Thông tin tài liệu
TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) ĐỀ Câu Tìm số có chữ số: thỏa mãn điều kiện a b sau: a) b) Câu Chứng minh rằng: ( xm + xn + ) chia hết cho x2 + x + ( mn – 2) Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Câu Giải phương trình: x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) Câu Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đường kẻ từ A B song song với BC AD cắt đường chéo BD AC tương ứng F E Chứng minh: EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gọi S1 , S2, S3 S4 theo thứ tự diện tích tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chứng minh: S1 S2 = S3 S4 Câu Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45 ĐÁP ÁN Câu Ta có a1a2a3 = (a7a8) (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Từ (1) (2) => => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ⬄ ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600 ⬄( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 số 57613824 b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => số 62515625 c) a7a8 = 26 => không thoả mãn câu Đặt m = 3k + r với n = 3t + s với m n 3k+r 3t+s 3k r r ⇨ x + x + = x + x + = x x – x + x3t xs – xs + xr + xs + = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1 ta thấy: ( x 3k – 1) ( x2 + x + 1) ( x3t –1 ) ( x2 + x + 1) vậy: ( xm + xn + 1) ( x2 + x + 1) ( xr + xs + 1) ( x2 + x + 1) với r = s =1 => m = 3k + n = 3t + 1 TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) r = s = m = 3k + n = 3t + mn – = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t) mn – = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn – 2) Điều phải chứng minh áp dụng: m = 7; n = => mn – = 12 ⇨ ( x + x + 1) ( x + x + 1) ⇨ ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + Câu Giải PT: Nhân vế với ta được: Câu a) Do AE// BC => A B BF// AD MặT khác AB// CD ta lại có D b) A1B1 nên => EF // AB ABCA1 ABB1D hình bình hành => A1C = DB1 = AB Vì EF // AB // CD nên c) Ta có: S1 = AH.OB; S2 = => AB = EF.CD CK.OD; S3 = AH.OD; S4 = => ; => 2 Câu A = x - 2xy+ 6y - 12x+ 2y + 45 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ OK.OD => S1.S2 = S3.S4 C TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + Giá trị nhỏ A = Khi: y- = => y=1 x- y- = x=7 ĐỀ Câu 1: a Rút gọn biểu thức: A= (2+1)(22+1)(24+1) .( 2256 + 1) + b Nếu x2=y2 + z2 Chứng minh rằng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 Câu 2: a Cho (1) (2) Tính giá trị biểu thức A= b Tính : B = Câu 3: Tìm x , biết : (1) Câu 4: Cho hình vng ABCD, M ∈ đương chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD Chứng minh rằng: a.BM ⊥ EF b Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy Câu 5: Cho a,b, c, số dương Tìm giá trị nhỏ P= (a+ b+ c) ( ) ĐÁP ÁN Câu 1: a ( 1,25 điểm) Ta có: A= (2-1) (2+1) (22+1) + = (22-1)(22+1) (2256+1) = (24-1) (24+ 1) (2256+1) = [(2256)2 –1] + = 2512 b, ( điểm) Ta có: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y )2 –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 –16 z2 (*) Vì x2=y2 + z2 ⇒ (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2 TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) Câu 2: ( 1,25 điểm) a Từ (1) ⇒ bcx +acy + abz =0 Từ (2) ⇒ b ( 1,25 điểm) Từ a + b + c = ⇒ a + b = - c ⇒ a2 + b2 –c2 = - 2ab Tương tự b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac ⇒ B= Câu 3: ( 1,25 điểm) (1) ⇔ ⇒ x= 2007 A Câu 4: a ( 1,25 điểm) Gọi K giao điểm CB với EM; H giao điểm EF BM ⇒ Δ EMB =ΔBKM ( gcg) ⇒ Góc MFE =KMB ⇒ BH ⊥ EF E b ( 1,25 điểm) Δ ADF = ΔBAE (cgc) ⇒AF ⊥ BE Tương tự: CE ⊥ BF ⇒ BM; AF; CE đường cao ΔBEF ⇒ đpcm Câu 5: ( 1,5 điểm) Ta có: D B M H F P=1+ Mặt khác với x, y dương ⇒ P 3+2+2+2 =9 Vậy P = a=b=c ĐỀ Bài (3đ): 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 2) Giải phương trình: Bài (2đ): Tìm giá trị nguyên x để biểu thức Bài (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) K có giá trị nguyên C TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) 1) Kẻ đường cao BM; CN tam giác Chứng minh rằng: a) đồng dạng b) góc AMN góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK = AC Gọi E trung điểm BC; F trung điểm AK Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax góc BAC Bài (1đ): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: , ( x khác 0) ĐÁP ÁN Bài (3đ): 1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1đ) b) a10 + a5 + = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + ) = (a2 + a + )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 a+ ) (1đ) 2) ( +1) + ( ( x + 100 )( + 1) = ( + - + 1) + ( - + 1) (0,5đ) (0,25đ) )=0 Vì: + Do : x + 100 = x = -100 Vậy phương trình có nghiệm: x = -100 (0,25đ) Bài (2đ): (0,5đ) P= x nguyên x + có giá trị ngun để P có giá trị ngun => * 2x - = => x = * 2x - = -1 => x = * 2x - = => x = phải nguyên hay 2x - ước nguyên (0,5đ) TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) * 2x - = -5 => x = -2 (0,5đ) Vậy x = P có giá trị nguyên Khi giá trị nguyên P là: x = => P = x = => P = -3 x = => P = x = -2 => P = -1 (0,5đ) Bài (4đ): _ 1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN (1đ) b) Từ câu a suy ra: AMN đồng dạng ABC AMN = ABC ( hai góc tương ứng) (1,25đ) 2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax H (0,25đ) BAH = CHA ( so le trong, AB // CH) mà CAH = BAH ( Ax tia phân giác) (0,5đ) Suy ra: CHA = CAH nên CAH cân C : CH = CA => CH = BK CH // BK (0,5đ) BK = CA Vậy tứ giác KCHB hình bình hành suy ra: E trung điểm KH Do F trung điểm AK nên EF đường trung bình tam giác KHA Do EF // AH hay EF // Ax ( đfcm) (0,5đ) Bài (1đ): A= = + = A = x - 2007 = hay x = 2007 (0,5đ) ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) Cho biểu thức A = a, Tìm điều kiện x để A xác định TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) b, Rút gọn biểu thức A c, Tìm giá trị x để A > O Câu ( 1,5 điểm ) Giải phơng trình sau : Câu ( 3,5 điểm): Cho hình vng ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vng góc với lần lợt cắt BC tai P R, cắt CD Q S 1, Chứng minh AQR APS tam giác cân 2, QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật 3, Chứng minh P trực tâm SQR 4, MN trung trực AC 5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Câu ( điểm): Cho biểu thức A = Câu ( điểm) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên a, Chứng minh b, Cho Tính ĐÁP ÁN Câu a, x 2,x -2 , x b, A= = = c, Để A > Câu ĐKXĐ : PT TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) x =1 ; x = ; x = - 2/ Cả giá trị thỏa mãn ĐKXĐ Vậy PT cho có tập nghiệm S = Câu 3: 1, ADQ = ABR chúng hai tam giác vng (để ý góc có cạnh vng góc) DA=BD ( cạnh hình vng) Suy AQ=AR, nên AQR tam giác vng cân Chứng minh tợng tự ta có: ARP= ADS AP = AS APS tam giác cân A 2, AM AN đờng trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN SP AM RQ Mặt khác : = 450 nên góc MAN vng Vậy tứ giác AHMN có ba góc vng, nên hình chữ nhật 3, Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA RC hai đờng cao SQR Vậy P trực tâm SQR 4, Trong tam giác vuông cân AQR MA trung điểm nên AM = QR Trong tam giác vng RCQ CM trung tuyến nên CM = QR MA = MC, nghĩa M cách A C Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vuông SCP, ta có NA= NC, nghĩa N cách A C Hay MN trungtrực AC 5, Vì ABCD hình vng nên B D cách A C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cách A C nên chúng phải nằm đờng trung trực AC, nghĩa chúng thẳng hàng Câu Ta có ĐKXĐ x -1/2 A = (x + 1) + x Z nên để A nguyên nguyên Hay 2x+1 ớc Vậy : 2x+1 = x=1/2 ( loại ) 2x+1 = x=0 2x+1 = -1 x = -1 2x +1 = -2 x = -3/2 ( loại ) KL : Với x = , x= -1 A nhận giá trị nguyên TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) Câu a, , Chứng minh Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh b, Ta có (vì nên ) Theo giả thiết ===================== ĐỀ Bài : (2 điểm) Cho biểu thức : M= a) Rút gọn b) Tìm giá trị bé M Bài : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên A= Bài : điểm Giải phương trình : a) x2 - 2005x - 2006 = b) + + =9 Bài : (3đ) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua E kẻ tia Ax vng góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh : a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi b) AEF ~ CAF AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Bài : (1đ) Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hết cho 24 ĐÁP ÁN Bài : TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) a) M = x4+1-x2) = b) Biến đổi : M = M bé =0 x = M bé = -2 lớn Bài : Biến đổi A = 4x2+9x+ 29 + A Z ∈ Z x-3 = ; ; x = -1; 1; 2; ; ; Bài : a) Phân tích vế trái (x-2006)(x+1) = (x-2006)(x+1) = x1 = -1 ; x2 = 2006 c) Xét pt với khoảng sau : x< ; x < ; x < ; x Rồi suy nghiệm phương trình : x = ; x = 5,5 Bài : a) ABE = ADF (c.g.c) AE = AF AEF vuông cân tại A nên AI ⊥ EF IEG = IEK (g.c.g) IG = IK Tứ giác EGFK có đường chéo cắt trung điểm đường vng góc nên hình EGFK hình thoi b) Ta có : = ACF = 450 , góc F chung x2+1 bé x2 x-3 ước AKI ~ CAF (g.g) d) Tứ giác EGFK hình thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE Chu vi tam giác EKC KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Không đổi) Bài : Biến đổi : B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n3+72n2-144n+120 Suy B 24 ================================ ĐỀ Câu 1: ( điểm ) Cho biểu thức: A= 1) Rút gọn biểu thức A ( Với x ≠ ; x ≠ 10 ) TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) Vậy P = x 0,25đ Nên P mẫu x2 + >0 với tử = b Giải PT: x2 + 5x + = (x + 2)(x + 3) x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) x2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6) Trong TXĐ = phương trình trở thành: Vậy PT cho có nghiệm x =2; x = -10 Bài (1đ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A đạt giá trị nhỏ -1 hay x = A đạt GTLN A = Bài (3đ) a.(0,75đ) E đôie xứng với H qua AB nên AB đường trung trực đoanh thẳng EH góc EAH = gócIAH (1) góc FAD = gócDAH (2) 37 TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) cộng (1) (2) ta có : góc EAH + góc FAD = gócDAH + gócIAH = 90 theo giả thuyết hay gócEAI + gịcAD + BAC = 900 + 900 = 1800 Do điểm E, A, F thẳng hàng b Tam giác ABC vng A nên gócABC + ACB = 900 (hai góc nhọn tam giác vng) Mà gócEBA = gócABH (tính chất đối xứng) gócCA = gócHCA (tính chất đối xứng) suy góc EBA + góc FCA = 900 haygóc EBA + góc FCA + góc ABC + góc ACB = 1800 suy góc EBC + góc FBC = 1800 (hai góc phía bù nhau) BE song song CF Vởy tứ giác BEFC hình thang 0,75đ Muốn BEFC hình thang vng phải có góc AHC = 90 ( ) H phải chân đường cao thuộc cạnh huyền tam giác ABC Muốn BEFC hình bình hành BE = CF suy BM = HC Vậy H phải trung điểm BC………… 0,25đ Muốn BEFC hình chữ nhật BEFC phải có góc vng suy ( ) điều khơng xảy tam giác ABC khơng phaỉ tam giác vuông cân… 0,25đ c.lấy H thuộc BC gần B ta có: dựng hình chữ nhật HPQD AIHD Stam giác EHF = Stứ giác ảIPQ Ta có tam giác HBI = tam giác HMB (g.c.g) suy với H gần C ta có:Stứ giác ABMQ < Stam giác ABC H di chuyển BC ta ln có SEHF Tại vị trí h trung điểm BC ta có SEHF = SABC Do H trung điểm BC SEHF lớn Bài (1đ) Cho số dương a, b, c có tích Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) Do a, b, c số dương nên ta có; (a – 1)2 Tương tự (b + 1)2 4b (2)………………0,25đ (c + 1)2 4c (3) …………0,25đ Nhân vế (1), (2), (3) ta có: (b + 1)2(a – 1)2(c + 1)2 64abc (vì abc = 1) 38 (1) …………0,25đ TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) ((b + 1)(a – 1)(c + 1))2 64 (b + 1)(a – 1)(c + 1) 8… 0,25đ ======================================= ĐỀ 20 Câu I :(3đ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x +8x + 19x +12 B = x3 +6x2 +11x +6 b) Rút gọn phân thức : Câu II : (3đ) ) Cho phương trình ẩn x Giải phương trình với a = Tìm giá trị a cho phương trình a) b) nhận x = -1 làm nghiệm ) Giải bất phương trình sau : 2x2 + 10x +19 > Câu III (3đ): Trong hình thoi ABCD người ta lấy điểm P Q theo thứ tự AB CD cho AP = 1/ AB CQ = 1/ CD Gọi I giao điểm PQ AD , K giao điểm DP BI , O giao điểm AC BD a) Chứng minh AD = AI , cho biết nhận xét tam giác BID vị trí K IB b) Cho Bvà D cố định tìm quỹ tích A I Câu IV : (1đ) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau : yx2 +yx +y =1 ĐÁP ÁN Bài I : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4) B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3) (1đ) (1đ) (1đ) 2) Bài II :1) Phương trình Điều kiện: x -2 x a (1) – a2 - + 4a = 2(2- a)x (1) x2 – a2+ x2 – = 2x2 + 2(2- a)x – 4a 39 TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) - (a - 2)2 a) b) = 2(a - 2)x (*) với a =4 thay vào (*) ta có : =4x x=1 (1đ) Thay x= -1 vào (*) ta (a – ) + (a - 2)= (a - 2) (a – + 2) = a=2 (1đ) a=0 2) Giải bất phương trình : 2x2 + 10x + 19 > (1) Biến dổi vế trái ta 2x2 + 10x + 19 = 2x2 + 8x +8 + 2x +4 +7 =2(x2 + 4x +4) + 2(x +2) + = 2(x + 2)2 +2(x + 2) + = (x + 3)2 + (x + 2)2 + lớn với x Nên bất phương trình (1) Nghiệm với x Bài III AP // DQ (1đ) Xét tam giác IDQ có AP = DQ Theo định lý Ta Lét tam giác ta có : (0,75đ ) Tam giác BID tam giác vng B AO DB AO đường trung bình BID Điểm K trung điểm IB (Do DK đường trung tuyến BID ) (0,75đ) b) Với B D cố định nên đoạn DB cố định.Suy trung điểm O cố định Mặt khác AC BD , BI DB vai trò A C Nên quỹ tích A đường thẳng qua O vng góc với BD trừ điểm O.Quỹ tích điểm I đường thẳng qua B vng góc với BD trừ điểm B (1đ) Đảo: Với A I chạy đường AD = AI Thì AP = Thật : Do AP // DQ suy (0,5đ) AB CQ = mà AB = CD 40 CD ĐPCM TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) Bài IV: y x2 + y x + y = (1) Nếu phương trình có nghiệm x ,y > (1) y(x2 + x +1) = y= y = ,x= x + x +1 =1 Vậy nghiệm phương trình (x,y) = (0 ,1) (1đ) =================================== ĐỀ 21 I Đề bài: Bài 1:(2 điểm) Cho A = Rút gọn biểu thức A, biết a + b + c = Bài 2:(3 điểm) Giải phương trình: 1) (x+1) + (x+3)4 = 16 2) Bài 3:(2 điểm) Chứng minh số: số nguyên a= Bài 4:(3 điểm) Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD DA a) Tứ giác MNPQ hình gì? Tại sao? b) Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ hình vng? c) Với điều kiện câu b), tính tỷ số diện tích hai tứ giác ABCD MNPQ ĐÁP ÁN Bài 1:(2 điểm) Ta có: a + b + c = b + c = - a Bình phương hai vế ta có : (b + c)2 = a2 b2 + 2bc + c2 = a2 b2 + c2 - a2 = -2bc Tương tự, ta có: c2 + a2 - b2 = -2ca a2 + b2 - c2 = -2ab 41 0.25 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) A= Vậy A= 0.5 điểm 0.25 điểm (vì a + b + c = 0) Bài 2:(3 điểm) Giải phương trình: 1) Đặt y = x + ta phương trình: (y – 1)4 + (y +1)4 = 16 2y4 + 12y2 + = 16 y4 + 6y2 -7 = Đặt z = y2 ta phương trình: z2 + 6z – = có hai nghiệm z1 = z2 = -7 0.5 điểm 0.5 điểm ● y2 = có nghiệm y1 = ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3 ● y2 = -7 khơng có nghiệm 0.5 điểm 2) 0.5 điểm 0.5 điểm =0 0.5 điểm Vì Bài 3:(1,5 điểm) Ta có: 0,5điểm a= = ; Mặt khác a > Do a khơng ngun Bài 4:(3,5 điểm) Vẽ hình, viết giả thiết - kết luận 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 42 TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) a) Chứng minh MNPQ hình bình hành b) MNPQ hình vng AC = BD, AC BD c) SABCD = ; SMNPQ = điểm điểm 0.5 điểm ; 0.5 điểm ========================= ĐỀ 22 Bài (3 điểm) a Phân tích đa thức thành nhân tử A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120 b Chứng tỏ đa thức A chia hết cho 24 Bài ( điểm) a Tìm nghiệm nguyên tử phương trình: b Tìm giá trị lớn biểu thức: B = với x # Bài ( điểm) Rút gọn biểu thức: P = Bài ( điểm ) Cho Tam giác ABC vuông cân A Điểm M cạnh BC Từ M kẻ ME vng góc với AB, kẻ MF vng góc với AC ( E AB ; F AC ) a Chứng minh: FC BA + CA B E = AB2 chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí M b Tâm vị trí M để diện tích tứ giác MEAF lớn c Chứng tỏ đường thẳng qua M vng góc với EF qua điểm cố định ĐÁP ÁN Bài 1: a A = x – 14x + 71x - 154 x + 120 Kết phân tích A = ( x –3) (x-5) (x-2) (x-4) b A = (x-3) (x-5) (x-2) (x-4) 43 ( 2điểm ) TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) => A= (x-5) (x-4) (x-3) (x-2) Là tích số nguyên liên tiêp nên A 24 (1 điểm ) Bài 2: a Tìm nghiệm phương trình x1 = 0; x2= -1 (1.5 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức B= với x # giải tìm B max = 1/2 x = Bài Rút gọn biểu thức: P= Bài 4: Giải a chứng minh F C BA + CA BE = AB2 (0,5 điểm ) + Chứng minh chu vi tứ giác MEAF = AB ( khơng phụ vào vị trí M ) ( 0,5 điểm ) b Chứng tỏ M trung điểm BC Thì diện tích tứ giác MEAF lớn (1 điểm ) c Chứng tỏ đường thẳng MH ( 1, điểm ) ( 1điểm ) EF qua điểm N cố định ( điểm ) Đề 23 Bài 1: (3đ) Chứng minh rằng: a) 85 + 211 chia hết cho 17 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài 2: (3đ) a) Rút gọn biểu thức: b) Cho Tính Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD + CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳmg cắt AC K Chứng minh AB = CK Bài (1đ) 44 TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau (nếu có): M = 4x2 + 4x + ĐÁP ÁN Bài : (3đ) a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Rõ ràng kết chia hết cho 17 b) (1,5đ) áp dụng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với n lẽ Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44 Bài : (3đ) a) (1,5đ) Ta có: x2 + x – = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2) x3 – 4x2 – 18 x + = x3 – 7x2 + 3x2 - 21x + 3x + =(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9) =x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3) =(x+3)(x2 –7x +3) => b) (1,5đ) Vì Do : Với điều kiện x = xyz( + + )= Bài : (3đ) Chứng minh : Vẽ hình bình hành ABMC ta có AB = CM Để chứng minh AB = KC ta cần chứng minh KC = CM 45 -1 ; x2 -7x + TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) Thật xét tam giác BCE có BC = CE (gt) => tam giác CBE cân C => góc C1 góc ngồi tam giác BCE => mà AC // BM (ta vẽ) => nên BO tia phân giác Hồn tồn tương tự ta có CD tia phân giác góc BCM Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy O => MO phân tia phân giác góc CMB Mà : hai góc đối hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giác góc A theo gt tia phân giác góc A cịn song song với OK => K,O,M thẳng hàng Ta lại có : mà (hai góc đồng vị) => cân C => CK = CM Kết hợp AB = CM => AB = CK (đpcm) Bài 4: (1đ) Ta có M= 4x2 + 4x + =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4 = (2x + 1)2 + Vì (2x + 1)2 =>(2x + 1)2 + 4 ⬄M Vậy giá trị nhỏ M = x = - ĐỀ SỐ Câu (3,0 điểm): x2 4x Cho biểu thức : A 3 : x 1 x 1 3x 3x x 3x a) Tìm điều kiện x để A xác định, Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC thỏa mãn hệ thức : a + b + c = 3abc Hỏi tam giác ABC tam giác Câu (1,5 điểm): Tìm n¢ cho: n + n – 17 bội n + 46 3 TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) Câu (2,0 điểm): Lúc sáng, ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách 36 km, quay trở bến A lúc 11 30 phút Tính vận tốc ca nơ lúc xi dịng, biết vận tốc nước chảy km/h Câu (2,5 điểm): Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E; F trung điểm cạnh AB, BC M giao điểm CE DF a) Chứng minh CE vuông góc với DF b) Chứng minh AM = AD c) Tính diện tích MDC theo a Câu (1,0 điểm): Cho số nguyên dương m, n Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 36m 5n ĐỀ SỐ Bài ( điểm): a) Tìm x, y biết: 2x2 + y2 + = 4(x – y) b) Cho x, y hai số khác thỏa mãn: x2 + y = y2 + x Tính giá trị biểu thức A x y2 xy xy c) Cho a > b > Trong hai số sau số lớn A a a2 an1 b b2 bn1 B a a2 an b b2 bn ax b a(x 1) Bài ( điểm): Cho phương trình: (1) x 1 x 1 x 1 a) Giải phương trình a = 2; b = - b) Giải biện luận phương trình (1) Bài ( 3,5 điểm): a) Cho A = a2 + b2 + c2 , a;b hai số tự nhiên liên tiếp c = a.b Chứng minh A số phương lẻ 47 TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) b) Cho số tự nhiên n > Chứng minh 2n = 10a + b ( < b < 10) tích a.b chia hết cho Bài ( điểm): Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AA’ Gọi E F hình chiếu A’ lên AC AB Chứng minh rằng: a) AA'C ∽ BAC từ suy AC2 = CA’.CB b) CE AC3 BF AB3 c) D điểm nằm cạnh huyền BC; M,N hình chiếu D lên AB AC Chứng minh DB.DC = MA.MB + NA.NC Bài ( 1.5 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S O điểm nằm tứ giác cho OA + OB2 + OC2 + OD2 = 2S Chứng minh ABCD hình vng có tâm O ĐỀ SỐ Câu (2 điểm) : Cho biểu thức A = x 3x x4 x 1 x x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh giá trị A dương với x ≠ - Câu (3 điểm): a) Chứng minh rằng: Với x Q giá trị đa thức : M = x 2 x x x 8 16 bình phương số hữu tỉ b) Giải phương trình x x( x 1) Câu (1,5 điểm): Đa thức P(x) bậc có hệ số bậc cao Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= Hãy tính giá trị biểu thức: Q= P(-2)+7P(6) Câu4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Vẽ hình vng MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P Q thuộc cạnh BC Gọi E F giao điểm BN MQ; CM NP Chứng minh rằng: 48 TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) a) DE song song với AC b) DE =DF; AE =AF Câu5 (1 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: a b c Với a b c ab bc ca ĐỀ SỐ Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a/ b/ Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: a/ b/ Bài 3: (2điểm) a Căn bậc hai 64 viết dới dạng sau: Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng dới dạng nh số nguyên? Hãy tồn số b Tìm số dư phép chia biểu thức cho đa thức Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: 49 TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) ĐỀ SỐ 10 Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A = 2x x 2x x 5x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A nhận giá trị số nguyên Câu 2: (4 điểm) x2 5x x2 4x 2 a) Giải phương trình: 2x 1 x 1 b) Giải phương trình: x6 – 7x3 – = Câu 3:( điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x20 + x +1 b) Tìm số nguyên x thỏa mãn hai bất phương trình: 3x x 2x x 0,8 Câu (3 điểm) a) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: y 2xy 3x b) Cho x, y thoả mãn xy Chứng minh rằng: 1 2 1 x 1 y xy Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BD, CE cắt H a) Chứng minh ABD ∽ ACE b) Chứng minh BH.HD = CH.HE c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a,b 50 TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI HSG LỚP (có đáp án) 51
Ngày đăng: 03/04/2023, 16:57
Xem thêm:
