Giáo trình lý thuyết trường điện từ phần 2

C hu ong CÁC KHÁI NIỆM VÀ LUẬT c o BẢN VÈ ĐIỆN TRƯ ỜNG TĨNH Chương trình bày luật hàn Điện trưòHỊỊ tĩnh; số hình thái phân hồ điện tích thường gặp Điện tricừrtỊỊ tĩnh; hùm ửttỊỊ với điện tích điếm; hài toán hữ điều kiện bờ t)iện trưìrnỊỊ tĩnh; phân hổ hình học cùa Diện trường tĩnh 4.1 CÁC LUẬT CO BẢN CỦA ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH Điện trường tĩnh thể cùa Trướng điện từ tĩnh với môi trường mang điện tĩnh hệ qui chiếu Đối với Điện tnrờng tĩnh có thể mặt điện mà không kèm theo thể từ Điện trường tĩnh có tính chất Điện trường tĩnh biểu diễn phân bo không gian vector E, D cp Quy luật vận động Điện trường tĩnh mô tả bời luật là: luật Coulomb; luật Gauss; luật bảo tồn điện tích 4.1.1 Luật Coulomb Giả sử có hai điện tích điểm đứng yên hai điểm Ml, M2 hệ qui chiếu quán tính đặt chân khơng mà ta xét Hinh 4.1 theo luật Coulomb chứng tác dụng lực tĩnh điện với (điện tích chịu tác dụng lực điện trường điện tích kia) theo luật: M, - • F qi Hình 4.1: Tác dụng lực điện từ theo luật Coulomb (4.1) 73 Trong đó: r,°2; r“j vector phương đơn vị ri2 = ri2ri2> r2i = r2ir2i vector chi phương Từ Hình ta thấy r12= r21 = M ,M 2, suy F |, F 2bằng nhaunhưng ngược chiều có tính chất đối xúng xun tâm Từ luật Coulomb suy hệ luận sau: + Hệ luận 1: Trong chân không, cường độ điện trường điểm M ứng với điện tích điểm q đặt đứng yên điểm Mị có giá trị: M, q M2 E (M,) E = — 3— r° E > Hoặc tổng quát: (4.2) + Hệ luận 2: Trong chân khơng mơi truờng tuyến tính cường độ điện trường điểm M n điện tích điểm qi, q2, q„ tác động xếp chồng cuờng độ điện trường điện tích điểm gây ra: (4.3) Đối với trường phân bố điện tích khối có mật độ phân bố điện tích đơn vị thể tích p thỉ: Ịpdv (4.4) Với r ° vector đơn vị chi phương cùa điểm M so với điểm đặt điện tích khối pdv 74 + Hệ luận 3: Điện trường tĩnh có tính chất mơ tả phương trinh Maxwell 2, dạng Rot Ê = 4.1.2 Luật Gauss a Phứt biểu I Thông lượng vector cường độ điện trường E chảy mặt kín s đặt mơi trường chân khơng, tổng điện tích (tự ràng buộc) nằm mặt s chia cho So (4.5) h Phát biểu Thông lượng cùa vector dịch chuyển điện D chảy mặt kín s đặt mơi trường chân khơng, tổng điện tích tự qtd nằm mặt kín s đó: (4.6) s s V Dạng (4.6) hay dùng (4.5) D liên hệ trực tiếp với điện tích tự nên dễ xác định Luật Gauss dạng tích phân tiện dùng trường đối xứng qua trục đối xứng xuyên tâm Khi khơng có điều kiện này, ta dùng dạng vi phân, muốn ta coi mặt s đủ nhò quanh điểm xét, từ (4.6) ta có: |)D d S = j p kidV = pulAV Chia hai vê cho AV; theo định nghĩa phép Div, có: (4.7) Tuơng tự từ (4.5) ta rút ra: — X, p y D iv E = - — So (4.8) Biểu thức (4 7) phương trình Maxwell 75 4.1.3 Luật bảo tồn điện tích Điện tích cùa hệ lập ln ln bảo tồn khơng đổi (Hệ lập hệ khơng có trao đổi chất hay lượng với bên ngoài) Hệ luận: Nếu hệ cị lập vốn khơng có Trường điện tích, thành lập điện trường tổng điện tích cùa hệ phải triệt tiêu Ví dụ: Khi đặt lên tụ điện áp điện tích hai cực tụ phải trái dấu Cũng không gian xuất số điện tích đơn độc có điện luợng +q không gian (ke xa vô cùng) phải xuất điện tích - q 4.2 MỘT SĨ HÌNH THÁI PHÂN BĨ ĐIỆN TÍCH CỦA ĐIỆN TRƯỜNG Phân bố Trường gắn liền với phân bố môi trường mang điện Vi để xét Truờng trước hết ta phải xét phân bố điện tích mơ tả tốn học cùa chúng 4.2.1 Các hình thái phân bố điện tích thường gặp IL Phân bố điện tích khối Là dạng phân bố đơn giàn không gian với mật độ khối p hữu hạn p= ^ dv (4.9) Hiểu mật độ trung bình hố địa phương điện tích hạt coi dàn liên tục miền lân cận hạt Ví dụ phân bố điện tích đèn điện tử h Phân hố điện tích mặt Trong Trường tĩnh điện, tích điện lên vật dẫn, điện tích phân bố lớp mặt ngoài, thường rải mặt vật dẫn với mật độ mật hữu hạn o - | (4.10) Nếu quan niệm điện tích phân bố lớp mỏng An (cỡ kích thước điện tử 10'15m) Hình 4.2, với mật độ khối p đó, cho thể tích dày An, đáy 76 s = (túc AV = An 1) chứa lượng điện tích tức: An Hình 4.2: Phân bố điện lích mặt pAn ] = mật độ lớn, bằng: (ơ / An lop mong p |o ngoai lop mong (4.11) Lý tường hoá coi An —> dn, ta có khái niệm mật độ điện tích mặt ứng với khái niệm ta có khái niệm phân bố điện tích khối tương ứng Mật độ có cỡ vơ lớn phân bố lớp vơ mỏng dn cách cho tổng lượng lấy theo chiều pháp tuyến n, qui đơn vị mặt s = (tức dv = dn 1) vừa Cách phân bố gọi phân bố Dirac õ(n) với định nghĩa: Dùng ký hiệu phân bố Dirac õ(n) vào biểu thức cùa p ta có: p(n) = ơơ(n); Với ị pdv= ị p(n) 1.dn= Jơ.ỗ(n)dn = (4.12) c Phăn hố điện tích đường Trong thực te thường gặp dây dẫn mang điện với mật độ điện tích lấy đơn vị dài là: dq dl (4.13) Xét đoạn dây có tiết diện AS có độ dài I = Hình 4.3: 77 1=1 Hình 4.3: Phân bố điện lích đường Nếu bán kính nhỏ, ta có phân bố điện tích khối tuơng đương p lớn lân cận trục cỡ: Í t / AS tiet dien day p = -i ; [0 ngoai tiet dien day AS tiêt diên dây Cho AS —» dS thì: í° P ; B (p ) = H o[i + jĩ (p) = J !ÍP l = Mo [ + k (p)l H(p) 160 k (p )]R (p ) Với cách dùng ảnh phức có |_l(jco) cuối ta đưa phương trinh Laplace cho từ vơ hướng (R otH = Jd + M2 162 (RotE = - r Ề ) at ă ) RotRotH= GradDiv R - DivGrad fì= yRotẼ - e Ậ RotE dt ,ỔH d :H ^ a2 Ngồi theo phương trình Maxwell 3: D ivfl = — D i v Ẽ = Nên GradDivFỈ= được: A R - |iy — - |I£ a a2 =0 (7.24) Tương tự tác động phép Rot vào hai vế phương trinh Maxwell 2, kết hợp giải với phương trình Maxwell Với pu = 0, tức DiV R = —Div D = (7.25) phương trinh (7,23) Tóm lại: Trường điện từ biến thiên mơi trường tuyến tính mơ tả bời phương trinh truyền (7.21) (7.23) Nó nêu rõ toán Trường điện từ biến thiên tốn bờ có sơ kiện Nghiệm lan truyền sóng, hình dáng sóng phụ thuộc vào điều kiện bờ điều kiện đầu môi trường 7.4 CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRUN SĨNG CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIÉN THIÊN DƯỚI DẠNG PHỨC Trong thực tế thường gặp lượng vật lý cùa Trường biên thiên theo qui luật điều hoà Mặt khác, nguyên tắc qui luật biến thiên theo thời gian phân tích thành phổ hàm điều hoà (theo chuỗi Fouries phổ ảnh Fouries) Với Trường đó, ta biểu diễn lượng biến thiên điều hoà ảnh phức sau phép biến đổi viết hệ phương trình Maxwell phương trinh truyền lượng phức Chúng có dạng đơn giản phép đạo hàm riêng theo thời gian ứng với phép nhân ảnh phức với jco Giả sử Trường biến thiên điều hoà túc điểm (x, y, z) thành phần trực giao theo không gian Ẽ , D , B , R , J biến thiên theo qui luật điều hoà 163 E (x, y, z, t) = ẽ x Exm(x, y, z) m[cot + a (x, y, z)] + + ẽyEyn^x, y, z) COS [cat + P(x, y, z)] + + ẽ zEzm(x, y, z) cos [cot + y(x, y, z)] Trong cácbiên độ Exm, Eyro, Ezm góc pha đầu a , p, Y hàm toạ độ không gian, không phụ thuộc thời gian Ta biểu diễn thành phần điều hoà phức È x, Êy, È z gộp chúng lại ta đuợc ảnh phức vector hiệu dụng cùa Trường điểm Ẽ(x, y, z): Ẽ(x, y, z )= ẽx È x + ẽ y È y + ẽ zÈ z = ẽ x Exe|a + ẽ yEydp + ẽ zEze’r Với cách biểu diễn đạo hàm riêng theo thời gian sỉ ứng với phép nhân tốn tử jco với ảnh phức, ví dụ: ẠExO) ổt jca È * ; Ệ- Ẽ(x, y, z, t) a - Ể _ E y ( t ) r2i = r2ir2i vector chi phương Từ Hình ta thấy r 12= r21 = M ,M 2, suy F |, F 2bằng nhaunhưng ngược chiều có tính chất đối xúng xun tâm Từ luật