Thư viện Đề thi Trắc nghiệm Tài liệu học tập miễn phí Trang chủ https //vndoc com/ | Email hỗ trợ hotro@vndoc com | Hotline 024 2242 6188 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 11 Bản quyền thuộc về VnDo[.]
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí KIẾN THỨC TRỌNG TÂM TỐN ĐẠI SỐ LỚP 11 Bản quyền thuộc VnDoc Nghiêm cấm hình thức chép nhằm mục đích thương mại CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Các hàm lượng giác a Hàm số y = sin x • Tập xác định: D = • Tập giá trị [-1; 1] hay −1 sinx 1, x b Hàm số y = cos x • Tập xác định: D = • Tập giá trị [-1; 1] hay −1 cosx 1, x c Hàm số y = tan x • Tập xác định: D = \ k , k • Tập giá trị: d Hàm số y = cot x • Tập xác định: D = \ + k , k 2 • Tập giá trị: 2.Tính tuần hồn chu kì Định nghĩa: Hàm số y = f ( x ) có tập xác định gọi hàm số tuần hoàn, tồn số T cho với x D ta có: • • x − T D x + T D f ( x + T ) = f ( x) Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Số dương T nhỏ thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm số tuaandf hồn Người ta chứng minh được: • y = sin x tuần hồn với chu kì T = 2 • y = cos x tuần hồn với chu kì T = 2 • y = tan x tuần hồn với chu kì T = • y = cot x tuần hồn với chu kì T = Chú ý: ✓ Hàm số y = sin ( ax + b ) tuần hồn với chu kì T = 2 a ✓ Hàm số y = cos ( ax + b ) tuần hồn với chu kì T = 2 a ✓ Hàm số y = tan ( ax + b ) tuần hồn với chu kì T = ✓ Hàm số y = cot ( ax + b ) tuần hồn với chu kì T = a a Đặc biệt: i Hàm số y = a sin mx + b cos nx + c, ( m, n T= ii 2 với (m,n) ước chung lớn ( m, n ) Hàm số y = a tan mx + b cot nx + c, ( m, n T= ) hàm số tuần hồn với chu kì ( m, n ) ) hàm số tuần hồn với chu kì với (m,n) ước chung lớn 3.Hàm số chẵn lẻ Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D ta có: x, − x D, f ( x ) = f ( − x ) Hàm số gọi hàm số chẵn Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D ta có: x, − x D, f ( x ) = − f ( − x ) Hàm số gọi hàm số lẻ II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình lượng giác Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí x = a + k 2 ✓ sin x = sin a (k x = − a + k 2 ✓ tan x = tan a x = a + k ( k x = a + k 2 ✓ cos x = cos a (k x = − a + k 2 ✓ cot x = cot a x = a + k ( k ) ) ) ) Phương trình lượng giác đặc biệt ✓ sin x = x = k , ( k ✓ sin x = x = • • tan x = x = ) + k 2 , ( k + k , ( k tan x = x = k , ( k tan x = −1 x = − + k , ( k ✓ cos x = x = k 2 , ( k ) ✓ cos x = x = + k 2 , ( k ✓ sin x = −1 x = − • ) ✓ cos x = −1 x = + k 2 , ( k ) ) ) + k , ( k ) • cot x = −1 x = − • cot x = x = • cot x = x = + k , ( k ) III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG Dạng 1: Phương trình bậc hàm số lượng giác a sin x + b = , a cos x + b = , a tan x + b = , a cot x + b = ( a, b , a ) −b −b , cos x = a a Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 + k , ( k ) Chú ý: 180 → 1 Phương pháp: Đưa dạng phương trình như: sin x = ) + k , ( k Bảng giá trị cung góc lượng giác đặc biệt 2242 6188 ) ) Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Dạng 2: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Phương pháp: Đặt ẩn đưa dạng phương trình bậc hai với t Dạng 3: Phương trình bậc sinx, cosx Phương trình có dạng: a sin x + b cos x = c, ( a 0, b ) Phương pháp: Chia vế cho a a + b2 Nếu Nếu sin x + b a + b2 b a +b 2 b a + b2 cos x = a + b ta được: c a + b2 phương trình vơ nghiệm đặt cos = a a +b , sin = Đưa phương trình dạng: sin ( x + ) = b a + b2 c a + b2 Chú ý: Phương trình a sin x + b cos x = c, ( a 0, b ) có nghiệm c a + b Dạng 4: Phương trình sinx cosx Dạng phương trình: a sin x + b sin x cos x + c cos x = d Phương pháp: - Nếu cosx = Thế vào phương trình thử nghiệm - Nếu cos x Chia vế phương trình cho cos x tiến hành giải phương trình bậc hai tanx: (a − d ) tan x + b tan x + c − d = CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT I QUY TẮC ĐẾM Quy tắc cộng a Định nghĩa: Xét cơng việc A Giả sử A có k phương án Ai , i = 1, k thực công việc A Nếu có a1 cách thực phương án A1 Nếu có a2 cách thực phương án A2 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Nếu có a3 cách thực phương án A3 … Nếu có ak cách thực phương án Ak Mỗi cách thực phương án Ai không trùng với cách thực Aj , (i j, i, j 1, k ) Thì có a1 + a2 + + ak cách thực công việc A b Công thức quy tắc cộng Nếu tập A1 , A2 , , An đơi rời nhau, A1 A2 An = A1 + A2 + + An Quy tắc nhân a Định nghĩa: Xét cơng việc A Giả sử A có k công đoạn Ai , i = 1, k thực cơng việc A Cơng đoạn A1 có a1 cách thực hiện, cơng đoạn A2 có a2 cách thực hiện,…, Cơng đoạn Ak có ak cách thực Khi cơng việc có a1.a2 ak cchs thực cơng việc b Công thức quy tắc nhân Nếu tập A1 , A2 , , An đôi rời nhau, A1 A2 An = A1 A2 An Phương pháp đếm toán tổ hợp theo quy tắc cộng Để đếm số cách thực công việc A theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem cơng việc A có phương án thực hiện, phương án có cách lựa chọn Phương pháp đếm toán tổ hợp theo quy tắc nhân Để đếm số cách thực công việc A theo quy tắc nhân, ta cần phân tích cơng việc A chia làm giai đoạn A1 , A2 , , An đếm số cách thực giai đoạn Ai Các dạng toán đếm thường gặp Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên: • 0,1, 2,3, ,9 , a1 • X số chẵn an số chẵn Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí • X số lẻ an số lẻ • X chia hết cho a1 + a2 + a3 + + an chia hết cho • X chia hết cho an 0,5 • X chia hết cho x số chẵn chia hết cho • X chia hết cho an − an −1an chia hết cho • X chia hết cho a1 + a2 + a3 + + an chia hết cho • X chia hết cho 11 tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11 Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học II HỐN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP Giai thừa gì? a Định nghĩa: Với số tự nhiên dương n, tích 1.2.3.4…n gọi n giai thừa kí hiệu n! Hay nói cách khác: n! = 1.2.3.4…n b Tính chất: • n! = n.(n-1)! • n! = n.(n-1).(n-2)…(n-k-1).k! Hốn vị gì? a Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử ( n 1) Mỗi cách xếp thứ tự n phần tử cho, mà phần tử có mặt lần, gọi hoán vị n phần tử b Số hoán vị tập n phần tử Định lí: Số hốn vị n phần tử khác cho ( n 1) kí hiệu Pn và: Pn = n ! = 1.2.3 n Ví dụ: Cho tập A = {1,2,3,4} Từ tập A lập số gồm chữ số phân biệt Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Note: số tự nhiên có chữ số khác nên chữ số có cách chọn, chữ số thứ có cách chọn, chữ số thứ có cách chọn, chữ số cuối có cách chọn Vậy số số tạo thành là: P4 = 4! = 24 số c Hốn vị lặp: Cho n phần tử, có k giá trị khác Giá trị thứ xuất n1 lần, giá trị thứ xuất n2 lần,…, giá trị thứ k xuất nk lần cho n1 + n2 + n3 + + nk = nn Khi đó, số lượng hốn vị lặp n phần tử là: Pn ( n1 , n2 , , nk ) = n! n1 !n2 ! nk ! d Hốn vị vịng quanh: Mỗi cách xếp n phần tử xủa A tạo thành vòng khép kín theo thứ tự gọi hốn vị vịng quanh n phần tử Ở ta phân biệt thứ tự theo chiều kim đồng hồ ngựơc chiều kim đồng hồ không phân biệt điểm bắt đầu vịng Kí hiệu hốn vị vịng quanh: Qn Cơng thức tính: Qn = Pn = ( n − 1)! n Chỉnh hợp gì? a Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử số nguyên k với k n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A b Số chỉnh hợp: Định lí: Số chỉnh hợp chập k n phần tử khác cho kí hiệu Ank Ank = n ( n − 1)( n − ) ( n − k + 1) = n! , (1 k n ) ( n − k )! Ví dụ: Có cách xếp bạn An, Minh, Tâm, Chi, Liên, Đạt vào ghế lớp? Note: Mỗi cách chọn chỗ ngồi vào ghế có xếp Có hốn vị chỉnh hợp chập Ta có số cách chọn là: A75 = 8! = 6720 cách ( − )! c Chỉnh hợp lặp: Một dãy gồm k phần tử A, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí hợp lặp chập k n phần tử Mỗi phần tử số k phần tửu chỉnh hợp lặp nhận n giá trị khác Vậy số lượng chỉnh hợp lặp chập k n phần tử là: Fnk = n k Ví dụ: Chỉnh hợp lặp chập tập A = {1, 2,4} 1,1 , 1.2 , 1, 4 , 2,1 , 2, 2 , 2,3 , 4,1 , 4, 2 , 4,3 Tổ hợp gì? a Định nghĩa: Cho n phần tử khác ( n 1) Mỗi tập gồm k phần tửu khác tập hợp n phần tửu cho k n gọi tổ hợp chập k n phần tử cho b Số tổ hợp Định lí: Số tổ hợp chập k n phần tử khác cho kí hiệu Cnk bằng: Cnk = n! , 0k n k !( n − k )! III XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Định nghĩa cổ điển xác suất Cho T phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu tập hữu hạn Giả sử A biến cố mô tả A Xác suất biến cố A, kí hiệu P(A), cho công thức: P ( A) = A = Số kết thuận lợi cho A / Số kết xảy Chú ý: Xác suất biến cố A phụ thuộc vào số kết thuận lợi cho A, nên ta đồng A với A nên ta có: P ( A ) = n( A) n() P ( ) = 1, P ( ) = 0,0 P ( A ) Định nghĩa thống kê xác suất Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Xét phép thử ngẫu nhiên T biến cố A liên quan tới phép thử Nếu tiến hành lặp lặp lại N lần phép thử T thống kê số lần xuất A Khi xác suất biến cố A định nghĩa sau: P(A) = Số lần xuất biến cố A : N Phương pháp xác định không gian mẫu biến cố Để xác định không gian mẫu biến cố ta thường sử dụng cách sau: Cách 1: Liệt kê phần tử không gian mẫu biến cố đếm Cách 2: Sử dụng quy tắc đếm để xác định số phần tử không gian mẫu biến cố III NHỊ THỨC NEWTON Tổ hợp gì? • Định nghĩa: Giả sử tập A n phần tử Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho • Kí hiệu: Cnk số tổ hợp chập k n phần tử ( k n ) Ta có định lí, số tổ hợp chập k n phần tử cho Cnk = - ( n − 1)( n − )( n − ) ( n − k + 1) n! = k! k !( n − k ) ! Tính chất chập k n phần tử: Cnk ✓ Tính chất 1: Cnk = Cnn− k , ( k n ) ✓ Tính chất 2: Cơng thức pascal Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk Nhị thức Newton Định lí: Với n n ( a + b) = C a n k =0 * với cặp số ( a , b ) ta có: k n− k k n b = Cn0 an + Cn1 an−1b + Cn2 an−2b2 + + Cnn−1a1bn−1 + Cnnbn Hệ Hệ quả: ( + x ) = Cn0 + xCn1 + x 2Cn2 + + x nCnn n - Từ hệ ta rút kết sau đây: Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + + ( −1) Cnn = n Nhận xét Trong khai triển Newton ( a + b ) có tính chất sau: n - Gồm n + phần tử Số mũ a giảm từ n đến số mũ b tăng từ đến n Tổng số mũ a b số hạng n - Các hệ số có tính đối xứng Cnk = Cnn− k , ( k n ) - Số hạng tổng quát: Tk +1 = Cnk ab− k b k Chú ý: ✓ Số hạng thứ T1 = T0+1 = Cn0 an ✓ Số hạng thứ k: Tk = Tk −1+1 = Cnk −1an− k +1b k −1 CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I DÃY SỐ Định nghĩa a Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương hiệu: u: n * * gọi dãy số hạn Kí → u ( n) Dãy số thường viết dạng khai triển u1 , u2 , , un u n số hạng thứ n gọi số hạng tổng quát, u1 gọi số hạng đầu dãy số u n b Mỗi hàm số u xác định tập M = 1, 2,3, , m , với m * goi dãy số hữu hạn Cách cho dãy số a Dãy số cho công thức số hạng tổng quát un = f ( n ) f hàm số xác định * Đây cách thông dụng biết giá trị n tính u n b Dãy số cho phương pháp mô tả Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Người ta cho mệnh đề mơ tả cách xác định số hạng liên tiếp dãy số Tuy nhiên, thường khơng tìm u n với n tùy ý c Dãy số cho phương pháp truy hồi ( hay quy nạp) Cho dãy số thứ Với n , cho cơng thức tính u n biết un −1 u1 = a, u2 = b un = f ( un−1 , un−2 ) , n Chẳn hạn, cơng thức là: Dãy số tăng, dãy số giảm - Dãy số u n gọi dãy số tăng un +1 un với n * - Dãy số u n gọi dãy số tăng un +1 un với n * - Khảo sát tính đơn điệu dãy số ( un ) Phương pháp 1: Xét hiệu H = un +1 − un + Nếu H với n * + Nếu H với n dãy số tăng * dãy số giảm Phương pháp 2: Nếu un với n * lập tỉ số so sánh với + Nếu lớn với n + Nếu nhỏ với n * dãy số tăng * dãy số giảm Dãy số bị chặn - Dãy số gọi bị chặn tồn số M cho un M với n * - Dãy số gọi bị chặn tồn số m cho un m với n * - Dãy số gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn M, m cho: m un M với n * II CẤP SỐ CỘNG 1.Cấp số cộng gì? u1 = a ( n *) dãy số u = u + d n n+1 Định nghĩa: Dãy số (U n ) xác định bởi: (U n ) = gọi cấp số cộng d công sai Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Số hạng tổng quát Cấp số cộng bắt đầu phần tử u1 cơng sai d số hạng thứ n cấp số cộng tính theo cơng thức: un+1 = u1 + ( n − 1) d d= un+1 − u1 n−1 3.Tính chất Ba số hạng un−1 , un , un+1 số hạng liên tiếp cấp số cộng un = un−1 + un+1 với n Tổng cấp số cộng Tổng n số hạng đầu cấp số cộng gọi tổng riêng thứ n xác định công thức: S = u1 + u2 + + un = n ( u1 + un ) n 2u1 + ( n − 1) d = Chứng minh: Sn = u1 + u1 + d + u1 + 2d + + u1 + ( n − 1) d (1) Mặt khác: Sn = un − ( n − 1) d + un − ( n − ) d + + un − d + un Lấy (1) cộng (2) 2Sn = n ( u1 + un ) Sn = Sn = ( n u1 + u1 + ( n − 1) d (2) n ( u1 + un ) ) = n ( 2u + ( n − 1) d ) 2 5.Chú ý a Dãy số (U n ) cấp số cộng, công sai d un+1 − un = d không phụ thuộc vào n b Ba số a, b, c lập thành cấp số cộng b = a+c Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí c Để xác định cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu cơng sai Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết toán qua u1 , d III CẤP SỐ NHÂN 1.Cấp số nhân gì? u1 = a ( n *) dãy số un +1 = un q Định nghĩa: Dãy số (U n ) xác định bởi: (U n ) = gọi cấp số nhân, q cơng bội Như ta hiểu cấp số nhân có dạng: a , aq , aq , aq , aq , với a số hạng q công bội Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu công sai 2,4,8,16,32,64,128, 2.Số hạng tổng quát Cấp số nhân bắt đầu phần tử u1 cơng bội q số hạng thứ n cấp số cộng tính theo cơng thức: un+1 = a.q n , n q = n−1 an ,n a 3.Tính chất Ba số hạng un−1 , un , un+1 số hạng liên tiếp cấp số nhân un = un−1 un+1 với n1 Tổng cấp số nhân Tổng số hạng đầu cấp số nhân : n aq k = aq + aq1 + aq + aq + + aq n k =0 Nhân vế với: ( − q ) n ( − q ) Sn+1 = ( − q ) aq k = a − aq n+1 k =0 Vì tất số hạng khác loại trừ lẫn Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí n Sn+1 = aq = k ( a − q n+1 k =0 ) 1− q 5.Chú ý a Dãy số (U n ) cấp số nhân, công sai d un+1 = q không phụ thuộc vào n un b Ba số a, b, c lập thành cấp số nhân b2 = a.c c Để xác định cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu cơng bội Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết toán qua u1 , q Chương IV: GIỚI HẠN I Hàm số liên tục Định nghĩa ✓ Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng D x0 D : • Hàm số y = f ( x ) liên tục x0 lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 • Hàm số y = f ( x ) không liên tục x0 ta nói hàm số gián đoạn x0 ✓ y = f ( x ) liên tục khoảng liên tục điểm khoảng ✓ y = f ( x ) liên tục đoạn [a, b] liên tục (a, b) lim f ( x) = f (a), lim− f ( x) = f (b) x →a+ x →b Các định lí a Định lí 1: Hàm số đa thức liên tục Hàm số phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng b Định lí 2: Cho hàm số f liên tục đoạn [a, b] Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Nếu f (a) f(b) P điểm nằm f (a), f (b) tồn số c ( a, b) cho f (c ) = P c Định lí 3: Cho hàm số y = f ( x), y = g ( x) liên tục x0 Khi tổng,hiệu, tích liên tục x0 , thương y = f (x) liên tục g( x) g ( x) d Hệ quả: Cho hàm số liên tục đoạn [a, b] Nếu f (a) f (b) tồn số c ( a, b) cho f (c) = Nói cách khác: Nếu f (a) f (b) phương trình f ( x) = có nghiệm thuộc (a, b) Một số vấn đề thường gặp Vấn đề 1: Xét tính liên tục hàm số điểm Phương pháp • Bước 1: Tìm lim f ( x), f(x ) x → x0 • Bước 2: Nếu tồn lim f ( x) so sánh f ( x0 ) lim f ( x) x → x0 x → x0 Chú ý: f (x) a x x0 f (x) g ( x) x x0 a Hàm số y = b Hàm số y = x = x0 x x0 liên tục x = x0 liên tục x = x0 lim f ( x) = lim− g ( x) = f ( x0 ) x → x0+ x → x0 Vấn đề 2: Xét tính liên tục hàm số tập Phương pháp • Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lượng giác, phân thức hữu tỉ … Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí • Nếu hàm số dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng Vấn đề 3: Xác định giá trị tham số để hàm số liên tục Vấn đề 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp ✓ Để chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục D có số a, b D cho f ( a ) f (b ) ✓ Để chứng minh phương trình f(x) = có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số f(x) liên tục D tồn k khoảng rời nằm D cho f (at ) f (at +1 ) II GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Các giới hạn đặc biệt lim x = x0 x → x0 lim a = a x → x0 lim a = a x → lim x → a = (a số) x lim x n = + (n nguyên dương) x →+ lim x n = − (n nguyên dương, k số lẻ) x →− lim x n = + (n nguyên dương, k số chẵn) x →− Định lí giới hạn hữu hạn Định lí 1: a Nếu lim f ( x ) = P, lim g ( x ) = Q ta có khẳng định sau: x → x0 x → x0 lim f ( x ) + g ( x ) = P + Q x → x0 lim f ( x ) − g ( x ) = P − Q x → x0 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí lim f ( x ) g ( x ) = P.Q x → x0 lim x → x0 f ( x) g ( x) = P+Q (M 0) b Nếu f ( x ) 0, lim f ( x ) = L L 0, lim f ( x ) = L x → x0 x → x0 Chú ý: Định lí với x → Định lí 2: lim f ( x ) = L lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L x → x0 x → x0 x → x0 Quy tắc giới hạn vô cực a Quy tắc giới hạn tích f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x ) x → x0 lim f ( x ) g ( x ) x → x0 L0 x → x0 + − + − L0 b Giới hạn quy tắc thương lim f ( x ) x → x0 lim g ( x ) x → x0 L L0 L0 Dấu g ( x) Tùy ý + + - f ( x) + − − + g ( x) lim x → x0 f ( x) g ( x) + − − + III GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Giới hạn hữu hạn a lim un = un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số n →+ hạnh trở Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí b lim un = a lim ( un − a ) = n →+ n →+ Giới hạn vô cực a lim un = + u n lớn số dương tùy ý, kể từ số n →+ hạng trở b lim un = − lim ( −un ) = + n →+ n →+ Các giới hạn đặc biệt x → n lim k = x → n a lim = lim n k = + , k nguyên dương x → b lim q n = q x → lim q n = + q x → c lim a = a, ( a = const ) x → Định lí giới hạn hữu hạn a Nếu lim un = a lim = b thì: n → n → lim ( un + ) = a + b lim ( un − ) = a − b lim ( un ) = a.b lim un a = b (khi b ) b Nếu un với n lim un = a a lim un = a n → n → Định lí liên hệ giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực a Nếu lim un = a lim = lim n → n → un =0 b Nếu lim un = a , lim = với n lim n → n → un = + Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí c Nếu lim un = + lim = a lim ( un ) = + n → n → CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM I ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a, b ) , x0 ( a, b ) Giới hạn hữu hạn ( có) tỉ số f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 x → x0 gọi đạo hàm hàm số cho x0 , kí hiệu f ' ( x0 ) hay y ' ( x0 ) Như vậy: f ' ( x0 ) = lim f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 x → x0 Ta đặt x − x0 = x, f ( x + x0 ) − f ( x0 ) = y ta có: y x →0 x f ' ( x0 ) = lim ( x số gia đối số x0 , y số gia tương ứng hàm số) Quy tắc tính đạo hàm định nghĩa Bước 1: Với x số gia số đối x0 , tính f ( x + x0 ) − f ( x0 ) = y y x y Bước 3: Tính lim x → x Bước 2: Lập tỉ số Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục Định lí: Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm x0 liên tục x0 Định lí tương đương với khẳng định: Nếu y = f ( x ) gián đoạn x0 khơng có đạo hàm điểm Nhưng mệnh đề đảo định lí khơng Một hàm số liên tục điểm khơng có đạo hàm điểm Ý nghĩa hình học đạo hàm Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Nếu tồn đạo hàm, f’(x) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M ( x0 , y0 ) Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M ( x0 , y0 ) là: y − f ( x0 ) = f ' ( x0 )( x − x0 ) II QUY TÁC TÍNH ĐẠO HÀM Quy tắc tính đạo hàm c ' = ( c số) ( x ) ' = nx n n −1 ( x )' = 21x (x>0) Phép toán tính đạo hàm ( u + v ) ' = u '+ v ' ✓ ( u.v ) ' = u ' v + v ' u ✓ ( u − v ) ' = u '− v ' ✓ ( k u ) ' = k u ' (k số) u u ' v − v 'u ✓ = , (v 0) v2 v −v ' ✓ = v v ✓ ' ' Đạo hàm hàm số lượng giác sin x =1 x →0 x lim ( sin x ) ' = cos x ( cos x ) ' = − sin x ( sin u ) ' = u 'cos u ( cos u ) ' = −u 'sin u cos x ( cot x ) ' = − sin x u' cos u u' ( cot u ) ' = − sin u ( tan x ) ' = ( tan u ) ' = Đạo hàm cấp Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f’(x) Nếu f’(x) có đạo hàm ta gọi đạo hàm đạo hàm cấp hai f(x) kí hiệu f’’(x) (f’(x))’=f’’(x) Tương tự đạo hàm cấp cao Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 ... chia hết cho a1 + a2 + a3 + + an chia hết cho • X chia hết cho 11 tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11 Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế... k n phần tử: Cnk ✓ Tính chất 1: Cnk = Cnn− k , ( k n ) ✓ Tính chất 2: Công thức pascal Cnk−? ?11 + Cnk−1 = Cnk Nhị thức Newton Định lí: Với n n ( a + b) = C a n k =0 * với cặp số ( a , b... học tập miễn phí n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + + ( −1) Cnn = n Nhận xét Trong khai triển Newton ( a + b ) có tính chất sau: n - Gồm n + phần tử Số mũ a giảm từ n đến số