THÔNG TIN TÀI LIỆU
PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUỖI Bài Chuỗi số, chuỗi số dương Bài Chuỗi với số hạng có dấu 12 Bài Chuỗi hàm số .17 Bài Chuỗi luỹ thừa 22 Bài Chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier 31 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài Chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp .38 Bài Phương trình vi phân cấp 49 Bài Phương trình vi phân cấp hai khuyết 61 Bài Phương trình vi phân cấp hai với hệ số biến đổi 68 Bài 10 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số số .72 Bài 11 Phương trình Euler, hệ phương trình vi phân 77 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE Bài 12 Phép biến đổi Laplace phép biến đổi ngược 83 Bài 13 Phép biến đổi toán giá trị ban đầu 90 Bài 14 Phép tịnh tiến phân thức đơn giản .97 Bài 15 Đạo hàm, tích phân tích phép biến đổi 103 Tài liệu tham khảo 113 Đề thi kỳ cuối kỳ …………………………………… 114 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUỖI § Đại cương chuỗi số Định nghĩa Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Các tính chất 1 1 Đặt vấn đề: n 2 Có phải cộng số hạng vế trái thành vế phải? + (– 1)+1 + (– 1) + = ? Chuỗi số: Định nghĩa: Với số tự nhiên n, cho tương ứng với số thực an, ta có dãy số kí hiệu an Định nghĩa: Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1 a2 a3 chuỗi số, ký hiệu an , n 1 an số hạng tổng quát Sn = a1 + a2 + a3 + + an tổng riêng thứ n Nếu lim Sn S ta bảo chuỗi n an S hội tụ, có tổng S viết: n 1 Khi dãy {Sn} phân kỳ ta bảo chuỗi Ví dụ Xét hội tụ tính Sn q q q n , q 1 n 1 q Phân kỳ q an phân kỳ n 1 qn n 0 n 1 1 q , q 1 1 q lim Sn qn q , q n 0 Ví dụ Xét hội tụ tính n n 1 n 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 1 1 1 1 1 n n 1 1.2 2.3 n 1 n n 1 lim Sn lim 1 n n n Sn n n 1 n 1 Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ 1 1 n (Chuỗi điều hoà) Sn n n 1 Lấy n 2m 1 có 1 1 1 1 Sn m 1 m m 1 2 3 4 5 8 2 1 1 1 2m m 1 m 1 2 Do Sn lớn tuỳ ý, nên có lim Sn n Chuỗi cho phân kỳ Ví dụ Chuỗi nghịch đảo bình phương: Sn n2 n 1 1 1 1 1 1 2.2 3.3 n.n 1.2 2.3 n 1 n 22 32 n2 1 1 1 1 1 1 2 n 1 n 1 n Sn tăng dương lim Sn S n n2 S n 1 Nhận xét: an (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) an hội tụ nlim n 1 Chứng minh: Có an Sn Sn 1 ; lim an lim Sn Sn 1 n Nếu lim an khơng tồn chuỗi n n an phân kỳ n 1 Thay đổi số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n n 1 n 1 Ví dụ n 1 n n n phân kỳ n n 1 lim Ví dụ 1 n 1 1 n 1 n =2k,k 1 n Có lim 1 n 1 n =2k+1 Không tồn lim 1 n n 1 n phân kỳ n 1 Ví dụ Tìm tổng (nếu có) chuỗi số sau 1) Ví dụ a (K50) n 1 n n 1 Tính chất Giả sử n 2n 36 n n 1 (PK) b (K60) n 1 n 1 n n n 1 n (ĐS: (PK) an S1, bn S2, ( an bn ) an bn S1 S2 n 1 n 1 n 1 §2 Chuỗi số dương Định nghĩa Định nghĩa: Nhận xét an , n 1 Các định lí so sánh an an hội tụ S n bị chặn n 1 Trong ta giả thiết xét chuỗi số dương Các định lí so sánh Các tiêu chuẩn hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí Cho hai chuỗi số dương, an bn , n tuỳ ý từ lúc trở n 1 n 1 bn hội tụ an hội tụ an phân kỳ bn n 1 phân kỳ n 1 Chứng minh a1 a2 an b1 b2 bn Sn Tn Rút khẳng định Ví dụ 3n Ví dụ Chuỗi dương ln n n Chuỗi dương 3n n 3n 3n 1 n ln n phân kỳ n n 2 0 3n hội tụ n 1 1 Chuỗi cho hội tụ ln n phân kỳ n 2 a Định lí Cho hai chuỗi số dương, lim n k n bn phân kì Nhận xét Đối với chuỗi số dương an n bn 1/ Nếu lim a 2/ Nếu lim n n bn Ví dụ ln n n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 an bn hội tụ an bn : bn hội tụ an hội tụ n 1 n 1 bn phân kì an phân kì n 1 n 1 n2 2n3 n 1 Chuỗi dương PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2 n2 n n n 3 2n 2n 2n 2n 2n n2 lim : 1 n 2n 2n 1 2n hội tụ n 1 n2 2n3 hội tụ n 1 Ví dụ np , p0 n 1 1 Khi p có n n p , n n p phân kỳ nên n n 1 np phân kỳ n 1 Khi p 1, n tuỳ ý, chọn m cho n 2m , có Sn S m 1 2 p 1 1 p p p p 1 m 1 4 2 4 p 2m 1 2m 1 p 1 p 1 2p 1 am 1 , a p 1 1 a 1 a Dãy Sn bị chặn np hội tụ n 1 KL: Chuỗi hội tụ với p > phân kì với < p Ví dụ n 1 n3 Chuỗi dương 1 an ; bn 3/2 n n n 3/2 3 n a lim n n bn p 2p 1 m 1 2 m p 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn bn hội tụ n 1 hội tụ n 1 n Ví dụ ln 1 a(K49) 1) n 1 n2 (PK) 2) n 2 b(50) 1) n sin n 1 c(K51) 1) d(K52) 1) 3) n n 1 n n 1 2) (PK) 1 n sin n n 1 n 1 n 2) n e (PK) (HT) (PK) 1 (PK) n 2 n 2 n 2) n n 1 (HT) n n 1 (PK); n cos n n 1 sin n 2 n 1 sin n7 2n3 (HT) n 1 e(K54) Xét hội tụ 1) ln n n5 2) (HT) n 1 3) n ln 1 arctan2 n 1 n3 1 n 1 arcsin ln n n (PK) (HT) f(K56) Xét hội tụ 1) n ln n n 1 3) n 1 sin n n n 1 g(K58) Xét hội tụ : 1) 2) (PK) ln n 1 n (HT) (HT) n 1 ln n 1 (HT) ( n 1) h(K60) Xét hội tụ n3 1) ln n2 n 1 2) (PK) ( n e 1) n 1 (PK) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 3) Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn D’Alembert a lim n 1 l n an Khi l an hội tụ n 1 Khi l an phân kỳ n 1 Chứng minh an 1 a l , chọn > đủ bé để l + < n 1 < l + , n n0 n an an an 1 a a n n Mặt khác có an n n 1 an0 l an 0, n an 1 an an0 l < 1: Từ lim Do lim an l n an 1 a l , chọn đủ bé để l > n 1 l an + > an n an an l > 1: Từ lim phân kì Nhận xét Khi l = khơng có kết luận Ví dụ n! n 1 0 n! a 1 n! lim n 1 lim : lim lim 0 1 n an n n 1 ! n ! n n 1 ! n n an n ! hội tụ n 1 3n Ví dụ n! n 1 3n an 0 n! an 1 3n 1 3n : an n 1! n ! n PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn an 1 01 n an Chuỗi cho hội tụ lim Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi an 1.3.5 2n 1 0 2.5.8 3n 1 1.3.5 2n 1 1.3 1.3.5 2.5 2.5.8 2.5.8 3n 1 an 1 1.3.5 2n 1 2n 1 1.3.5 2n 1 2n : an 2.5.8 3n 1 3n 2.5.8 3n 1 3n an 1 1 n an Chuỗi cho hội tụ Ví dụ lim a(K49) 1) 3) n !3n n n 1 n 7n n ! n 1 3) 2n 1!! n 1 c(K52) 3n 2n n 1 e(K60) n 1 n 1 n n !3n nn ( n !)2 2n ! 2) (PK) 4) Nếu l (HT) 22n 1 n n 1 ln n 2n !! n ! n nn (HT) (HT) (HT) 2) (PK) n 1 (HT) b) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử lim n an l n n n 1 2n 3n 2 d(K54) 1) n !2n n 1 (HT) nn (HT) n 2n 32n 1 b(K51) 1) n n 1 ln n 2) (PK) an hội tụ n 1 nn (PK) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo an Nếu l Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn phân kỳ n 1 Nhận xét Nếu l = 1, khơng có kết luận 2n Ví dụ 3n n 1 n 2n an 0, n lim n an n Chuỗi cho hội tụ na n n 1 Ví dụ Xét hội tụ, phân kì n n 1 Ví dụ 3n n a(K49) 1) n n cos n 1 3) n 1 n2 2n ln n 2n n 2) n n sin n 1 (HT) n n 5n n n 1 n 2 b(K52) 1) n n 1 c(K54 ) nn 4 n3 2) n n 1 (HT) n n 5n n 1 n n 1 n2 n d(K60) 1) n 2 n 1 nn 4 n2 n 1 2n 2) n 2 n 1 (HT) n2 b f ( x ) dx f ( x ) dx blim a n a k n 1 n 1 an klim an n f ( x ) dx a1 a2 an a1 f ( x ) dx , (HT) (PK) (HT) c) Tiêu chuẩn tích phân Có mối liên hệ hay khơng giữa: n ln n (HT) n2 (PK) 2n 3n Hình 14.4 (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo at e sin(kt ) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn k s a k , sa (2.3) Ví dụ Tìm phép biến đổi Laplace ngược a) R (s ) s2 s 2s 8s s2 A B C R s s s s s s s s A(s 2)(s 4) Bs(s 4) Cs(s 2) Thay s , s 2 , s ta có 17 ,C 8 A 1, 12B , 24C 17 A ; B 12 24 1 17 R s , s 12 s 24 s 2t 17 4t L 1 R s e e 12 24 s 2s b (K54) 1) F s ( f t cos t sin t cos 2t sin 2t ) s 5s s 2s 2) F s ( f t 2 cos t sin t cos 2t sin 2t ) s 3s s t e 3t cos 2t e 3t sin 2t ) c (K60) 1) F s ( f (s 3)2 2 2) Tính L (et t )2 (s ) ( , s>2) s2 s (s 1)2 3) Tính L e3t sin(t ) (s ) ( 1 s3 [ ] , s>3) (s 3)2 (s 3)2 Ví dụ Giải tốn giá trị ban đầu y 4y y t ; y (0) y (0) Tác động phép biến đổi Laplace ta có s 2Y (s ) 4sY (s ) 4Y (s ) s A B C D E Y (s ) s (s 2)2 s s s s 2 s 1 Đồng hệ số ta có Y (s ) 23 22 s s 2 s2 s s 1 3 y (t ) t t te 2t e 2t 8 98 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn , k 17 , c đơn vị (mét, kilôgam, giây) x(t ) khoảng dịch chuyển khối lượng m từ vị trí cân Nếu khối lượng đặt vị trí x(0) , x '(0) Tìm x(t ) hàm dao động tự tắt dần Ví dụ Xét hệ lắc lò xo với m Hình 4.3.1 Hệ khối lượng-lị xo vật cản Ví dụ 1 Ta có phương trình vi phân tương ứng với toán là: x x 17 x với điều kiện ban đầu x(0) ; x(0) Tác động phép biến đổi Laplace vào hai vế, ý L 0 ta có s X (s ) 3s 1 sX (s ) 3 34 X (s ) 3s 19 s 3 X (s ) 2 s 6s 34 s 2 25 s 2 25 Sử dụng (2.2), (2.3) có x(t ) e 3t 3cos5t 2sin5t Hình 4.3.2 Hàm vị trí x(t ) Ví dụ Từ hình ta thấy đồ thị dao động tắt dần Ví dụ a) Xét hệ lắc lị xo - giảm xóc Ví dụ 3, nhiên với điều kiện x(0) x(0) với lực tác động bên F (t ) 15 sin2t Tìm chuyển động tức thời ổn định khối lượng Ta cần giải tốn với giá trị ban đầu x " x ' 34 x 30 sin2t ; x(0) x '(0) 60 Tác động phép biến đổi Laplace vào ta có s X (s ) 6sX (s ) 34 X (s ) s 4 60 As B Cs D X s 2 s s (s 3) 25 s 25 10 50 10 Đồng ta có A ,B , C D Vì vậy, 29 29 29 99 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 10s 50 10s 10 10s 25.2 10(s 3) 4.5 2 29 s 29 s s 25 s 25 Do x(t ) 2cos 2t sin 2t e 3t 5cos5t sin5t 29 29 3 b) x x x 0, x 0, x x X s +) s X s s 1 s X s 1 6sX s s2 1 +) X s s s 6s 15 s s s 1 2t 5L 1 L e 3t 6L e 2t L +) 6e e 3t 15 15 2t 6e e 3t +) x t 15 c) x x x 2, x x ( x t 1 2e2t e 4t t 2t d) x x x e t , x x ( x t 2e e 2cos 2t sin2t ) 10 e) x x 0, x 1, x x x ( x t cosh t cos t ) 4 3 f) x 13 x 36 x 0, x x 0, x 2, x 13 1 ( x t sin2t sin3t ) 4 g) x x x e2t , x x x x 2t ( x t 2e 10t cos t 5t 14 sin t ) 50 h) x x 18 x cos 2t , x 1, x 1 3t ( x t e 489cos3t 307 sin3t 7cos2t sin2t ) 510 170 4t I (K54) 1) x x 12x 0, x 0, x x ( x t e3t e ) 21 14 1 4t 5t 2) x x 20 x 0, x 0, x x ( x t e e ) 10 15 k (K55) 1/ x x x 0, x x x 0, x 1 2t 2t ( sin t e e ) 20 20 2/ x x x 0, x x x 0, x 1 3t 3t ( sin t e e ) 10 60 60 100 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo l (K56) 6 4 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn k 0, k 0, sinh 2t sin 2t sinh t sin t 20 15 sinh 2t sin 2t sinh t sin t 2/ x x x x sin 2t, x k 0, k 0, , 20 15 m (K58) x x x (0) x x (0), x (0) ( sin t sinh2t ) 1/ x 4x x x sinh2t , x n (K60) 1) x 3 1 1 ( e2t e t tet et ) 12 x x x e2t x(0) x x(0) 2) x x x x (0) x , x (0) x (3) (0) 1 1 ( et cos3t sin3t ) 10 10 30 3) x x 28 x 34 x x (0) x , x (0) 1 3t ( et e 3t cos5t e sin5t ) 41 41 205 Sự cộng hưởng nhân tử tích lặp bậc hai Hay dùng hai phép biến đổi Laplace ngược hàm phân thức đơn giản trường hợp phân tích lặp bậc hai (nhận sử dụng kỹ thuật Ví dụ 5, Bài 13) s 1 1 L L 1 t sin kt ; (sin kt kt cos kt ) 2 k 2 2 k s k s k Ví dụ Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải toán với giá trị ban đầu x 02 x F0 sin t ; x(0) x(0) Tác động phép biến đổi Laplace vào có s X (s ) 02 X (s ) X (s) s F0 s2 02 Nếu 0 ta có X (s ) s F0 s 2 1 , 0 tìm x t 2 2 2 0 s 0 s F0 F00 02 , x(t ) 101 F0 202 sin 0t 0t cos 0t PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Hình 4.3.4 Nghiệm cộng hưởng (18) với 0 F0 1, với đường bao x C (t ) Ví dụ Giải tốn với giá trị ban đầu y 2y " y 4tet ; y (0) y '(0) y "(0) y (3) (0) Có L y (t ) s 2Y (s ) , L y (t ) s 4Y (s ) , L tet Tác động phép biến đổi Laplace vào có Y (s ) (s 1)2 (s 1)2 A (s 1)2 s s 1 2s Y (s ) s 1 B Cs D E s F s s2 s 1 Dùng hệ số bất định có 2s 2s Y s s 12 s s 12 s Do y (t ) (t 2)et t 1 sin t 2cos t HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 102 PGS TS Nguyễn Xn Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 15 §4 Đạo hàm, Tích phân, tích phép biến đổi Tích chập hai hàm Vi phân phép biến đổi Tích phân phép biến đổi Mở đầu Phép biến đổi Laplace nghiệm phương trình vi phân đơi tích biến đổi hai hàm biết Chẳng hạn, xét toán với giá trị ban đầu x " x cos t ; x(0) x '(0) , Tác động phép biến đổi Laplace ta có: s s s X s sx x X s X (s ) L cos t L sin t s 1 s 1 s 1 s 1 Mặt khác ta có L cos t sin t L sin2t 2 2 2 s 2 s s 1 Do L cos t sin t L cos t L sin t Rõ ràng rằng, để giải toán trên, ta cần tìm hàm h t cho L h t L cos t L sin t Tích chập hai hàm Định nghĩa Tích chập phép biến đổi Laplace hai hàm f , g liên tục t khúc định nghĩa với sau: (f g )(t ) f ( )g (t )d , t 0 Tích chập giao hốn Ví dụ a) Tính cos t sin t t Ta có cos t sin t cos sin(t )d b) t e at Định lí t t sin t sin(2 t ) d 1 1 1 t t sin cos(2 ) t t t t sin cos cos t sin t 2 2 0 ( eat at c) t cos t ) a Giả sử f t , g t liên tục khúc với t ( t sin t ) f t , g t bị chặn Mect t , số M , c khơng âm Khi ta có L f (t ) g (t ) L f (t ).L g (t ) L Chứng minh Có G(s ) e su g (u )du u t e 103 1 F (s ).G(s ) f (t ) g (t ) s ( t ) g (t )dt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Do G(s ) e s e st thao.nguyenxuan@hust.edu.vn g (t )dt Với g u u , có F (s )G(s ) G(s ) e s f ( )d e s f ( )G(s )d st st s e f ( ) e e g (t )dt d e f ( )g (t )dt d 0 00 Từ giả thiết cho đổi thứ tự lấy tích phân có t st st F (s )G(s ) e f ( )g (t )d dt e f ( )g (t )d dt 0 0 0 s e st f (t ) g (t ) dt , Do F (s )G(s ) L f (t ) g (t ) t Ví dụ a) Cho f t sin2t , g t e Tính L Ta có L sin2t , L et s 1 s 1 s 1 s2 t 1 t L sin2t e et sin2 d s 1 s e t t e t e sin2 d e sin 2 2cos 2 t e t e sin2t 2cos 2t 2 2 et sin2t cos 2t 5 1 b) L 1 ( 1 cos2t ) s s 4 t kt sin kt ( ) 2 2 k s s k 1 ( 1 e 2t 2sin t cos t ) d) L 1 s s 4s Vi phân phép biến đổi c) L 1 104 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí Giả sử f (t ) liên tục khúc với t , | f (t ) | Mect t , số (3.1) M , c không âm có L tf (t ) F '(s ), s c f (t ) L 1 F (s ) L t 1 F '(s ) (3.2) L t nf (t ) ( 1)n F ( n ) (s ), n 1,2,3, Tổng quát ta có Chứng minh +) Từ giả thiết e st f t dt hội tụ tuyệt đối, 0 d e st f t dt +) Do F s ds (3.3) st e f t liên tục, s c s d st e f t dt ds +) e st tf t dt L tf t +) Ta chứng minh (3.3) phương pháp quy nạp toán học Thật vậy, n 1: ta có L tf t F s k Giả sử n k , tức có L t k f t 1 F k s Ta chứng minh với n k 1, d d k k 1 L t k 1f t L t t k f t L t k f t 1 F k s 1 F k 1 s ds ds Ví dụ a) Tìm L t sin kt Từ (3.3) ta có L t sin kt ( 1)2 d 2ks ds s k b) L t cos 2t 6ks 2k 2 s2 k ( 2s 24s s d2 k k d ds s k ds s k , s ) c) L te t sin2 t ( 3s 6s s 1 s 2s 4 d) tx t 2 x x 0, x 0, +) Tác động phép biến đổi Laplace sử dụng định lí ta có d d +) L tx L x sX s x , ds ds d d L tx L x s X s s x x ds ds +) Thay vào phương trình ta có d d sX s 2sX s X s s X s x ds ds 105 2 , s 0) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) s s 1 X s 4sX s , phương trình vi phân phân li biến số, có nghiệm A ,A0 X s s 1 +) x t Ct 3e t , C e) tx 3t 1 x x f) tx t 1 x x ( x t Ct 2e 3t , C ) ( x t C 1 t e 2t te 2t , C ) g (K55) 1/ tx t 1 x x x ( x t ct 2e t , c ) 2/ tx t x x x ( x t ct 3e t , c ) h (K57) tx (3t 1) x x , x(0) ( x t ct 2e 3t , c ) i (K60) tx (4t 3) x x , x(0) ( x t C 4t t e , C 0) 4! 1 tan s 1 Do đạo hàm tan1 hàm hữu tỉ, từ (3.2) ta có s 1 d L 1 tan1 L 1 tan1 t s s ds 1 1/ s 1 1 L L ( sin t ) 2 t t t s s (1/ ) sin t L 1 tan1 t s Ví dụ a) Tìm L 1 cos 2t cos t s2 b) L ln ( ) t s 4 e 2t sin3t ( ) t Tích phân phép biến đổi 1 c) L 1 tan1 s2 f t , | f (t ) | Mect t 0 t Định lí Cho f (t ) liên tục khúc t , lim f (t ) t , số M , c khơng âm có L F ( )d , s c t s f (t ) L 1 F (s ) t L Chứng minh 106 F ( ) d (4.2) s 1 (4.1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) Từ giả thiết e st thao.nguyenxuan@hust.edu.vn f t dt hội tụ tuyệt đối đều, s c +) Ta có F d e t f t dt d s s0 +) Từ đổi thứ tự tích phân ta có +) e st s 0s F d e t f t f t dt L t t sinht Ví dụ a) Tìm L t sinh t cosh t Ta có lim lim 1 t t 0 t 0 d sinh t L L sinh t d 1 t s s 1 1 s 1 ln d ln 1 1 s s s sinh t s 1 ln t s 1 1 cos2t b) L ( ln s ln s, s ) t L et e t c) L t ( ln s 1 ln s 1 , s 1) Ví dụ a) Tìm L Từ (4.2) có L 1 2s s 1 2s 2 tL s 2 d 2 s 1 1 1 tL L t t sinh t s s f t t sinh t thoả mãn định lí 1 107 t e f t d dt t s f t dt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo L thao.nguyenxuan@hust.edu.vn t sinh t 2 s 1 1 b) L 2s 1 s 3 s 1 ( 1 t sin t t cos t ) Phép biến đổi hàm liên tục khúc a) Đặt vấn đề Các mô hình tốn học hệ học hay hệ điện thường liên quan đến hàm không liên tục tương ứng với lực bên bất ngờ đảo chiều bật hay tắt Hàm đơn giản bật, tắt hàm bậc thang đơn vị t a (hàm Heaviside) 0 ua t u(t a ) 1 t a t a có đồ thị sau Hình 4.5.1 Đồ thị hàm đơn vị bậc thang b) Phép tịnh tiến trục t Định lí Nếu L {f (t )} tồn với s c , có L u(t a)f (t a) e asF (s ) e asL f (2.1) L 1 e as F (s ) u(t a )f (t a ) u(t a )L 1 F (t a ), s c a (2.2) Hình 4.5.2 Tịnh tiến f t phía phải a đơn vị 108 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Chứng minh +) Ta có e as thao.nguyenxuan@hust.edu.vn F s e s a f d +) Đổi biến t a , ta có e as F s e st f t a dt a t a 0, , nên có +) Do u t a f t a , f t a t a e as F s e st u t a f t a dt L u t a f t a Ví dụ Cho f (t ) t Tính L Từ (2.2) có L 0 1 (t a ) e 1 e 1 s as as u t aL s t a 1 t a u t a t a s 1 t a Hình 4.5.3 Đồ thị biến đổi ngược Ví dụ 0 t Ví dụ Cho g (t ) Tìm L g t t t Do g t t nên có f (t ) (t 3)2 F (s ) L t 6t s s s 9 Từ định lí có L g (t ) L u(t 3)f (t 3) e 3s F (s ) e 3s s s s cos 2t Ví dụ a) Tìm L f (t ) f (t ) 0 109 t 2 t 2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn f (t ) 1 u t 2 cos 2t cos 2t u(t 2 )cos t 2 Từ định lí có L f (t ) L cos2t e 2 s L cos 2t s(1 e 2 s ) s2 s 4s 1, t e e b) f t ( F s ) s 0, t t s 1 e 2s (F s ) s2 cos t , t c) f t t 2 0, t , t d) f t 1, t 1 e ( F s s2 s ) Ví dụ Một vật nặng 32 lb (1 lb = 450 g) gắn tự vào lò xo bị căng ft lực lb Khối lượng ban đầu vị trí cân Bắt đầu thời điểm t (lần thứ hai), lực bên f (t ) cos2t tác động vào vật Tuy nhiên thời điểm t 2 lực bị (đột ngột khơng liên tục) Sau vật lại tiếp tục chuyển động cách tự Tìm hàm vị trí x(t ) vật cho Chuyển toán giá trị ban đầu x " x f (t ) ; x(0) x '(0) cos 2t , t 2 f t t 2 0, Tác động phép biến s(1 e 2 s ) (s 4) X (s ) F (s ) X (s ) s s 4 e s2 s 2 s s 4 đổi Laplace vào s s L 1 s2 có t sin2t ; 2 ta t 2 u (t 2 ) L sin 2(t 2 ) s 4 s 2 s s e Từ ta có x t L L 2 s2 x 2 s vế , Do 1 e hai 2 1 t 2 sin2(t 2 ) t u(t 2 ).(t 2 ) sin 2t t sin 2t u(t 2 ) 4 110 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 t 2 , t sin2t, x (t ) sin2t, t 2 Ta thấy, vật dao động với tần số với biên độ tăng tuyến tính đến lực bỏ thời điểm t 2 Sau đó, vật tiếp tục chuyển động với tần số với biên độ dao động Lực F (t ) cos2t tiếp tục cộng hưởng, nhiên ta thấy bị biến thời điểm khơng cịn tác động Ví dụ Giải toán giá trị ban đầu mx cx kx f t , x x 1, t a) m 1, k 4, c 5, f t 0, t 1 4e t e 4t ) ( x t g t u t 2 g t 2 , g t 12 t, t b) m 1, k 1, c 0, f t 0, t ( x t g t u t 1 g t 1 h t 1 , g t t sin t, h t cos t ) 1, t c (K55) 1/ x x f t , x x , f t 0, t ( x t 1 u t 1 u t cos3t ) 1, t 2/ x 16 x f t , x x , f t 0, t 1 u t 1 cos t ) ( x t 16 1 t , x(0) x(0) d (K57) x x f (t ), f (t ) 0 t ( x t cos t 1 cos t 1 u(t 1) ) Dưới bảng công thức : 111 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn BẢNG f t L f t s a eat f t u t a f t a e asL f t s , a n 1n d L f t s ds n L f t s L g t s n t f t f g t f t t f n L f t d s s nL f t s s n 1f s n 2f f t t n 1 0 L f t s s f d L f t s BẢNG L 1 F s t L 1 F s t t F s F s F s F s a e asF s F s G s F s s tL F d t s 1 F s t u t a L 1 F s t a eat L 1 L 1F s L 1G s t t L 1 F s d Thank you and good bye! 112 THE END ... nghiệm khơng nằm họ nghiệm tổng quát - Tích phân tổng quát nghiệm tổng quát dạng ẩn ( x, y , C ) - Khi cho tích phân tổng quát giá trị cụ thể ta có tích phân riêng ( x, y , C0 ) Phương... năm dN c) Sự phân rã phóng xạ kN , k phụ thuộc vào loại đồng vị phóng xạ dt dA d) Giải độc A , số giải độc thuốc dt dx e) Phương trình tăng trưởng tự nhiên kx dt Ví dụ Theo số liệu... khỏi lị vào khoảng 45 phút dy g) Quy luật Torricelli A y a 2gy , đó, v dt thể tích nước thùng, A(y) diện tích tiết diện 44 Tháo nước từ bát bán cầu PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
Ngày đăng: 25/03/2023, 11:34
Xem thêm: