Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ trong hình học

Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ trong hình học

Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Hàng điểm điều hịa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Bài viết xin giới thiệu đơi chút “hàng điểm điều hịa”- công cụ tương đối mạnh hấp dẫn giải tốn hình học phẳng Để bạn dễ theo dõi tơi xin trình bày lại số lí thuyết công cụ này: I.Căn nội công : a Hàng điểm điều hoà: Định nghĩa: Trên đường thẳng ta lấy bốn điểm A, B, C , D Khi ta gọi A, B, C , D hàng DA CA =− điểm điều hòa thỏa mãn hệ thức sau: (1) DB CB Kí hiệu: ( A, B, C , D) = −1 A C B D Sau số định định lí quan trọng cần biết viết này(được suy trực tiếp từ định nghĩa): *Định lí 1:(Hệ thức Niutơn) Cho ( A, B, C , D) = −1 Gọi N trung điểm AB Khi NA2 = NB = NC.ND (2) A N C B D *Nhận xét: Thực (1) (2) tương đương nên điểm A,B,C,D thỏa mãn (2) ta có điều ngược lại ( A, B, C , D) = −1 Định lí định nghĩa hai dấu hiệu phổ biến để chứng minh điểm hàng điểm điều hòa Vấn đề để chứng tỏ hàng điểm điều hòa xem giải quyết, có hàng điểm điều hịa ta thu gì? Câu hỏi giải đáp qua hai định lí quan trọng sau: *Định lí 2: Cho ( A, B, C , D) = −1 Lấy O cho OC phân giác ∠AOB OD phân giác ngồi ∠AOB O A C B D Kim Luân Hàng điểm điều hịa - vẻ đẹp quyến rũ hình học *Nhận xét: Từ suy ∠COD = 900 định lí có ý nghĩa thực quan trọng chứng minh vng góc Mặt khác có điều ngược lại tức ∠COD = 900 OC phân giác OD phân giác ngồi ∠AOB điều có ý nghĩa quan trọng cho chứng minh yếu tố phân giác Định lí 3: Cho (A,B,C,D) = -1 điểm O nằm ngồi hàng điểm điều hịa Một đường thẳng d cắt ba tia OC,OB, OD E,I F Khi I trung điểm EF d song song với OA O F I E A C B D *Nhận xét: Định lí có ý nghĩa tốn chứng minh trung điểm song song Một câu hỏi nhỏ phải hàng điểm điều hòa hiếm, thật vậy, cần có hàng điểm điều hịa ta “sinh sôi nảy nở” hàng loạt hàng điểm điều hòa con, bạn hiểu rõ điều qua định lí “chùm điều hịa” sau : b.Chùm điều hòa: Định nghĩa: Cho hàng điểm điều hòa (A, B, C, D) = -1 O nằm ngồi hàng điểm điều hịa Khi ta gọi OA,OB,OC,OD chùm điều hịa kí hiệu (OA,OB,OC,OD) = -1 O A C B D Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Định lí: Cho (OA,OB,OC,OD) = -1.Một đường thẳng d cắt cạnh OA,OB,OC,OD E,F,G,K ta có (E, F, G, K) = -1 O K F G A C E D B *Nhận xét: Qua định lí thấy từ hàng điểm điều hòa ban đầu “sinh sơi” vơ số chùm điều hịa xung quanh(cứ điểm ngồi hàng điểm điều hịa nói cho ta chùm điều hòa tương ứng) Và chùm điều hịa lại cho ta vơ số hàng điểm điều hòa Mà cần số chúng kết hợp khéo léo với định lí hai ba cho nhiều hình học hiểm ác với biến ảo khơn lường… Việc chứng minh định lí một,hai,ba định lí “chùm điều hịa” đơn giản nên xin dành lại cho bạn đọc(nếu có thắc mắc trao đổi thêm) Sau khảo sát vài toán để thấy phần vẻ đẹp sức mạnh công cụ vừa dẫn II.Một số toán minh họa: Chúng ta bắt đầu toán quan trọng sau: Bài toán 1: Cho tam giác ABC Lấy E BC, F AC K AB cho AE,BF,CK đồng quy điểm Khi T giao điểm FK với BC (T , E , B, C ) = −1 Lời giải: A F K T B E Trong tam giác ABC: C Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học +Áp dụng định lí Xêva với ba đường đồng quy AE,BF,CK ta có: EB FC KA = −1 (1) EC FA KB +Mặt khác áp định lí Mênêlẳyt với ba điểm thẳng hàng T,K,F lại cho ta: TC KB FA = (2) TB KA FC Nhân (1) (2) vế theo vế suy ra: TB EB =− TC EC Theo định nghĩa (T , E , B, C ) = −1 ,đây đpcm Bài tốn 1.1: Cho tam giác ABC H chân đường cao kẻ từ A Trên đoạn thẳng AH ta lấy điểm I kẻ BI cắt AC E CI cắt AB F.Chứng minh AH phân giác ∠EHF Lời giải: A E F B I H C Một tốn đơn giản nhưng…khó đến kinh ngạc, bạn phải làm đối mặt với vậy? …??? Khi nhắc đến tốn tơi nhớ đến lời giải độc đáo anh Hatucdao, lời giải thực ấn tượng mạnh với tơi, nên xin trích dẫn sau để bạn chiêm ngưỡng: “Kết hiển nhiên tam giác ABC cân Giả sử ABC khơng cân ta giả sử AC>AB.Dựng tam giác ABP cân A AP cắt HE Q Gọi F’ điểm đối xứng Q QA F ' A = qua AH Khi AH phân giác ∠EHF ' QB F ' B Áp dụng định lí Mênêlẳyt cho tam giác ACP với ba điểm thẳng hàng H,Q,E ta có: HP EC QA HB EC F ' A =1⇒ = −1 HC EA QB HC EA F ' B Theo định lí ceva ta có AH , BE , CF ' đồng quy từ suy đpcm” Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học A E F' B Q P H C Một viên ngọc không dấu vết phải công nhận khó nghĩ Dẫu việc cảm nhận vẻ đẹp tinh túy lời giải giúp thấm thía quý trọng cách làm đây, điều quan trọng lời giải, cho ta thấy gốc rễ vấn đề: A E L F I K B H C C2: Kẻ EF cắt BC K theo tốn ta có ( K , H , B, C ) = −1 (1) Gọi L giao điểm EF với AH Từ (1) suy ( AK , AH , AB, AC ) = −1 suy ( K , L, F , E ) = −1 (định lí chùm điều hịa) Vì LHK = 900 nên theo nhận xét định lí ta có đpcm *Nhận xét: Q ngắn gọn phải khơng, tơi nghĩ tốn đặt Các bạn thấy vài biến đổi nhỏ kĩ xảo để che dấu điểm K khiến cho toán 1.1 trở nên cực khó Tất nhiên từ lời giải phát biểu tốn tổng quát sau: Bài toán 1.2:(đề thi Iran) Cho tam giác ABC, lấy T,E,F thuộc đoạn BC,CA,AB cho đường thẳng AT,BE,CF đồng quy điểm.Gọi L giao điểm AT EF.Gọi H hình chiếu L xuống BC Chứng minh LH phân giác ∠EHF Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học A F B K E L H T C *Nhận xét: Nói chung từ hàng điểm điều hịa ban đầu ta “sinh sơi nảy nở” nhiều hàng điểm điều hòa khác mà chúng kết hợp với định lí cho ta nhiều tính chất thú vị Thí dụ 1.1 1.2 “sản phẩm” định lí Nếu bạn thích sử dụng định lí để “xuất khẩu” sản phẩm mới, chẳng hạn toán sau đây: Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC, lấy T,E,F thuộc đoạn BC,CA,AB cho đường thẳng AT,BE,CF đồng quy điểm I Kẻ đường thẳng qua I song song với TE cắt TF,TB M L Chứng minh M trung điểm LI A E F I M L B T C Qua thí dụ bạn thấy từ vấn đề người ta phát biểu cách khác nhau, cách mà đọc đề khơng thấy liên hệ từ chúng, thực tất chúng xuất phát từ gốc rễ Nắm gốc rễ tức ta nắm toán Tất nhiên từ toán sản sinh lớp tốn rộng lớn, tơi khơng có thời gian nêu thêm mà hi vọng bạn gặp số nhanh chóng cho nó… “lộ rõ ngun hình” Kim Ln Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Bây tơi xin vào khơng gian khác chút với cách khai thác nêu nhằm giúp bạn có nhìn sâu sắc cho tốn Nhưng trước hết trang bị cho bạn số tính chất cần thiết, sau tìm cách liên hệ với tốn sau Tính chất 1: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q tiếp điểm AB,BC,CD,DA với đường trịn; ta có MP,NQ,AC,BD đồng quy điểm Lời giải: A M B Q I N O E D P C Hạ CE // AB Chú ý ∠MOP = ∠OPM ⇒ ∠BMP = ∠CPM ⇒ CE = CP IA AM AM = = Do gọi I giao điểm AC với MP ta có: (1) IC EC PC I ' A AQ = Tương tự gọi I ' giao điểm AC với NQ ta có: (2) I ' C NC Chú ý AM=AQ PC=NC nên từ (1) (2) suy I ≡ I ' suy MP,NQ,AC đồng quy (3) Lập luận tương tự ta có MP,NQ,BD đồng quy (4) Kết hợp (3) (4) ta đpcm Tính chất 2: Cho hai điểm A,B cố định M điểm thỏa mãn MA = k (k số), quỹ tích MB điểm M đường trịn cố định Gợi ý: Lấy N K AB cho MN,MK phân giac phân giác ∠AMB Hãy chứng tỏ N,K cố định quỹ tích điểm M đường trịn đường kính NK Việc chứng minh khơng khó nên xin nhường cho bạn đọc *Chú ý tính chất hai tốn tiếng quỹ tích điểm M gọi “đường tịn Apơlơut” Kim Ln Hàng điểm điều hịa - vẻ đẹp quyến rũ hình học M K A N B Tính Chất 3: Cho đường trịn (O) Lấy điểm A ngồi đường trịn (O), từ A ta kẻ hai tiếp tuyến AK,AN cát tuyến ACD đường trịn Hai tiếp tuyến qua C D đường trịn cắt M Khi ta có K,M,N thẳng hàng M K D C A O N Lời giải: Dễ dàng chứng minh KC NC = = k (1) KD ND N 'C = k (2) N 'D Gọi E F phân giác phân giác ngồi ∠DNC Sử dụng tính chất cho (1) (2) suy N N’ thuộc đường trịn đường kính EF Mặt khác N N’ thuộc (O) N N’ giao điểm (O) với đường trịn đường kính EF.Bây ta ý đường tròn(O) đường tròn đường kính EF cắt hai điểm nằm hai mặt phẳng khác bờ DC N,N’ lại mặt phẳng bờ DC điều cho ta N ' ≡ N ⇒ đpcm Gọi N’ giao điểm MK với (O) ta chứng minh Tính chất 4: Kim Luân Hàng điểm điều hịa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q tiếp điểm AB,BC,CD,DA với đường tròn Chứng minh MQ,NP DB đồng quy điểm K A M B Q O D N P C Lời giải: Gọi K giao điểm QM với DB Áp dụng định lí Mênêlẳyt cho tam giác ABD với ba điểm thẳng hàng Q,M,K ta có: MA KB QD = (1) MB KD QA QD PD MA NC = = Chú ý QA PC MB NB Do từ (1) suy NC KB PD =1 NB KD PC Theo định lí Mênêlẳyt đảo suy K,N,P thẳng hàng suy đpcm Tính chất 5: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q tiếp điểm AB,BC,CD,DA với đường tròn Gọi K giao điểm MQ với NP.Chứng minh OK ⊥ AC Lời giải: Gọi E F hai giao điểm AC với (O) Hai tiếp tuyến qua E F (O) cắt K’ Theo tính chất suy K’,N,P thẳng hàng K’,M,Q thẳng hàng hay K’ giao điểm MQ với NP hay K ' ≡ K Vậy KE,KF hai tiếp tuyến K với (O) suy KO ⊥ EF hay KO ⊥ AC (đpcm) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học K A E B M Q N O F P D C Và cuối tính chất quan trọng có ý nghĩa cầu nối tính chất nêu với tốn Tính chất 6: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q tiếp điểm AB,BC,CD,DA với đường tròn Gọi K giao điểm MQ với NP I giao điểm MP với QN Chứng minh ( D, B, I , K ) = −1 K A M B Q O D I P N C Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Lời giải: *Áp dụng định lí Mênêlẳyt cho tam giác ABD với điểm thẳng hàng K,M,Q ta có: KB QD MA KB MB = hay = (vì QA=MA) (1) KD QA MB KD QD MB IB = *Mặt khác theo lời giải tính chất ta biết: (2) QD ID KB IB = Từ (1) (2) suy KD ID KB IB Vì I nằm đoạn BD K nằm đoạn BD nên: =− KD ID Vậy ( D, B, I , K ) = −1 (đpcm) *Nhận xét: Việc xuất hàng điểm điều hịa (tính chất 6) đóng vai trị vơ quan trọng, để dễ hiểu bạn tưởng tượng năm tính chất 1,2,3,4,5 kho thuốc súng có sức tàn phá khủng khiếp bị đè nén bao, tính chất mồi kích hoạt kho thuốc súng để tạo nên bùng nổ vô ghê gớm, đến mức, hàng loạt tính chất sinh dồn dập đến chóng mặt… Do khn khổ viết có hạn nên tơi xin trình bày số kết tương đối quen thuộc(được rút từ tính chất trên) với hi vọng đưa đến cho bạn nhìn mẽ vấn đề khơng mẽ chút Xin bắt đầu chiến dịch “tạp chí Tốn học tuổi trẻ”: Bài tốn 1.4: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O) Gọi E,F giao điểm AC với (O) Hạ OH ⊥ DB Chứng minh ∠AHE = ∠CHF (*) K A M B E N I O Q F H P D C L Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Lời giải: Gọi M,N,P,Q tiếp điểm AB,BC,CD,DA với (O) Đặt L = MN ∩ QP , K = QM ∩ PN I = DK ∩ AL Vì hai tứ giác KEOH KFOH nội tiếp suy điểm K,E,O,H,F thuộc đường tròn suy ∠EHK = ∠FHK để chứng minh (*) ta cần chứng minh HI phân giác ∠AHC Thật theo tính chất suy HI vng góc AL theo kết tính chất ta có ( A, C , I , L) = −1 áp dụng định lí suy HI phân giác ∠AHC (đpcm) Bài toán 1.5: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) M,N,P,Q tiếp điểm AB,BC,CD,DA Đặt K = AD ∩ BC , L = AB ∩ DC , E = QM ∩ PN , F = QP ∩ MN Chứng minh điểm K,L,E,F nằm đường thẳng T K E' A M Q I B N L O C P D Lời giải: Gọi I giao điểm BD với AC, E’ giao điểm DB với KL, T giao điểm CE’ với DK, theo tốn (T , A, K , D) = −1 suy (CT , CA, CK , CD ) = −1 theo định lí chùm điều hịa suy ( E ', I , B, D) = −1 nhiên theo tính chất có ( E , I , B, D) = −1 Do E ' ≡ E suy E,K,L thẳng hàng (1) Lập luận tương tự có F,K,L thẳng hàng (2) Kết hợp (1) (2) suy đpcm Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học *Nhận xét: Quá bất ngờ phải khơng? Những tốn tưởng chừng hồn tồn xa lạ tìm ẩn bên lại mối quan hệ vơ khăn khít Tất chúng tạo nên hệ thống với biến ảo khôn lường Vấn đề đến lại mở nhiều vấn đề hấp dẫn mới, khai thác chút xíu xem thử có thu điều thú vị khơng nhá Bài toán 1.6: Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường trịn (O) có QM ∩ PN = K , MN ∩ QP = L , MP ∩ QN = I Chứng minh I trực tâm tam giác KOL K A M B N O Q I C P L D Lời giải: Kẻ tiếp tuyến qua M,N,P,Q chúng cắt điểm A,B,C,D (hình vẽ) Theo tính chất I giao điểm AC với BD Theo tính chất BD ⊥ OL Theo tính chất D,B,K thẳng hàng Suy KI ⊥ OL Tương tự LI ⊥ KO Vậy ta có đpcm *Nhận xét: Kết 1.6 giúp ta có mối liên hệ tuyệt vời với 1.2 để toán sau: Bài tốn 1.7: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O) Đặt K = DA ∩ CB , L = AB ∩ DC , I = AC ∩ BD OI cắt KL H Chứng minh OH phân giác ∠AHC Lời giải: Kim Luân Hàng điểm điều hịa - vẻ đẹp quyến rũ hình học K H A B I O D C L Theo 1.6 I trực tâm tam giác KOL suy OI ⊥ KL Đến toán trở thành toán 1.2 vấn đề giải Còn nhiều hướng khai thác xung quanh vấn đề việc trình bày tốn thời gian nên để bạn tự tìm tịi thêm Cuối xin nêu lên vấn đề có tính gợi mở để bạn xem chơi: Bài tốn 1.8: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Đặt K = DA ∩ CB , L = AB ∩ DC , Gọi M,N,P,Q tiếp điểm AB,BC,CD,DA với (O) Đặt F = PQ ∩ MN , E = QM ∩ PN Chứng minh ( F , E , K , L) = −1 Lời giải: +Theo tốn 1.5 F,K,E,L thẳng hàng +Theo tính chất 1.4 CA,MN,PQ đồng quy suy F ∈ AC Do theo toán ta có ( F , E , K , L) = −1 (Xem hình bên dưới) *Hẳn qua thí dụ bạn thấy thích thú nhìn tốn hình học mắt “hàng điểm điều hịa” Nhờ mà ta thơng suốt nhiều vấn đề để cuối ngộ ra…tất rõ ràng hiển nhiên Tất nhiên cịn nhiều tốn sản sinh từ điều nêu trên, cần “chùm điều hịa” soi vào “lộ rõ ngun hình” nên không cần nêu thêm cho tốn giấy mực làm Xin mời bạn nhìn lại hình vẽ để tưởng nhớ lại tồn điều học trên, trước bước vào lớp toán khác: Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học F K E A M B N Q L O C P D Bài toán 2: Cho A nằm ngồi đường trịn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC B,C hai tiếp điểm AO cắt đường hai điểm E,F cắt cạnh BC K Chứng minh ( A, K , E , F ) = −1 B F O K E A C Lời giải: Ta có OB = OK OA (hệ thức lượng tam giác vuông) (1) Mặt khác: OB = OE = OF (2) Từ (1) (2) suy OE = OF = OK OA Kim Luân Hàng điểm điều hịa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Theo nhận xét định lí suy đpcm *Một hệ thấy từ toán là: Bài tốn 2.1: Cho A nằm ngồi đường trịn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC B,C hai tiếp điểm Kẻ cát tuyến AMN N nằm A M AO cắt đoạn BC cung » nhỏ BC K E Chứng minh ME phân giác ∠KMA B M N F O K A E C Lời giải : Gọi F giao điểm thứ hai AE với (O) theo toán ta có ( A, K , E , F ) = −1 Vì ∠FME = 900 nên theo nhận xét định lí ta có đpcm Tinh tế chút ta thu tốn khó sau: Bài tốn 2.2: Cho tam giác ABC Lấy điểm I đường tròn cho ∠IAB = ∠IBC ∠IAC = ∠ICB Lấy V điểm AI cho ∠BVC = 900 Chứng minh BV phân giác ∠ABI CV phân giác ∠ACI Lời giải: B T E I V A C Gọi E giao điểm AI với BC Vì ∆IBE : ∆EAB (g.g) Suy EB = EI EA (1) Tương tự: EC = EI EA (2) Từ (1) (2) suy E trung điểm BC Kim Luân Hàng điểm điều hịa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Vẽ đường trịn đường kính BC đường trịn qua V nhận E làm tâm EV = ET = EB (3) Từ (1) (3) suy EV = ET = EI EA Theo nhận xét định lí ta có ( A, E , I , T ) = −1 Mà ∠VBT = 900 Nên theo định lí suy BV phân giác ∠ABI Lập luận tương tự suy CV phân giác ∠ACI Vậy toán giải trọn vẹn *Nhận xét: +Điểm I xác định có nhiều tính chất kì lạ viết tương đối dài nên xin tạm gác lại đây, có dịp bàn lại vấn đề sau Các bạn thân mến hẳn qua thí dụ bạn phần thấy vẻ đẹp điều hịa hình học Trong sống cần tạo cho điều hịa cần thiết giúp ta khỏe mạnh yêu đời hơn… Chúc tất người sống điều hòa  ... quy điểm. Gọi L giao điểm AT EF.Gọi H hình chiếu L xuống BC Chứng minh LH phân giác ∠EHF Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học A F B K E L H T C *Nhận xét: Nói chung từ hàng điểm. .. thấy từ hàng điểm điều hịa ban đầu “sinh sơi” vơ số chùm điều hịa xung quanh(cứ điểm ngồi hàng điểm điều hịa nói cho ta chùm điều hòa tương ứng) Và chùm điều hòa lại cho ta vơ số hàng điểm điều. .. minh trung điểm song song Một câu hỏi nhỏ phải hàng điểm điều hòa hiếm, thật khơng phải vậy, cần có hàng điểm điều hịa ta “sinh sơi nảy nở” hàng loạt hàng điểm điều hòa con, bạn hiểu rõ điều qua