BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - Là PHÚC NGUYÊN NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI CỦA THANH CÓ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƢỢT NGANG Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Cơng nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐỒN VĂN DUẨN Hải Phịng, 2015 MỞ ĐẦU Sự cần thiết vấn đề nghiên cứu Hiện nay, yêu cầu phát triển kinh tế địi hỏi phải xây dựng cơng trình lớn nhẹ, thƣờng dùng chịu nén chiều dài lớn dễ bị ổn định Mặt khác thiết kế cơng trình, kiểm tra điều kiện bền điều kiện cứng khơng thơi chƣa đủ để phán đốn khả làm việc cơng trình Trong nhiều trƣờng hợp, đặc biệt kết cấu chịu nén nén với uốn, tải trọng chƣa đạt đến giá trị phá hoại có nhỏ giá trị cho phép điều kiện bền điều kiện cứng nhƣng kết cấu khả bảo toàn dạng cân ban đầu Do đó, việc nghiên cứu ổn định cơng trình cần thiết có ý nghĩa thực tiễn Bài toán ổn định kết cấu đƣợc giải theo nhiều hƣớng khác nhau, phần lớn xuất phát từ nguyên lý lƣợng mà theo kết phụ thuộc nhiều vào cách chọn dạng hệ trạng thái lệch khỏi dạng cân ban đầu Cho đến nay, đƣờng lối xây dựng toán ổn định kết cấu chịu uốn thƣờng không kể đến ảnh hƣởng biến dạng trƣợt ngang có kể đến nhƣng cách đặt vấn đề cách chọn ẩn chƣa thật xác nên gặp nhiều khó khăn mà khơng tìm đƣợc kết tốn cách xác đầy đủ Đối tƣợng, phƣơng pháp phạm vi nghiên cứu Trong đề tài này, tác giả áp dụng phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss phƣơng pháp chuyển vị cƣỡng để giải toán ổn định đàn hồi có xét đến biến dạng trƣợt ngang, chịu tác dụng tải trọng tĩnh Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ổn định đàn hồi có xét đến biến dạng trƣợt ngang Nội dung nghiên cứu - Trình bày lý thuyết xét biến dạng trƣợt toán ổn định đàn hồi với việc dùng hai hàm chƣa biết hàm độ võng y hàm lực cắt Q - Trình bày phƣơng pháp chuyển vị cƣỡng để giải toán ổn định thẳng chịu uốn dọc có xét đến biến dạng trƣợt ngang - Áp dụng phƣơng pháp nguyên lý cực trị gauss phƣơng pháp chuyển vị cƣỡng để xây dựng giải toán ổn định đàn hồi chịu uốn dọc có xét đến biến dạng trƣợt ngang, chịu tác dụng tải trọng tĩnh CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CƠNG TRÌNH 1.1 Khái niệm ổn định ổn định cơng trình * Khái niệm ổn định ổn định a Định nghĩa vể ổn định - Theo Euler - Lagrange: Ổn định khả cơng trình bảo tồn đƣợc vị trí ban đầu nhƣ dạng cân ban đầu tƣơng ứng với tải trọng trạng thái biến dạng, luôn giữ, có nhiễu loạn tuỳ ý từ bên ngồi gần với trạng thái khơng biến dạng ban đầu hồn tồn trở trạng thái giai đoạn đàn hồi, cịn giai đoạn đàn dẻo theo thƣờng lệ, trở trạng thái cách phần, nhƣ nguyên nhân ngẫu nhiên gây nhiễu loạn cơng trình bị triệt tiêu [10] Nói cách khác, ổn định tính chất cơng trình chống lại tác nhân ngẫu nhiên từ bên ngồi tự khơi phục hồn tồn phần vị trí ban đầu dạng cân trạng thái biến dạng, tác nhân ngẫu nhiên bị đi[10] - Theo Liapunov [54] “Trạng thái cân hệ ổn định hệ trở lại hình dạng sau nhiễu loạn nhỏ tạm thời Nhiễu loạn nhƣ sinh lực nhỏ tác động lên hệ thời gian ngắn bỏ sau đó” Định nghĩa đƣợc hiểu ý nghĩa động lực : Điều ám dao động hệ tắt dần động đƣa vào nhờ nhiễu loạn tiêu tán nhanh Bởi sau thời gian ngắn chuyển động dừng lại cân tĩnh ban đầu đƣợc phục hồi Nhƣ theo hai định nghĩa ta đến kết luận: Vị trí cơng trình hay dạng cân ban đầu trạng thái biến dạng cơng trình đƣợc gọi ổn định hay khơng ổn định dƣới tác dụng tải trọng nhƣ sau gây cho cơng trình độ lệch nhỏ khỏi vị trí ban đầu dạng cân ban đầu ngun nhân ngồi tải trọng có (cịn gọi nhiễu) bỏ ngun-nhân cơng trình có hay khơng có khuynh hƣớng quay trở trạng thái ban đầu Bƣớc q độ cơng trình từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn định gọi ổn định Giới hạn đầu bƣớc độ gọi trạng thái tới hạn cơng trình Tải trọng tƣơng ứng với trạng thái tới hạn gọi tải trọng tới hạn b Các trường hợp ổn định Trƣờng hợp 1: Mất ổn định vị trí [31] Hiện tƣợng ổn định vị trí xảy tồn cơng trình đƣợc xem tuyệt đối cúng, khơng giữ ngun đƣợc vị trí ban đầu mà buộc phải chuyển sang vị trí cân khác vị trí ban đầu (c) (a) Hình 1.1 (b) Xét viên bi cứng bề mặt cứng, Hình 1.1 Rõ ràng trƣờng hợp (a) cân viên bi ổn định Sau nhiễu loạn nhỏ cuối trở đáy cốc, suy giảm nhỏ xảy Trong trƣờng hợp (b) cân không ổn định, sau nhiễu loạn nhỏ viên bi khơng phục hồi vị trí ban đầu Trong trƣờng hợp (c), kích viên bi khỏi vị trí cân ban đầu lăn mặt phẳng ngang đến ngừng chuyển động, có vị trí cân khác với trạng thái cân ban đầu Trong trƣờng hợp ta nói trạng thái cân ban đầu phiếm định (không phân biệt) Trƣờng hợp 2: Mất ổn định dạng cân [l 1] Hiện tƣợng ổn định dạng cân trạng thái biến dạng xảy dạng biến dạng ban đầu vật thể biến dạng tƣơng ứng với tải trọng nhỏ, buộc phải chuyển sang dạng biến dạng khác trƣớc tính chất tải trọng đạt đến giá trị xảy biến dạng vật thể phát triển nhanh mà không xuất dạng biến dạng khác trƣớc tính chất tải trọng đạt đến giá trị Trong trƣờng hợp này, cân ngoại lực nội lực thực đƣợc tƣơng ứng với dạng biến dạng ban đầu mà thực đƣợc tƣơng ứng với dạng biến dạng khác dạng ban đầu tính chất thực đƣợc giảm tải trọng Hiện tƣợng khác với tƣợng ổn định vị trí điểm sau: Đối tƣợng nghiên cứu vật thể biến dạng tuyệt đối cứng, cân cần đƣợc xét với ngoại lực nội lực Mất ổn định dạng cân gồm hai loại: Mất ổn định loại (mất ổn định Euler), có đặc trƣng sau: Dạng cân có khả phân nhánh, phát sinh dạng cân khác dạng cân ban đầu tính chất Trƣớc trạng thái tói hạn dạng cân ban đầu ổn định; sau trạng thái tới hạn dạng cân không ổn định Nhƣ hình 1.1, để biết đƣợc trạng thái cân hệ có ổn định hay khơng ta phải kích khỏi vị trí cân ban đầu Phƣơng pháp chung để đánh giá ổn định hệ là: Đƣa hệ khỏi vị trí cân ban đầu kiểm tra xem có tồn trạng thái cân khơng Nếu nhƣ tìm đƣợc trạng thái cân khác với trạng thái cân ban đầu hệ ổn định lực giữ cho hệ trạng thái cân gọi lực tới hạn, trƣờng hợp ngƣợc lại hệ ổn định 1.2 Lịch sử phát triển lý thuyết ổn định cơng trình Thực tế cho thấy nhiều cơng trình bị sập đổ ổn định, cầu đƣờng sắt Kevđa - Nga cầu dàn hở bị phá hủy năm 1875 hệ biên bị ổn định, cầu Menkhienxtein Thụy sĩ bị phá hủy năm 1891 ổn định, Cầu dàn Quebéc qua sông St Laurent Canada, bị phá hủy ổn định chịu nén xây dựng vào năm 1907[10, trg 5], bể chứa khí Hamburg bị phá hủy năm 1907 ghép chịu nén bị ổn định, cầu dàn Mojur Nga bị phá hủy năm 1925 ghép chịu nén bị ổn định, riêng Pháp theo số liệu kỹ sƣ Girard khoảng thời gian từ 1955-1965 có 24 cầu bị phá hủy, phần lớn nguyên nhân ổn định, Cầu Tacoma Mỹ xây dựng hoàn thành ngày 1/7/1940 bị phá hủy 7/11/1940 bị ổn định tác dụng gió [32, trg 277] v.v… Vấn đề ổn định kết cấu đƣợc công trình nghiên cứu thực nghiệm Piter Musschenbroek cơng bố năm 1729, đến kết luận lực tới hạn tỷ lệ nghịch với bình phƣơng chiều dài Ba mƣơi năm sau phân tích tốn học Leonhard Euler nhận đƣợc kết nhƣ Đầu tiên kỹ sƣ khơng chấp nhận kết thí nghiệm Piter Musschenbroek kết lý thuyết Euler Culông [31, trg 185] tiếp tục cho độ cứng cột tỷ lệ thuận với diện tích mặt cắt ngang khơng phụ thuộc vào chiều dài Những quan điểm dựa kết thí nghiệm cột gỗ cột sắt lắp ghép có chiều dài tƣơng đối ngắn, loại thƣờng bị phá hoại với tải trọng nhỏ thua tải trọng Euler vật liệu bị phá hoại mà ổn định ngang gây E.Lamac ngƣời giải thích cách thỏa đáng không phù hợp kết lý thuyết kết thực nghiệm, ông lý thuyết Euler hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm bảo đảm giả thiết Euler xem vật liệu đàn hồi điều kiện lý tƣởng đầu cuối cần phải đƣợc bảo đảm Những thí nghiệm sau ngƣời ta ý bảo đảm đầu cuối bảo đảm cho lực đặt tâm khẳng định tính đắn cơng thức Euler 1.3 Các phƣơng pháp xây dựng toán ổn định cơng trình 1.3.1 Phương pháp tĩnh Theo phƣơng pháp tải trọng tới hạn tải trọng nhỏ để xẩy phân nhánh dạng cân bằng, tức bên cạnh dạng cân ban đầutồn dạng cânbằng lân cận Để xác định tải trọng cần nghiên cứu cân hệ trạng thái lân cận cho hệ chuyển vị bé tlm tải bé tƣơng ứng với dạng cân lân cận Khảo sát cân hệ trạng thái lệch khỏi dạng cân ban đầu Tính giá trị lực trạng thái lệch để đối chiếu với giá trị lực cho trạng thái cân ban đầu Giả sử: P lực cho trạng thái cân ban đầu P* lực ứng với trạng thái lệch khỏi dạng cân ban đầu (lực cần có để giữ hệ trạng thái lệch) - Nếu P < * hệ cân ổn định - Nếu P = P* hệ cân phiếm đinh - Nếu P > P* hệ cân khơng ổn định Xét hệ bậc tự do, đầu ngàm đàn hồi, đầu tự Sau khảo sát cân hệ trạng thái cân lệch ta có: P k đó: l - Với P < k hệ cân ổn định l - Với P k hệ cân bằng phiếm định l - Với P k hệ cân không ổn định l 1.3.2 Phương pháp lượng Phƣơng pháp dựa việc nghiên cứu lƣợng toàn phần hệ Khi đạt' cực tiểu hệ trạng thái cân ổn định Sự lệch khỏi trang thái cân ổn định làm tăng lƣợng Tải trọng tới hạn ứng với lƣợng cực tiểu Nguyên lý Larange - Dirichlet: “ Nếu hệ trạng thái cân ổn định tồn phần đạt cực tiểu so với tất vị trí lân cận vơ bé kể từ trạng thái cân Nếu hệ trạng thái cân khơng ổn định tồn phần đạt cực đại so với tất vị trí lân cận vơ bé kể từ trạng thái cân Nếu hệ trạng thái cân phiếm định tồn phần khơng đổi” Thế tồn phần U* hệ trạng thái biến dạng gồm: - Thế biến dạng nội lực u - Thế ngoại lực UP= -T (trái dấu với công ngoại lực T) U* = U + UP= U-T Độ biến thiên U* toàn phần hệ chuyển từ trạng thái xét sang trạng thái lân cận U* = U - T Trong đó: LP- biến thiên toàn phần U - độ biến thiên biến dạng T - độ biến thiên công ngoại lực Nhƣ vậy, theo nguyên lý Lagrange - Dirichlet: Nếu U > T hệ trạng thái cân ổn định Nếu U < Tthì hệ trạng thái cân không ổn định Nếu U = Tthì hệ trạng thái cân 10 l1 l f i M x1 M P1 ( 1 )dx ( g k k ) Q1 ( )dx 0; bi (i 0,1, 2, 3, , 6) 0 bi bi k 1 bi l1 ki M x M P ( )dx ( g k k ) 0; ci (i 0, 1, 2, , 6) ci ci l2 l ti M x M P ( )dx ( g k k ) Q2 ( )dx 0; d i (i 0, 1, 2, , 6) 0 d i d i d i ui k 1, 2, 3, 4, 5,6 ( g k k ) 0; k k 1 (e) hi M x1 M P1 l1 ( 1 )dx ( g k k ) 0; (i 1, 2, 3, , 6) ai ai k 1 Nh- vËy, tõ ®iỊu kiƯn cực trị phiếm hàm mở rộng F ta nhận đ-ợc 33 ph-ơng trình đại số tuyến tính để xác định ẩn số Có thể giải toán cách sử dụng phần mềm Symbolic Matlab Khi giải ph-ơng trình xong thấy thông số a1, a2, a3, , a6, b0, b1, b2, , b6, c0, c1, c2, c3, , c6, d0, d1, d2, , d9và 6, 2, hàm lực P đ-a giá trị thừa sè Lagrange 6 Khi tØ sè h/l=1/1000(øng víi kh«ng xét đến biến dạng tr-ợt), ta có: 6=2777.8(.11596x1045ej4p13l26.91910x1049ej5p12l24+.33502x1054ej6p11l22.61348x1058ej7p10l20+.57778x1062ej8p9l18.27586x1066ej9p8l16+.64944x 1069ej10p7l14-.75431x1072ej11p6l12+.45183x1075ej12p5l10-.14389 x1078ej13p4l8+ 24221 x1080ej14p3l6-.2045 x1082ej15p2l4+.7581x1083ej16pl2- 8740 x1084ej17) =0 (f) 65 Ta thÊy tr-ờng hợp này, đa thức bậc 13 cđa P Gi¶i (f3) theo P ta sÏ nhËn đ-ợc 13 nghiệm Đó lực tới hạn Pth cần tìm hệ, đ-a nghiệm là: P1th= EJ Dạng l2 20.1907 P trục võng (véc tơ riêng) t-ơng ứng với lực tới hạn xác ( trị xác) đầu riêng tiên nh- hình 3.6 Hình 3.6 Đ-ờng độ võng Bảng 3.1 So sánh kết tính lực tới hạn hai tr-ờng hợp có xét không xét biến dạng tr-ợt đầu ngàm - đầu khớp Chênh lệch (%) tr-ờng hợp tính lực tới hạn Tỷ lệ có xét h/l so với không xét biến dạng tr-ợt P1 P2 P3 P4 P5 1/10 0,33 0,37 0,35 0,31 5,49 1/5 1,48 1,46 1,43 1,59 7,86 1/3 4,05 4,08 4,01 4,16 10,74 66 Ví dụ 4: Thanh hai đầu P P ngàm định lực tới hạn cho chịu hai kết ngàm đầu y0 l tâm y (1) chịu lực P, hình 3.7a T-ơng tự y x liên l nÐn (3) x X¸c o nh- c¸c vÝ dơ trên, ta viết o y y (a) (b) Hình 3.7 Thanh hai đầu ngàm đ-ợc biểu thức đ-ờng độ võng cho đoạn d-ới dạng đa thức nh- sau: Q1 bi x i b0 b1 x b2 x b3 x b4 x b5 x b6 x i 0 (a) i y ci x c0 c1 x c2 x c3 x c4 x c5 x c6 x i 0 i 6 Q2 d i x d d x d x d x d x d x d x i 0 y1 x i a1 x a2 x a3 x a4 x a5 x a6 x i 1 ®ã ai, bj, ci, di hệ số cần xác định L-ợng c-ỡng theo (3.19) đ-ợc viết nh- l1 l1 l2 l2 0 0 sau: Z M x1 M P1 1 dx Q1 dx M x M P dx Q2 dx (b) với điều kiện ràng buộc: 67 dy Q dy Q dy Q2 g1 0; g 0 dx GF x 0 dx GF x l1 dx GF x 0 dy Q2 g y1 x l1 y x 0 0; g ; g y (c) x l dx GF x l g y1 x l1 y0 Ta đ-a toán tìm cực trị (b4) có điều kiện ràng buộc (c) toán cực trị ràng buộc cách đ-a thừa số Lagrange vào phiếm hàm më réng nh- sau: k 1 l l l l2 Hay : M x1 M P1 dx Q1 dx M x M P dx Q2 dx 0 0 g11 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 (d) F Z g k k 1 Trong ®ã: 6 lµ thõa sè Lagrange vµ cịng lµ Èn cđa bµi toán lực để giữ cho hệ trạng thái lệch Bài toán có 45 ẩn số a1, a2, a3, , a6, b0, b1, b2, , b6, c0, c1, c2, c3, , c6, d0, d1, d2, , d6 1, 2, Ph-ơng pháp nguyên lý cực trị Gauss xem biến dạng uốn độc lập với mômen tác dụng điều kiện cực trị phiếm hàm mở rộng F là: 68 l1 l f i M x1 M P1 ( 1 )dx ( g k k ) Q1 ( )dx 0; bi (i 0,1, 2, 3, , 6) 0 bi bi k 1 bi l1 k i M x M P ( )dx ( g k k ) 0; ci (i 0, 1, 2, ,6) (e) ci ci l2 l2 ti M x M P ( )dx ( g k k ) Q2 ( )dx 0; d i (i 0, 1, 2, ,6) 0 d i d i d i ui k 1, 2, 3, 4, 5,6 ( g k k ) 0; k k 1 hi M x1 M P1 l1 ( 1 )dx ( g k k ) 0; (i 1, 2, 3, , 6) ai ai k 1 Nh- vËy, tõ ®iỊu kiƯn cùc trị phiếm hàm mở rộng F ta nhận đ-ợc 33 ph-ơng trình đại số tuyến tính để xác định ẩn số Có thể giải toán cách sử dụng phần mềm Symbolic Matlab Khi giải ph-ơng trình xong thấy thông số a1, a2, a3, , a6, b0, b1, b2, , b6, c0, c1, c2, c3, , c6, d0, d1, d2, , d6 6, 2, hàm lực P đ-a giá trị thừa sè Lagrange 6 Khi tØ sè h/l=1/1000(øng víi kh«ng xét đến biến dạng tr-ợt), ta có: 6=-.27778x109(.97663e39xl26p13ej3+.78445 29005 x1049xl22p11ej5+.54209 x1057xl18p9ej7+.26715 x1044xl24p12ej4- x1053xl20p10ej6-.52785 x1061xl16p8ej8-.69703 x1064xl14p7ej9+.95246x 1067xl12p6ej10- 70260x1070xl10p5ej11+.28323x1073xl8ej12p4.61903x1075xl6ej13p3+ 70298x1077xl4ej14p2-.37198x1079xl2ej15p+.69135x1080ej16)=0 (f) 69 Ta thấy tr-ờng hợp này, đa thøc bËc 13 cđa P Gi¶i (f) theo P ta nhận đ-ợc 13 nghiệm Đó lực tới hạn Pth cần tìm hệ, đ-a nghiệm là: P1th= 39.4784 EJ l2 Dạng P trục võng (véc tơ riêng) t-ơng ứng với lực tới hạn xác (trị riêng xác) nh- hình 3.8 Hình 3.8.Đ-ờng độ võng 3.6 Nhận xét ch-ơng 3: Tác giả đà áp dụng thành công lý thuyết xét biến dạng tr-ợt ngang toán ổn định uốn dọc Đà áp dụng ph-ơng pháp dùng chuyển vị c-ỡng để giải toán ổn định Những nghiên cứu ổn định thẳng, có tiết diện không đổi cho thÊy: Lùc tíi h¹n Euler cđa xÐt biến dạng tr-ợt nhỏ thua so với tr-ờng hợp không xét biến dạng tr-ợt 70 Kết luận kiến nghị Qua kết nghiên cứu tác giả rút kết luận sau: Tác giả áp dụng thành công phƣơng pháp nguyên lý cực trị gauss lý thuyết dầm có xét biến dạng trƣợt ngang tốn ổn định thanh, tìm đƣợc kết quan trọng toán ổn định lực tới hạn Tác giả áp dụng đƣợc phƣơng pháp chuyển vị cƣỡng cho toán ổn định đàn hồi chịu uốn dọc có xét đến biến dạng trƣợt Bằng phép tính biến phân đƣa phƣơng trình vi phân khơng có vế phải phƣơng trình vi phõn cú v phi cách cho điểm thanh, ví dụ điểm x=x1, chuyển vÞ y0:từ chứng minh đƣợc phƣơng trình =0 (phƣơng trình vế phải) phƣơng trình xác định trị riêng Đối với tốn ổn định tĩnh trị riêng tìm đƣợc lực tới hạn Pth Dùng ph-ơng pháp chuyển vị c-ỡng để giải toán ổn địnhcủa cho ta ph-ơng trình đa thức xác định lực tới hạn, tần số dao động tần số tới hạn mà thông qua phép biến đổi phức tạp để đ-a ma trËn vỊ ma trËn ®-êng chÐo - Đã xác định đƣợc lực tới hạn cho có điều kiện biên khác có kể đến biến dạng trƣợt ngang Kết tính tốn lực tới hạn không xét đến ảnh hƣởng biến dạng trƣợt (trƣờng hợp tỉ số h/l=1/1000) trùng khớp với kết nhận đƣợc giải phƣơng pháp có - Lực tới hạn xét đến ảnh hƣởng biến dạng trƣợt nhỏ thua lực tới hạn không xét biến dạng trƣợt Lực tới hạn nhận đƣợc hai trƣờng hợp có xét không xét biến dạng trƣợt sai khác đáng k 71 kiến nghị nghiên cứu Dùng kết tính tốn lực tới hạn, kết cấu có xét biến dạng trƣợt để đƣa vào thiết kế cơng trình.Qua kết nghiên cứu thấy rằng, với việc sử dụng lý thuyết đầy đủ dầm dùng phƣơng pháp Nguyên lý cực trị Gauss xây dựng tốn ổn định tĩnh, cách dễ dàng Vì vậy, nên xét biến dạng trƣợt trƣờng hợp Danh mơc tµi liƯu tham khảo 72 I TIếNG VIệT [1] Hà Huy C-ơng (2005), Ph-ơng pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa häc vµ kü tht, IV/ Tr 112 118 [2] Ngun Văn Liên, Nguyễn Ph-ơng Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [3] Nguyễn Ph-ơng Thành(2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng nhiều lớp chịu tải trọng động có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [4] V-ơng Ngọc L-u(2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng sàn Sandwich chịu tải trọng tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [5] Trần Hữu Hà (2006), Nghiên cứu toán t-ơng tác cọc d-ới tác dụng tải trọng, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [6] Phạm Văn Trung (2006), Ph-ơng pháp Tính toán hệ dây mái treo, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [7] Vũ Hoàng Hiệp (2007), Nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng dầm nhiều lớp chịu tải tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Hà nội [8] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [9] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội 73 [10] Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình(2006), Giáo trình ổn định công trình, Nhà xuất Khoa häc kü tht [11] Vị Hoµng HiƯp (2008), TÝnh kÕt cấu có xét biến dạng tr-ợt, Tạp chí xây dựng số7 [12] Đoàn Văn Duẩn, Nguyễn Ph-ơng Thành (2007), Ph-ơng pháp tính toán ổn định thanh, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr41-Tr44) [13] Đoàn Văn Duẩn (2007), Ph-ơng pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán ổn định công trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [14] Đoàn Văn Duẩn (2008), Ph-ơng pháp tính toán ổn định khung, Tạp chí Xây dựng số 01 (Tr35Tr37) [15] Đoàn Văn Duẩn (2008),Nghiên cứu ổn định uốn dọc có xét biến dạng tr-ợt, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr33-Tr37) [16] Đoàn Văn Duẩn (2009), Ph-ơng pháp nghiên cứu ổn định tổng thể dàn, Tạp chí Xây dựng số 03 (Tr86Tr89) [17] Đoàn Văn Duẩn (2010), Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu ổn định uốn dọc thanh, Tạp chí kết cấu Công nghệ xây dựng, số 05, Quý IV(Tr30Tr36) [18] Đoàn Văn Duẩn (2011),Nghiên cứu ổn định đàn håi cđa kÕt cÊu hƯ cã xÐt ®Õn biÕn dạng tr-ợt, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật 74 [19] Đoàn Văn Duẩn (2012),Ph-ơng pháp tính toán dây mềm, Tạp chí kết cấu công nghệ Xây dựng số 09, Quý II (Tr56-Tr61) [20] Đoàn c-ỡng Văn Duẩn giải (2014),Ph-ơng toán trị pháp riêng chuyển véc vị tơ riêng,Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr82-Tr84) [21] Đoàn Văn Duẩn (2015),Ph-ơng pháp nghiên cứu ổn định động lực học thanh,Tạp chí Xây dựng số 01 (Tr86-Tr88) [22] Đoàn Văn Duẩn (2015),Bài toán học kết cấu d-ới dạng tổng quát,Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59Tr61) [23] Đoàn Văn Duẩn (2015),Ph-ơng pháp so sánh nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ dầm,Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr56-Tr58) [24] Đoàn Văn Duẩn (2015),Tính toán kết cấu khung chịu uốn ph-ơng pháp so sánh,Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr62-Tr64) [25] Trần Thị Kim Huế (2005), Ph-ơng pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [26] Nguyễn Thị Liên (2006), Ph-ơng pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán động lực học công trình, Luận văn thạc sü kü tht [27] Vị Thanh Thđy (2009), X©y dùng toán dầm xét đầy đủ hai thành phần nội lực momen lực cắt Tạp chí Xây dựngsố 75 [28] Vị Thanh Thđy (2009), Dao ®éng tù dầm xét ảnh h-ởng lực cắt Tạp chí Xây dựng, số [29] Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Ng-ời dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội II TIếNG PHáP [30] Robert L‟Hermite (1974), Flambage et StabilitÐ Le flambage Ðlastique des piÌces droites, Ðdition Eyrolles, Paris IIi TIÕNG ANH [31] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability, McGraw-Hill Book Company, Inc, New york - Toronto - London, 541 Tr [32] William T.Thomson (1998), Theory of with Applications (Tái lần thứ Vibration 5) Stanley Finite Element Thornes (Publishers) Ltd, 546 trang [33] Klaus - Jurgen Bathe (1996), procedures Part one, Prentice - Hall International, Inc, 484 trang [34] Klaus - Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice - Hall International, Inc, 553 trang 76 [35] Ray W.Clough, Joseph Penzien(1993), Dynamics of Structures (Tái lần thứ 2), McGraw-Hill Book Company, Inc, 738 trang [36] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang [37] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1964) [38] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, G Shapiro chủ biên, Nhà xuất NaukaMoscow, 1979), 560 trang [39] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice,Pineridge Press Lt [40] Lars Olovsson, Kjell Simonsson, Mattias Unosson (2006), Shear locking reduction in eight-node linear solid finite elements,J tri- „Computers @ Structures‟,84,trg 476-484 [41] C.A.Brebbia, J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element Techniques Theory and Applications in Engineering Nxb Springer - Verlag.(Bản dịch tiếng Nga, 1987) [42] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood Cliffs, New - Jersey 07632 77 [43] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering University of California at Berkeley (2002) Dynamic Analysis – Three of Dimensional structures, Static Inc and Berkeley, California, USA Third edition, Reprint January [44] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi Models”, and “Incompatible (1971) Proceedings, Computer ORN Method Symposium in Displacement on Structural “Numerical Mechanics” University of Illinois, Urbana September Academic Press [45] Strang, G (1972) “Variational Crimes in the Finite Element Method” in “The Mathematical Foundations of the Finite Element Method” P.689 710 (ed A.K Aziz) Academic Press [46] Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) “The isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Advances Element in Stress Analysis”, Proc Analysis” Conf Royal “Recent Aeronautical Society London [47] Kolousek Vladimir, DSC Professor, Technical University, Pargue (1973) Dynamics in engineering structutes Butter worths London [48] Felippa Carlos A (2004) Introduction of finite element methods Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures 78 University of Colorado Boulder, Colorado 80309-0429, USA, Last updated Fall [49] Wang C.M, deformable Reddy beems J.N, and Lee plates K.H.( - 2000), Shear Relationships with Classical Solutions ELSEVIER, Amsterdam - LausanneNew York - Oxford - Shannon - Singapore - Tokyo [50] Barbero Ever J, Department of Mechanica & Aerospace Engineering, West Virgina University, USA (1999), Introduction to Composite Materials Design Taylor and Francis [51] Decolon C (2002) Analysis of Composite Structures Hermes Penton, Ltd, UK [52] Fu-le Li, ZHI-zhong Sun, Corresponding author, Department of Mathematics, Shoutheast University, Nanjing 210096, PR China (2007) A finite difference scheme for solving the Timoshenko beem equations with boundary feedback Journal of Computational and applied Mathematics 200, 606 - 627, Elsevier press Avaiable online at www.sciencedirect.com [53] Khaji Civil N., Corresponding Engineering University, ((2009)) P Shafiei DepartmentTarbiat O Closed author, Box - 14155-4838, form Modares Tehran, solutions M., for Tran crack detection problem of Timoshenko beems with various boundary Mechanical conditions Sciences International 51, 667-681 Journal Contents of lists 79