Đề thi vào lớp 10 chuyên toán

Đề thi vào lớp 10 chuyên toán

www.VNMATH.com www.VNMATH.com 1 đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh hảI hng Năm học: 1996 1997 Thời gian: 180 phút Câu 1: Cho f(x) = x 2 2(k - 1)x + 2k 5. a) Cho k = 2. Tìm nghiệm của f(x). b) Với giá trị nào của k thì f(x) có nghiệm ? c) Tìm k để f(x) có hai nghiệm là hai số đối nhau. Câu 2: Cho P = 3 2 64 2 2 x x xx a) Chứng minh P dơng với mọi x. b) Tính P với x = 3; x = -2 c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P. Câu 3: Cho hệ phơng trình 21 3 yx myx a) GiảI hệ với m = 2. b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Câu 4: Cho đờng tròn tâm O và A ở ngoàI đờng tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE, gọi F là trung đIểm của dây DE. a) Chứng minh 5 đIểm A, B, F, O, C cùng nằm trên một đờng tròn. b) BF cắt đờng tròn tại K. Chứng minh DCKE là hình thang cân. Câu 5: Tam giác ABC cân tại A có 4S ABC = AC 2 . Tính các góc của tam giác. Câu 6: Cho a, b, c, d dơng. Chng minh bất đẳng thức: )( 3 1 2222 dcba c b a d b a d c a d c b d c b a www.VNMATH.com www.VNMATH.com 2 đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh hng yên Năm học: 1997 1998 Thi ngày: 28/7/1997 Thời gian: 180 phút Câu 1: Cho A = a a a a aa a 3 12 2 3 65 92 a) Rút gọn A. b) Tìm a để .1A c) Tìm các số nguyên a để giá trị của biểu thức A nguyên dơng. Câu 2: a) Cho phơng trình bậc hai x 2 (2m + 1)x + m 2 + 2 = 0 (m R là tham số). Hãy xác định m để x 1 2 + x 2 2 nhỏ nhất ( x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình). b) Giải phơng trình: 4124 xx . c) Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình sau có đúng 3 nghiệm: mxx 2)1( 2 Câu 3: Cho đoạn thẳng AB và điểm I tuỳ ý thuộc đoạn thẳng AB. Trong cùng nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB dựng các hình vuông AIEF và IBMN. Hai đờng thẳng AN và BE cắt nhau ở J. a) Chứng minh AN vuông góc với BE, suy ra điểm I nằm trên hai đờng tròn ngoại tiếp các hình vuông AIEF và IBMN. b) Chứng minh 3 đIểm F, J, M thẳng hàng và IJ vuông góc với FM tại J. c) Chứng minh rằng khi Idi động trên đoạn AB thì đờng thẳng IJ đi qua một điểm cố định. Câu 4: Cho các số a, b, c, d thoả mãn điều kiện: 1 a b c d 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = d c b a . www.VNMATH.com www.VNMATH.com 3 đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh hng yên Năm học: 1997 1998 Thi ngày: 29/7/1997 (Vòng 2) Thời gian: 150 phút Câu I: 1) Cho a + b + c = 0 và abc 0. Tính số trị của biểu thức: H = 222222222 111 c b a b a c a c b 2) Cho a > 0 và 7 1 2 2 a a . Chứng minh rằng số: 8 8 1 a a là số nguyên. Tìm số đó. Câu II: 1)Tìm các giá trị nguyên dơng của m sao cho phơng trình x38 = 5 - m có nghiệm nguyên dơng. 2) Giải và biện luận bất phơng trình: mx+ 9 > m 2 +3x ( m là tham số ) Câu III: Cho tamgiác ABC có góc A bằng hai lần góc C, BC = a, CA = b, AB = c. 1) Chứng mimh b 2 = c 2 + ac. 2)Tính a, b, c nếu các số đo ấy là 3 số tự nhiên liên tiếp. Câu IV: Cho tam giác ABC. Lấy A, B, C lần lợt ở trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: k B C AC A B CB C A BA ' ' ' ' ' ' Xác định k để tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất. Câu V: Các số nguyên không âm a, b, c, d thoả mãn điều kiện: 622 36432 222 2222 dba dcba Xác định a, b, c, d để biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 +d 2 đạt giá trị nhỏ nhất. www.VNMATH.com www.VNMATH.com 4 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Năm học: 2003 2004 Lớp: Toán 1, Toán 2 Thời gian: 150 Câu 1: (2 đIểm) Cho A = 2 )1( 1 133 x x xxxx B = 1 1 22 xxxx xxxx a) Rút gọn A và B. b) So sánh Avà B. Câu 2: (2 điểm) Cho hệ 12 2 ayx ayax a) GiảI hệ phơng trình khi a = 2 . b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x - y = 1 Câu3: ( 2 điểm ) Trên quãng đờng AB dài 60 km, ngời I đi từ A đến B, ngời II đi từ B đến A. Họ khởi hành cùng một lúc và gặp nhău tại C sau khi khởi hành 1 giờ 22 phút. Từ C ngời I đi tiếp đến B với vận tốc giảm hơn trớc 6 km/h, ngời II đi tiếp đến A với vận tốc nh cũ. Kết quả ngời I đến nơi sớm hơn ngời II là 48 phút. Tính vận tốc mỗi ngời. Câu 4: ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c và AC = b. Gọi I là trung điểm của BC. Điểm D di động trên cạnh BC. Trung trực của AD cắt trung trực của AB , AC theo thứ tự tại E, F. a)Chứng minh rằng năm điểm A, E, I, D, F cùng thuộc một đờng tròn. www.VNMATH.com www.VNMATH.com 5 b)Tam giác AEF và tam giác ABC đồng dạng. c)Xác định vị trí của D để tam giác AEF có diện tích bé nhất? Tìm giá trị bé nhất đó theo b và c. Câu 5: ( 1 điểm ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M là trung điểm đờng cao SO của hình chóp, E là trung điểm của BC. Gọi H,K thứ tự là hình chiếu của M trên SE,SC. Tính cạnh của hình vuông đáy và thể tích hình chóp biết MH = 4cm, MK = 5 cm. đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Năm học: 2003 2004 Lớp: Toán 1, Toán 2, Hoá Thời gian: 150 Câu 1: ( 2 điểm ) Xét biểu thức: M = ( yx xyyx yx yx yx yx 233 )( :) a) Rút gọn M. b) Chứng minh M 0. c) So sánh M với M . Câu 2: (2 điểm) Giải các phơng trình sau: a) (5 - 2 )x 2 10x + 5 + 2 = 0 b) (x 2 5x + 7) 2 4x 2 + 20x 25 = 0. Câu 3: (2 điểm) Nếu hai tổ học sinh cùng làm vệ sinh một sân trờng thì sau 12 giờ 30 phút sẽ xong. Nếu để tổ thứ nhất làm trong 20 phút và tổ thứ hai làm trong 15 phút thì đợc 5 1 sân trờng. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì phải bao lâu mới xong? Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) nhọn nội tiếp đờng tròn (O ; R) và trực tâm là H. M là một điểm chuyển động trên cung BC không chứa điểm A. Gọi A , B , C lần lợt là hình chiếu của M trên BC, AC, AB. a) Chứng minh rằng tứ giác MCBA và MABC nội tiếp đợc. b) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành. www.VNMATH.com www.VNMATH.com 6 c) Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng của điểm M qua các đờng thẳng AB và AC. Chứng minh 3 đIểm N, H, E thẳng hàng. d) Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất. Câu 5: (1 điểm) Cho tam giác ABC (AB = BC = CA = a ), đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G của tam giác ABC. Trên d lấy điểm S sao cho SG = 2a. a) Chứng minh SA = SB = SC. b) Tính tổng diện tích các mặt của tứ diện. đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên hng yên Năm học: 2003 2004 Dành cho lớp: Lý, Sinh Thời gian: 150 phút Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức: Q = . 3 12 2 3 65 92 x x x x xx x a) Rút gọn Q. b) Tìm các giá trị của x để Q < 1. c) Tìm các giá trị x Z sao cho Q Z. Câu 2: (2 điểm) Cho phơng trình x 2 10x m 2 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m 0. b) Chứng minh rằng các nghiệm của phơng trình (1) là nghịch đảo các nghiệm của phơng trình của phơng trình m 2 x 2 + 10x 1 = 0 (2) trong trờng hợp m 0. c) Với các giá trị nào của m phơng trình (1) có các nghiệm thoả mãn điều kiện 6x 1 + x 2 = 5. Câu 3: (2 điểm) Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc, một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ, còn từ www.VNMATH.com www.VNMATH.com 7 C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của xe ôtô và xe máy biết rằng trên đờng AB hai xe chạy với vân tốc không đổi. Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC (AB > AC) nội tiếp đờng tròn tâm O, tia phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại E và cắt đờng tròn tại M. a) Chứng minh rằng OM vuông góc với BC. b) Dựng tia phân giác ngoàI Ax của góc A, cắt đờng tròn tại N. Chứng minh ba điểm O, M, N thẳng hàng. c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F, chứng minh rằng FB. EC = FC. EB. d) Gọi giao điểm của OM và BC là I. Chứng minh rằng góc AMI bằng góc CFA và góc AIO bằng góc MFA. đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên hng yên Năm học: 2003 2004 Dành cho lớp: Văn, Sử, Địa, Ngoại ngữ Thời gian: 150 phút Câu 1: (2 điểm) a) Tính: A = 10:)450320055015( b) Rút gọn biểu thức: B = ) 1 1)( 1 1( a aa a aa , với a > 0 và a 1. Câu 2: (2 điểm) Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình công việc ây trong bao lâu? Câu 3: (2 điểm) Cho hàm số 4 2 x y (P) và hàm số y = x + m (D). a) Vẽ đồ thị của hàm số (P). b) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (D) không cắt Parabol (P), cắt (P) tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc với (P). Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, cân tại đỉnh A và nội tiếp đờng tròn (O; R) . Hai đờng cao BD và CE gặp nhau tại H. Vẽ đờng kính AI. a) Chứng minh rằng H nằm trên AI. b) Chứng minh rằng tứ giác BHCI là hình thoi. c) Dựng tam giác ABC nói trên biết R = 2,5 cm và trực tâm H cách A là 3 cm. www.VNMATH.com www.VNMATH.com 8 d) Tính diện tích tam giác cân ABC vừa dựng đợc. đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh hng yên năm học: 2001-2002 Môn thi: toán ( lớp toán vòng 2) Thời gian :150 phút Câu1: ( 2đ ) Giải phơng trình: 2 1 2 3 x x = 5 2 Câu 2: ( 2đ ) Tìm tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 11 sao cho thơng số bằng tổng các bình phơng các chữ số của số ấy. Câu3: ( 3 đ ) Cho a, b, x, y là các số thực dơng thoả mãn điều kiện: A + b = 1; ax + by = 2; ax 2 + by 2 = 3. Chứng minh rằng: 4 < ax 33 by < 4,5. Câu 4: ( 3đ ) Cho tam giác ABC, kẻ các đờng cao AH, BI, CK. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi B, C là hai điểm nằm trên đờng tròn sao cho HC AB; HB AC. Chứng minh rằng B, I, K, C thẳng hàng. www.VNMATH.com www.VNMATH.com 9 Đề THI VàO LớP 10 chuyên tỉnh hng yên Năm học 2004-2005 Môn : Toán ( dành cho lớp chuyên Toán Tin ) Thời gian: 150 phút Bài 1: ( 2đ ) Rút gọn biểu thức: 1) A = 20042200522003.5122935 2) 1252.549 4 aa Bài 3: ( 2đ ) 1) Cho 2 111 b a , chứng minh ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm x 2 + ax + b = 0 (1) và x 2 + bx +c = 0 (2) 2) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: 7 12 22 yx yx Bài 3: ( 2đ ) 1) Giải phơng trình: 2005.200420052005 2244 xxxx www.VNMATH.com www.VNMATH.com 10 2) Giải hệ phơng trình: 01554848)32(4 93 24 2 xyyxy yx Bài 4: ( 3đ ) Cho đờng tròn tâm I, bán kính r nội tiếp tam giác ABC vuông tại A và P, E, F lần lợt là các tiếp điểm của đờng tròn này với các cạnh AB, AC, BC. Đờng thẳng AI cắt EF ở D và BC ở K. 1) Chứng minh tứ giác BFDP nội tiếp. 2) M là một điểm nằm giữa hai điểm B và C, Gọi P và Q tơng ứng là hình chiếu của M trên AB và AC Đặt S SABC . Hãy xác định vị trí của M trên BC để tứ giác APMQ có diện tích lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo S. 3) Cho AB = c, AC = b, AK = d. Chứng minh c b d 112 Bài 5: ( 1đ ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với các đờng chéo đáy và các cạnh bên cùng bằng 3a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDC ). đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh hng yên năm học: 2004-2005 Môn thi: Toán ( dành cho các lớp tự nhiên) Thời gian: 150 phút Bài 1: ( 2đ ) 1) Tính số trị của biểu thức: A = 2 2 1 12 xx xa với x = )( 2 1 a b b a và a > 0, b > 0. 2) Phân tích thành nhân tử: ab ( a+b ) + bc ( b+c ) + ca ( c + a ) + 2abc Bài 2: ( 2đ ) 1) So sánh A = 20052003 và B = 2 2004 2)Tìm số d cuối cùng của phép chia đa thức: )1(:)1( 22005200420032002 xxxxx Bài 3: ( 2đ ) Cho phơng trình bậc hai có ẩn x: x 2 mx + m 1 (*) ( m là tham số ) 1) Chứng tỏ phơng trình (*) có nghiệm x 1 , x 2 với mọi m: tính nghiệm kép ( nếu có ) của phơng trình và giá trị m tơng ứng. [...]... nhất Bài 5: ( 1đ ) Cho tứ diện S.ABC, chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a) Chứng minh SA = SB = SC b) Trong trường hợp ABC là tam giác đều có cạnh bằng 18 cm và SO = 14cm Hãy tính diện tích toàn phần và thể tích của hình tứ diện www.VNMATH.com 11 . cân ABC vừa dựng đợc. đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh hng yên năm học: 2001-2002 Môn thi: toán ( lớp toán vòng 2) Thời gian :150 phút Câu1: ( 2đ ) Giải. www.VNMATH.com 9 Đề THI VàO LớP 10 chuyên tỉnh hng yên Năm học 2004-2005 Môn : Toán ( dành cho lớp chuyên Toán Tin ) Thời gian: 150 phút Bài 1: ( 2đ ) . www.VNMATH.com www.VNMATH.com 4 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Năm học: 2003 2004 Lớp: Toán 1, Toán 2 Thời gian: 150 Câu 1: (2 đIểm) Cho A = 2 )1( 1 133 x x xxxx