Luyện thi cao học môn toán

Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 HÀM MỘT BIẾN 5 1.1 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Các hàm số sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Giới hạn và liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Ứng dụng đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Ứng dụng hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.3 Qui tắc L’Hospitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.4 Đơn điệu và cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.5 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Đáp số bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 HÀM HAI BIẾN 15 2.1 Hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Cực trị hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1 Cực trị không điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong miền đóng . . . . . . . . . . . . . 16 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 MỤC LỤC 4 Đáp số bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 19 3.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.1 Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.2 Tích phân hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.3 Tích phân hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.4 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.1 Tích phân suy rộng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.2 Tích phân suy rộng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4.1 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4.2 Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Đáp số bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 1 HÀM MỘT BIẾN 1.1 Hàm số 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho X ⊂ R. Một quan hệ f từ X vào R sao cho ứng với một x ∈ X có duy nhất một y ∈ R được gọi là hàm số. Ta kí hiệu: f : X x → → R y . Tập X được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm số. Thông thường, ta cho hàm f dưới dạng biểu thức y = f(x). Khi đó MXĐ được hiểu là tập các giá trị của x để cho biểu thức f(x) có nghĩa. Định nghĩa 1.2. Hàm f (x) là đơn điệu tăng (giảm) trong tập A ⊂ X nếu ∀x 1 , x 2 ∈ A, x 1  x 2 ⇒ f(x 1 )  f(x 2 ) (f(x 1 )  f(x 2 )) Định nghĩa 1.3. Hàm f (x) được gọi là hàm chẵn (lẻ) nếu ∀x ∈ X, f(−x) = f(x) (f(−x) = −f(x)) Định nghĩa 1.4. Hàm f(x) được gọi là hàm tuần hoàn nếu ∃τ > 0, ∀x ∈ X, f(x + τ) = f(x). Giá trị T > 0 nhỏ nhất trong tất cả các giá trị của τ được gọi là chu kỳ của hàm số. Định nghĩa 1.5. Cho hai hàm f(x) và g(x). Hàm f(g(x)) hoặc g(f (x)) được gọi là các hàm hợp của hai hàm f và g. Nói chung f (g(x)) = g(f(x)). Định nghĩa 1.6. Hàm g(x) là hàm ngược của hàm f (x) trong miền X nếu f(g(x)) = g(f(x)) = x 1.1.2 Các hàm số sơ cấp cơ bản 1. Hàm hằng: y = C = const. 2. Hàm luỹ thừa: y = x α , α ∈ R. 3. Hàm mũ: y = a x , (a > 0, a = 1). 4. Hàm logarithm: y = log a x, (a > 0, a = 1). 1.2 Giới hạn và liên tục 6 5. Hàm lượng giác: y = cos x, y = sin x, y = tan x, y = cot x. 6. Hàm lượng giác ngược: y = arccos x, y = arcsin x, y = arctan x. Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và hàm hợp. Trong các hàm sơ cấp, ta thường dùng các hàm hyperbolic xác định như sau: 1. Hàm sin hyperbolic: y = sinh x = e x −e −x 2 . 2. Hàm cos hyperbolic: y = cosh x = e x + e −x 2 . 3. Hàm tan hyperbolic: y = tanh x = sinh x cosh x = e x −e −x e x + e −x . Một số tính chất của hàm hyperbolic: • cosh 2 x −sinh 2 x = 1. • sinh 2x = 2 sinh x cosh x. • cosh 2x = cosh 2 x −sinh 2 x = 2 cosh 2 x −1 = 1 + 2 sinh 2 x. Ngoài ra ta còn có một hàm đặc biệt là hàm trị tuyệt đối: y = |x| =  x, x  0 −x, x < 0 1.2 Giới hạn và liên tục 1.2.1 Giới hạn Định nghĩa 1.7. Cho hàm f (x) xác định trong lân cận của điểm a (có thể không xác định tại a). Ta nói hàm f(x) có giới hạn là A khi x tiến về a và viết lim x→a f(x) = A nếu ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x, |x − a| < δ ⇒ |f(x) −A| < . Mệnh đề 1.1. Nếu lim x→a f(x) = A và lim x→a g(x) = B thì lim x→a [f(x)±g(x)] = A±B, lim x→a [f(x)g(x)] = AB và lim x→a f(x) g(x) = A B . Đối với phép chia, phải thêm điều kiện g(x) = 0 trong lận cận của a và B = 0. Mệnh đề 1.2. Nếu lim x→a f(x) = A và lim x→A g(x) = B thì lim x→a g(f(x)) = B. Mệnh đề 1.3. Nếu trong lân cận của a, ta có f (x)  g(x)  h(x) và lim x→a f(x) = lim x→a h(x) = A, thì ta cũ ng có lim x→a g(x) = A. Mệnh đề 1.4. Nếu f(x) là hàm sơ cấp và a thuộc MXĐ của f thì lim x→a f(x) = f (a). Do đó, ta thường tìm giới hạn của các dạng vô định sau: 0 0 , ∞ ∞ , ∞−∞, 1 ∞ , 0 · ∞, . . . . Sau đây là các giới hạn cơ bản: 1. lim x→0 sin x x = 1, lim x→0 tan x x = 1, lim x→0 arcsin x x = 1, lim x→0 arctan x x = 1. 1.3 Đạo hàm và vi phân 7 2. lim x→+∞  1 + 1 x  x = e, lim x→0 (1 + x) 1/x = e Định nghĩa 1.8. Ta nói hàm f(x) có g i ới hạn trái (phải) tại a và kí hiệu lim x→a − f(x) = A  lim x→a + f(x) = A  , nếu hàm có giới hạn là A khi x tiến về a nhưng x luôn nhỏ (lớn) hơn a. Mệnh đề 1.5. lim x→a f(x) = A khi và chỉ khi lim x→a − f(x) = lim x→a + f(x) = A. 1.2.2 Liên tục Định nghĩa 1.9. Hàm f (x) liên tục tại x = a nếu f (x) xác định tại a và lim x→a f(x) = f(a). Ngược lại, hàm được gọi là gián đoạn tại a. Mệnh đề 1.6. Hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó. 1.2.3 Vô cùng bé Định nghĩa 1.10. Đại lượng α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) trong quá trình x → a nếu lim x→a α(x) = 0. Định nghĩa 1.11. Hai VCB α(x) và β(x) là tương đương với nhau trong quá trình x → a nếu lim x→a α(x) β(x) = 1. Khi đó ta viế t α(x) ∼ β(x). Sau đây là một số các VCB tương đương thông dụng trong quá trình x → 0: 1. sin x ∼ x − x 3 6 , 1 −cos x ∼ x 2 2 , tan x ∼ x + x 3 3 . 2. e x −1 ∼ x + x 2 2 + x 3 6 , ln (1 + x) ∼ x − x 2 2 . 3. (1 + x) α − 1 ∼ αx + α(α − 1) 2 x 2 . Cụ thể √ 1 + x − 1 ∼ x 2 − x 2 8 . 4. arcsin x ∼ x, arctan x ∼ x. Mệnh đề 1.7. Giả sử f (x) ∼ α(x) và g(x) ∼ β(x) là các VCB tương đương trong quá trình x → a. Nếu tồn tại lim x→a α(x) β(x) = A thì cũng tồn tại lim x→a f(x) g(x) = A. 1.3 Đạo hàm và vi phân 1.3.1 Đạo hàm Định nghĩa 1.12. Đạo hàm của hàm f(x) tại điểm x = a là f  (a) = lim ∆x→0 f(x + ∆x) −f (x) ∆x . Tương tự ta cũng có khái niệm đạo hàm trái và đạo hàm phải f  − (a) = lim ∆x→0− f(x + ∆x) −f(x) ∆x , f  + (a) = lim ∆x→0+ f(x + ∆x) −f(x) ∆x 1.3 Đạo hàm và vi phân 8 Các qui tắc tính đạo hàm: 1. (u ±v)  = u  ± v  . 2. (uv)  = u  v + uv  . 3.  u v   = u  v − uv  v 2 . 4. Giả sử f(x) có đạo hàm tại a và g(y) có đạo hàm tại A = f(a). Khi đó z(x) = g(f (x)) cũng có đạo hàm tại a và z  (a) = g  (A)f  (a). 5. Giả sử y = y(x) có hàm ngược x = x(y) trong lân cận của a và các hàm y(x), x(y ) đều có đạo hàm. Khi đó ta có công thức x  (y) = 1 y  (x) . Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: 1. (x α )  = αx α−1 . 2. (a x )  = a x ln a, (a > 0, a = 1); (e x )  = e x . 3. (log a x)  = 1 x ln a , (a > 0, a = 1); (ln x)  = 1 x . 4. (sin x)  = cos x; (cos x)  = −sin x; (tan x)  = 1 cos 2 x . 5. (arcsin x)  = −(arccos x)  = 1 √ 1 −x 2 . 6. (arctan x)  = 1 1 + x 2 . 7. (sinh x)  = cosh x, (cosh x)  = sinh x. Nếu đường cong cho dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t), α  t  β thì ta có công thức tính đạo hàm: y  x = y  t x  t . 1.3.2 Vi phân Định nghĩa 1.13. Hàm f(x) khả vi tại a nếu ∆f(a) = f(a + ∆x) −f (a) = A∆x + o(∆x). Đại lượng df(a) = A∆x được gọi là vi phân của hàm f tại a. Mệnh đề 1.8. Hàm f (x) khả v i tại a khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại a và df(a) = f  (a)∆x. Với kí hiệu dx = ∆x ta thường viết biểu thức vi phân dưới dạng df(a) = f  (a)dx hoặc df dx (a) = f  (a). Từ các qui tắc tính đạo hàm, ta có các qui tắc tính vi phân như sau: 1. d(u ±v) = du ±dv. 2. d(uv) = udv + vdu. 3. d  u v  = vdu −udv v 2 . 1.4 Ứng dụng đạo hàm 9 1.3.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao Định nghĩa 1.14. Ta định nghĩa [f(x)] (n) = ([f(x)] (n−1) )  và d n f(x) = f (n) (x)dx n Ta kí hiệu: đạo hàm cấp một f  (x), đạo hàm cấp hai f  (x), đạo hàm cấp ba f  (x), đạo hàm cấp bốn f (4) (x), v.v Bảng đạo hàm cấp n của một số hàm cơ bản: 1. (e x ) (n) = e x . 2. (sin x) (n) = sin  x + n π 2  . 3. (cos x) (n) = cos  x + n π 2  . 4. [(1 + x) α ] (n) = α(α −1) . . . (α − n + 1)(1 + x) α−n . 1.4 Ứng dụng đạo hàm 1.4.1 Ứng dụng hình học Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ) có dạng: y − y 0 = f  (x 0 )(x −x 0 ) Phương trình pháp tuyến với đường cong y = f (x) tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ) có dạng: y − y 0 = −1 f  (x 0 ) (x −x 0 ) 1.4.2 Công thức Taylor Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp n trong lân cận của điểm a. Khi đó ta có: f(x) = f(a) + f  (a) 1! (x −a) + f  (a) 2! (x −a) 2 + ···+ f (n) (a) n! (x −a) n + o((x −a) n ) Trường hợp a = 0 ta có khai triển MacLaurin: f(x) = f (0) + f  (0) 1! x + f  (0) 2! x 2 + ···+ f (n) (0) n! x n + o(x n ) Sau đây là khai triển MacLaurin của một số hàm thường dùng: 1. e x = 1 + x + x 2 2! + ···+ x n n! + o(x n ) 2. sin x = x − x 3 3! + ···+ (−1) k x 2k+ 1 (2k + 1)! + o(x 2k+ 1 ) 1.4 Ứng dụng đạo hàm 10 3. cos x = 1 − x 2 2! + ···+ (−1) k x 2k (2k)! + o(x 2k ) 4. (1 + x) α = 1 + α 1! x + α(α − 1) 2! x 2 + ···+ α(α − 1) . . . (α − n + 1) n! x n + o(x n ) 5. ln (1 + x) = x − x 2 2 + ···+ (−1) n−1 x n n + o(x n ) 1.4.3 Qui tắc L’Hospitale Giả sử trong lân cận của điểm x = a các hàm f(x) và g(x) cùng có đạo hàm, đồng thời chúng cùng tiến về 0 hoặc tiến ra ∞ khi x → a. Nếu tồn tại giới hạn lim x→a f  (x) g  (x) , thì cũng tồn tại giới hạn của tỉ số hai hàm và lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f  (x) g  (x) 1.4.4 Đơn điệu và cực trị Mệnh đề 1.9. Nếu hàm f(x) khả vi trong (a, b) và f  (x) > 0 (f  (x) < 0) với mọi x ∈ (a, b) thì hàm f(x) đơn điệu tăng (giảm) trong (a, b) Định nghĩa 1.15. Nếu tồn tại lân cận của điểm a sao cho với mọi x = a của lân cận này ta có f(x) < f(a) (f(x) > f(a)) thì điểm a được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của hàm f. Các điểm cực đại hay cực tiểu của hàm số được gọi là điểm cực trị. Mệnh đề 1.10. Nếu hàm f(x) đạt cực trị tại x = a thì f  (a) = 0 hoặc f  (a) không tồn tại. Những điểm như thế được gọi là điểm dừng của hàm số. Mệnh đề 1.11. Nếu hàm f(x) khả vi trong lân cận (a − δ, a + δ) của điểm a và trong các khoảng (a − δ, a) v à (a, a + δ) đạo hàm đổi dấu, thì a là điểm cực trị. Nếu f  (x) > 0 trong (a − δ, a) và f  (x) < 0 trong (a, a + δ), thì hàm đạt cực đại tại a. Nếu f  (x) < 0 trong (a −δ, a) và f  (x) > 0 trong (a, a + δ), thì hàm đạt cực tiểu tại a. Mệnh đề 1.12. Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp hai tại lân cận của điểm dừng x = a. Nếu f  (a) < 0 thì a là điểm cực đại. Nếu f  (a) > 0 thì a là điểm cực tiểu. 1.4.5 Tiệm cận • Nếu x → a mà f (x) → ∞ thì đường thẳng x = a là tiệm cận đứng. • Nếu x → ∞ mà f (x) → b thì đường thẳng y = b là tiệm cận ngang. • Nếu x → ∞ mà f(x) → ∞ và tồn tại các giới hạn lim x→∞ f(x) x = a, lim x→∞ [f(x) −ax] = b thì đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên. Bài tập chương 1 11 Bài tập 1. Tìm hàm f(x) nếu (a) f(x + 1) = x 2 − 3x + 2, (b) f  x + 1 x  = x 2 + 1 x 2 , (c) f  1 x  = x + √ 1 + x 2 , (x > 0), (d) f  x x + 1  = x 2 . 2. Tìm f(f(x)) và f(f(f (x))) nếu (a) f(x) = 1 1 −x , (b) f(x) = x 2 − x, (c) f(x) = x √ 1 + x 2 , 3. Khảo sát tính chẵn, lẻ của các hàm sau: (a) f(x) = x 4 + 5x 2 , (b) f(x) = x 2 + x, (c) f(x) = x 2 x − 1 , (d) f(x) = e x +1 e x −1 , (e) f(x) = sin x −cos x, (f) f(x) = ln 1 + x 1 −x . 4. Khảo sát tính tuần hoàn của các hàm sau và tìm chu kì nếu có: (a) f(x) = 5 cos 7x, (b) f (x) = x sin x, (c) f (x) = cos 2 3x, (d) f(x) = tan x 2 + 2 tan x 3 , (e) f(x) = sin x 2 , (f) f(x) = sin 4 x + cos 4 x. 5. Tìm hàm ngượ c của các hàm sau trong các tập đã cho: (a) f(x) = 2x + 3 trong (−∞, +∞), (b) f(x) = x 2 trong (−∞, 0] và [0, +∞), (c) f(x) = 1 −x 1 + x , x = −1, (d) f(x) = √ 1 −x 2 trong [−1, 0] và [0, 1], (e) f(x) = sinh x trong (−∞, +∞). 6. Cho R(x) = a 0 x n + ···+ a n b 0 x m + ···+ b m , a 0 = 0, b 0 = 0. Chứng minh rằng lim x→∞ R(x) =      ∞ n > m a 0 b 0 n = m 0 n < m 7. Tính các giới hạn sau: (a) lim x→0 (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1 x (b) lim x→3 x 2 − 5x + 6 x 2 − 8x + 15 (c) lim x→0 (1 + mx) n − (1 + nx) m x 2 (d) lim x→1 x + x 2 + ···+ x n − n x −1 (e) lim x→1 x m − 1 x n − 1 (f) lim x→+∞  x +  x + √ x √ x + 1 (g) lim x→+∞ √ x + 3 √ x + 4 √ x √ 2x + 1 (h) lim x→4 √ 1 + 2x − 3 √ x −2 (i) lim x→0 n √ 1 + αx − 1 x (j) lim x→0 √ 1 −2x − x 2 − (1 + x) x (k) lim x→0 √ 1 + x − √ 1 −x 3 √ 1 + x − 3 √ 1 −x (l) lim x→0 n √ 1 + αx − m √ 1 + βx x (m) lim x→0 n √ 1 + αx m √ 1 + βx −1 x (n) lim x→1 m √ x −1 n √ x −1 (o) lim x→1  3 1 − √ x − 2 1 − 3 √ x  (p) lim x→+∞ (  x +  x + √ x − √ x) (q) lim x→π sin mx sin nx (r) lim x→0 tan x −sin x x 3 (s) lim x→0 cos x −cos 3x x 2 Bài tập chương 1 12 (t) lim x→π 1 + cos 5x 1 −cos 4x (u) lim x→∞  x + 3 x −2  2x+1 (v) lim x→0 (cos x) 1/x 2 (w) lim x→0 (cos x + sin x) 1/x (x) lim x→π/2 (sin x) tan x 8. Sử dụng vô cùng bé tương đương, tính các giới hạn sau: (a) lim x→0 cos x −cos 2x 1 −cos x (b) lim x→0 arctan x 2 arcsin 3x ·sin x 2 (c) lim x→0 1 −cos 4x 2 sin 2 x + x tan 7x (d) lim x→π/4 2 √ 2 −(cos x + sin x) 3 1 −sin 2x (e) lim x→0 cos x −e −x 2 /2 x 4 (f) lim x→0 e x sin x −x(1 + x) x 3 9. Khảo sát tính liên tục của các hàm sau: (a) f(x) =    x 2 − 4 x −2 nếu x = 2 A nếu x = 2 (b) f(x) =  sin 1 x nếu x = 0 A nếu x = 0 (c) f(x) =  x −1 nếu x  1 Ax 2 − 2 nếu x > 1 (d) f(x) =    Ax + 1 nếu x  π 2 sin x + B nếu x > π 2 10. Tính đạo hàm của các hàm số sau: (a) y = (x 2 + 1)(x 2 + 4)(x 2 + 9) (b) y = 2 + √ x 2 − √ x (c) y = cos x 1 + sin x (d) y =  x + √ x (e) y =  x(x −1) x −2 (f) y = √ x e −x 2 11. Cho f(x) =  x 2 + x x  1 ax + b x > 1 . Tìm các hệ số a và b sao cho hàm f (x) liên tục và khả vi tại mọi điểm. 12. Tìm đạo hàm bậc hai của các hàm sau: (a) y = cos 2 x (b) y = arctan x (c) y = 3 √ 1 −x 2 (d) y = e −x 2 (e) y = arcsin x √ 1 −x 2 (f) y = x cosh 2 x 13. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong y = f (x) tại điểm x = a: (a) y = x 2 − 5x + 4, a = −1 (b) y = √ x, a = 4 (c) y = tan 2x, a = 0 14. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong x = t cos t, y = t sin t tại gốc toạ độ và điểm t = π 4 . 15. Dùng qui tắc L’Hospitale, tình các giới hạn sau: (a) lim x→a x m − a m x n − a n (b) lim x→0 ln sin ax ln sin bx (c) lim x→0 e 2x −1 arcsin 3x (d) lim x→0 e x −e −x −2x x −sin x (e) lim x→+∞ π − 2 arctan x e 3/x −1 (f) lim x→0 e 3x −3x −1 sin 2 5x (g) lim x→0 x −sin x x −tan x 16. Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của các hàm sau: (a) y = x √ 1 −x 2 (b) y = 2x 2 − 1 x 4 (c) y = x ln x (d) y = x −2 ln x 17. Xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm sau trong các đoạn đã chỉ ra: (a) y = −3x 4 + 6x 2 , [−2, 2] (b) y = x + 2 √ x, [0, 4] (c) y = x −1 x + 1 , [0, 4] (d) y = 1 −x + x 2 1 + x −x 2 , [0, 1] (e) y = 3 √ x + 1 − 3 √ x −1, [0, 1] [...]... 0 thì hàm đạt cực đại và nếu ∆ > 0 hàm đạt cực tiểu 2.3.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong miền đóng Hàm khả vi sẽ đạt GTLN và GTNN tại các điểm dừng bên trong miền hoặc trên biên Do đó bài toán dừng lại ở bước tìm các điểm dừng, sau đó tính giá trị của hàm tại các điểm này, so sánh để tìm GTLN và GTNN (Chú ý đến các điểm đặc biệt trên biên như điểm gãy, ) Bài tập chương 2 17 Bài tập 1 Tìm