Bài toán về tô màu chapter04 coloring

NỘI DUNG CHƯƠNG BÀI TỐN VỀ TƠ MÀU Bùi Tiến Lên TỔNG QUAN TÔ ĐỈNH Đại học Khoa học Tự nhiên 01/01/2017 TÔ CẠNH TÔ MIỀN TỔNG QUAN Các kiểu tô màu cho đồ thị Trong lý thuyết đồ thị có kiểu tơ màu đồ thị (graph coloring) Định nghĩa 4.1 I Tô đỉnh (vertex coloring) thường gọi tô màu đồ thị I Tô cạnh (edge coloring) I Tô vùng (region coloring) thường gọi tô màu đồ Spring 2017 Graph Theory Các kiểu tô màu cho đồ thị (cont.) TƠ ĐỈNH a c b d (a) tơ đỉnh (b) tơ cạnh (c) tơ miền Hình 4.1: Các kiểu tô màu Spring 2017 Graph Theory Tô màu đồ thị Tô màu đồ thị (cont.) Định nghĩa 4.2 I I I Một phép tô màu đồ thị hay tô đỉnh đồ thị cách đánh nhãn cho đỉnh đồ thị màu cho đỉnh kề phải có màu khác Bài tốn tơ màu loại tốn thỏa mãn ràng buộc (constraint satisfaction problem) Số màu - sắc số (chromatic number) đồ thị G ký hiệu χ(G) số màu dùng để tơ đồ thị Spring 2017 Graph Theory (a) χ = (b) χ = Hình 4.2: Sắc số đồ thị Spring 2017 Graph Theory Một số định lý tô màu đồ thị Một số định lý tô màu đồ thị (cont.) Định lý 4.2 Định lý 4.1 Nếu T n đỉnh với n ≥ χ(T ) = Nếu đồ thị G có cạnh khơng phải khun χ(G) ≥ Định lý 4.3 Nếu G1 ⊆ G2 χ(G1 ) ≤ χ(G2 ) Cho G đồ thị liên thơng có số đỉnh n ≥ Thì χ(G) = G khơng chứa chu trình sơ cấp có chiều dài lẻ Đồ thị đủ Kn có χ(Kn ) = n Nếu đồ thị G chứa đồ thị đẳng cấu với Km χ(G) ≥ m Định lý 4.4 Nếu đồ thị G đồ thị vịng có n đỉnh  n số chẵn χ (G) = n số lẻ Cho G đồ thị liên thơng có số đỉnh n ≥ Thì điều kiện đủ để χ(G) = G đồ thị phân đôi Định lý 4.5 (Brooks) Cho đồ thị G, χ(G) ≤ ∆(G) + Spring 2017 Graph Theory Thuật tốn tơ màu đồ thị I I I 10 Cho đồ thị G có n đỉnh Algorithm Thuật tốn Welch-Powell Thuật tốn tơ màu đồ thị với số màu tối ưu có độ phức tạp khơng phải đa thức Trong nhiều ứng dụng cần tô màu đồ thị với số màu ”gần tối ưu” độ phức tạp tiếp nhận Graph Theory Graph Theory Thuật toán tơ màu đồ thị (cont.) Bài tốn tơ màu đồ thị toán thỏa mãn ràng buộc Spring 2017 Spring 2017 11 Sắp xếp đỉnh theo bậc giảm dần color = 3: while cịn đỉnh chưa tơ màu 4: Tơ màu tất đỉnh màu color 5: color = color + 1: 2: Spring 2017 Graph Theory 12 Thuật toán tơ màu đồ thị (cont.) Ví dụ minh họa Cho đồ thị G có n đỉnh Algorithm Thuật tốn Heuristic while cịn đỉnh chưa tơ màu Tơ ”màu nhỏ nhất” color cho đỉnh có ”bậc lớn nhất” 3: Hạ bậc đỉnh thành 0, 4: Những đỉnh kề với đỉnh bậc giảm bị cấm tơ màu color 1: 2: Lưu ý Các thuật tốn không đảm bảo tô màu đồ thị với số màu tối ưu (sắc số χ(G)) Nó cho giá trị tiệm cận tới sắc số Hình 4.3: Hãy tơ màu đồ thị Spring 2017 Graph Theory 13 Một số ứng dụng tơ màu đồ thị I Bài tốn lập lịch thi I Bài toán phân chia tần số Spring 2017 Graph Theory Spring 2017 Graph Theory TÔ CẠNH 15 14 Tô màu cạnh đồ thị Một số định lý tô màu cạnh đồ thị Định nghĩa 4.3 Định lý 4.6 I I Một phép tô màu cạnh đồ thị cách gán cho cạnh đồ thị màu cho khơng có cạnh đỉnh trùng màu sắc số cạnh (chromatic index) đồ thị G ký hiệu χ0 (G) số màu dùng để tơ cạnh đồ thị Spring 2017 Graph Theory TƠ MIỀN 17 Nếu G1 ⊆ G2 χ0 (G1 ) ≤ χ0 (G2 ) Nếu đồ thị G đồ thị vịng có n đỉnh  n số chẵn χ (G) = n số lẻ Spring 2017 Graph Theory 18 Tô màu đồ Lịch sử Năm 1852, De Morgan đưa giả thuyết: ”Mọi đồ tô màu cho hai nước láng giềng có màu tơ khác nhau” Hình 4.4: Tơ màu bang nước Mỹ Spring 2017 Graph Theory 20 Tô màu đồ (cont.) Tô màu đồ (cont.) Một số lưu ý tốn tơ màu đồ I I Một nước phải vùng liên thông Hai nước có điểm chung khơng xem láng giềng Hình 4.6: đồ tơ màu E có hai vùng Hình 4.5: A B láng giềng, A C láng giềng Spring 2017 Graph Theory 21 Tô màu đồ (cont.) I Spring 2017 Graph Theory 22 Tô màu đồ (cont.) Số màu I Bản đồ xét mặt phẳng hay mặt cầu Hình 4.7: đồ tơ màu Hình 4.8: xét đồ mặt phẳng hay mặt cầu, không mặt xuyến Spring 2017 Graph Theory 23 Spring 2017 Graph Theory 24 Định lý hai màu Đồ thị phẳng chuẩn Định lý 4.7 Định nghĩa 4.4 Điều kiện cần đủ để đồ thị liên thông, phẳng G tô màu bậc đỉnh đồ thị số chẵn Đồ thị phẳng chuẩn đồ thị phẳng với đỉnh có bậc Chứng minh Sinh viên tự chứng minh Hình 4.10: Đồ thị phẳng dạng chuẩn Hình 4.9: Đồ thị phẳng tô hai màu Spring 2017 Graph Theory 25 Spring 2017 Chuẩn hóa đồ thị sang dạng chuẩn Định lý ba màu Thực Định lý 4.8 I Loại bỏ đỉnh bậc I Các đỉnh có bậc lớn tạo miền Graph Theory 26 Điều kiện cần đủ để đồ thị phẳng chuẩn G tô màu biên miền có số cạnh chẵn Hình 4.11: Chuẩn hóa đồ thị Spring 2017 Graph Theory 27 Spring 2017 Graph Theory 28 Đồ thị đối ngẫu Đồ thị đối ngẫu (cont.) Định nghĩa 4.5 Cho đồ thị phẳng G liên thông Đồ thị đối ngẫu (dual graph) G G đồ thị xây dựng sau: I I Mỗi đỉnh G tương ứng với miền G Hai đỉnh G có cạnh liên kết hai miền tương ứng chúng hai láng giềng (a) đồ thị (b) đồ thị đối ngẫu Hình 4.12: Đồ thị đồ thị đối ngẫu Spring 2017 Graph Theory 29 Đồ thị đối ngẫu (cont.) Spring 2017 Graph Theory 30 Đồ thị đối ngẫu (cont.) Nhận xét đồ thị đối ngẫu I I Đồ thị đối ngẫu đồ thị phẳng đồ thị phẳng Northern Territory Queensland Western Australia Bài tốn tơ màu đồ biến thành tốn tơ màu đồ thị phẳng South Australia New South Wales Victoria Tasmania Hình 4.13: Hãy tơ màu đồ nước Úc Spring 2017 Graph Theory 31 Spring 2017 Graph Theory 32 Định lý sáu màu năm màu Định lý sáu màu năm màu (cont.) Bổ đề 4.1 Cho đồ thị phẳng, liên thông tồn đỉnh có bậc khơng lớn I Ta suy I Vô lý Vậy ta có điều phải chứng minh 3n ≤ e ≤ 3n − Chứng minh Chứng minh phản chứng Giả sử đồ thị G phẳng, liên thơng có n đỉnh, e cạnh f miền bậc đỉnh khơng nhỏ I Mỗi đỉnh phải kề cạnh I Mỗi cạnh kề với đỉnh Do 6n ≤ 2e ⇒ 3n ≤ e I Theo hệ ta có Spring 2017 e ≤ 3n − Graph Theory 33 Spring 2017 Graph Theory 34 Định lý sáu màu năm màu (cont.) Định lý sáu màu năm màu (cont.) Định lý 4.9 Định lý 4.10 (định lý Kempe) Cho đồ thị phẳng, liên thơng ln tơ màu đồ thị không màu Cho đồ thị phẳng, liên thơng ln tơ màu đồ thị khơng màu Chứng minh Sinh viên tự chứng minh Chứng minh Sinh viên đọc tài liệu [Trần and Dương, 2013] Spring 2017 Graph Theory 35 Spring 2017 Graph Theory 36 Định lý sáu màu năm màu (cont.) Định lý sáu màu năm màu (cont.) Chứng minh I I I I Hình 4.14: Đồ thị G G I Chứng minh phương pháp quy nạp I Nhận thấy phát biểu cho đồ thị có số đỉnh n = 1, 2, 3, 4, Spring 2017 Graph Theory 37 Định lý sáu màu năm màu (cont.) I Xét đồ thị G có n > với giả thiết quy nạp đồ thị có 1, 2, 3, , n − tô không màu Theo bổ đề tồn đỉnh có bậc khơng q Khơng tính tổng qt xét đỉnh P có bậc đỉnh kề A, B, C, D, E Trong năm đỉnh A, B, C, D, E phải có cặp đỉnh khơng kề Khơng tính tổng quát A B đỉnh không kề Thực phép biến đổi co đỉnh P, A, B để thành đỉnh PAB đồ thị G có n − đỉnh Theo giả thiết quy nạp G tơ khơng q màu Khơng tính tổng qt tơ đỉnh sau C (red), D (green), E (blue) PAB (black) Spring 2017 Graph Theory 38 Định lý bốn màu Phục hồi lại đỉnh A B đồ thị G Tô lại đỉnh P (white) Định lý 4.11 (định lý Appel-Haken, 1976) Cho đồ thị phẳng, liên thơng ln tơ màu đồ thị không màu Chứng minh Sinh viên tự chứng minh Spring 2017 Graph Theory 39 Spring 2017 Graph Theory 40 Tài liệu tham khảo Trần, T and Dương, D (2013) Giáo trình lý thuyết đồ thị 2013 NXB Đại Học Quốc Gia TPHCM Spring 2017 Graph Theory 41 ... Một phép tô màu đồ thị hay tô đỉnh đồ thị cách đánh nhãn cho đỉnh đồ thị màu cho đỉnh kề phải có màu khác Bài tốn tơ màu loại toán thỏa mãn ràng buộc (constraint satisfaction problem) Số màu - sắc...Các kiểu tơ màu cho đồ thị (cont.) TƠ ĐỈNH a c b d (a) tô đỉnh (b) tô cạnh (c) tơ miền Hình 4.1: Các kiểu tơ màu Spring 2017 Graph Theory Tô màu đồ thị Tô màu đồ thị (cont.) Định... Tô màu đồ Lịch sử Năm 1852, De Morgan đưa giả thuyết: ”Mọi đồ tơ màu cho hai nước láng giềng có màu tơ khác nhau” Hình 4.4: Tơ màu bang nước Mỹ Spring 2017 Graph Theory 20 Tô màu đồ (cont.) Tô