BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ XUÂN KIỀU BÀI TOÁN MÔMEN CHẶT CỤT MỘT CHIỀU TRÊN KHOẢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY N[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ XN KIỀU BÀI TỐN MƠMEN CHẶT CỤT MỘT CHIỀU TRÊN KHOẢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ XUÂN KIỀU BÀI TỐN MƠMEN CHẶT CỤT MỘT CHIỀU TRÊN KHOẢNG Chun ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ CƠNG TRÌNH Bình Định - 2020 e Mục lục Mở đầu Bài toán mômen tổng quát số kết mômen đầy đủ chiều khoảng 1.1 Bài tốn mơmen 1.2 Khơng gian thích ứng 1.3 Biểu diễn tổng bình phương đa thức dương 1.4 Bài tốn mơmen đầy đủ khoảng toán Bài tốn mơmen chặt cụt Hamburger Stieltjes 2.1 Bài toán moment chặt cụt Hamburger 2n− dãy định dương 2.2 Bài toán moment chặt cụt Hamburger Stieltjes đối 2n−dãy nửa xác định dương 2.3 Hạng Hankel 2n−dãy nửa xác định dương 2.4 Dãy mômen chặt cụt Hamburger Stieltjes 7 10 17 21 xác với 21 28 32 33 Bài tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng bị chặn 40 3.1 Sự tồn nghiệm 40 3.2 Nón mơmen Sm+1 điểm biên điểm 42 KẾT LUẬN 48 Tài liệu tham khảo QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) e Danh mục ký hiệu C(X, R) E+ Rd [x] Rd [x]m : : : : Pos(K) Pos(K)m ΣR[x]2 Σ2n P(N) Es Ls Hn (s) Dn (s) M+ (X) M+sym (X) L1 (X, µ) Sm+1 cm+1 ind(µ) : : : : : : : : : : : : : : : Không gian hàm thực liên tục không gian tôpô X Tập hàm C (X, R) không âm X Không gian véctơ đa thức theo d biến x1 , , xd Không gian véctơ đa thức theo d biến x1 , , xd có bậc không m Tập đa thức Rd [x] không âm K ⊂ Rd Tập đa thức Rd [x]m không âm K ⊂ Rd {f + g : f, g ∈ R[x]} {f + g : f, g ∈ R[x]n } Tập hợp dãy số thực xác định dương Dãy dịch chuyển dãy số thực s Phiếm hàm Riesz tương ứng với dãy số thực s Ma trận Hankel dãy số thực s Định thức Hankel dãy số thực s Tập độ đo Radon (dương) không gian X Tập gồm độ đo đối xứng M+ (X) Khơng gian hàm µ-khả tích X Nón mơmen Đường cong mơmen Chỉ số độ đo atomic µ e MỞ ĐẦU Mơmen khái niệm xuất nhiều lĩnh vực vật lý tốn học Khái niệm mơmen giới thiệu lần đầu nhà toán học Hà Lan T.J Stieltjes (1856-1894) Cho µ độ đo dương Radon tập đóng K ⊆ Rd α = (α1 , α2 , , αd ) đa số số không âm αj Nếu tích phân Z sα (µ) := xα1 xαd d dµ(x) K hữu hạn số sα = sα (µ) gọi mơmen thứ α độ đo µ Nếu tất mơmen thứ α tồn tại, dãy (sα )α∈Nd0 gọi dãy mơmen µ Ví dụ, K vật rắn R3 với khối lượng m(x1 , x2 , x3 ), số Z s(0,2,0) + s(0,0,2) = (x22 + x23 )m(x1 , x2 , x3 )dx1 dx2 dx3 K gọi mômen động lực vật tương ứng với trục x1 Hoặc, X biến ngẫu nhiên với hàm phân phối F (x), giá trị kỳ vọng X k định nghĩa Z +∞ E[X k ] = sk = xk dF (x) −∞ phương sai X Var(X) = E[(X − E[X])2 ] = E[X ] − E[X]2 = s2 − s21 , (giả thiết số hữu hạn) Bài tốn mơmen vấn đề tốn học cổ điển Dạng đơn giản nó, tốn mơmen Hamburger đường thẳng thực, câu hỏi sau đây: Cho s = (sn )n∈N0 dãy thực Có tồn hay Z khơng độ đo dương +∞ xn dµ hội tụ thỏa Radon µ R cho với n ∈ N0 , tích phân −∞ e mãn Z +∞ xn dµ? sn = (1) −∞ Điều có nghĩa rằng, tốn mơmen tốn ngược việc "tìm" độ đo biểu diễn µ dãy mơmen s cho trước Với dãy thực s = (sn )n∈N0 , ký hiệu Ls phiếm hàm tuyến tính vành đa thức R[x] (hoặc C[x]) định nghĩa Ls (xn ) = sn , n ∈ N0 Do tính chất tuyến tính tích phân, ta thấy (1) thỏa mãn với n ∈ N0 Z ∞ Ls (p) = p(x)dµ với p ∈ R[x] (2) −∞ Do đó, tốn mơmen đường thẳng thực hỏi rằng, liệu có hay khơng phiếm hàm Ls R[x] nhận biểu diễn tích phân dạng (2) tương ứng với độ đo dương µ Bên cạnh tốn mơmen đường thẳng thực, cịn có tốn mơmen khoảng đường thẳng thực (bài tốn mơmen Stieltjes, tốn mơmen Hausdorff, ) tốn mơmen nhiều chiều Nếu thay dãy thực s = (sn )n∈N0 dãy hữu hạn (bị chặt cụt) s = (sj )m j=1 , với m ∈ N0 , tốn mơmen Hamburger chặt cụt (Hamburger truncated moment problem) hỏi có tồn hay khơng độ đo dương Radon µ R cho với j = 1, , m, Z +∞ sj = xj dµ? (3) −∞ Tương tự có định nghĩa tốn mơmen Stieltjes chặt cụt, tốn mơmen chặt cụt khoảng bị chặn [a, b] R (trên [0, 1] ta gọi tốn mơmen Hausdorff chặt cụt) Việc nghiên cứu tốn mơmen (chặt cụt) chiều khoảng có ý nghĩa quan trọng, phần nghiên cứu làm sở để nghiên cứu tốn mơmen (chặt cụt) đa chiều, đồng thời, nhiều kết tốn mơmen minh họa tường minh qua trường hợp chiều e Chính chúng tơi lựa chọn thực đề tài "Bài tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng" nhằm nghiên cứu cẩn thận toán mơmen (chặt cụt), đặc biệt tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng Ngoài Mục lục, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày ba chương Chương 1: Bài tốn mơmen tổng qt số kết tốn mơmen đầy đủ chiều khoảng Trong chương chúng tơi trình bày phát biểu tốn mơmen tổng qt, Định lý Haviland, số kết tốn mơmen đầy đủ chiều khoảng Chương 2: Bài tốn mơmen chặt cụt Hamburger Stieltjes Trong chương trình bày lời giải tốn mơmen chặt cụt Hamburger tốn mơmen chặt cụt Stieltjes chiều khoảng Chương 3: Bài tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng bị chặn Trong chương trình bày số vấn đề liên quan đến tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng bị chặn [a, b] ⊂ R Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến TS Lê Cơng Trình, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán Thống kê Trường đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập Trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Đại số Lý thuyết số khóa 21, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên suốt trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy bạn để luận văn hồn thiện e Ngày 10 tháng năm 2020 Học viên thực Nguyễn Thị Xuân Kiều e Chương Bài tốn mơmen tổng qt số kết tốn mơmen đầy đủ chiều khoảng Trong chương chúng tơi trình bày phát biểu tốn mơmen tổng qt, Định lý Haviland, số kết tốn mơmen đầy đủ chiều khoảng Nội dung chương trình bày lại từ chương chương tài liệu [2] tham khảo tài liệu [1] 1.1 Bài tốn mơmen Cho X không gian tôpô compact địa phương Hausdorff Ký hiệu C(X, R) không gian hàm thực liên tục X Xét E ⊆ C(X, R) khơng gian véctơ hàm tuyến tính liên tục X K ⊆ X tập đóng X Định nghĩa 1.1.1 (Độ đo Radon) Một độ đo Radon X độ đo µ : B(X) → [0, +∞) cho µ(A) < ∞ với tập compact A X µ(M ) = sup{µ(A) : A ⊆ M, A compact} với M ∈ B(X), B(X) σ -đại số Borel X Với phiếm hàm tuyến tính L E , tốn K−mơmen phát biểu sau: e Khi tồn độ đo Radon µ X có giá K (supp(µ) ⊆ K ) cho Z L(f ) = f (x)dµ(x) với f ∈ E (1.1) X Phiếm hàm L biểu diễn dạng (1.1) gọi phiếm hàm K mơmen µ gọi độ đo biểu diễn cho L Trong trường hợp K = X L gọi phiếm hàm mơmen Chú ý ta viết phương trình có dạng (1.1) ta ln giả thiết hàm f µ-khả tích X tích phân f L(f ) Giả sử (ej : j ∈ J) sở không gian véctơ E Khi với dãy số thực (sj )j∈J , tồn phiếm hàm tuyến tính Ls : E → R xác định Ls (ej ) = sj với j ∈ J, gọi phiếm hàm Riesz liên kết với s Như phương trình (1.1) cho R phiếm hàm L = Ls sj = X ej (x)dµ(x) với j ∈ J 1.2 Khơng gian thích ứng Cho C tập E ⊂ C (X, R) Phiếm hàm L E gọi C -dương L(f ) ≥ với f ∈ C Ký hiệu E+ tập hàm E có giá trị khơng âm X , tức E+ = {f ∈ E : f (x) ≥ với x ∈ X} Định nghĩa 1.2.1 (Không gian thích ứng) Một khơng gian E C(X, R) gọi thích ứng E thỏa mãn điều kiện sau: (i) Mỗi hàm E biểu diễn dạng hiệu hai hàm không âm X , tức E = E+ − E+ (ii) (Tính xác định dương) Với x ∈ X , tồn fx ∈ E+ cho fx (x) > (iii) (Tính làm trội) Với f ∈ E+ , tồn g ∈ E+ cho với ε > 0, tồn tập compact Kε ⊆ X cho |f (x)| ≤ ε|g(x)| với x ∈ X \ Kε e ... đầy đủ khoảng toán Bài toán mơmen chặt cụt Hamburger Stieltjes 2.1 Bài tốn moment chặt cụt Hamburger 2n− dãy định dương 2.2 Bài toán moment chặt cụt Hamburger... mơmen chặt cụt Hamburger tốn mơmen chặt cụt Stieltjes chiều khoảng Chương 3: Bài tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng bị chặn Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến tốn mơmen chặt cụt. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ XN KIỀU BÀI TỐN MƠMEN CHẶT CỤT MỘT CHIỀU TRÊN KHOẢNG Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS