Bài giảng về dạng vi phân và công thức Stokes Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 23 tháng 12 năm 2020 ∫
Bài giảng dạng vi phân công thức Stokes Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 23 tháng 12 năm 2020 ∫ 𝑀 𝑑𝜔 = ∫ 𝜕𝑀 𝜔 Đây khởi đầu giảng cho mơn cao học “Giải tích đa tạp” dựa giảng R Sjamaar [Sja15] Tham gia đánh máy phần đầu năm 2015, 2016 có Phan Đình Hiếu (học viên cao học Tốn Giải tích khóa 2014), Lê Chiêu Hồng Ngun (sinh viên ngành Tốn khóa 2012), Phan Văn Phương (học viên cao học Tốn Giải tích khóa 2012) Hiện giảng xây dựng để phục vụ cho sinh viên đại học năm cuối học viên cao học, nhằm trình bày dạng vi phân cách tương đối đơn giản, ngắn gọn, kèm với ứng dụng Bài giảng dùng cho lớp cao học Giải tích, Hình học Tơpơ; khóa học ngắn cho sinh viên đại học Với lớp cao học Hình học Tơpơ số đề tài bổ sung Huỳnh Quang Vũ Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, email: hqvu@hcmus.edu.vn Tài liệu mã nguồn có https://sites.google.com/view/hqvu/teaching This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, otherwise it is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License, see http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Mục lục Mở đầu Dạng vi phân không gian Euclid 1.1 Định nghĩa dạng vi phân 1.1.1 Không gian Euclid đạo hàm không gian Euclid 1.1.2 Những dạng vi phân sở 1.1.3 Dạng vi phân tổng quát 1.2 11 Tính chất phép tốn 12 1.2.1 Tính đan dấu 12 1.2.2 Phép nhân dạng 13 1.2.3 Đạo hàm dạng 14 1.2.4 Đổi biến dạng 18 1.2.5 Tích phân dạng 22 1.2.6 Mối quan hệ thể tích định thức 23 Dạng vi phân tích phân đa tạp 29 2.1 Đa tạp 29 2.1.1 Không gian tiếp xúc đạo hàm 32 2.1.2 Định hướng 33 2.1.3 Đa tạp có biên 36 Dạng vi phân đa tạp 38 2.2.1 Phiếm hàm đa tuyến tính khơng gian vectơ 38 2.2.2 Định thức không gian vectơ 41 2.2.3 Dạng vi phân đa tạp tính chất 42 2.2.4 Dạng thể tích đa tạp 44 Tích phân đa tạp 47 2.3.1 Định nghĩa địa phương 47 2.3.2 Định nghĩa toàn cục 49 Công thức Stokes cho đa tạp 52 2.4.1 53 2.2 2.3 2.4 Chứng minh công thức Stokes MỤC LỤC Ứng dụng 63 3.1 Ứng dụng Giải tích 63 3.1.1 Công thức Stokes cho miền với biên trơn 63 3.1.2 Ứng dụng phương trình đạo hàm riêng 67 3.2 Định lý điểm bất động Brouwer 68 3.3 Dạng khớp dạng đóng 69 3.4 Đối đồng điều de Rham 73 Đề tài đọc thêm 81 Tài liệu tham khảo 81 Chỉ mục 85 Mở đầu Khái niệm “vi phân” xuất chương trình tốn trung học phổ thơng Sách giáo khoa [SGKGT11, tr 213] viết công thức 𝑑𝑓 (𝑥 ) = 𝑓 ′ (𝑥 )Δ𝑥 𝑑𝑓 (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 Vi phân dùng phương pháp đổi biến để tính tích phân, [SGKGT12, 159], có tính tốn như: Đặt 𝑥 = sin 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑 (sin 𝑡) = cos 𝑡𝑑𝑡 Đối với nhiều người tính tốn hiệu khái niệm chưa rõ nghĩa Trong phép tính vi tích phân hàm nhiều biến bậc đại học ta xét tích phân ∬ 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 hay 𝑥 𝑥 𝑦𝑑𝐴 Ở 𝑑𝑥𝑑𝑦 hay 𝑑𝐴 gọi “phần tử diện tích” Chúng ta 𝐷 𝐷 ∫ ∫ thấy biểu thức 𝛾 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥 hay 𝛾 𝑑𝑠, với 𝑑𝑠 “phần tử chiều dài”, hay ∬ 𝑑𝑆, với 𝑑𝑆 “phần tử diện tích mặt” Các đối tượng 𝑑𝑥, 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑑𝐴, 𝑑𝑉, 𝑑𝑠, 𝑑𝑆 𝑆 ∬ không tách rời tích phân, chúng loại tích phân lấy Tuy đối tượng chưa định nghĩa rõ ràng, chưa rõ làm tính tốn với chúng Lý thuyết dạng vi phân nhằm đưa cách hiểu cách làm việc thống tổng quát cao đối tượng Các công thức Newton–Leibniz, Green, Stokes, Gauss–Ostrogradsky phép tính vi tích phân hàm nhiều biến xây dựng cho không gian 1, 2, hay chiều, gồm đường mặt Môn học tập trung thảo luận việc tổng qt hóa cơng thức lên không gian nhiều chiều để công thức Stokes tổng quát Chúng ta khảo sát dạng vi phân, đa tạp – tổng quát hóa đường mặt, tích phân Chúng ta thảo luận vài ứng dụng Giải tích Tôpô MỤC LỤC Chương Dạng vi phân không gian Euclid 1.1 Định nghĩa dạng vi phân 1.1.1 Không gian Euclid đạo hàm không gian Euclid Người đọc xem lại nội dung mơn Vi tích phân hàm nhiều biến, [Lan97] Trong mơn nói đến khơng gian R𝑛 , 𝑛 ∈ Z+ , ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn, khoảng cách, tích Euclid, cụ thể 𝑥 = (𝑥 , 𝑥 , , 𝑥 𝑛 ) ∈ R𝑛 chuẩn (tức chiều dài) 𝑥 k𝑥k = (𝑥 12 + 𝑥 22 + · · · + 𝑥 𝑛2 ) 1/2 , khoảng cách 𝑥 𝑦 = (𝑦 , 𝑦 , , 𝑦 𝑛 ) ∈ R𝑛 1/2 , k𝑥 − 𝑦k = (𝑥 − 𝑦 ) + (𝑥 − 𝑦 ) + · · · + (𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 ) tích 𝑥 𝑦 h𝑥, 𝑦i = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 + · · · + 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 Cho 𝐷 tập R𝑛 , 𝑥 điểm 𝐷 Nhắc lại kí hiệu 𝑒 = (1, 0, 0, , 0), 𝑒 = (0, 1, 0, , 0), , 𝑒 𝑛 = (0, , 0, 1) vectơ tạo thành sở tuyến tính chuẩn tắc R𝑛 Đạo hàm riêng 𝑓 : 𝐷 → R theo biến thứ 𝑖 𝑥 định nghĩa số thực 𝜕𝑓 𝑓 (𝑥 + ℎ𝑒 𝑖 ) − 𝑓 (𝑥) (𝑥) = lim ℎ→0 𝜕𝑥 𝑖 ℎ Đây đạo hàm biến hàm 𝑓 xem 𝑓 hàm theo biến 𝑥 𝑖 , tỉ lệ, hay tốc độ thay đổi giá trị hàm so với giá trị biến thứ 𝑖 điểm xét Yêu cầu 𝑥 điểm miền xác định điều kiện đủ để xét giới hạn ℎ → Ta lấy đạo hàm riêng đạo hàm riêng Trong môn ta thường lấy tới đạo hàm riêng cấp hai, 𝜕2 𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥 𝑗 CHƯƠNG DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID Tổng quát ta xét hàm 𝑓 : 𝐷 → R𝑚 Nếu 𝑓 liên tục tất đạo hàm riêng cấp hàm thành phần 𝑓 tồn liên tục 𝑥 ta nói 𝑓 khả vi liên tục (continuously differentiable) hay trơn (smooth) 𝑥 Ma trận đạo hàm riêng 𝑓 𝑥 gọi ma trận Jacobi 𝑓 𝑥, kí hiệu 𝐽 𝑓 (𝑥) = 𝜕 𝑓𝑖 𝜕𝑥 𝑗 (𝑥) 1≤𝑖 ≤𝑚, 1≤ 𝑗 ≤𝑛 Ví dụ 1.1.1 Khi 𝑚 = ma trận Jacobi 𝐽 𝑓 (𝑥) vectơ gradient ∇ 𝑓 (𝑥) = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (𝑥), , 𝜕𝑓 (𝑥) 𝜕𝑥 𝑛 Nếu có hàm tuyến tính 𝑓 ′ (𝑥) : R𝑛 → R𝑚 cho có cầu 𝐵(𝑥, 𝜖) ⊂ 𝐷 hàm 𝑟 : 𝐵(𝑥, 𝜖) → R𝑚 thỏa mãn: 𝑓 (𝑥 + ℎ) = 𝑓 (𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥) (ℎ) + 𝑟 (ℎ), ∀ℎ ∈ 𝐵(𝑥, 𝜖) limℎ→0 𝑟|ℎ(ℎ)| = 0, cơng thức (1.1.3)ánh xạ 𝑓 ′ (𝑥) (cịn kí hiệu 𝑑𝑓 (𝑥)) gọi đạo hàm (derivative - dẫn xuất) 𝑓 𝑥 Vậy đạo hàm cho xấp xỉ tuyến tính hàm: 𝑓 (𝑥 + ℎ) ≈ 𝑓 (𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥) (ℎ) Rõ ràng hàm có đạo hàm (khả vi) liên tục Nếu 𝑓 khả vi liên tục 𝑥 𝑓 có đạo hàm 𝑥, ánh xạ tuyến tính 𝑓 ′ (𝑥) biểu diễn sở tuyến tính chuẩn tắc R𝑛 ma trận Jacobi 𝐽 𝑓 (𝑥), tức 𝑓 ′ (𝑥) (ℎ) = 𝐽 𝑓 (𝑥) · ℎ phép nhân bên vế phải phép nhân ma trận Cần nhấn mạnh theo quan điểm tổng quát đạo hàm điểm ánh xạ tuyến tính số thực hay ma trận Nếu ℎ vectơ đơn vị (tức vectơ có chiều dài 1) ta suy 𝑓 ′ (𝑥) (ℎ) = lim 𝑡→0 𝑓 (𝑥 + 𝑡ℎ) − 𝑓 (𝑥) 𝑡 Vậy 𝑓 ′ (𝑥) (ℎ) đạo hàm theo hướng 𝑓 𝑥 theo hướng ℎ, đo tỉ lệ thay đổi 𝑓 theo hướng ℎ 𝑥 Đặc biệt đạo hàm 𝑓 theo hướng 𝑒 𝑖 𝑓 ′ (𝑥) (𝑒 𝑖 ) = 𝐽 𝑓 (𝑥) · 𝑒 𝑖 = 𝜕𝑓 , 𝜕𝑥𝑖 đạo hàm riêng 𝑓 theo biến thứ 𝑖 Cho 𝑈, 𝑉, 𝑊 tập mở R 𝑘 , R𝑙 , R 𝑝 theo thứ tự đó, cho 𝑓 : 𝑈 → 𝑉 and 𝑔 : 𝑉 → 𝑊 có đạo hàm ta có cơng thức đạo hàm hàm hợp (𝑔 ◦ 𝑓 ) ′ (𝑥) = 𝑔 ′ ( 𝑓 (𝑥)) ◦ 𝑓 ′ (𝑥) 1.1 ĐỊNH NGHĨA DẠNG VI PHÂN Nếu viết theo ma trận biểu diễn công thức cho 𝐽𝑔◦ 𝑓 (𝑥) = 𝐽𝑔 ( 𝑓 (𝑥)) · 𝐽 𝑓 (𝑥) 1.1.2 Những dạng vi phân sở Dạng vi phân gắn bó chặt chẽ với đạo hàm tích phân Các tính chất dạng vi phân quan trọng từ điều Với hàm thực 𝑓 : R𝑛 → R đại diện cho dạng vi phân 𝑑𝑓 phải liên quan khắng khít với đạo hàm 𝑓 Nhắc lại điểm 𝑥 ∈ R𝑛 đạo hàm 𝑓 𝑥 kí hiệu 𝑑𝑓 (𝑥) ánh xạ tuyến tính từ R𝑛 vào R: 𝑑𝑓 (𝑥) : R𝑛 → R 𝑣 ↦→ 𝑑𝑓 (𝑥) (𝑣) = ∇ 𝑓 (𝑥) · 𝑣 𝑑𝑥 gì? Trên R xét ánh xạ đồng Nếu gọi 𝑥 tên biến ánh xạ 𝑥 ↦→ 𝑥 Nếu đặt tên hàm 𝑥 𝑑𝑥 ánh xạ đạo hàm hàm Ở 𝑑 tốn tử đạo hàm Vì đạo hàm ánh xạ đồng điểm ánh xạ đồng nhất, nên 𝑥 ∈ R (𝑑𝑥) (𝑥) : R → R 𝑣 ↦→ 𝑣 Vì lẽ với tên biến khác 𝑦, 𝑢, 𝑡, 𝑑𝑦, 𝑑𝑢, 𝑑𝑡 ánh xạ: mang số thực thành ánh xạ đồng tập hợp số thực 𝑑𝑥𝑖 gì? Trên R𝑛 , lấy tên biến 𝑥 = (𝑥 , 𝑥 , , 𝑥 𝑛 ), gọi 𝑥𝑖 ánh xạ tương ứng điểm 𝑥 với thành phần thứ 𝑖, tức 𝑥 𝑖 : R𝑛 → R (𝑥 , 𝑥 , , 𝑥 𝑛) ↦→ 𝑥𝑖 𝑑𝑥 𝑖 đạo hàm ánh xạ này, xét đạo hàm hàm nhiều biến Vì ∇𝑥 𝑖 = 𝑒 𝑖 nên 𝑑𝑥 𝑖 ánh xạ từ R𝑛 vào (R𝑛 ) ∗ cho với 𝑥 ∈ R𝑛 𝑑𝑥 𝑖 (𝑥) = 𝑒 ∗𝑖 𝑒 ∗𝑖 ánh xạ tuyến tính từ R𝑛 vào R biễu diễn 𝑒 𝑖 , tức với 𝑣 = (𝑣 , 𝑣 , , 𝑣 𝑛 ) 𝑒 ∗𝑖 ((𝑣 , 𝑣 , , 𝑣 𝑛 )) = 𝑒 𝑖 · 𝑣 = 𝑣 𝑖 Tóm lại với 𝑥 ∈ R𝑛 : 𝑑𝑥𝑖 (𝑥) : R𝑛 → R 𝑣 = (𝑣 , 𝑣 , , 𝑣 𝑛 ) ↦→ 𝑑𝑥 𝑖 (𝑥) (𝑣) = (∇𝑥 𝑖 ) (𝑥) · 𝑣 = 𝑒 𝑖 · 𝑣 = 𝑒 ∗𝑖 (𝑣) = 𝑣 𝑖 CHƯƠNG DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID 10 Như 𝑑𝑥 𝑖 ánh xạ cho tương ứng điểm với hàm thực tuyến tính Người ta thường gọi hàm thực phiếm hàm (functional) 𝑑𝑥𝑖1 𝑑𝑥𝑖2 · · · 𝑑𝑥𝑖 𝑘 gì? Định nghĩa 1.1.2 Trên R𝑛 𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 , ≤ 𝑖 , 𝑖 , , 𝑖 𝑘 ≤ 𝑛, ánh xạ cho tương ứng 𝑥 ∈ R𝑛 với phiếm hàm 𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥𝑖𝑘 (𝑥) xác định (R𝑛 ) 𝑘 © 𝑣 𝑖1 ,1 𝑣 𝑖1 ,2 𝑣 𝑖2 ,1 𝑣 𝑖2 ,2 𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥𝑖𝑘 (𝑥) (𝑣 , 𝑣 , , 𝑣 𝑘 ) = det 𝑣 𝑣 « 𝑖𝑘 ,1 𝑖𝑘 ,2 Ở vectơ 𝑣 𝑖 viết sở 𝑣 𝑖 = Í𝑛 𝑗=1 𝑣 𝑗,𝑖 𝑒 𝑗 𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥𝑖𝑘 (𝑥) (𝑣 , 𝑣 , , 𝑣 𝑘 ) = det 𝑣 𝑖 𝑗 ,𝑙 1≤ 𝑗 ≤𝑘,1≤𝑙 ≤𝑘 = det 𝑑𝑥 𝑖 𝑗 (𝑥) (𝑣 𝑙 ) 𝑣 , ê đ , đ đđ đ đ , (1.1.3) Vit cỏch khác: 1≤ 𝑗 ≤𝑘,1≤𝑙 ≤𝑘 = det 𝑒 ∗𝑖 𝑗 (𝑣 𝑙 ) 1≤ 𝑗 ≤𝑘,1≤𝑙 ≤𝑘 Ghi 1.1.4 Vì giá trị dạng 𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥𝑖𝑘 không phụ thuộc vào điểm 𝑥 nên theo truyền thống để đơn giản ta bỏ qua điểm 𝑥 kí hiệu Ví dụ 1.1.5 Trong R2 𝑑𝑥𝑑𝑦 ánh xạ cho tương ứng (𝑥 , 𝑦 ) ∈ R2 với ánh xạ 𝑑𝑥𝑑𝑦(𝑥 , 𝑦 ) : R2 × R2 → R (𝑣, 𝑤) ↦→ 𝑑𝑥𝑑𝑦(𝑥 , 𝑦 ) (𝑣, 𝑤) = det = det 𝑣1 𝑤1 𝑣2 𝑤2 ! 𝑑𝑥(𝑥0 , 𝑦 ) (𝑣) 𝑑𝑥(𝑥0 , 𝑦 ) (𝑤) 𝑑𝑦(𝑥 , 𝑦 ) (𝑣) 𝑑𝑦(𝑥 , 𝑦 ) (𝑤) = det(𝑣, 𝑤), 𝑣 = (𝑣 , 𝑣 ), 𝑤 = (𝑤 , 𝑤 ) Ngắn gọn hơn: ∀(𝑥, 𝑦) ∈ R2 , 𝑑𝑥𝑑𝑦(𝑥, 𝑦) = det Hay gọn nữa: 𝑑𝑥𝑑𝑦 = det Ví dụ 1.1.6 Tương tự, R𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑥 · · · 𝑑𝑥 𝑛 (𝑥) (𝑣 , 𝑣 , , 𝑣 𝑛 ) = det(𝑣 , 𝑣 , , 𝑣 𝑛 ) Ngắn gọn hơn: 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 · · · 𝑑𝑥 𝑛 = det ! ... 1.1.2 Những dạng vi phân sở Dạng vi phân gắn bó chặt chẽ với đạo hàm tích phân Các tính chất dạng vi phân quan trọng từ điều Với hàm thực