Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán trung học phổ thông cực hay

Hệ thức lợng trong tam giác vuông a Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH ta có - Các tỉ số lợng giác của góc nhọn  đợc định

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Môn toán

2 Một số phép biến đổi căn thức bậc hai

- Đều kiện để căn thức có nghĩa A có nghĩa khi A  0

Phơng pháp: Bớc 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

Bớc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có)Bớc 3: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn Bớc 4: Rút gọn biểu thức

Bớc 5: Tính số trị (nếu còn tham số)Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Bớc 2: Trục căn thức ở mẫu nếu có (nếu có)Bớc 3: Qui đồng mẫu thức (nếu có)

Bớc 4: Đa một biểu thức ra ngoài dấu cănBớc 5: Rút gọn biểu thức

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Bớc 2: Biến đổi vế trái về vế phải hoặc vế phải về vế trái Cũng có khi chúng ta phải biến

đổi cả hai vế cùng về biểu thức trung gian

ax bx c  (a  0) Ta có thể sử dụng định lí Viet để tính0các biểu thức của x1, x2 theo a, b, c

S1 =  

2 2

Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm

Phơng pháp: Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm là  b2 4ac  0 hoặc c 0

a Trong trờng hợp cần chứng minh có ít nhất một trong hai phơng trình ax2bx c  ; 0 a' x2b' x c '  có0nghiệm ngời ta thờng làm theo một trong hai cách sau:

Cách 1: Chứng minh    1 2 0 Cách 2:   1 2 0

Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phơng pháp: Bớc 1: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm của ph ơng trình bậc hai X2

-SX + P = 0 Bớc 2: Giải phơng trình X2 - SX + P = 0 Bớc 3: Kết luận

Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

Dạng 4: Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

thuộc tham số mDạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trớc

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

a) Hệ đối xứng loại I: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì từng phơng trình không thay đổi

Phơng pháp: Đa về hệ phơng trình theo hai biến mới là: S = x + y và P = xy với điều kiện S2  4P

b) Hệ đối xứng loại II: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì phơng trình này chuyển thành phơng trình kia

Phơng pháp: Trừ hai phơng trình với nhau để nhận dợc phơng trình mới có dạng tích số Chú ý nếu hệ

ph-ơng trình có nghiệm (x0; x0) (tức là x = y) Nếu hệ phơng trình có nghiệm (x, y) thì phơng trình cũng có nghiệm (y, x)

IV Phơng trình quy về phơng trình bậc nhất (bậc hai)

1 Phơng trình chứa ẩn ở mẫu số:

Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa

Bớc 2: Qui đồng mẫu số để đa về phơng trình bậc nhất (bậc hai)Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất (bậc hai) trên

Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm

2 Phơng trình chứa dấu trị tuyệt đối:

Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa

Bớc 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối, biến đổi đa về phơng trình bậc nhất (bậc hai)Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất (bậc hai) trên

Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm

Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trênBớc 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x

Bớc 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x

Bớc 2: Đa về phơng trình bậc hai ẩn tBớc 3: Giải phơng trình bậc hai trênBớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm

V Hàm số

1 Hàm số bậc nhất y = ax + b (a  0))

- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b trong đó a  0

- Hàm số bậc nhất xác với mọi giá trị x  R và có tính chất đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0

- Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đờng thẳng Cắt trục tung tại điểm B(0; b) Cắt trục hoành tại điểmb

  (trong đó a gọi là hệ số góc, b gọi là tung độ góc)

- Các đờng thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau Nếu gọi  là góc hợp bới giữa

đờng thẳng và tia Ox thì a = tg

- Nếu đờng thẳng (d): y = ax + b (a  0) và đờng thẳng (d’): y = a’x + b’ (a’  0) thì:

(d) cắt (d’)  a  a’ (d) song song (d’)  a a'

- Hàm số có tính chất: Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 Nếu a < 0 thì hàm

số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

- Đồ thị hàm số là một Parabol với đỉnh là góc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

3 Các dạng toán

Dạng 1: Xác định hàm số bậc nhất (phơng trình đờng thẳng)

Phơng pháp: Dựa vào các điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b thì ax0 + b = y0

Các kết quả đã nêu ở phần lý thuyết trênDạng 2: Xác định hàm số y = ax2 (a  0)

Phơng pháp: Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 thì ax0 = y0

Dạng 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị

Phơng pháp: Lập phơng trình hoành độ giao điểm

Giải phơng trình, từ đó tìm ra toạ độ các giao điểmDạng 4: Tơng giao giữa đờng thẳng và Parabol

Phơng pháp: Cho đờng thẳng có phơng trình y = ax + b (a  0) và Parabol y = Ax2 (A  0) Xét phơng trìnhhoành độ giao điểm Ax2 = ax + b (1) Ta có số giao điểm của hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm của ph ơng trìnhnày

- Đờng thẳng cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm

- Đờng thẳng không cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) vô nghiệm

- Đờng thẳng tiếp xúc Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm kép

VI Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình

Dạng 1: Các bài toán về chuyển động

- Dựa vào quan hệ của ba đại lợng S: quãng đờng; t: thời gian; v: vận tốc của vật chuyển động đều trongcông thức S = v.t

- Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: Ví dụ khi giải bài toán chuyển động thuyền trên sông ta có: v1 = v0 + v3; v2

= v0 – v3 trong đó v1 là vận tốc thuyền đi xuôi dòng, v2 là vận tốc thuyền đi ngợc dòng, v0 là vận tốc riêng của thuyền,

v3 là vận tốc dòng chảy

Dạng 2: Các bài toán về năng suất lao động

Dựa vào quan hệ ba đại lợng: N: năng suất lao động (khối lợng công việc hoàn thành trong một đơn vị thờigian); t: thời gian để hoàn thành một công việc; s: lợng công việc đã làm thì N = s

tDạng 3: Các bài toán về làm chung – làm riêng, vòi nớc chảy chung – chảy riêng

Dựa vào kết quả sau

- Nếu x giờ (hoặc ngày) làm xong công việc thì mỗi giờ (hoặc ngày) làm đợc 1

Nh dạng 2: Chẳng hạn với ba đại lợng: N: số lợng hàng hoá phân phối cho mỗi xe; t: là số xe chở hàng; s:tổng số lợng hàng hoá trong kho thì N = s

tDạng 5: Các bài toán tìm số

Dựa vào mối liên hệ giữa các hàng trong một số

Chú ý: ab 10a b  ; abc100a 10b c 

Dạng 6: Các bài toán liên quan đến tỉ số %

Chú ý các kết quả sau: m% của A nghĩa là m A



Số A sau khi tăng lên m% thì đợc số mới có giá trị là A + m A

100Dạng 7: Các bài toán có nội dung hình học

Chú ý đến các hệ thức lợng trong tam giác, các công thức tính chu vi, diện tích của các hình

VII Các bài toán hình học phẳng

1 Hệ thức lợng trong tam giác vuông

a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH ta có

- Các tỉ số lợng giác của góc nhọn  đợc định nghĩa nh sau:

sin = cạnh đối

cạnh huyền cos =

cạnh kềcạnh huyềntg = cạnh đối

cạnh kề cotg =

cạnh kềcạnh đối

- Với hai góc  và  phụ nhau ta có

sin = cos cos = sin

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsingóc kề Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề

d) Một số công thức tính diện tích tam giác

S = a.h

2 (h là đờng cao ứng với cạnh a) S =

a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB

S = p.r (p là nửa chu vi, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác)

S = a.b.c

4R (R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác)

S = p p a p b p c         (p là nửa chu vi của tam giác)

2 Đờng tròn:

a) Sự xác định đờng tròn Tính chất đối xứng của đờng tròn

- Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách đều điểm O một khoảng bằng R

- Tuỳ theo OM = R; OM < R; OM > R mà ta có điểm M nằm trên, nằm bên trong, nằm bên ngoài đờng tròn

- Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ đợc một và chỉ một đờng tròn

- Đờng tròn có tâm đối xứng, đó là tâm đờng tròn Đờng tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đờng kínhnào của nó

b) Đờng kính và dây cung của đờng tròn Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

- Trong một đờng tròn, dây lớn nhất là đờng kính

- Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

- Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

- Trong một đờng tròn: Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm Trong hai dây không bằngnhau, dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn

c) Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn

Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của đờng thẳng và đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: đờng thẳng và ờng tròn không giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt nhau ứng với mỗi vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đờng tròn đến đờngthẳng và bán kính R của đờng tròn có các liên hệ: d > R; d = R; d < R Ta có các định lí

đ Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

- Nếu một đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đờngthẳng ấy là một tiếp tuyến của đờng tròn

d) Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau:

Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì:

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó làtia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

e) Đờng tròn nội tiếp tam giác, ngoại tiếp tam giác, bàng tiếp tam giác

- Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi làngoại tiếp đờng tròn Tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đờng phân giác các góc trong tamgiác

- Đờng tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam giác gọi là nội tiếp

đờng tròn Tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đờng trung trực tam giác

- Đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia là đ ờngtròn bàng tiếp tam giác Tâm của mỗi đờng tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của hai đờng phân giác của hai gócngoài tam giác hoặc giao điểm của tia phân giác của một góc trong và một trong hai đ ờng phân giác của góc ngoàikhông kề với nó

f) Vị trí tơng đối của hai đờng tròn

Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của hai đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: Hai đờng tròn không giaonhau, tiếp xúc nhau, cắt nhau

Do tính chất đối xứng của đờng tròn, nếu hai đờng tròn cắt nhau thì giao điểm đối xứng với nhau qua đờngnối tâm, nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì giao điểm nằm trên đờng nối tâm

g) Góc với đờng tròn:

+ Góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn đợc gọi là góc ở tâm Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc

ở tâm chắn cung đó Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo cung nhỏ Số đo của nửa đờng tròn bằng 1800

+ Góc nội tiếp: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đ ờng tròn và hai cạnh chứa dây cung của đờng tròn đó.Cung bên trong của góc gọi là cung bị chắn Trong một đờng tròn số đo của góc nội tiếp bằng nữa số đo cung bịchắn

+ Góc tạo bởi giữa tiếp tuyến và dây cung: Cho đờng tròn (O), A là tiếp điểm, xAy là tiếp tuyến của (O) tại A,

AB là một dây cung Góc tạo bởi tia Ax (hoặc tia Ay) với dây AB đợc gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung Số đocủa góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nữa số đo cung bị chắn

+ Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn: Mỗi góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn chắn hai cung: một cung nằmbên trong góc và cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của cung đó Số đo có đỉnh ở bên trong đ ờng tròn bằng nửatổng số đo hai cung bị chắn

+ Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn: Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn bằng nửa hiệu hai cung bịchắn

 Chú ý: Trong một đờng tròn

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn.

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

h) Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn

- Diện tích hình tròn: S = R2

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:

2

R n lRS

360 2



3 Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau

 Cách chứng minh: - Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba

- Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác

- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau

- Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba

- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc vuông góc

- Hai góc so le trong, so le ngoài hoặc đồng vị

- Hai góc ở vị trí đối đỉnh

- Hai góc của cùng mộ tam giác cân hoặc đều

- Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng

- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

 Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba

- Hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều

- Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau

- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông)

- Hai cạnh bên của hình thang cân

- Hai dây trơng ứng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn hoặc hai đờng bằngnhau Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song

 Cách chứng minh: - Chứng minh hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba

- Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba

- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau: ở vị trí so letrong; ở vị trí so le ngoài; ở vị trí đồng vị

- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn

- Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành, chữ nhật, hình vuông,

Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc

 Cách chứng minh: - Chúng cùng song song với hai đờng thẳng vuông góc khác

- Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giác

- Đờng kính đi qua trung điểm của dây và dây không đi qua tâm

- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau

- Tính chất 2 đờng chéo hình thoi, hình vuôngDạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng quy

 Cách chứng minh: - Dựa vào tổng hai góc kề bù có tổng bằng 1800

- Dựa vào hai góc đối đỉnh

- Dựa vào hai đờng thẳng đi qua một điểm cùng song song với đờng thẳng khác

- Dựa vào hai góc bằng nhau có 1 cạnh trùng nhau

- Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giáctrong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia)

- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet

Dạng 6: Chứng minh hai tam giác bằng nhau

* Hai tam giác thờng: - Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g)

- Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c)

- Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)

* Hai tam giác vuông: - Có một cạnh và một góc nhọn bằng nhau

- Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau

- Cạnh góc vuông đôi một bằng nhauDạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng

* Hai tam giác thờng: - Có hai góc bằng nhau đôi một (g-g)

- Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-g-c)

- Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-c-c)

* Hai tam giác vuông: - Có một góc nhọn bằng nhau

- Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ

- Có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệDạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp

 Cách chứng minh: - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc 

- Dựa vào phơng tích của đờng tròn

VIII Các bài toán hình học không gian

1 Hình lăng trụ: Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt song song gọi là đáy và các cạnh không thuộc hai đáy

song song với nhau Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

Sxq = p l (p là chu vi thiết diện thẳng, l là độ dài cạnh bên)

Lăng trụ đứng: Sxq = p h (p là chu vi đáy, h là chiều cao)

V = B h (B là diện tích đáy, h là chiều cao)Hình hộp chữ nhật: Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c là các kích thớc của hình hộp chữ nhật)

V = a b cCác đờng chéo hình hộp chữ nhật d = 2 2 2

a b cHình lập phơng: V = a3 (a là cạnh)

2 Hình chóp: Hình chóp là hình đa diện có một mặt là đa giác, các mặt khác là tam giác có chung đỉnh Hình chóp

đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các mặt bên bằng nhau Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy

và thiết diện song song với đáy Hình chóp cụt từ hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều

2  (n là số cạnh đáy; a, a’ cạnh đáy; d trung đoạn chiều cao mặt bên)

V = V1 + V2 (V1 thể tích hình chóp cụt; V2 thể tích hình chóp trên)

V = 1.h B B' B.B'

3   (B, B’ là diện tích đáy, h là chiều cao)

3 Hình trụ: Hình trụ là hình sinh ra bới hình chữ nhật quay xung quanh một cạnh của nó

- Diện tích xung quanh: Sxq = 2 R h (R là bán kính đáy; h là chiều cao)

- Diện tích toàn phần: Stp = 2 R h + 2 R2

- Thể tích hình trụ: V = S h =  R2 h (S là diện tích đáy)

4 Hình nón: Hình nón là hình sinh ra bởi tam giác vuông quay xung quanh một cạnh góc vuông của nó Hình nón

cụt là phần hình nón giữa đáy và một thiết diện vuông góc với trục

Hình nón: - Diện tích xung quanh: Sxq =  R l (R là bán kính đáy; l là đờng sinh)

- Diện tích toàn phần: Stp =  R l +  R2

- Thể tích: V = 1 2

R h

3  (h là chiều cao)Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = (R1 + R2) l (R1; R2 là bán kính hai đáy; l là đờng sinh)

- Diện tích toàn phần: Stp = (R1 + R2) l + (R1 + R2)

- Thể tích: V = 2 2

1.h.(R R R R )

A B

A B

1 1với AB 0

Dạng 1: 1 2 n n

1 2 n

a a a

a a an

1+ 2 + … + n = 1 thì: 1 1 1

a a a   a a a

     Dấu bằng xảy ra  a1 = a2 = … = an

b) Bất đẳng thức: CauChy – Bunhiakowski – Schwarz (CBS)

Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tuỳ ý a1, a2, , an; b1, b2, , bn khi đó:

Bài 2: Cho biểu thức: P = 1 x : x 3 x 2 x 2

Bài 3: Cho biểu thức: P = x 1 1 8 x : 1 3 x 2

c) Tìm giá trị của P nếu a 19 8 3 

Bài 5: Cho biểu thức: P =

a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P 1 a

Bài 9: Cho biểu thức P = 1: x 2 x 1 x 1

Bài 11: Cho biểu thức: P = 2 x x 3x 3 : 2 x 2 1

Bài 12: Cho biểu thức: P = x 3 x 1 : 9 x x 3 x 2

3

Bài 14: Cho biểu thức: P=

2 2

4x 4m

x m x m 

với m > 0a) Rút gọn P b) Tính x theo m để P = 0

c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x > 1

Bài 15: Cho biểu thức P =

c) Tìm a để P = 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 16: Cho biểu thức P = a 1 ab a 1 : a 1 ab a 1

1 3





c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a b 4

Bài 17: Cho biểu thức : P = a a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1

a) Với giá trị nào của a thì P = 7 b) Với giá trị nào của a thì P > 6

Bài 18: Cho biểu thức: P =

a) Tìm các giá trị của a để P < 0 b) Tìm các giá trị của a để P = -2

Bài 19: Cho biểu thức P =  a b2 4 ab a b b a

a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi a = 2 3 và b = 3

Bài 20: Cho biểu thức : P = x 2 x 1 : x 1

Bài 27: Cho biểu thức P = 3 a 3a 1 a 1   a b

a) Rút gọn P b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên

Bài 28: Cho biểu thức P = 1 1 : a 1 a 2

Bài 32 : Cho biểu thức P = 1 x

x 1  x xa) Rút gọn biểu thức sau P b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1

2Bài 33 : Cho biểu thức : A = x x 1 x 1

Bài 34 : Cho biểu thức : A = 1 1 1 3

2 2

Bài 36 : Cho biểu thức: A = x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 

Bài 37 : Cho biểu thức: A = x 2 x 1 : x 1

Bài 39 : Cho biểu thức: N = 1 a a 1 a a

a) Rút gọn biểu thức N b) Tìm giá trị của a để N = -2010

Bài 40 : Cho biểu thức P x x 26 x 19 2 x x 3

x 2 x 3 x 1 x 3

a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x 7 4 3 

c) Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

Bài 41 : Cho biểu thức P 2 x x 3x 3 : 2 x 2 1

x  2 m 1 x m 4   0 (x là ẩn )a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu

b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

c) Chứng minh biểu thức M =x 1 x1  2x 1 x2  1 không phụ thuộc vào m

4x 2x m 1 0   có hai nghiệm âm phân biệt

c)  2  2  

m 1 x  2 m 1 x 2m 1 0    có hai nghiệm trái dấu

Bài 5: Cho phơng trình : 2   2

x  a 1 x a   a 20a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a

b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 Tìm giá trị của a để 2 2

x x đạt giá trị nhỏ nhấtBài 6: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức:1 1 1

bc  Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau2phải có nghiệm x2 + bx + c = 0 và x2 + cx + b = 0

Bài 7: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:

2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 và 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0Bài 8: Cho phơng trình : 2 2

2x  2mx m  20a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt

b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng trình

Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham số m : 2

x 4x m 1 0  a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm

b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện 2 2

x x = 10Bài 10: Cho phơng trình 2  

x  2 m 1 x 2m 5   0a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?

Bài 11: Cho phơng trình 2  

x  2 m 1 x 2m 10   0 (với m là tham số )a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình

b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2 màkhông phụ thuộc vào m

c) Tìm giá trị của m để 2 2

10x x x x đạt giá trị nhỏ nhấtBài 12: Cho phơng trình   2

m 1 x  2mx m 1 0   với m là tham sốa) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt  m 1

b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của ph

x  mx m 1 0   (m là tham số)a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m; tính nghiệm kép ( nếu có) của phơng trình và giá trịcủa m tơng ứng

b) Đặt 2 2

Ax x  6x x Chứng minh Am2 8m 8 c) Tìm m để A = 8 và tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng

d) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

Bài 14: Giả sử phơng trình 2

a.x bx c  có 2 nghiệm phân biệt x0 1; x2 Đặt n n

S x x (n nguyên dơng)a) Chứng minh: a.Sn 2 bSn 1 cSn 0

b) áp dụng Tính giá trị của : A=

a) CMR phơng trình f(x) = 0có nghiệm với mọi m

b) Đặt x = t + 2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0có 2 nghiệm lớn hơn 2Bài 16: Cho phơng trình: x2 2 m 1 x m    2 4m 5 0

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng

c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phơng trình Tính 2 2

x x theo mBài 17: Cho phơng trình 2

x  4x 3  có hai nghiệm là x8 0 1; x2 Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểuthức :

a) Giải phơng trình khi m =1

2b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để : 2

x (1 2x ) x (1 2x )   mBài 19: Cho phơng trình x2mx n 3   (1) (n , m là tham số)0

a) Cho n = 0 CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phơng trình (1) thoả mãn hệ : 21 22

x  2 k 2 x 2k 5   0 ( k là tham số)a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của k sao cho 2 2

x x 18Bài 21: Cho phơng trình 2m 1 x  2 4mx 4 0 (1)

a) Giải phơng trình (1) khi m = 1

b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì

c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m

Bài 22: Cho phơng trình: 2   2

x  2m 3 x m   3m0a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1 x 1x2 6

Bài 23: Cho phơng trình 2

x  2mx 2m 1 0  a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1; x2 với mọi m

b) Đặt A = 2 2

2(x x ) 5x x CMR A = 2

8m 18m 9 Tìm m sao cho A = 27c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia

Bài 24: Giải và biện luận phơng trình : x2 – 2(m + 1) + 2m + 10 = 0

Bài 25: Giải và biện luận phơng trình: (m - 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0

Bài 26: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất

a) Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

b) Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

c) Gọi x1, x2 là nghệm của phơng trình (1) Tìm k để : x1 + x2 > 0

Bài 30: Cho phơng trình: x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phơng trình (1) với m = -5

b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m

c) Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là ha1 nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần b)

Bài 31: Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

a) Giải phơng trình khi m = - 9

2b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lầnnghiệm kia

Bài 32: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số

a) Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)

b) Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

Bài 33: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số

a) Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

b) Tìm k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x1 + x2 = 10