Vậy giá trị cần tìm là 4.. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d có phương trình 3 2 y= − +x sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị C và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau...
Trang 1Trung tâm LTĐH Moon.vn – Số nhà 25B – Ngõ 66 – Thái Thịnh II www.moon.vn
02 CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VỀ HÀM SỐ - P1
I MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ CỰC TRỊ VÀ TIẾP TUYẾN
y= f x =mx + mx − m− x− , m là tham số Xác định các giá trị của m để hàm số y= f x( ) không có cực trị
Lời giải:
+ Khi m = 0 ⇒ y= −x 1, nên hàm số không có cực trị
Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi 'y =0 không có nghiệm hoặc có nghiệm kép
' 9m 3m m 1 12m 3m 0
4
m
⇔ ≤ ≤
Bài 2: Cho hàm số 1 3 2 2 3
3
y = x − m x + m x , m là tham số thực Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2
sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
2 2
x mx m m
D
+ −
+ −
Lời giải:
Ta có y'=x2−4mx+3m
hàm số đạt cực trị tại x1, x2 khi và chỉ khi 2
3
0
m
m
>
− > ⇔
<
(*)
Khi đó
2
2
4 3
4 3 4
16 12
D
−
−
Với m thỏa mãn (*) thì
12
16m−
m
và
m
m 12
16 −
là hai số dương, nên áp dụng BĐT Cosi ta có D≥2,
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4
5
m=
Vậy minD = 2 khi 4
5
m= Vậy giá trị cần tìm là 4
5
m=
Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) có phương trình
3 2
y= − +x sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
Lời giải:
Gọi M a( ; 3− +a 2) là điểm cần tìm
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm (x0; y0) là: y = (3x02 – 3)(x – x0) + x03 – 3x0 +2
Tiếp tuyến đi qua M(a; b) nên ta có -3a + 2 = (3x02 – 3)( a – x0) + x03 – 3x0 + 2
⇔2x03 – 3ax02 = 0 ⇔x0 = 0 hoặc x0 = 3a/2
Có hai tiếp tuyến đi qua M với hệ số góc là k1= f '(0)= −3 và 2 ' 3
2
a
k f
=
=
2
27
3 4
a −
Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau ⇔k1.k2 = -1 ⇔a2 = 40/81 ⇔a =
9
10 2
±
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M(
9
10 2
± ; 2
3
10
Trang 2Bài 4: Cho hàm số 2 3
2
x y x
+
=
− Tìm m để đường thẳng ( )d :y=2x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau
Lời giải:
2 3
2
x
x m
= + ⇔
− ≠
(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và khác 2
0
2 0
g
g
∆ >
⇔ ⇔ − + + > ⇔ + + >
≠
Với điều kiện trên giả sử đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ x1≠x2
Theo Vi-ét ta có 1 2 6
2
m
x + =x −
Tại hai giao điểm kẻ hai tiếp tuyến song song khi và chỉ khi y x'( )1 = y x'( )2 ⇔ + =x1 x2 4 ⇔ = −m 2
Vậy m= −2 là giá trị cần tìm
3 2 m
y= −x mx+ C Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của( )C m cắt
đường tròn tâm I( )1;1 , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá
trị lớn nhất?
Lời giải:
Ta có y'=3x2−3m
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình 'y =0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ >m 0
Vì 1 ' 2 2
3
y= x y − mx+ nên đường thẳng ∆ đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là
y= − mx+
Ta có ( ) 2 2 1
m
m
−
∆ = < =
+ (vì m > 0), chứng tỏ đường thẳng ∆ luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán
kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt
Với 1
2
m≠ , đường thẳng ∆ không đi qua I, ta có: 1 sin 1 2 1
ABI
S∆ = IA IB AIB≤ R =
IAB
S∆ đạt giá trị lớn nhất bằng 1
2 khi
sinAIB=1 hay tam giác AIB vuông cân tại I 1
R
IH
⇔ = = (với H là trung điểm của AB)
2
2 2
4 1
m
m m
+ là giá trị cần tìm
Bài 6: Cho hàm số y= −x3 3x2+mx+1, với m là tham số thực Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và
khoảng cách từ điểm 1 11
;
2 4
đến đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất
Lời giải:
Ta có y= −x3 3x2+mx+1⇒y'=3x2−6x+m
+ Hàm số có cực trị khi m < 3
+ Chia y cho ' y ta được 1 ' 2 2 1 2 2 1
= − + − + + ⇒ = − + +
đường thẳng qua các điểm cực trị Đặt : 2 2 1
y x
∆ = − + +
Trang 3Trung tâm LTĐH Moon.vn – Số nhà 25B – Ngõ 66 – Thái Thịnh II www.moon.vn
;
1
t
d I
t
+
Đặt
2
2
1 1
2 16 4
u
u
u u
= − ⇒ = =
+ + + + + +
m
a= − ⇔ = −u ⇔ = + = − ⇔t u − = − ⇔ =m
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Bài này còn một cách giải khác khá hay và độc đáo, các em tự tìm hiểu nhé!
Bài 7: Cho hàm số 1 4 2 3,
y= x −mx + với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực
đại, cực tiểu sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu bằng 2 5
Lời giải:
x
=
=
+ Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt, tức là m>0
+ Với m > 0 ta có tọa độ cực tiểu là ; 1 2 3 , ; 1 2 3 (2 ; 0)
− − + − + ⇒ =
Theo bài, AB=2 5 ⇔ =m 5
Bài 8: Cho hàm số y x 2
x 1
−
= + , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến tạo
với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
Lời giải:
PT tiếp tuyến d có dạng
( )2 ( 0) 0
x 1
x 1
−
+ + , (với x là hoành độ tiếp điểm) 0
Giao điểm của d lần lượt với tiệm cận đứng, tiệm cận ngang là: 0
0
x 5
A 1; ;
x 1
+
B 2x( 0+1;1)
o
6
IA ; IB 2x 2 IA.IB 12
x 1
Khi đó
r
p 2p IA IB AB IA IB IA IB 2 IA.IB 2IA.IB 2 3 6
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi IA=IB⇔ x0+12 = ⇔3 x0 = − ±1 3
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y= + −x 2 2 3 hoặc y= + +x 2 2 3
Trang 4Bài 9: Cho hàm số ( 2) 3( 1) 1
2
= x m x m x
y (1), với m là tham số Tìm m>0 để đồ thị hàm số có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là y CĐ,y CT thỏa mãn 2y CĐ+y CT =4
Lời giải:
Ta có y'=3x2 −3(m−2)x−3(m−1),∀x∈R
−
=
=
−
=
=
⇔
= +
−
−
−
⇔
=
1
1 0
1 )
2 ( 0
'
2
1 2
m x x
x x m
x m x
y
Dễ thấy, với m>0 thì x1<x2 Khi đó hàm số đạt cực đại tại x1 =−1 và đạt cực tiểu tại x2 =m−1
2
1 ) 1 ( ,
2
3 ) 1
= y m y y m m m
Từ giả thiết ta có ( 2)( 1) 1 4 6 6 ( 2)( 1) 0
2
1 2
3
2 m− m+ m− 2+ = ⇔ m− − m+ m− 2 =
( 1)( 2 8) 0 1; 1 33
2
⇔ − + − = ⇔ = =
Đối chiếu với yêu cầu m>0 ta có giá trị của m là 1; 1 33
2
m= m=− +
là giá trị cần tìm
Bài 10: Cho hàm số x
y x
1
−
=
− Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt các trục Ox,
Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho OA = 4OB
Lời giải:
Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y( ; )0 0 cắt Ox tại A và Oy tại B sao cho OA = 4OB
Do ∆OAB vuông tại O nên: A=OB=
OA
1 tan
4 ⇒ Hệ số góc của d bằng
1
4 hoặc
1 4
−
Hệ số góc của d là: y x
x
0
1
− ⇒ y x0
1 ( )
4
4
3
o o
x x
= −
=
Với x o = −1 thì 3
2
o
y = Khi đó phương trình tiếp tuyến là: y 1 x 3
4x 4
= − +
Vớix o=3 thì 5
2
o
y = Khi đó phương trình tiếp tuyến là: y 1(x 3) 5
4x 4
− +
Bài 11: Cho hàm số y=2x3−3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1 (1) (m là tham số thực)
Xác định m để điểm M(2m m tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) một tam giác có 3; ) diện tích nhỏ nhất
Lời giải:
Ta có:y'=6x2−6(2m+1)x+6 (m m+1); y'= ⇔ =0 x m x; = +m 1⇒∀ ∈m ℝ , hàm số luôn có CĐ, CT
Tọa độ các điểm CĐ, CT của hàm số là A m m( ; 2 3+3m2+1), (B m+1; 2m3+3m2)
Suy ra AB= 2 và phương trình đường thẳng AB x: + −y 2m3−3m2− − =m 1 0
Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất
Ta có:
2
3 1 ( , )
2
m
Bài 12*: Cho hàm số y= f x( )=x4−2x2 Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a
và b Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau
Lời giải:
Ta có f x'( )=4x3−4x
Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là k A = f a'( )=4a3−4 ,a k B = f b'( )=4b3−4b
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
Trang 5Trung tâm LTĐH Moon.vn – Số nhà 25B – Ngõ 66 – Thái Thịnh II www.moon.vn
y= f a x− +a f a = f a x+ f a −af a ; y= f '( )(b x b− +) ( )f b = f '( )b x+ f b( )−bf '( )b
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:
k =k ⇔ − − b⇔ a b− a +ab b+ − =
Vì A và B phân biệt nên a≠b, do đó (1) tương đương với phương trình:a2+ab b+ − =2 1 0 (2)
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi
a b
+ + − = + + − =
≠ ⇔
− = − − + = − +
Giải hệ này ta được nghiệm là (a; b) = (-1; 1), hoặc (a; b) = (1; -1), hai nghiệm này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là (− −1; 1) và (1; 1− )
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là
1 0 1
a ab b a
a b
+ + − =
≠ ±
≠
Bài 13: Cho hàm số y=2x3−9x2+12x−4
Tìm điểm M trên đồ thị (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm thứ hai là N sao cho N cùng với hai
điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 3, biết N có tung độ dương
Lời giải:
(C) có hai điểm cực trị (1; 1), A B(2; 0)⇒AB= 2
Phương trình đường thẳng AB x: + − =y 2 0
2
ABN
S∆ = d N AB AB= ⇔d N AB =
Gọi d là đường thẳng đi qua N và d/ /AB Phương trình của d có dạng x+ + =y c 0
4 (0; 4) ( )
| 2 |
8 (3;5) 2
c
d A d d N AB
+
= −
Với N(3; 5), giả sử M x( ;0 y0) Pt tiếp tuyến với (C) tại M là: y= y x'( 0)(x−x0)+y0
Do tiếp tuyến đi qua N nên ta có: 5=(6x02−18x0+12)(3−x0)+2x03−9x02+12x0−4
0 2
0
4
x loai vi N M
x
⇔ − − = ⇔
=
Vậy 3 25;
4 32
M
điểm cần tìm
Bài 13: Cho hàm số y= −x3 3x2+2 Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và
B song song với nhau và độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 2
Lời giải:
A a a − a + B b b − b + với a≠b Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A, B là:
Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau khi và chỉ khi
k =k ⇔ a − a= b − b⇔ a b− a b+ − = ⇔ = −b a
AB= a b− +a − −b a −b = a b− + −a b a +ab b+ − a b+
( )2 ( ) (2 )2 2
4 a 1 4 a 1 a 1 3
( 1) , 0
t= −a t≥
4 2
1 2
a a
− =
⇔
− = −
• Với a=3⇒b= −1⇒ A( ) (3; 2 ,B − −1; 2)
Trang 6• Với a= −1⇒b=3 ⇒ A(− −1; 2 ,) ( )B 3; 2
Vậy A( ) (3; 2 ,B − −1; 2) hoặc A(− −1; 2 ,) ( )B 3; 2 là các điểm cần tìm
Bài 14: Cho hàm số y= +(x 2)(x2−mx+m2−3). Tìm m để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành
Lời giải:
Đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành khi hệ sau có nghiệm:
Ta có (1) 2 2 2
3 0 (3)
= −
⇔
x
x mx m
+ Với x = −2 thay vào (2) ta được m = −1
+ (3) có nghiệm khi và chỉ khi m ≤2, (3) có hai ngiệm
2
12 3 2
x
Thay vào (2) ta được 12 3− m2 = ⇔ = ±0 m 2
Vậy m= −1;m= ±2 là giá trị cần tìm
Cách khác:
0
=
⇔
y
Ta có (1) 2 2 2
3 0
= −
⇔
x
x mx m
+ Nếu x = −2 thay vào (2) giải như trên
+ Nếu x2−mx+m2− =3 0 thì từ (2) suy ra
2
2
= −
x m
x , thay ngược lại ta cũng được kết quả.