phức hình học ảo j Số phức biểu diễn mặt phẳng phức với trục hoành trục thực trục tung trục ảo, b Z số phức Z = a + jb xác định điểm có tọa độ (a,b) - Mơ đun: Z=√ a2 +b2 a thực b (*) Hình 2.1 Biểu diễn số phức - Acgumen: φ=arctg a Ta có: Thành phần thực a = Zcos thành phần ảo b = Zsin Các dạng biểu diễn số phức Số phức biểu diễn dạng: ´ jb - Dạng đại số: Z=a+ - Dạng lượng giác: jφ ´ - Dạng mũ: Z=Z e Trong đó: e jφ =cos φ+ j sin φ (công thức Ơle) ´ ∠φ - Dạng cực: Z=Z Có thể biểu diễn số phức từ dạng sang dạng khác thông qua công thức (*) Sớ phức liên hợp Hai sớ phức có thành phần thực thành phần ảo đối gọi là số phức liên hợp: ´¿ ´ Z=a+ jb Z =a− jb Hai số phức Cho hai số phức: Z´ =a1 + jb1 Z´ =a2 + j b2 { a =a Z´ =Z´ ⇔ b1=b2 Tính chất số phức: Phép tốn số phức có tính chất: kết hợp, phân phối, giao hốn… Tính chất đơn vị ảo - Tính chất đơn vị ảo: j = -1 j4n = 1; j4n+1 = +j ; j4n + = -1; j4n + = -j; Z´ =Z e jφ ⇒ { j π ´ ¿ j Z=e Z e jφ=Z e −j ¿− j Z´ =e π jφ π j(φ+ ) Z e =Z e π j(φ− ) Toán tử quay ´ Trong kỹ thuật điện số phức Z=Z e jφ gọi toán tử quay; số phức Z´ biểu diễn vectơ có mơ đun Z quay tròn quanh gốc tọa độ với vận tốc góc ω hình 2.2 Các giá trị đặc biệt + Khi t = 00 + Khi t = 900 + Khi t = 1800 + Khi t = 2700 Z´ ej0 = + Z´ = ej90 = + j Z´ = ej180 = _ Z´ = ej270 = _ j Hình 2.2 Tốn tử quay B CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC Phép cộng (trừ) số phức Trường hợp cộng (trừ) số phức, ta phải biến đổi chúng cùng dạng đại số Sau đó, cộng (trừ) phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo Cho hai số phức: Z´ =a1 + j b1 Z´ =a2 + j b2 Z´ + Z´ 2=( a1 +a2 )+ j(b 1+ b2) - Phép cộng: Z´ −Z´ 2=(a1−a2 )+ j(b1 −b2 ) - Phép trừ: Phép nhân (chia) số phức * Khi nhân (chia) số phức, ta nên đưa số phức dạng mũ Sau đó, nhân (chia) mô đun với cộng (trừ) acgumen với nhau: Có hai số phức: Z´ =a1 + j b1 =Z e j φ Z´ =a2 + j b2 =Z e j φ j φ +φ ) - Phép nhân hai số phức: Z´ Z´ 2=Z e j φ Z e j φ =Z Z e ( ❑ 2 jφ Z´ Z e Z j(φ −φ ) = = 1e j φ Z2 Z´ Z e 1 - Phép chia hai số phức: * Khi nhân (chia) số phức, ta thực dạng đại số: 2 Có hai số phức: Z´ =a1 + j b1 Z´ =a2 + j b2 - Khi nhân hai số phức: Z´ Z´ 2=(a 1+ jb 1) ( a2 + jb )=a a 2+ j b1 a2+ j b2 a1 + j b1 b2 ¿ ( a a 2−b1 b2 ) + j ( b a2+ b2 a1 ) - Khi chia ta nhân tử số mẫu số với phức liên hợp mẫu số: Z´ a1 + j b1 ( a1 + jb 1) ( a 2− j b2 ) ( a a 2+ b1 b )− j ( b a 2−a1 b2 ) = = = 2 Z´ a2 + j b2 ( a2 + jb 2) ( a 2− j b2 ) a 2+ b * Các hệ phép nhân số phức: - Nhân với số thực: jφ jφ ´ ´ Z=a+ jb=Z e ⇒ k Z=ka+ j(kb)=(kZ )e - Nhân với phức liên hợp: ´¿ jφ ´ Nếu Z=Z e Z´ Z =Z e jφ Z e− jφ=Z❑2 ´¿ ´ jb Z´ Z =(a+ jb)(a− jb)=a❑2 + b2❑=Z❑2 Hay Z=a+ II CÁC THÔNG SỐ ĐIỆN DẠNG PHỨC Trong mạch điện xoay chiều, lượng hình sin biến thiên dạng, tần số Mỗi lượng hình sin tần số xác định biết trị số hiệu dụng góc pha đầu Mỗi số phức xác định biết mô đun acgumen Do đó, ta biểu diễn lượng hình sin dạng sớ phức A LƯỢNG HÌNH SIN DẠNG PHỨC Trong kỹ thuật điện, lượng hình sin dạng phức ký hiệu chữ in hoa tương ứng có chấm đầu Lượng hình sin dạng phức có mơđun trị số hiệu dụng, có acgumen góc pha đầu - Phức dòng điện: jφ i=I √ sin ( ωt +φ i) =I m sin ( ωt+ φi ) ⇒ I˙ =I e =I ∠ φi - Phức điện áp: ˙ u=U √2 sin ( ωt +φ u )=U m sin ( ωt + φu ) ⇒ U=U e j φ =U ∠ φu - Phức suất điện động: ˙ e=E √ sin ( ωt +φe )= Em sin ( ωt +φe ) ⇒ E=E e j φ =E ∠ φe i u e B CÁC THÔNG SỐ XOAY CHIỀU DẠNG PHỨC Phức tổng trở nhánh Nếu mạch nhánh điện xoay chiều có điện trở R điện kháng X phức tổng trở nhánh là: ´ Z=R+ jX =R+ j ( X L− X C )=Z e jφ Ở đây: Z=√ R 2+ X tổng trở nhánh φ=φ u−φi =arctg X góc lệch pha điện áp và dòng điện R Vậy: Phức tổng trở nhánh có phần thực giá trị điện trở phần ảo giá trị điện kháng nhánh Phức tổng dẫn nhánh Nếu mạch nhánh điện xoay chiều có điện dẫn tác dụng g điện dẫn phản kháng b phức tổng dẫn nhánh là: Y´ =g− jb=g− j ( b L −b C )=Y e− jφ Ở đây: Y = √ g2 +b tổng dẫn nhánh φ=φ u−φi =arctg b góc lệch pha điện áp và dòng điện g Vậy: Phức tổng dẫn nhánh có phần thực giá trị điện dẫn tác dụng có phần ảo giá trị điện dẫn phản kháng nhánh ngược dấu Phức cơng suất nhánh Tích phức U nhánh với phức liên hợp I nhánh gọi phức công suất nhánh ¿ ¿ j (φ −φ ) −jφ ~ =S e jφ U =U e j φ I =I e ⇒ S=U˙ I =UI e Biểu diễn phức công suất nhánh dạng đại số: u i u i ~ ˙ ¿ jφ S=U I =UI e =UI ( cos φ+ jsin φ )=P+ jQ Vậy: Phức công suất nhánh có phần thực P, có phần ảo Q nhánh Bảng biến đổi thông số điện thành thơng số dạng phức Mạch điện thơng thường Dịng điện i=I √ sin ( ωt +φ i) Điện áp u=U √2 sin ( ωt +φ u ) Sức điện động e=E √ sin ( ωt +φe ) Điện trở R Cảm kháng XL = L Dung kháng XC = 1/(C) Tổng trở Z=√ R 2+ X Tổng dẫn Y = √ g2 +b 2 Công suất S= √ P +Q Mạch điện dạng phức I˙ =I ∠ φi = Ie i Phức dòng điện U˙ =U ∠ φ u Phức điện áp ˙ ∠φ e Phức sức điện động E=E Phức điện trở R Phức cảm kháng jXL = jL =XL∠ 00❑ Phức dung kháng -jXC =1/(jC) = XC∠−9 0❑0 ´ Phức tổng trở Z=R+ jX =Z e jφ − jφ Phức tổng dẫn Y´ =g− jb=Y e ¿ Phức c.suất nhánh ~S=U˙ I =P+ jQ=S e jφ III DÙNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MẠCH ĐIỆN A CÁC ĐỊNH LUẬT DẠNG PHỨC Định luật Ơm Trong nhánh xoay chiều, phức dịng điện nhánh tỷ lệ với phức điện áp nhánh tỷ lệ nghịch với phức tổng trở nhánh U˙ I˙ = Z´ (A) Định luật Kiếckhốp - Định luật Kiếckhốp I: Tổng đại số phức dòng điện nút “0” n ∑ I˙ k =0 k =1 Qui ước: Phức dòng điện hướng tới nút mang dấu dương ngược lại mang dấu âm - Định luật Kiếckhốp II: Đi theo vòng khép kín, tổng đại số phức điện áp đặt vào phức tổng trở nhánh tổng đại số phức sức điện động n m k =1 i=1 ∑ U˙ k=∑ E˙ i Qui ước: Phức s.đ.đ phức điện áp chiều mạch vịng đã chọn mang dấu dương, ngược lại mang dấu âm B ÁP DỤNG - Để thuận tiện cho việc giải mạch xoay chiều phức tạp, người ta biến đổi mạch xoay chiều thông thường thành mạch điện xoay chiều dạng phức (các tham số phần tử biểu diễn dạng phức) - Áp dụng phương pháp giải mạch điện chiều để thực giải mạch điện theo yêu cầu toán phải thực theo qui tắc tốn số phức Ví dụ 1: Cho mạch điện có R-L-C mắc song song Biết: R = 40; XL = 20; XC = 50 điện áp nguồn u=100 √2 sin ( 100 πt ) V Xác định biểu thức dòng điện mạch Giải: Chuyển mạch điện thông thường sang mạch điện dạng phức: Chuyển thông số mạch điện sang dạng phức u=100 sin ( 100 πt ) V ⇒ U˙ =100∠ 00 =100V Z´ =R=40 Ω Z´ = j X 2= j X L =20 jΩ Z´ = j X 3=− j X C =−50 jΩ U˙ 100 I˙ 1= = =2,5 A Dòng điện phức nhánh 1: Z´ 40 U˙ 100 I˙ 2= ´ = =−5 j=5 ∠−9 A Dòng điện phức nhánh 2: 20 j Z2 U˙ 100 I˙ 3= ´ = =2 j=2 ∠9 A Dòng điện phức nhánh 3: Z −50 j Dòng điện phức mạch chính: I˙ = I˙ 1+ I˙ + I˙ =2,5−5 j+ j=2,5−3 j=3,9 ∠−50,1 A Trị số tức thời: i R =2,5 √ 2sin ( 100 πt ) A O i L =5 √ 2sin ( 100 πt−9 ) A i C = √2 sin ( 100 πt +9 0O ) A O i= 3,9 √ 2sin ( 100 πt−50,19 ) A IV BÀI TẬP - Nghiên cứu ví dụ giáo trình trang 152, 153 - Luyện tập dạng tập 3.20 đến 3.23 trang 56 “Bài tập Kỹ thuật điện” năm 2016