MỘT số DẠNG TOÁN về ELIP

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ELIP LÊ XUÂN ĐẠI GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc Các bài toán về elip trong đề thi đại học thường làm cho học sinh gặp lúng túng.. Để có thể học tốt về phần này chúng ta cần

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ELIP

LÊ XUÂN ĐẠI (GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Các bài toán về elip trong đề thi đại học thường làm cho học sinh gặp lúng túng Để có thể học tốt

về phần này chúng ta cần nắm rõ khái niệm, học thuộc những thành phần cũng như các tính chất của elip Trong bài viết này tác giả xin giới thiệu một số dạng toán về elip nhằm giúp các bạn ôn thi ĐH-CĐ tốt hơn

Do khuôn khổ của bài viết nên tác giả chỉ đưa ra những dạng toán điển hình nhất và nêu vắn tắt lời giải các bài toán

Dạng 1: Viết phương trình chính tắc của elip

Ta luôn gọi PT chính tắc của elip là

2 2

2 2 1 ( 0)

a b

a +b = > > ; chú ý quan hệ giữa a,b,c là 2 2

c= a −b

Thí dụ 1: Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong các trường hợp sau:

  và M nhìn hai tiêu điểm F F dưới một góc vuông.1, 2

2

0

60

3) Hai tiêu điểm, hai đỉnh nằm trên trục nhỏ của ( )E cùng nằm trên một đường tròn ( )C sao cho ' ( )C tiếp' xúc với đường tròn ( )C :x2 + y2 −8x+12 0=

Lời giải 1) Do (E) đi qua M nên 92 162 1

1

2

2 2

1

5

a b





 − =



Giải hệ ta được

2 2

Trường hợp tổng quát khi ∠F MF1 2 =α cho trước dành cho bạn đọc.

2) Tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 60 nên tam giác 0 FB B đều (1 2 B B là hai đỉnh trên trục nhỏ), suy ra1, 2

c b= ⇒ =a b, từ đó tìm ra

2 2

9 9 4

1 2

B FB α

3) Ta có ngay b c= Đường tròn ( )C có tâm I( )4;0 , bán kính R=2 và đường tròn ( )C có tâm ' O( )0;0 , bán kính 'R =b

+) Nếu (C) và (C') tiếp xúc trong thì OI = − ⇔ = − ⇔ = ⇒ =R b 4 b 2 b 6 a 6 2

+) Nếu (C) và (C') tiếp xúc ngoài nhau thì OI = + ⇔ = + ⇔ = ⇒ =R b 4 b 2 b 2 a 8

Do đó PT của ( ): 2 2 1

Bài tương tự: Cho đường tròn ( )C :x2 + y2 −2x−2y=0 Hãy viết phương trình chính tắc của elip ( )E ;

biết rằng hai tiêu điểm, hai đỉnh nằm trên trục nhỏ của ( )E cùng nằm trên một đường tròn ( )C và đường' tròn ( )C cắt đường tròn ' ( )C tại hai điểm , A B sao cho đường thẳng AB đi qua điểm M( )1;1 .

Dạng 2: Tìm các điểm thuộc Elip thỏa mãn điều kiện cho trước

Với dạng bài này ta chú ý tới công thức bán kính qua tiêu: M x y( ; ) ( )∈ E thì MF1= +a ex MF; 2 = −a ex

Thí dụ 2: Cho elíp

2 2

1) Tìm điểm M∈( )E sao cho MF1=2MF2.

2) Tìm điểm M∈( )E sao cho M nhìn hai tiêu điểm F F một góc 1, 2 0

120 3) Tìm điểm M∈( )E sao cho ∠MF F1 2=1200

Lời giải 1) Gọi ( ; ) 1 2 3 ; 2 2 3

M x y ⇒MF = + x MF = − x Từ 1 2

4 2

3 3

MF = MF ⇒ =x .

3 3

±

4c =F F =MF +MF -MF MF .cos120

Ta được một PT bậc hai ẩn x

3) Trong trường hợp này trước hết ta xét điểm M nằm phía trên trục hoành.

Ta sẽ có hai đáp số đó là M và điểm 1 M đối xứng với 2 M qua trục hoành.1

Nhận xét: Trong cả hai trường hợp trên ta đều có thể thay góc ∠F MF1 2 =α và ∠MF F1 2=α với α bất kì

Thí dụ 3 (ĐH KA năm 2011) Cho elíp

2 2

độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

Lời giải Gọi ( ; ) A x y ⇒B x y x( ;− ); >0 Ta có 2

AB= y = −x

OAB

OH = ⇒x S = OH AB= x −x = x −x ≤

−

−

Nhận xét: Việc đánh giá maxS khá thuận lợi vì hoành độ của A và B dương Trong những trường hợp khác

ta có thể đưa về khảo sát hàm số Ta minh họa điều này bằng một bài toán tương tự sau:

Thí dụ 4 Cho elip

2 2

giác CAB cân tại C và có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn Gọi ( ; ) A x y ⇒B x y( ;− ) Tính được S ABC = (2−x y)

Ta có

2

4

ABC

x

2 4

4

x

Khảo sát hàm f(x) suy ra f(x) đạt max tại x=1 Từ đó suy ra tọa độ các điểm cần tìm A,B

Trong hai thí dụ 3 và 4 ta đều sử dụng tính chất đối xứng của elip, cụ thể là gọi ( ; )A x y thì ta suy ra

B x y−

Tuy nhiên nếu không sử dụng được tính chất này nữa thì vấn đề sẽ khó khăn hơn rất nhiều Ta tiếp tục xét bài toán sau

Thí dụ 5 Cho elip

2 2

và có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn Ta hoàn toàn không thể xử lí bài toán như trong thí dụ 3 và 4 Tuy nhiên dấu hiệu tam giác

OAB vuông tại O gợi ta nhớ đến một kết quả cơ bản trong elip:

Nếu A và B là hai điểm di động trên elip

2 2

2 2

a +b = sao cho OA OB⊥ thì 12 12 12 12

OA +OB =a +b

không đổi (Kết quả này xin dành cho bạn đọc)

Áp dụng kết quả này ta được:

2 2

a b S

a +b =OA +OB ≥OA OB = S ⇒ ≥a b

Nhận xét: Cũng từ kết quả 12 12

OA +OB không đổi ta suy ra đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường

OH

a b

= + Bài toán 7.b trong đề thi ĐH khối B năm 2012 cũng dựa trên

tư tưởng này

Dạng 3: Tương giao giữa đường thẳng và elip

Thí dụ 6 Cho elip

2 2

100 36

tại hai điểm A và B sao cho MA MB=

Lời giải Nếu elip (E) được thay bởi một đường tròn (C) thì đây là bài toán dễ Tuy nhiên với elip thì phức

tạp hơn hẳn Ta có thể giải như sau:

Gọi

2 2

100 36

A x y ∈ E ⇒ + = (1) Do M là trung điểm của AB nên (6 B −x; 4−y)

Vì

(2) Từ (1) và (2) ta được 27x+50y−131 0= (*)

Do tọa độ A,B đều thỏa mãn (*) nên phương trình (*) chính là PT đường thẳng d cần tìm.

Nhận xét: Bằng cách này ta có thể giải được bài toán tổng quát khi thay giả thiết MA MB= bằng giả thiết

M chia đoạn AB theo tỉ số k nào đó.

Thí dụ 7 Cho elip

2 2

E + = và đường thẳng :d x− 2y+ =2 0 Chứng minh rằng d cắt (E) tại hai điểm phân biệt B và C Tìm điểm A thuộc (E) sao cho tam giác ABC cân tại A.

Lời giải Tọa độ B, C là nghiệm của hệ:

2 2

2 2 2 8 2

 Gọi ( ; )I x y là trung điểm BC, ta có ngay I I y I =12(y A+y B) = 22 (định lý Viét)

Từ đó tìm ra x I = −1 Vậy 1; 2

2

I 

Khi đã có I ta sẽ viết được phương trình trung trực của đoạn BC, từ đó tìm ra tọa độ điểm A cần tìm

Cuối cùng là một số bài tập cho các bạn luyện tập

Bài 1: (ĐH KB- 2010) Cho elip

2 2

của AF với (E) N đối xứng với 1 F qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 ANF 2

Bài 2: Cho hai elip

2 2

1 2 2

( ) :E x + y =1

2 2 2

12x + y3 =

cùng đi qua điểm M nằm trên đường thẳng x y− + =6 0 Tìm vị trí điểm M để độ dài trục lớn của ( )E là1

nhỏ nhất

Bài 3: Cho elip ( ): 2 2 1

vuông cân tại A

Bài 4: Cho hai elip

2

điểm của hai elip ( ),( )E1 E 2