Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán trung học phổ thông cực hay

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Môn toán Biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn Phần I tổng hợp kiến thức I Các phép biến đổi thức Hằng đẳng thức đáng nhí ( a + b ) = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) ( a − b ) = a2 − b ( a − b ) = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 a3 − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b2 ) ( a − b ) = a2 − 2ab + b2 ( a + b ) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 − ab + b2 ) 2 ( a + b + c) Mét sè phép biến đổi thức bậc hai - Đều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A - Các công thức biến đổi thức A2 = A AB = A B A = B A B (A ≥ 0;B > 0) A B = A 2B (A ≥ 0;B ≥ 0) A = B B C AB (AB ≥ 0;B ≠ 0) A 2B = A B = a2 + b + c + 2ab + 2bc + 2ca (A ≥ 0;B ≥ 0) (B ≥ 0) A B = − A 2B (A < 0;B ≥ 0) A B = A B (B > 0) B C( A mB) C C( A m B) (A ≥ 0;A ≠ B2 ) = (A ≥ 0;B ≥ 0;A ≠ B) A −B A −B A ±B A± B C¸c dạng tập Dạng 1: Tính giá trị biểu thức Phơng pháp: Bớc 1: Trục thức mÉu (nÕu cã) Bíc 2: Qui ®ång mÉu thøc (nÕu có) Bớc 3: Đa biểu thức dấu Bớc 4: Rút gọn biểu thức Bớc 5: Tính số trị (nếu tham số) Dạng 2: Rút gọn biểu thức Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức Bớc 2: Trục thức mÉu nÕu cã (nÕu cã) Bíc 3: Qui ®ång mÉu thøc (nÕu cã) Bíc 4: §a mét biĨu thøc dấu Bớc 5: Rút gọn biểu thức Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức Bớc 2: Biến đổi vế trái vế phải vế phải vế trái Cũng có phải biến đổi c¶ hai vÕ cïng vỊ biĨu thøc trung gian = II Phơng trình bậc hai Định nghĩa: Phơng trình bậc hai phơng trình có dạng ax + bx + c = (a ≠ 0) C«ng thøc nghiÖm: Ta cã ∆ = b2 − 4ac - Nếu < phơng trình vô nghiệm b - Nếu = phơng trình có nghiÖm kÐp x1,2 = − 2a −b − ∆ −b + ∆ ; x2 = 2a 2a −b c Hệ thức Viet: Nếu phơng trình có nghiệm x1; x2 th× S = x1 + x = ; P = x1.x = a a Gi¶ sư x1; x2 hai nghiệm phơng trình ax + bx + c = (a ≠ 0) Ta cã thÓ sử dụng định lí Viet để tính biểu thức cña x1, x2 theo a, b, c b2 − 2ac S1 = x1 + x = ( x1 + x ) − 2x1x = a2 3abc − b3 3 S2 = x1 + x = ( x1 + x ) − 3x1x ( x1 + x ) = a3 - Nếu > phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt x1 = S3 = x − x = ( x1 − x ) = ( x1 + x ) − 4x1x = b2 − 4ac a2 øng dông hệ thức Viet a) Nhẩm nghiệm: Cho phơng trình ax + bx + c = (a ≠ 0) c - NÕu a + b + c = ⇒ x1 = 1; x = a c - NÕu a - b + c = ⇒ x1 = -1; x = − a b) T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P x, y hai nghiệm ph ơng trình bËc hai X2 - SX + P = c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phơng trình ax + bx + c = (a ≠ 0) cã hai nghiƯm x1; x2 th× ax + bx + c = a ( x − x1 ) ( x x ) d) Xác định dấu nghiệm số: Cho phơng trình ax + bx + c = (a ≠ 0) c - NÕu < phơng trình có hai nghiệm trái dấu a > - Nếu c phơng trình cã hai nghiÖm cïng dÊu a >    ∆ > ∆ >   c c - Nếu > phơng trình có hai nghiệm dơng Nếu > phơng trình cã hai nghiƯm ©m a a  −b  −b  a >0  a bab>0ba B ⇒A >C 1/  2/ A > B ⇔ A + C > B + C B > C ( )  Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn AC > BC,C > 3/ A > B ⇔   AC < BC,C < A > B > ⇒ AC > BD 5/  C > D > A > B ⇒ A +C >B+C 4/  C > D 6/ A > B > 0, n ∈ N* ⇒ An > Bn 7/ A > B > 0,n ∈ N,n ≥ ⇒ n A > n B  A n > A m ,A > n,m ∈ N*  9/  ⇒ n m  A < A ,0 < A < n > m  Một số BĐT bản: ( a + b) 1  A < B víi AB > 8/ A > B ⇒   > víi AB < A B  2n +1 2n +1  a > b a > b ⇒ 10/  n ∈ N 2n+1 a > 2n+1 b  a ≥a ≥ 4ab a + b ≥ a+b a − b ≤ a−b 1 1 + ≥ + + ≥ (víi a, b > 0) (víi a, b, c > 0) a b a+b a b c a+b+c 1 n2 a b + + + ≥ + ≥ (víi ab > 0) (Víi a1, a2, …, an > 0) a1 a2 an a1 + a + + an b a a) Bất đẳng thức CauChy: Dạng tổng quát: Giả sử a1, a2, , an số thực không âm, ta có: n a1 + a2 + + an n  a1 + a2 + + an  ≥ a1a2 an D¹ng 1: Dạng 2: ữ a1a2 an n n Đẳng thức xảy a1 = a2 = … = an n S S * NÕu a1 + a2 + + an = S (const) th× Max ( a1a2 an ) = ữ xảy a1 = a2 = … = an = n n Hệ quả: * Nếu a1a2 an = P (const) Min ( a1 + a + + an ) = n n P x¶y ⇔ a1 = a2 = = an = n P Bất đẳng thøc CauChy suy réng: Cho n sè d¬ng a1, a2, , an (n 2) n số dơng 1, α2, … αn cho α1+ α α α α2 + … + αn = th×: a1 a1 a1 ≤ α1a1 + α 2a2 + + αnan DÊu b»ng x¶y ⇔ a1 = a2 = = an b) Bất đẳng thức: CauChy Bunhiakowski Schwarz (CBS) Dạng tổng quát: Cho 2n số thùc tuú ý a1, a2, , an; b1, b2, , bn đó: (a )( Dấu đẳng thức x¶y ⇔ HƯ qu¶: ) 2 2 + a2 + + an b1 + b + + bn ≥ ( a1b1 + a 2b2 + + a nbn ) 2 a1 a2 a = = = n b1 b2 bn ( ) 2 * NÕu a1x1 + a2x2 + + anxn = c (const) th× Min x1 + x + + x n = c2 2 x¶y ⇔ a1 + a2 + + an x1 x x = = = n a1 a2 an 2 2 * NÕu x1 + x + + x n = c (const) th× x1 x x = = = n ≥ a1 a2 an x1 x xn 2 = − c a1 + a + + an ⇔ = = = ≤ a1 a2 an 2 Max { a1x1 + a2 x + + an x n } = c a1 + a + + an ⇔ Min{ a1x1 + a2 x + + an x n } a2 a2 a2 ( a + a + + an ) Dạng khác CBS: + + + n ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + + bn Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 10 Bài 25: Giải biện luận phơng trình: (m - 3) x2 – 2mx + m – = Bài 26: Giải phơng trình sau cách nhẩm nhanh nhÊt a) 2x2 + 2007x – 2009 = b) 17x2 + 221x + 204 = c) x2 + ( − )x - 15 = d) x2 –(3 - )x - = Bài 27: Giải phơng trình sau cánh nhẩm nhanh (m tham số) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = Bµi 28: Gäi x1 , x2 nghịêm phơng trình : x 3x – = a) TÝnh: A = x12 + x22 B = x1 − x 1 + C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) x1 − x − 1 b) LËp phơng trình bậc có nghiệm x1 − x2 − 2 Bµi 29: Cho phơng trình: x ( k 1)x - k + k – = (1) (k lµ tham số) a) Chứng minh phơng trình (1 ) có hai nghiệm phân biệt với giá trị k b) Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu c) Gọi x1, x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k ®Ĩ : x13 + x23 > Bµi 30: Cho phơng trình: x2 2( m + 1) x + m – = (1) (m lµ tham sè) a) Giải phơng trình (1) với m = -5 b) Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với m c) Tìm m để x1 x đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 ha1 nghiệm phơng trình (1) nói phần b) Bài 31: Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m lµ tham sè) a) Giải phơng trình m = b) Chứng minh phơng trình đà cho có nghiệm với m c) Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm Bài 32: Cho phơng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè a) BiƯn luận theo m có nghiệm phơng trình (1) b) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu c) Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Bài 33: Cho phơng trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) với k tham số a) Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép b) Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mÃn ®iỊu kiƯn : x12 + x22 = 10 Bµi 34: Cho phơng trình : x2 6x + = 0, gọi x1 x2 hai nghiệm phơng trình Không giải phơng trình, hÃy tính: a) x12 + x22 b) x1 x1 + x x c) x1 + x + x1x x ( x1 + x ) ( ) ( ) 2 x1 x1 − + x x 2 Bài 35: Cho phơng trình bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = a) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m thoả mÃn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai nghiệm phơng trình) Bài 36: Cho phơng trình: x2 – 2mx + 2m – = a) Chøng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2, tìm giá trị m để: x12(1 x22) + x22(1 x12) = -8 Bài 37: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = a) Giải phơng trình với m = b) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mÃn 5x1 + x2 = Bài 38: Cho phơng trình: x2 + 4x + = (1) a) Giải phơng trình (1) b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình (1) TÝnh B = x13 + x23 Bµi 39: Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m tham số) a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mÃn x13 + x23 Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 18 Bài 40: Cho phơng trình: (m 1)x2 + 2mx + m = (*) a) Giải phơng trình m = b) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt Bài 41: Cho phơng tr×nh (2m - 1)x2 - 2mx + = Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1, 0) Bài 42: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiƯm chung ®ã: a) 2x2 + (3m + 1)x – = vµ 6x2 + (7m – 1)x – 19 = b) 2x2 + mx – = vµ mx2 – x + = c) x2 – mx + 2m + = vµ mx2 – (2m + 1)x – = Bµi 43: Xét phơng trình sau: ax2 + bx + c = (1) vµ cx2 + bx + a = (2) Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung Bài 44: Cho hai phơng trình: x2 2mx + 4m = (1) vµ x2 – mx + 10m = (2) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phơng trình (1) Bài 45: Cho hai phơng trình: x2 + x + a = vµ x2 + ax + = a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình tơng đơng Bài 46: Cho hai phơng trình: x2 + mx + = (1) vµ x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng c) Xác định m để phơng tr×nh (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bài 47: Cho phơng trình: x2 5x + k = (1) vµ x2 – 7x + 2k = (2) Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần nghiệm phơng trình (1) Bài tập hàm số bậc Bài 1: a) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) b) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng víi trơc tung vµ trơc hoµnh Bµi Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + a) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ c) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – ®ång quy Bµi 3: Cho hµm sè y = (m 1)x + m + a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1; -4) c) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m Bài : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) a) Viết phơng trình đờng thẳng AB b) Tìm giá trị m ®Ĩ ®êng th¼ng y = (m – 3m)x + m2 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Bài 5: Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m a) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) b) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = − 6−x 4x − Bµi : Tìm giá trị k để đờng thẳng sau : y = ;y= vµ y = kx + k + cắt điểm Bài : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) B(-3; -1) Bµi : Cho hµm sè : y = x + m (D) Tìm giá trị m để đờng thẳng (D) : a) Đi qua điểm A(1; 2010) b) Song song với đờng thẳng x y + = Bµi 9: Cho hµm sè y = (m - 2)x + n (d) Tìm giá trị m n để đồ thị (d) hàm số : a) Đi qua hai điểm A(-1;2) B(3;-4) b) Cắt trục tung điểm cótung độ 1- cắt trục hoành điểm có hoành độ 2+ c) Cắt đờng thẳng -2y + x = d) Song song vối đờng thẳng 3x + 2y = Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 19 Bµi 10: Cho hµm sè : y = 2x (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm đồ thị điểm cách hai trục toạ độ c) Xét số giao điểm (P) với đờng thẳng (d) y = mx − theo m d) ViÕt ph¬ng trình đờng thẳng (d') qua điểm M(0; -2) tiÕp xóc víi (P) Bµi 11 : Cho (P) y = x đờng thẳng (d) y = 2x + m 1) Xác định m để hai đờng : a) Tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm b) Cắt hai điểm phân biệt A B , điểm có hoành độ x= -1 Tìm hoành độ điểm lại Tìm toạ độ A B 2) Trong trờng hợp tổng quát, giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M N ìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo m tìm quỹ tích điểm I m thay đổi Bài 12: Cho đờng thẳng (d) 2(m − 1)x + (m − 2)y = a) T×m m để đờng thẳng (d) cắt (P) y = x hai điểm phân biệt A B b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) ®i qua m thay ®ỉi Bµi 13: Cho (P) y = x a) Tìm tập hợp điểm M cho từ kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với tiếp xúc với (P) b) Tìm (P) điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ Bài 14: Cho đờng thẳng (d) y = x a) Vẽ (d) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành (d) hai trục toạ độ b) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) Bài 15: Cho hµm sè y = x − (d) a) Nhận xét dạng đồ thị Vẽ đồ thị (d) b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm phơng trình x = m Bài 16: Với giá trị m hai đờng thẳng : (d) y = (m − 1)x + (d') y = 3x − a) Song song víi b) Cắt c) Vuông góc với Bài 17: Tìm giá trị a để ba đờng thẳng : (d1): y = 2x – 5; (d 2): y = x + 2; (d 3): ax - 12 đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ Bài 18: CMR m thay đổi (d) 2x + (m - 1)y = qua điểm cố định Bµi 20: Cho (P) y = x vµ đờng thẳng (d) y=ax + b Xác định a b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1; 0) vµ tiÕp xóc víi (P) Bµi 21: Cho hµm sè y = x − + x + a) Vẽ đồ thị hàn số b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm phơng trình x + x + = m Bµi 22: Cho (P) y = x vµ ®êng th¼ng (d) y = 2x + m a) VÏ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) x Bµi 23: Cho (P) y = − vµ (d) y = x + m a) VÏ (P) b) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B c) Xác định đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) cắt (P) điẻm có tung độ -4 d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') qua giao điểm (d') (P) Bµi 24: Cho hµm sè y = x (P) vµ hµm sè y = x + m (d) a) Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) tiÕp xóc víi (P) c) ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh khoảng cách hai điểm áp dụng Tìm m cho khoảng cách hai điểm A B Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 20 Bài 25: Cho điểm A(-2; 2) đờng thẳng ( d1 ) y = -2(x + 1) a) Tìm a để hàm số y = a.x (P) qua A b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d2) qua A vuông góc với (d1) c) Gọi A B giao điểm (P) (d 2) ; C giao điểm (d1) với trục tung Tìm toạ độ B C Tính diện tích tam giác ABC Bài 26: Cho (P) y = x đờng thẳng (d) qua hai điểm A B (P) có hoành độ lầm lợt -2 4 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) c) Tìm điểm M cung AB (P) tơng ứng hoành độ x  −2;4  cho tam gi¸c MAB cã diƯn tích lớn x2 điểm M (1; -2) a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M vµ cã hƯ sè gãc lµ m b) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi 2 c) Gọi x A ; xB lần lợt hoành độ A B Xác định m để x A xB + x A xB đạt giá trị nhỏ d) Gọi A' B' lần lợt hình chiếu A B trục hoành S diƯn tÝch tø gi¸c AA'B'B *TÝnh S theo m; *X¸c ®Þnh m ®Ĩ S= 4(8 + m2 m2 + m + 2) Bµi 27: Cho (P) y = − Bµi 28: Cho hµm sè y = x (P) a) Vẽ (P) b) Gọi A,B hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) Bài 29: Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P) y = x đờng thẳng (d) y = mx − 2m − a) Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm b) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định Bài 30: Cho (P) y = x điểm I(0; -2) Gọi (d) đờng thẳng qua I có hệ sè gãc m a) VÏ (P) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m R b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn x2 Bài 31: Cho (P) y = đờng thẳng (d) qua điểm I( ;1) cã hƯ sè gãc lµ m a) T×m m cho (d) tiÕp xóc (P) b) Tìm m cho (d) (P) có hai điểm chung phân biệt x x2 Bài 32: Cho (P) y = đờng thẳng (d) y = + 2 a) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) b) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đờng tiếp tuyến (P) song song víi (d) Bµi 33: Cho (P) y = x a) Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc víi (P) Bµi 34: Cho (P) y = 2x Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 điểm B có hoành độ x=2 Xác định giá trị m n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB (d1 )x + y = m Bài 35: Xác định giá trị m để hai đờng thẳng có phơng trình cắt điểm (P) (d2 )mx + y = y = −2x Ph¬ng trình bất phơng trình bậc ần Hệ phơng trình bậc ẩn Bài 1: Giải phơng trình sau đây: Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 21 x x 2x - + =2 b) =2 x - x+2 x + x +1 Bµi 2: Giải biện luận phơng trình theo m: (m 2)x + m2 = Bài 3: Tìm m Z để phơng trình sau có nghiệm nguyªn: (2m – 3)x + 2m + m - = Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 7x + 4y = 23 Bài 4: Giải hệ phơng trình: 2x 3y = x + 4y = 2x − y = a)  b)  c)   −3x + 4y =  4x − 3y = 5 + y = 4x 2 x + x + y = x − y = 2x + =  d)  e)  f)   4x + 2y = −3 x + y =  + = 1,7 x x + y  a) mx − y = Bµi 5: Cho hƯ phơng trình : x + my = a) Giải hệ phơng trình theo tham số m b) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm giá trị m để x + y = -1 c) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m x 2y = m Bài 6: Cho hệ phơng trình:  2x + y = 3(m + 2) a) Gi¶i hệ phơng trình thay m = -1 b) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ (a − 1)x + y = a Bµi 7: Cho hƯ phơng trình: có nghiệm (x; y)  x + (a − 1)y = a) T×m đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào a b) Tìm giá trị a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 2x − 5y c) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức nhận giá trị nguyên x+y x + ay = (1) Bài 8: Cho hệ phơng trình: ax + y = a) Gi¶i hƯ (1) a = b) Với giá trị a th× hƯ cã nghiƯm nhÊt mx − y = n Bài 9: Xác định hệ số m n, biết hệ phơng trình có nghiệm −1; nx + my = ( ) ( a + 1) x + y =  Bài 10: Cho hệ phơng trình (a tham sè) ax + y = 2a  a) Gi¶i hƯ a = b) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt (x ; y) tho¶ m ·n x + y ≥  x - (m + 3)y = Bµi 11: Cho hƯ phơng trình : (m tham số) (m - 2)x + 4y = m - a) Gi¶i hƯ m = -1 b) Giải biện luận phơng trình theo m x - m y = Bài 12: Cho hệ phơng trình: (m tham số) mx − 4y = m + a) Gi¶i hƯ m = -1 b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xác định mäi hÖ cã nghiÖm x > 0, y > ( m + 1) x − y = m + Bài 13: Tìm m để hệ phơng trình Có nghiệm thoả mÃn điều kiện x + y nhá nhÊt  x + ( m − 1) y = Bài 14: Giải hệ phơnh trình minh hoạ bằmg đồ thị Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân H·n 22 x − y =  b)  x y  + =1 4 2x + by = Bài 15: Cho hệ phơng trình : bx − ay = −5  x +1= y  a)  2y − = x   y +1 = x −1  c)   y = 3x 12 a) Giải hệ phơng trình a = b b) Xác định a b để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) = (1; -2) mx y = 2m Bài 16: Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m:   4x − my = + m  x + ay = Bài 17: Với giá trị a hệ phơng trình : ax + y = a) Cã mét nghiÖm nhÊt b) V« nghiƯm 2  x + xy + y = 19 Bài 18: Giải hệ phơng trình sau:   x − xy + y = −1  x −1 + y − =  Bµi 19*: Tìm m cho hệ phơng trình sau có nghiÖm:  ( x − y ) + m ( x − y − 1) − x + y =   2x − xy + 3y = 13 Bài 20: GiảI hệ phơng trình: 2  x − 4xy − 2y = −6 a3 + 2b2 − 4b + = Bµi 21*: Cho a b thoả mÃn hệ phơng trình  2 TÝnh a2 + b2  a + a b − 2b = (a + 1)x y = Bài 21: Cho hệ phơng trình   a.x + y = a a) Gi¶i hƯ phơng rình a= - b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả m Ãn điều kiện x + y > Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình Toán chuyển động Bài 1: Hai tỉnh A B cách 180 km Cùng lúc, ôtô từ A đến B xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ôtô hết , từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết đờng AB hai xe chạy với vận tốc không đổi Bài 2: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B lại ngợc dòng từ bến B bến A tất giê TÝnh vËn tèc cđa ca n« níc yên lặng, biết quÃng sông AB dài 30 km vận tốc dòng n ớc km/h Bài 3: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngựơc từ B trở A Thời gian xuôi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc km/h Bài 4: Một ngời chuyển động quÃng đờng gồm đoạn đờng đoạn đờng dốc Vận tốc đoạn đờng đoạn đờng dốc tơng ứng 40 km/h 20 km/h Biết đoạn đờng dốc ngắn đoạn đờng 110km thời gian để ngời quÃng đờng 30 phút Tính chiều dài quÃng đờng ngời đà Bài 5: Một xe tải xe khởi hành từ A đến B Xe tảI ®i víi vËn tèc 30 km/h, xe ®i víi vận tốc 45 km/h Sau đợc quÃng đờng AB, xe tăng vận tốc thêm km/h qu Ãng đ ờng lại Tính quÃng đờng AB biết xe đến B sớm xe tải 2giờ 20 phút Bài 6: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 km với vận tốc xác định Khi từ B A ng ời đờng khác dài h¬n tríc 29 km nhng víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc lóc ®i km/h TÝnh vËn tèc lóc ®i, biÕt r»ng thêi gian vỊ nhiỊu h¬n thêi gian 30 phút Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 23 Bài 7: Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 Km ngợc chiều Sau 1h40 gặp Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc ca nô xuôi lớn vận tốc ca nô ng ợc 9Km/h vận tốc dòng nớc Km/h Bài 8: Hai địa điểm A,B cách 56 Km Lúc 6h45phút ngời xe đạp từ A víi vËn tèc 10 Km/h Sau ®ã giê mét ngời xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến họ gặp chỗ gặp cách A Km ? Bài 9: Một ngời xe đạp từ A đến B víi vËn tèc 15 km/h Sau ®ã mét thêi gian, ngời xe máy xuất phát từ A với vận tốc 30 km/h thay đổi đuổi kịp ng ời xe máy B Nhng sau đợc nửa quÃng đờng AB, ngời xe đạp giảm bớt vận tốc km/h nên hai ngòi gặp C cách B 10 km Tính qu Ãng đ ờng AB Bài 10: Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30 km/h Khi ®Õn B ngêi ®ã nghØ 20 råi quay trë A với vận tốc trung bình 24 km/h TÝnh qu ·ng ® êng AB biÕt r»ng thêi gian lẫn 50 phút Bài 11: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h, sau ngợc từ B A Thời gian xuôi thời gian ngợc 40 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc Km/h vận tốc riêng ca nô không đổi Bài 12: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình 40 km/h Lúc đầu ô tô với vận tốc đó, 60 km đợc nửa quÃng đờng AB, ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h qu Ãng đ ờng lại Do ô tô đến tỉnh B sớm so với dự định Tính qu Ãng đ ờng AB Bài 13: Hai ca nô khởi hành lúc chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h Trên đờng ca nô II dừng lại 40 phút, sau tiếp tục chạy Tính chiều dài qu Ãng đ ờng sông AB biết hai ca nô đến B lúc Bài 14: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50 km Sau 30 phút, ngời xe máy từ A ®Õn B sím h¬n giê TÝnh vËn tèc cđa xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp Bài 15: Một ca nô chạy sông giờ, xuôi dòng 108 km ngợc dòng 63 km Một lần khác, ca nô chạy giờ, xuôi dòng 81 km ngợc dòng 84 km Tính vận tốc dòng nớc chảy vận tốc riêng (thực) ca nô Bài 16: Một tầu thuỷ chạy khúc sông dài 80 km, 20 TÝnh vËn tèc cđa tÇu n íc yên lặng, biết vận tốc dòng nớc km/h Bµi 17: Mét chiÕc thun khëi hµnh tõ bÕn sông A Sau 20 phút ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền điểm cách bến A 20 km Hái vËn tèc cđa thun, biÕt r»ng ca n« chạy nhanh thuyền 12 km/h Bài 18: Một ôtô chuyển động với vận tốc đ à định để ®i hÕt qu ·ng ® êng dµi 120 km thời gian đà định Đi đợc nửa quÃng đờng xe nghỉ phút nên để đến nơi giờ, xe phải tăng vận tốc thêm km/h nửa qu Ãng đờng lại Tính thời gian xe lăn bánh đờng Bài 19: Một ôtô dự định ®i tõ A ®Ðn B c¸ch 120 km thời gian quy định Sau đ ợc ôtô bị chắn đờng xe hoả 10 phút Do đó, để đến B hạn, xe phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc lúc đầu ôtô Bài 20: Một ngời xe đạp từ A đến B thời gian đà định Khi cách B 30 km, ng ời nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc đi, nhng tăng vận tốc thêm km/h tới đích sớm nửa giờ.Tính vận tốc xe đạp tren qu Ãng đ ờng đà lúc đầu Bài 21: Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe ô tô Bài 22: Một ô tô dự định từ A đến B víi vËn tèc 50 km/h Sau ®i ® ợc quÃng đờng với vận tốc đó, đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km qu Ãng đ ờng lại Do ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quÃng đờng AB Bài 23: Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h ®Õn sím h¬n giê TÝnh qu ·ng ® ờng AB thời gian dự định lúc đầu Bài 24: QuÃng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ôtô thứ hai 2h Tính vận tốc ôtô? Bài 25: Khoảng cách hai thµnh A vµ B lµ 180 km Mét « t« ®i tõ A ®Õn B, nghØ 90 ë B råi trë l¹i tõ B vỊ A Thêi gian từ lúc đến lúc trở 10 giê BiÕt vËn tèc lóc vỊ kÐm vËn tèc lóc ®i lµ km/h TÝnh vËn tèc lóc ®i cđa ô tô Bài 25: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, cïng lóc ®ã cịng tõ A mét bÌ nøa trôi với vận tốc dòng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A km TÝnh vËn tèc thùc cđa ca n«  Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 24 Bài 26: Khoảng cách hai tỉnh A B 108 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe Bài 27: Hai địa ®iĨm A, B c¸ch 56km Lóc 6h45' mét ngêi ®i tõ A víi vËn tèc 10km/h Sau 2h, mét ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến họ gặp nhau, chỗ gặp cách A km Bài 28: Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau ngợc từ B trở A Thời gian xuôi thời gian ngợc 40' Tính khoảng cách A B Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng nớc 3km/h Bài 29: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần xe đạp Toán suất Bài 1: Hai đội công nhân làm công việc làm xong Nếu đội làm để làm xong công việc ấy, đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong công việc bao lâu? Bài 2: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch 26 ngày Nh ng cải tiến kỹ thuật nên ngày đà vợt mức 6000 đôi giầy đ à hoàn thành kế hoạch đ à định 24 ngày mà v ợt mức 104 000 đôi giầy Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch Bài 3: Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt đợc 20 cá, nhng đà vợt mức đợc tuần nên đà hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà v ợt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch đà định Bài 4: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trớc làm việc đội xe đợc bổ sung thêm xe nên xe chở so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có xe ? Biết số hàng chở tất xe có khối lợng Bài 5: Hai tổ sản xuất nhận chung mức khoán Nếu làm chung giê tỉ vµ giê cđa tổ hoàn thành đợc mức khoán Nếu để tổ làm riêng tổ làm xong mức khoán tổ phải làm ? Bài 6: Hai tổ công nhân làm chung 12 hoàn thành xong công việc đ à định Họ làm chung với tổ thứ đợc điều làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm sau hoàn thành công việc Bài 7: Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm họ làm đợc 25% côngviệc Hỏi ngời làm công việc xong Bài 8: Theo kế hoạch, tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến làm việc, phải điều công nhân làm việc khác nên công nhân lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có công nhân ? Biết suất lao động công nhân nh Bài 9: Hai ngời thợ làm công việc 16 xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê vµ ngêi thứ làm họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm công việc giời xong ? Bài 10: Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vợt 15%.tổ vợt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đ ợc sản phẩm Bài 11: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy ? Bài 12: Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu ngời Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 ngời Tính số dân tỉnh năm ngoái năm ? Toán thể tích Bài 1: Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc đà làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? Bài 2: Hai vòi nớc chảy vào bể nớc chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng, vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai 30 phút Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? Bài 3: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định phải bơm đợc 10 m3 Sau bơm đợc thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn, bơm đ ợc 15 m3 Do so với quy định, bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút Tính thể tích bể chứa Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 25 Bài 4: Nếu hai vòi nớc chảy vào bể chứa nớc sau 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 15 phút khoá lại mở vòi thứ hai chảy tiếp 20 phút đ ợc bể Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể ? Bài 5: Hai vòi nớc chảy vào bể chứa nớc sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? Bài 6: Hai vòi nớc chảy vào bể sau 48 phút đầy Nu chảy thời gian nh lợng nớc vòi II lợng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể Bài 7: Nếu mở hai vòi nớc chảy vào mệt bể cạn sau 55phút bể đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai hai Hỏi mở riêng vòi vòi chảy đầy bể ? Một số dạng khác Bài 1: Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) đ à trồng đ ợc tất 80 Biết số bạn nam trồng đợc số bạn nữ trồng đợc ; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ Bài 2: Một hình chữ nhật có diện tích 300m Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m ta đợc hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu Bài 3: Ba bình tích tổng cộng 120 lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ đem rót vào hai bình 1 bình thứ đầy nớc, bình thứ đợc thể tích nó, bình thứ đầy nớc bình thứ đợc thể tích Tìm thể tích bình Bài 4: Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng số ghế hàng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phòng có 400 ghế Hỏi có hàng, hàng có ghế ? Bài 5: Hai vật chuyển động đờng tròn có đờng kính 20m, xuất phát lúc từ điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều giây lại gặp Nếu chúng chuyển động chiều sau 10 giây lại gặp Tính vận tốc vật Bài 6: Một khối lớp tổ chức tham quan ô tô Mỗi xe chở 22 học sinh thừa học sinh Nếu bớt ôtô xếp học sinh ôtô lại Hỏi lúc đầu có ôtô, học sinh Mỗi xe chở không 32 học sinh Bài 7: Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian đ à định dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày đà làm thêm đ ợc 100 chi tiết, nên đà sản xuất thêm đ ợc tất 600 chi tiết hoàn thành kế hoạch trớc ngày Tính số chi tiết máy dự định sản xuất Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hôm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có xe ? Bài 9: Hai tổ học sinh trồng đợc sè c©y s©n trêng NÕu lÊy c©y cđa tổ chuyển cho tổ số trồng đợc hai tổ Nếu lấy 10 tổ chuyển cho tổ hai số trồng đ ợc tổ hai gấp đôi số tổ Hỏi tổ trồng đợc ? Bài 10: Hai hợp tác xà đà bán cho nhà n ớc 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác x à đ à bán cho nhà n ớc Biết lần số thóc hợp tác xà thứ bán cho nhà n ớc nhiều hai lần số thóc hợp tác xà thứ hai bán 280 Bài 11: Để chở số bao hàng ôtô, ngời ta nhận thấy xe chở 22 bao thừa bao Nếu bớt ôtô phân phối bao hàng cho ôtô lại Hỏi lúc đầu có ôtô tất có bao hàng Biết ôtô chở đợc không 32 bao hàng (giả thiết bao hàng có khối lợng nh nhau) Bài 12: Mỗi ngời dán tất tem vào Nếu dán 20 tem tờ không đủ để dán hết số tem Còn tờ dán 23 tem tờ bị bỏ trống Nếu giả sử mà tờ dán 21 tem tổng số tem dán vë ®ã víi sè tem thùc cã cđa ng êi ®ã lµ 500 tem Hái qun vë ®ã cã tờ số tem ngời có ? Bài 13: Tìm số gồm ba chữ số cho ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt bên trái số gồm hai chữ số lại, ta đợc có ba chữ số lớn số ban đầu 765 đơn vị Bài 14: Một trăm trâu ăn trăm bó cỏ Trâu đứng ăn năm bó, trâu nằm ăn ba bó, trâu già ăn bó Tìm số trâu loại ? Bài 15: Tìm số có chữ số biết đem số chia cho tổng chữ số đ ợc thơng d Còn đem số chia cho tích chữ số đợc thơng d Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 26 Bài 16: Hai đội cờ thi đấu với Mỗi đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đà đấu bình ph ơng số đấu thủ đội thứ cộng với số đấu thủ đội thứ hai Hỏi đội có đấu thủ ? Bài 17: Hai ®éi bãng bµn cđa hai trêng A, B thi ®Êu giao hữu để chuẩn bị tranh giải toàn tỉnh Biết đấu thủ đội trờng A phải lần lợt gặp đối thủ trờng B lần số trận đấu gấp lần tổng số đấu thủ đội Tìm số đấu thủ trờng Bài 18: Trong gặp mặt học sinh giỏi có 35 bạn học sinh giỏi văn toán tham dự Các học sinh giỏi văn tính số ngời quen bạn học sinh giỏi toán nhận thấy : bạn thứ quen b¹n; B¹n thø quen b¹n; B¹n thø quen bạn ; bạn cuối quen tất bạn học sinh giỏi toán Tính số học sinh giỏi văn, giỏi toán Biết học sinh vừa giỏi văn vừa giỏi toán Bài 19: Trong buổi liên hoan, lớp khách mời 15 khách đến dự Vì lớp đ à có 40 học sinh nên phải kê thêm dÃy ghế dÃy ghế phải ngồi thêm đủ chỗ ngồi Biết d ·y ghÕ ®Ịu cã sè ng êi ngåi nh ngồi không năm ngời Hỏi lớp học lúc đầu có dÃy ghế Bài 20: Một đoàn gåm 50 häc sinh qua s«ng cïng mét lóc b»ng loại thuyền : Loại thứ nhất, thuyền chở đợc em loại thứ chở đợc em thuyền Hỏi số thuyền loại ? Bài 21: Tìm số N gồm chữ số, biết tổng bình phơng hai chữ số số cộng thêm tích hai chữ số Nếu thêm 36 vào số đợc số có hai chữ số mà chữ số viết thứ tự ngợc lại Bài 22: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối xung quanh vên (thuéc ®Êt vên) réng m TÝnh kích thớc vờn, biết đất lại vờn để trồng trọt 4256 m2 Bài 23: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu Bài 24: Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm Tính hai cạnh góc vuông Bài 25: Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đôi mẫu số thêm giá trị phân số Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số Tìm phân số 24 Hình học phẳng $ Bài 1: Cho ABC ( A = 900 ), đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt cạnh AB, AC lần lợt E F a) Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b) Chứng minh tứ giác EFCB nội tiếp c) Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC I Chứng minh I trung ®iĨm cđa BC d) CMR: NÕu SABC = SAEHF tam giác ABC vuông cân Bài 2: Cho tam gi¸c ABC (AB > AC ) néi tiÕp (O) VÏ đờng phân giác góc A cắt (O) M Nối OM cắt BC I à à à à · a) Chøng minh ∆BMC c©n b) BMA > AMC ABC + ACB = BMC c) Đờng cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chứng minh OI // AH d) Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình ? e) Chứng minh AM phân giác góc OAH f) OM kéo dài cắt (O) N Vẽ OE vuông góc với NC Chứng minh OE = MB g) Chøng minh tø gi¸c OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiÕp tø gi¸c OICE h) Chøng minh c¸c tø gi¸c ABHP vµ QPCH néi tiÕp i) Tõ C vÏ tiÕp tuyến (O) cắt BM kéo dài K Chứng minh CM phân giác góc BCK k) So sánh góc KMC KCB với góc A l) Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M $ ¶ · · · · · m) Chøng minh S = EOI − MOC ; CBC = NCM ; ABF = AON n) Tõ A kỴ AF // BC, F thuéc (O) Chøng minh BF = CA  Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 27 Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD a) Chứng minh AI vuông góc với BC ả ả b) Chøng minh IDE = IAE c) Chøng minh : AE EC = BE EI · d) Cho BAC = 600 Chứng minh DOE Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đờng cao AH tam giác ABC cắt (O) D, AO kéo dài cắt (O) E a) Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân b) Gọi M điểm chình cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC c) Tính bán kÝnh cđa (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M N cho c¸c cung AM, MN, NB b»ng Gäi P giao điểm AM BN, H giao ®iĨm cđa AN víi BM Chøng minh r»ng a) Tứ giác AMNB hình thang cân b) PH AB Từ suy P, H, O thẳng hàng c) ON tiếp tuyến đờng tròn đờng kính PH Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB E F Chứng minh a) Tam giác MAE đồng dạng tam giác MCA ME MC = MF MD b) Tø gi¸c CEFD néi tiếp c) Khi AB = R tam giác OAM Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC F a) Tứ giác AEHF hình ? b) Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp c) Chøng minh AE AB = AF AC d) Chømg minh EF lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (I) e) Gọi Ax tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E a) Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp b) TÝnh gãc AHE c) Chøng minh tam gi¸c EAH EBC đồng dạng e) Chứng minh AD = AE f) Khi điểm D di chuyển cạnh AB điểm H di chuyển đờng ? Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gäi E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng: a) EF ⊥ AC b) DA DF = DC DE c) Tứ giác BDFE nội tiếp Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K A n»m cïng phÝa ®èi víi BC ) TiÕp tun với đờng tròn (O) C cắt OK I a) Chøng minh IA lµ tiÕp tun cđa (O) b) Chứng minh CK tia phân giác góc ACI c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm Tính OI, CI Bài 11: Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB Vẽ phía với AB tia Ax, By vuông góc với à AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax By cho MON = 900 Gọi I trung điểm MN Chứng minh : a) AB lµ tiÕp tun cđa (I; IO) b) MO tia phân giác góc AMN c) MN tiếp tuyến đờng tròn đờng kính AB d) Khi điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN không dổi Bài 12: Cho (O;R) (O; r)tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( B thuéc (O); C thuéc (O’) ) TiÕp tuyÕn chung hai đờng tròn A cắt BC M a) Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 28 b) Đờng thẳng OO có vị trí tơng đối với (M) nói trên? c) Xác định tâm đờng tròn qua ba điểm O, O’ , M d) Chøng minh BC lµ tiÕp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O, M Bài 13: Cho (O) (O) tiếp xúcngoài A Đờng thẳng Ô cắt (O) (O) theo thứ tự tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( D thuéc (O); E thuéc (O’)) M lµ giao ®iĨm cđa BD vµ CE Chøng minh r»ng: a) Gãc DME góc vuông b) MA tiếp tuyến chung hai đờng tròn c) MD MB = ME MC Bài 14: Cho tam giác ABC có ba gãc nhän néi tiÕp (O), ®êng cao BD, CE , M trung điểm BC b) Chứng minh ADE ABC đồng dạng a) Chứng minh tứ giác BCDE néi tiÕp c) KỴ tiÕp tun Ax víi (O) Chøng minh Ax // DE · d) Chøng minh r»ng BAC = 600 tam giác DME tam giác Bài 15: Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC, cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE a) Chøng minh tø gi¸c BHOC néi tiÕp b) Chøng minh HA tia phân giác góc BHA c) Gọi I giao điểm BC DE Chøng minh: AB = AI AH d) BH c¾t (O) K Chứng minh AE // CK Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N a) Chứng minh tam giác ACD AMN đồng dạng b) Tø gi¸c MNDC néi tiÕp c) Chøng minh AC AM = AD AN tích không đổi C, D di động Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc CAx cắt nửa đờng tròn D, tia AD BC cắt E a) Chứng minh tam giác ABE cân B b) Các dây AC BD cắt t¹i K Chøng minh EK ⊥ AB c) Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi Bài 18: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tiếp tuyến B D cắt T a) Chøng minh r»ng OT // AB b) Chøng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng c) Tính chu vi diện tích tam giác TBD theo R d) Tính diện tích hình giới hạn hai cạnh TB, TD vµ cung BCD theo R Bµi 19: Hai đờngtròn (O) (O) có bán kính R R ( R > R) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đ ờng kính qua C (O) (O) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M cđa AB Gäi giao ®iĨm thø hai cđa ®êng thẳng DC với (O) F a) Tứ giác AEBD hình ? b) Chứng minh ba điểm B, E, F thẳng hàng c) Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp d) DB cắt (O) G Chứng minh DF, EG, AB ®ång qui e) Chøng minh MF = DE vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’) Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đờng tròn tâm O đờng kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt (O) I a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ? b) Chøng minh BI // AD c) Chøng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng MD = MI Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 29 d) Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O) Bài 21: Từ điểm A bên đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng tròn Gọi I trung điểm dây MN a) Chứng minh điểm A,B,I,O,C nằm đờng tròn b) Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình ? Tại ? Tính diện tích hình tròn độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R (O) Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O) E Tiếp tuyến đ ờng tròn A cắt đờng thẳng BC M a) Chøng minh MA = MD b) Gäi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O) Chứng minh E, O, F thẳng hàng Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp CA tia phân giác góc SCB b) Gọi E giao điểm BC với (O) Chứng minh ®êng th¼ng BA, EM, CD ®ång qui c) Chøng minh DM phân giác góc ADE d) Chứng minh M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 24: Cho tam giác ABC vuông A a) Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng (O) qua tiếp xúc với BC C b) Hai đờng tròn (O) (O) vị trí tơng đối ? c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tiÕp tun chung cđa (O) vµ (O’) d) Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O), (O) Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vuông góc với AB Gọi M điểm di ®éng trªn cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N a) Chứng minh tích AM AN không đổi b) Vẽ CD AM Chứng minh tứ giác MNOB AODC nội tiếp c) Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cân D Bài 26: Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa điểm A a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành b) Gọi N E lần lợt điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H , E thẳng hàng c) Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn Bài 27: Cho (O, R) (O, r) tiếp xúc M ( R > r ) Đờng thẳng OO cắt (O) C, cắt (O) D Tiếp tuyến chung AB ( A (O),B (O') ) cắt đòng thẳng OO H Tiếp tuyến chung đờng tròn M cắt AB I a) Chứng minh tam giác OIO AMB tam giác vuông Chứng minh AB = R.r b) Tia AM c¾t (O) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba điểm A, O, B A , O , B thẳng hàng CD = BB2 + AA2 c) Gọi N N lần lợt giao ®iĨm cđa AM víi OI vµ BM víi O’I TÝnh độ dài đoạn thẳng MI, AB, OI, OI, OH, OH theo R r Bài 28: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đờng tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O a) Chứng minh (O, OC) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB b) Gäi D, E theo thø tù lµ giao ®iĨm thø hai cđa CA, CB víi (O’) Chøng minh D, O, E thẳng hàng c) Tìm vị trí C cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 30 Bài 29: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C D hai điểm di động nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E F ( F nằm B E ) a) Chøng minh ∆ABF ∼ ∆BDF b) Chøng minh tứ giác CEFD nội tiếp c) Khi D C di động nửa đờng tròn, chứng tỏ AC AE = AD AF không đổi Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vuông góc M bên (O) Từ A vẽ đờng thẳng vuông góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh r»ng: · · a) MAH = MCB b) Tam gi¸c ADE cân c) Tứ giác AHBK nội tiếp Bài 31 Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Ngời ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vuông góc với tia CI C cắt By K Đ ờng tròn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh: a) Tứ giác CPKB néi tiÕp b) AI.BK = AC.CB c) ∆APB vu«ng d) Giả sử A, B, I cố định HÃy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn Bài 32: Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N cïng thuéc (O); AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với (O) a) Chøng minh ®iĨm A, O, E, C cïng nằm đờng tròn à ả b) Chứng minh AOC = BIC c) Chøng minh BI // MN c) Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Bài 33: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB VÏ CE vu«ng gãc víi AD (E ∈ AD) a) Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp b) Chøng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đ ờng tròn nói biết AC = · 6cm; ACB = 30o º » Bµi 34: Cho (O) có đờng kính BC Gọi A điểm thuéc cung BC ( AB < AC ) D lµ điểm thuộc bán kính OC Đờng vuông góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F a) Chøng minh tø gi¸c ADCF néi tiÕp · à b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh: AME = 2.ACB c) Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O) · d) TÝnh diƯn tÝch h×nh giíi hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC cña (O) biÕt BC = 8cm; ABC = 60o Bài 35: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R, điểm M di chuyển nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đờng tròn cắt MA, MB lần lợt điểm thø hai C, D a) Chøng minh CD // AB b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định c) Chứng minh tích KM.KN cố định d) Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ đợc Bài 36: Cho đờng tròn đờng kính AB, điểm C, D đờng tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC, AD lần lợt M, N Giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I Giao điểm MD víi CN lµ K a) Chøng minh: ∆NKD vµ MAK cân b) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH // AD c) So sánh gãc CAK víi gãc DAK d) T×m mét hƯ thøc số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK // ND Bài 37: Cho (O1) (O2) tiếp xúc với điểm A tiếp tuyến chung Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C cắt Ax điểm M Kẻ đờng kính BO1D, CO2E a) Chứng minh M trung điểm BC b) Chøng minh ∆O1MO2 vu«ng c) Chøng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng d) Gọi I trung điểm DE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với d Bài 38: Cho hai đờng tròn tâm O O có R > R tiếp xúc C Kẻ đờng kính COA COB Qua trung điểm M cđa AB, dùng DE ⊥ AB a) Tø gi¸c ADBE hình ? Tại ? b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O F CMR ba điểm B, F, E thẳng hàng Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 31 c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O G CMR EC qua G d) *Xét vị trí MF đờng tròn tâm O, vị trí AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE Bài 39: Cho nửa đờng tròn đờng kÝnh COD = 2R Dùng Cx, Dy vu«ng gãc víi CD Từ điểm E nửa đ ờng tròn, dựng tiếp tuyến với đờng tròn, cắt Cx P, cắt Dy Q a) Chứng minh POQ vuông; POQ đồng dạng với CED R POQ 25 = b) TÝnh tÝch CP.DQ theo R c) Khi PC= CMR ∆CED 16 d) TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh giới hạn nửa đờng tròn tâm O hình thang vu«ng CPQD chóng cïng quay theo mét chiỊu trọn vòng quanh CD Bài 40: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB, COD vuông góc với Lấy điểm E OA, nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey a) Chứng minh I,F,E,O nằm đờng tròn b) Tứ giác CEIO hình ? c) Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng ? Bài 41: Cho đờng tròn tâm O điểm A đờng tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q bất kì, dựng tiếp tuyến QB a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc b) Gọi E trung điểm QO , tìm quỹ tích E Q chuyển động Ax c) Hạ BK Ax, BK cắt QO H CMR tứ giác OBHA hình thoi suy quỹ tích điểm H Bài 42: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng cao AD, BK cắt H, BK kéo dài cắt đờng F Vẽ đờng kính BOE a) Tứ giác AFEC hình ? Tại ? b) Gọi I trung điểm AC, chứng minh H, I, E thẳng hàng BH c) Chứng minh OI = H; F đối xứng qua AC Bµi 43: Cho (O,R) vµ (O’,R’ ), (víi R > R’ ) tiÕp xóc t¹i A Đờng nối tâm cắt đờng tròn O đờng tròn O B C Qua trung điểm P BC dựng dây MN vuông góc với BC Nối A với M cắt đờng tròn O E à à a) So s¸nh AMO víi NMC b) Chøng minh N, B, E thẳng hàng OP = R; OP = R c) Xét vị trí PE với đờng tròn tâm O Bài 44: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính OB Đờng tròn cắt đờng tròn O C D a) Tứ giác ODBC hình ? T¹i ? b) Chøng minh OC ⊥ AD; OD AC c) CMR trực tâm tam giác CDB nằm đờng tròn tâm B Bài 45: Cho đờng tròn tâm O đờng thẳng d cắt đờng tròn hai điểm cố định A B Từ điểm M đờng thẳng d nằm đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn MP MQ ( P, Q tiếp điểm ) a) Tính góc cđa ∆MPQ biÕt r»ng gãc gi÷a hai tiÕp tun MP vµ MQ lµ 45 b) Gäi I lµ trung ®iĨm AB Chøng minh ®iĨm M, P, Q, O, I nằm đờng tròn c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp MPQ M chạy d Bài 46: Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, tia phân giác góc A cắt cạnh BC E cắt đờng tròn M Chứng minh: a) OM BC b) Dựng tia phân giác Ax góc A Chứng minh Ax qua điểm cố định c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài F Chứng minh FB EC = FC EB $ Bµi 47: Cho ∆ ABC ( AB = AC, A < 900 ), cung tròn BC nằm ABC tiếp xúc với AB, AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đờng vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tơng ứng BC, CA, AB Gọi P giao điểm MB, IK Q giao điểm MC, IH Chứng minh a) Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) Tia đối tia MI phân giác góc HMK c) Tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy PQ // BC · Bµi 48: Cho ∆ABC (AC > AB ; BAC > 900) I, K theo thø tù lµ trung điểm AB, AC Các đờng tròn đờng kính AB, AC cắt điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F Chøng minh a) Ba ®iĨm B, C, D thẳng hàng b) Tứ giác BFEC nội tiếp đợc c) Chứng minh ba đờng thẳng AD, BF, CE đồng quy Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn 32 ... tất bạn học sinh giỏi toán Tính số học sinh giỏi văn, giỏi toán Biết học sinh vừa giỏi văn vừa giỏi toán Bài 19: Trong buổi liên hoan, lớp khách mời 15 khách đến dự Vì lớp đ à có 40 học sinh... N = t Dạng 5: Các toán tìm số Dựa vào mối liên hệ hµng mét sè Chó ý: ab = 10a + b ; abc = 100 a + 10b + c D¹ng 6: Các toán liên quan đến tỉ số % m A Chú ý kết sau: m% A nghĩa 100 Su tầm biên soạn:... m% sè B nghÜa lµ A m m = B hay A = B 100 100 Sè A sau tăng lên m% đợc số có giá trị A + m A 100 Dạng 7: Các toán có nội dung hình học Chú ý đến hệ thức lợng tam giác, công thức tính chu vi, diện