TÓM TĂT CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC

* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 ch

PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1 Giai thừa : n! = 1.2 n

0! = 1n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n

2 Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;

mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn là :

m + n

3 Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách

chọn hiện tượng 2 Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n

4 Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau Số cách xếp : Pn = n !

5 Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật Số cách chọn : k(n k)!

!n

Ck n

3 4

2 4

1 4

0 4

3 3

2 3

1 3

0 3

2 2

1 2

0 2

1 1

0 1

0 0

CCCCC

CCCC

CCC

CC

k n 1 k n

k n n

k n

n n

0 n

CCC

CC,1CC

1 n

0

n,C , ,CC

* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy

số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :

- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4

- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8

- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3

- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9

bca

abb

a

b/ca

0

b 0,c 0

bc

ab

;bcacb

xbx

ax

;},amax{

xb

0bba,ba

0bb

0

b0a

0bb

a

)0b,aneáu(b.a

)0b,aneáu(b.aab

)0aneáu(aa

;ba

0bb

a

d log : y = logax , x > 0 , 0 < a  1, y  R

y nếu a > 1, y nếu 0 < a < 1,  = logaa

loga(MN) = logaM + logaN ( )

loga(M/N) = logaM – logaN ( )

2 a a

a

2

aM 2log M,2log M log M

logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc

logbc = logac/logab, loga M 1logaM

b Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0

c Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của

f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f

6 So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với  :

f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a  0)

* S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a

Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g(x1,x2) = 0

không đối xứng, giải hệ pt :

2 1

x.xP

xxS

0g

Biết S, P thỏa S2 – 4P  0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0

* Dùng , S, P để so sánh nghiệm với 0 :

0P0

* Dùng , af(), S/2 để so sánh nghiệm với  : x1 <  < x2  af() < 0

0)(a

0 ; x1 < x2 <  

0)(a0

 < x1 <  < x2 

a.f( ) 0 a.f( ) 0

0)(a

2 nghiệm phân biệt 

00

)(0

0

CT CÑ

' y

.y

0

CT CÑ

' y

.y

0

CT CÑ ' y

uoán

' y

d So sánh nghiệm với  :

 x = xo  f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a  0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x)với 

 Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao củaf(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa  vào BBT

 Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tươnggiao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)

' y

x

0)(y

0y.y0

' y

x

0)(y

0y.y0

0)(

0)(0

Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN

0x

0P

0P

0P

0S

0P

0P

0   < 0  0

0

P S

2 1

t3t

tt0

2 1

1 2

t

tP

ttS

t9t

b ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 Đặt t = x +

x

1 Tìm đk của t bằng BBT : t 2

c ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0 Đặt t = x –

x

1 Tìm đk của t bằng BBT : t  R

d (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d Đặt : t = x2 + (a + b)x Tìm đkcủa t bằng BBT

e (x + a)4 + (x + b)4 = c Đặt :

2

bax

cbyax

Tính :

b'a

a

, Dx = b'

b'c

c , Dy = 'c

c'aa

D  0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D

D = 0, Dx  0  Dy  0 : VN

D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết)

11 Hệ phương trình đối xứng loại 1 :

Từng phương trình đối xứng theo x, y Đạt S = x + y, P = xy

ĐK : S2 – 4P  0 Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P  0;

Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y

(, ) là nghiệm thì (, ) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất

  =   m = ?

Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không

12 Hệ phương trình đối xứng loại 2 :

Phương trình này đối xứng với phương trình kia Trừ 2 phương trình, dùng cáchằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0

Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1

dcybxy

ax

2 2

2 2

Xét y = 0 Xét y  0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t Còn 1 phương trìnhtheo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x Có thể xét x = 0, xét x  0, đặt y = tx

14 Bất phương trình, bất đẳng thức :

* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của , , log, mũ có.thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạngtích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB

* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều

số âm : có đổi chiềuChia bất phương trình : tương tự

* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm

* Bất đẳng thức Côsi :

2

ba



Dấu = xảy ra chỉ khi a = b

3

cba

(ac + bd)2  (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d

15 Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :

Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m Số nghiệmbằng số điểm chung

Nếu có điều kiện của x  I, lập BBT của f với x  I

16 Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x  I :

Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x  I

f(x)  m : (C) dưới (d) (hay cắt)

f(x)  m : (C) trên (d) (hay cắt)

III- LƯỢNG GIÁC

1 Đường tròn lượng giác :

Trên đường tròn lượng giác, góc  đồng nhất với cung AM,

đồng nhất với điểm M Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn

+2

02

 

Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội

1 cung phần tư)

x =  +

n

k

2  :  là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trênđường tròn lượng giác

2 Hàm số lượng giác :

3 Cung liên kết :

* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu  (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cosđối, tg cotg hiệu )

* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ

* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu

2

 (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu)

t  : đưa lượng giác về đại số

2

+ k2, cos = 0  sin = –1 hay sin = 1   =

2

+ k, cos = 1   = k2, cos = – 1   =  + k2

sinu = sinv  u = v + k2  u =  – v + k2

cosu = cosv  u =  v + k2

tgu = tgv  u = v + k

cotgu = cotgv  u = v + k

6 Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c

* Điều kiện có nghiệm : a2 + b2  c2

* Chia 2 vế cho a 2 b2 , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản

(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo

2

utg

7 Phương trình đối xứng theo sin, cos :

Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos



0

Ax+k2M

coschi u ếu

11 Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :

Xét cosu = 0; xét cosu  0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức

1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu

12 Phương trình toàn phương mở rộng :

* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u

* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu

13 Giải phương trình bằng cách đổi biến :

Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :

* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x

* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi  – x

* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi  + x

* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng

0u0

CuC

AuB

Av

1u

sin1

vcos

1usin

1usin1

vcos

1usinTương tự cho : sinu.sinv =  1, cosu.cosv =  1

15 Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg

)1(m)y(F)x(F

Dùng công thức đổi + thành nhân,

thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :

ayx

m)y(F)

x(F

Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành+

m)y(F/)x(F

Dùng tỉ lệ thức :

db

c

adb

c

ad

cb

* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin :

a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

R4

abcCsinab2

1ah2

1

)cp)(

bp)(

ap(

sinudu cos u C

du/sin2u cotguC ; du/cos2utguC

b

b a a

*  b     

a

c a

b a

c b

a b

;gf)g

d R(sinx,cosx) , R : hàm hữu tỷ

R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx

R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx

R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx  u = cotgx

R đơn giản :

2

xtg

:

2 1

n

)ax(

A

)ax(

Aa

x

A)

ax(,ax

Aa

2 2

f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng giác :xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác

Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/

c D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0

/

b D a

S f(x) g(x) dx

/

b D a

S f(y) g(y) dy

Với trường hợp ) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đườngthẳng đứng ngay chỗ gãy

x=bx=a

f(x)g(x)

y=af(y)y=bg(y)

Với trường hợp ) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đườngngang ngay chỗ gãy.

Chọn tính  theo dx hay dy để  dễ tính tốn hay D ít bị chia cắt

Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm

Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường trịn, (E) ,(H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm

Cần biết rút y theo x hay x theo y từ cơng thức f(x,y) = 0 và biết chọn  hay

 y  :trên,y  :dưới,x  :phải,x  :trái

b

a

2dy)y(V

V

b

c 2 c

a

2(x)dx g (x)dxf

V

b

c 2 c

a

2(y)dy f (y)dyg

f(y)a

g(y)

b

f(x)

g(x0)

f(x) -g(x)

bc

f(y)-g(y)a

1 a

x a

Plim)x(Q)ax(

)x(P)ax(lim)0/0dạng()x(Q

)x(Plim

)x(lim

0 u a

)x(lim

x

)x()x(lim)

x('

x(f,lim)

x

(

f

o x o / o x o

0)x(f

M // M/

0)x(f

M // M/

M là điểm uốn của f  f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM

e Tính đạo hàm bằng cơng thức : C/ = 0, (x)/ = x–1 , (lnx)/ = 1/x ,

 a 

1log x

xlna

  , (ex)/ = ex

(ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x,

(cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u v)/ = u/  v/, (uv)/ = u/v + uv/ ,

- t c đ : khi y càng tiến về   thì đường cong càng gần đường t c

- t c x :khi x và y càng tiến về   thì đường cong càng gần đường t c

- t c n :khi x càng tiến về   thì đường cong càng gần đường t c

)x(P

y 

 Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a)  0

 Có tcn khi bậc P  bậc Q : với x  , tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc caonhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q

)x(Pbax)x

là y = ax + b Nếu Q = x – , có thể chia Honer

* Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 :

e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c  0)

f/ y =

edx

cbx

0A (hay

0B

0A) Giải hệ, được M

b/ Điểm (Cm) không đi qua, m : M(xo, yo)  (Cm), m  yo  f(xo,m), m 

C

0B

0A

0B

c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) 

yo = f(xo, m) có n nghiệm m Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loạiphương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x  , bậc 3, trùng phương

7 TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :

a (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm :

/ C C

yy

yy

.Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm

b Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x)

* Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo

* Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo.Dùng điều kiện tx tìm k Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 /bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến)

yy

8 TƯƠNG GIAO :

* Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x)

Số nghiệm pt = số điểm chung

* Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/

m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phươngtrình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm Nếu pt hoành độ điểmchung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y

m) = số điểm chung của (C) và (d)

 PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x  )hay dạng bậc 3 : x =   f(x) = 0 : lập , xét dấu , giải pt f(x) = 0 để biết m nàothì  là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1

0)x(f

o // o/

0)x(f

o // o/

* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị  f có CĐ và CT  f / > 0

* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị :

 Bên phải (d) : x =   y/ = 0 có 2 nghiệm  < x1 < x2

 Bên trái (d) : x =   y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < 

CT

/ CÑ

/ CÑ

a Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :

i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)

ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)

iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với x 1 < x 2

 hàm số đạt cực đại tại x 1 và đạt cực tiểu tại x 2

iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với x 1 < x 2

 hàm đạt cực tiểu tại x 1 và đạt cực đại tại x 2 thỏa điều kiện x 1 + x 2 = 2x 0 (x 0 là hoành độ điểm uốn) Ta cũng có :

i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định.ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định.iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểutại x2 thỏa x1 < x2 và x1 x2 p

c Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x  I : đặt

đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm

pt bậc 2 y/ = 0 với 

11 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :

a Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sátthì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung

b Với pt mũ, log, , , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy.biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f

13 TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :

a CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc)

tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm :

F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I

b CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay

là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số :

Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trụctung X = 0, tức x = a

c Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :

cb

axy

M M

M M

c,x

edx

cb

axy

M M

M M

cb

axy

M M

M M

M

Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max.

ax

ax

aa

(a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/

2

a)

/

v.v cos( v ,v )

M chia AB theo tỉ số k  MA kMB



k1

kyy

y,k1

kxx

M B A M

xx

M B A

3

xxxx

C B A M

C B A M

(tương tự cho vectơ 3 chiều)

* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :

)'c,'b,'a(v),c,b,a(

a,a

ac

c,c

cb

bv

VS.ABC 

/ '

D ' C ' B ' A ABCD [AB,AD].AA

0BC.AH

H là chân đường cao ha 

BH

0BC.AH

M là chân phân giác trong 

A  MB  ACABMC

M là chân phân giác ngòai 

A  MB  ACABMC

I là tâm đường tròn ngoại tiếp  IA = IB = IC

I là tâm đường tròn nội tiếp  I là chân phân giác trong 

B của ABM với M làchân phân giác trong 

xx:)d(,btyy

atx

o o

(d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0

b

ya

A A

B

A

yy

y

yx

x

xx

CByAx

2 / 2 /

/ / / 2

CyBxAB

A

CByAx

* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm

3 Mặt phẳng trong không gian :

* Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ : n = (A, B, C) hay 2 vtcp'

DCzByAx

4 Đường thẳng trong không gian :

* Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp v = (a, b, c) hay 2 pháp vectơ :'

y

ya

xx:)d(

,ctzz

btyy

atx

x

o o

o

o o

*  là góc nhọn giữa (d), (d/) thì :

cos = cos(vd ,vd/)

*  là góc nhọn giữa (d), (P) thì :

* (d) chéo (d/) , tìm đường  chung () : tìm n [v,v']; tìm (P) chứa (d), // n ;tìm (P/) chứa (d/), // n ; () = (P)  (P/)

* (d)  (P), cắt (d/)  (d) nằm trong mp  (P), chứa (d/)

* (d) qua A, // (P)  (d) nằm trong mp chứa A, // (P)

* (d) qua A, cắt (d/)  (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/)

* (d) cắt (d/), // (d//)  (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//)

* (d) qua A,  (d/)  (d) nằm trong mp chứa A,  (d/)

* Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M,  (d), H = (d)  (P)

* Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M,  (P) : H = (d)  (P)

* Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d),  (P);

(d/) = (P)  (Q)

* Tìm hc song song của (d) theo phương () xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d)// (); (d/) = (P)  (Q)

5 Đường tròn :

* Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2

* (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = A2 B2 C

* (d) tx (C)  d(I, (d)) = R, cắt  < R, không cắt  > R

* Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) :

(xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0

* Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) =MB

MA = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M  (C) 

PM/(C) = 0 , M trong (C)  PM/(C) < 0, ngoài  > 0

* Trục đẳng phương của (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0

* (C), (C/) ngoài nhau  II/ > R + R/ : (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài  = R +

R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt  R  R/ < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong  =