bài toán moment hausdorff và phương pháp moment hữu hạn

Trong [9,10,21,22], Saitoh và nhóm của Saitoh ựã xấp xỉ hàm u bởi tắch phân Tuy nhiên, trong trường hợp dữ liệu không chắnh xác, chúng ta gặp một số vấn ựề bởi tắnh không chỉnh của bài

LỜI CẢM ƠN

Lời ñầu tiên, tôi xin kính gởi ñến thầy Phạm Hoàng Quân, lời cảm ơn sâu sắc về

sự tận tình giúp ñỡ của thầy ñối với tôi trong suốt khóa học và nhất là trong việc hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn thầy ðặng ðức Trọng ñã tận tình hướng dẫn, cung cấp cho tôi những kiến thức cần thiết và những lời ñộng viên chân thành, cũng như ñã ñọc

và cho những nhận xét bổ ích ñối với luận văn này

Xin cám ơn tất cả Quý Thầy Cô trong hội ñồng chấm luận văn ñã dành cho tôi

thời gian quý báu và những góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn

Xin cám ơn Quý Thầy Cô khoa toán, trường ðại học Khoa Học Tự Nhiên ñã tận tình hướng dẫn và cung cấp cho tôi những tư liệu cần thiết trong suốt thời gian học tập tại trường

Xin cám ơn Quý Thầy Cô thuộc phòng quản lý sau ðại học – trường ðại học Khoa Học Tự Nhiên ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tôi về thủ tục hành chính trong khóa học

Cám ơn các bạn học viên lớp cao học Giải tích khóa 16 ñã hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong thời gian qua

Lời thân thương nhất xin gởi ñến gia ñình tôi, nơi tạo cho tôi mọi ñiều kiện thuận lợi ñể học tập và thực hiện tốt luận văn

Nguyễn Thanh Quang

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 0

Mở ñầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1.Không gian Hilbert 5

1.1.1 ðịnh nghĩa 5

1.1.2 Không gianL p 6

1.1.3 Không gian Sobolev H1( ) (Ω , Ω ⊆ ℝ) 9

1.1.4 Quá trình trực giao hóa Hilbert-Schmidt 9

1.2 Các hệ trực chuẩn ñặc biệt trong L2(0,1) 10

1.2.1 ða thức Legendre 10

1.2.1.1 Dạng ña thức và dạng vi phân 10

1.2.1.2 Dạng tích phân 11

1.2.2 ða thức Muntz 14

1.3 Tính trù mật 18

1.4 Bài toán không chỉnh 22

1.5 Biến ñổi Laplace 23

Chương 2 Bài toán moment Hausdorff và phương pháp moment hữu hạn 24

2.1 Tính không chỉnh của bài toán 2.1 24

2.1.1 Ví dụ 1 24

2.1.2 Ví dụ 2 26

2.2 Chỉnh hóa bằng phương pháp moment hữu hạn 27

Chương 3 Bài toán moment từ biến ñổi Laplace 43

Chương 4 Ví dụ số 46

Chương 5 Kết Luận 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

Tùy thuộc vào tập w , chúng ta sẽ có phương pháp thích hợp xây dựng hàm u từ

những giá trị cho trước trong tập hợp {Lu p( ): p w∈ }

Vì vậy, không có một phương pháp chung ñối với bài toán biến ñổi Laplace ngược Nếu g p( )cho trước trên tập w={p p a iy a y: = + ; , ∈ ℝ thì trong [25], p 67, }

Widder ñã sử dụng công thức ngược Bromwich ñể tìm hàm u x( )

Nếu w⊂{p∈ ℝ: > 0p }thì chúng ta có bài toán biến ñổi Laplace ngược thực Trong trường hợp này thì công thức ngược Bromwich không sử dụng ñược Trong những trường hợp cụ thể và dựa vào tính giải tích của dữ liệu chính xácg p( ), chúng ta

có nhiều công thức ngược ñể tìm hàm u x( )([8,12,15,21,22,24])

Trong [8], Al-Shuaibi xấp xỉ hàm u bởi

trong ựó b a k( ) là hệ số chắnh quy, g là biến ựổi Laplace của u cho trước

Trong [9,10,21,22], Saitoh và nhóm của Saitoh ựã xấp xỉ hàm u bởi tắch phân

Tuy nhiên, trong trường hợp dữ liệu không chắnh xác, chúng ta gặp một số vấn

ựề bởi tắnh không chỉnh của bài toán: nghiệm tương ứng với dữ liệu không chắnh xác không tồn tại nếu dữ liệu không trơn, và trong trường hợp nghiệm tồn tại thì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu Do ựó một phương pháp chắnh quy là cần thiết

Trong [20], Liên, Trọng và định biến ựổi bài toán (0.2) thành bài toán nội suy giải tắch trên không gian Hardy Sau ựó, sử dụng ựa thức Laguerre và hệ số của ựa thức

Lagrange ựể xây dựng hàm u ứng với dữ liệu rời rạc không chắnh xác

Trong [12], đặng đình Áng, Lund và Stenger ựã chắnh quy bài toán (0.2) bằng

phương pháp Tikhonov Trong phương pháp này, tác giả xấp xỉ hàm u bởi hàm uβ

+

đây là bài toán chỉnh

Từ tắnh chất giải tắch của Lu p( ), nếu Lu p( ) ựược biết trên một tập con ựếm ựược của w⊂{Re >p α} hội tụ ựến một ựiểm thì Lu p( ) ựược biết trên toàn không

gian {Re >p α} Vì vậy, trên một tập các dữ liệu rời rạc là ựủ ựể xây dựng một xấp xỉ

cho hàm u đó là một bài toán moment Trong bài toán (0.1) chúng ta chú ý rằng dãy

hàm (e− βk x) là hệ ựộc lập tuyến tắnh và hơn nữa không gian vectơ sinh bởi các dãy sau

Bài toán (0.4) là bài toán không chỉnh

Trong [11], Áng, Gorenflo, Vy, Trọng ựã khảo sát trường hợp ựặc biệt của bài toán (0.4), ( )αk là dãy các số nguyên dương

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ xấp xỉ hàm chưa biết u bởi phép chiếu trực

giao trên không gian ựược sinh bởi hệ các ựa thức trực giao ( )Li i=0,1,2, n, trong ựó Li là

ựa thức Muntz (Phương pháp moment hữu hạn)

Nội dung của luận văn này dựa trên kết quả bài báo của Dũng, Huy, Quân, Trọng ([18]), có thêm phần tắnh số ựể minh họa cho kết quả của bài toán (0.4)

Toàn bộ luận văn này sẽ chia thành các chương sau ựây:

Chương mở ựầu là phần giới thiệu tổng quát về bài toán và ựiểm qua các kết quả trước ựó, ựồng thời giới thiệu bố cục của luận văn

Chương 1 là phần giới thiệu ký hiệu và các không gian hàm, các hệ trực chuẩn ựặc biệt trong L2( )0,1 như: ựa thức Legendre, ựa thức Muntz

Chương 2 khảo sát chi tiết bài toán (0.4), kết quả chính của chương này là ñịnh

lý 2.1 và ñịnh lý 2.4 phương pháp xấp xỉ nghiệm u và ñánh giá sai số

Chương 3 khảo sát bài toán (0.1) dựa trên kết quả ñã trình bày trong chương 2 Chương 4 là phần tính số minh họa cho bài toán (0.4)

Chương 5 là phần kết luận về các kết quả thu ñược trong luận văn

Sau cùng là tài liệu tham khảo

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian Hilbert

1.1.1 ðịnh nghĩa

Cho H là không gian vectơ tuyến tính trên ℝ(hay trên ℂ) Ta ñịnh nghĩa trên

H một ánh xạ

H H× → ℝ ( , )x y ֏ 〈x y, 〉

Thỏa

i)〈x x, 〉 ≥ ∀ ∈ 0, x H ii)〈x x, 〉 = ⇔ = 0 x 0.

iii) 〈x y, 〉 = 〈y x, 〉 , ∀x y H, ∈

iv) 〈 +x αy z, 〉 = 〈x z, 〉 + 〈α y z, , 〉 ∀x y z H, , ∈ ;α∈ ℝ

Khi ñó ta nói 〈 〉 là một tích vô hướng (dạng Hermite) trên., H

Hơn nữa, trên H ta có thể ñịnh nghĩa chuẩn của một vectơ thông qua tích vô hướng

, ,

x = 〈x x〉 ∀ ∈x H Nếu với chuẩn ñịnh nghĩa như trên, mà H là không gian Banach thì H ñược gọi là không gian Hilbert

Khái niệm về tính trực giao

x⊥ y⇔ 〈x y〉 =

M ⊆H , ta kí hiệu : M⊥ {x H x: y y M, }

= ∈ ⊥ ∀ ∈ là không gian trực giao với M

M ⊆H là không gian vectơ con ñóng Với mỗi x H∈ , tồn tại duy nhất y M z M, ⊥

thỏa x= y z+ và

1.1.2 Không gianL p

Một số ñịnh lý của lý thuyết tích phân

ðịnh lý 1.2 (ðịnh lý hội tụ ñơn ñiệu)

Cho ( )f n là dãy tăng các hàm khả tích Lesbesgue trên Ω ⊂ ℝ sao cho

supn∫ f < ∞ n Khi ñó, f n hội tụ h.k.n (hầu khắp nơi) trên Ω về một hàm khả tích trên

Hệ quả: Cho f là hàm ño ñược và g khả tích trên Ω Ta có

Nếu f x( ) <g x( ) h.k.n trên Ω thì f khả tích trên Ω

Nếu f khả tích thì f khả tích và ngược lại

ðịnh lý 1.4 (Fubini) ChoF khả tích trên Ω × Ω1 2 Khi ñó, với hầu hết x ∈ Ω1

Không gian L p( ),1Ω ≤ p≤ ∞ là một không gian ñịnh chuẩn ñầy ñủ

Trong không gian này ta ñồng nhất f =g⇔ f x( ) =g x h k n( )

với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại, ñược gọi là tích chập của f và g

1.1.3 Không gian Sobolev H Ω1( ) (, Ω ⊆ ℝ)

trong ñó g thỏa ñiều kiện trên ñược gọi là ñạo hàm suy rộng của u, ký hiệu u' =g

Ta ñịnh nghĩa trên H Ω1( ) tích trong và chuẩn tương ứng như sau

2 ' 2

Khi ñó, H Ω1( )là một không gian Hilbert

Từ ñây về sau nếu không sợ nhầm lẫn, ta quy ước sử dụng chuẩn ⋅ thay cho tất

cả các chuẩn ⋅L2, ⋅H1, ⋅L1

1.1.4 Quá trình trực giao hóa Hilbert-Schmidt

Cho họ ( )x i i∈ℕ⊂H là các vectơ ñộc lập tuyến tính, nghĩa là

x y x

=

1 0

1.2 Các hệ trực chuẩn ñặc biệt trong L2(0,1)

1.2.1 ða thức Legendre

Ta trực giao hóa trongL −2( 1,1) hệ các hàm lũy thừa 1, , , , 1x x2 − < <x 1 thì ta ñược hệ các ña thức trực giao Các ña thức cùng bậc của các hệ này chỉ sai khác một thừa số hằng Trong các hệ ña thức trực giao này, ta xét hệ sau ñây, ñược gọi là hệ ña thức Legendre

Nếu ñổi biến t= − 1 2x và ñặt

2 0

1 2

12

p x = p t +p t x t− + p t x t− , ( ) ( ) '( )( )

µµ

y x = A⋅∫ x t− − − −t dt

là nghiệm của phương trình (1.1)

Bây giờ chọn C là ñường tròn tâm x, bán kính x −2 112,

ϕϕ

d x i A

( )

2

t m

( )0

Thặng dư: Giả sử alà một ñiểm bất thường cô lập của hàm giải tích f z( ) và C

là một ñường cong Jordan kín trơn từng khúc xác ñịnh dương, giới hạn một miền D

chứa a f z( ) giải tích trong D trừ a Khi ñó thặng dư của f z( )tại a là

ðịnh lý thặng dư: Nếu f z( )giải tích trong miền kínD giới hạn bởi ñường cong

C trừ một số ñiểm bất thường cô lập a a1, , ,2 a n nằm trongD thì

( )

2

t m

Chứng minh

Từ giả thiết 1

2

i

α > − ta có thể chọn ñược một ñường cong ñơn, ñóng C nằm

trong nửa mặt phẳng có phần thực lớn hơn 1

1 , 1

n t

Tích phân sau cùng có thêm cực ñiểm mới t= −(αm+1) nếu n m= Còn nếu

n m< thì không có thêm cực ñiểm mới, do tử số chứa thừa số (t+αn +1)

ðổi biến i , [0,2 )

t=Reϕ ϕ∈ π Ta ñược

2 11

0

0 0

( )

1 0

1 21

1

i i

m

m k

Re Re

F

ϕ ϕ

αα

( ) ( ) (0) ( ) (0

h x = f x − f −x f x − f ), và kéo dài f trên ℝ bằng cách

[ ]

( ), 0 1( )

sao cho

n

f x t− − f x ≤ M Khi ñó, chúng ta chọn N sao cho nếu n N≥ , thì

1( )

ðịnh lý 1.9 (về tính trù mật của ña thức Muntz trong L2(0,1))

Cho ( )αi i∈ℕlà dãy các số thực rời nhau từng ñôi một và 1

2

i

α > − ta có ñiều kiện cần và ñủ ñể

{ 0, 1, , n1, } 2(0,1)

span xα xα xα − =L là

( )20

Ta sẽ xấp xỉ x m bởi span x{ α 0 ,xα 1 , ,xαn−1} trong L2(0,1)

Giả sử m N m∈ ; ≠αi,i=0,1,2, ,(n−1) Xét hệ {α α0, , ,1 αn−1,m} theo ñịnh nghĩa phần trước ta có ña thức trực chuẩn Muntz thứ n như sau:

1 0

n m

n

i n

m m

αα

∏

1 0

αα

0,

j n

nj j

1.4 Bài toán không chỉnh

Cho X Y, là hai không gian ñịnh chuẩn Xét toán tử K X: →Y , khi ñó phương trình Kx= y ñược gọi là bài toán chỉnh, nếu thỏa ñồng thời ba tính chất sau:

i ) Tồn tại nghiêm: ∀ ∈y Y x X Kx, ∃ ∈ : = y

ii ) Duy nhất nghiệm: ∀ ∈y Ytồn tại duy nhất x∈X Kx: = y iii ) Ổn ñịnh: x phụ thuộc liên tục vào y Nghiệm phải phụ thuộc liên tục vào dữ liệu, nghĩa là ∀( )x n ⊂X thỏa Kx n →Kxthì x n →x

Ngược lại bài toán vi phạm một trong ba tính chất trên thì ta nói bài toán ñó không chỉnh

ðịnh lý sau ñây cho ta một dấu hiệu nhận biết một bài toán là không chỉnh

ðịnh lý 1.10

Cho X Y, là hai không gian ñịnh chuẩn Xét toán tử K X: →Y tuyến tính, compac với Ker K( ) {= x X Kx∈ : =0} và dim Ker K = ∞( ) , thì tồn tại ( )x n ⊂ X Kx: n →0nhưng x n không hội tụ và ta có thể chọn dãy ( )x n sao cho x → ∞ n Hơn nữa nếu K

là ñơn ánh thì ánh xạ ngược K− 1:Y K X( ) X

⊃ → không bị chặn

1.5 Biến ñổi Laplace

Cho hàm số f thỏa các tính chất sau

i) f ño ñược trên (0,∞) ii) f tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t → ∞, nghĩa là

( )

0, M 0, f t Meαt, t 0

α

Số α0 =infα, với tất cả α thỏa (ii), ñược gọi là chỉ số tăng của f

Hàm f có các tính chất (i)-(ii) ñược gọi là hàm gốc

Khi ñó hàm biến phứcF ñịnh bởi

( ) 0 pt ( )

F p ∞e− f t dt

xác ñịnh trên miền Re p>α0, ñược gọi là biến ñổi Laplace của f

Bài toán tìm hàm gốcFcó thể xem là biến ñổi Laplace ngược hay bài toán giải phương trình tích phân cấp một sau ñây

Bài toán tìm hàm f thỏa phương trình ( 1.21 ) là bài toán không chỉnh, vì có thể

vô nghiệm, hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào vế phải, nghĩa là sự nhiễu rất nhỏ của vế phải có thể dẫn ñến sự nhiễu lớn của f

Chương 2 BÀI TOÁN MOMENT HAUSDORFF

VÀ PHƯƠNG PHÁP MOMENT HỮU HẠN

Trong chương này chúng tôi khảo sát bài toán tìm hàm u L∈ 2(0,1) thỏa

2.1 Tính không chỉnh của bài toán.

Ta xét bài toán trong trường hợp dãy ( )αk là các số thực phân biệt dương thỏa

∞

=

= ∞+

Khi ñó theo nhận xét i) và ii) của ñịnh lý 1.9 thì bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất hoặc xem phần chứng minh tính duy nhất nghiệm trong ñịnh lý 2.1 Sau ñây ta xét hai ví dụ ñể minh họa tính không chỉnh của bài toán (2.1) (Tính duy nhất nghiệm ñược thỏa nếu nghiệm tồn tại)

0u x x dx k =0, k =0,1,2,

∫

thì u ≡0 là nghiệm chính xác của bài toán

Mặt khác xét bài toán (2.1) với dữ liệu nhiễu là

1

n n

Suy ra bài toán (2.1) không thoả tính ổn ñịnh

Vậy bài toán (2.1) không chỉnh

1, 0,1,2,

12

u ≡ là nghiệm duy nhất của bài toán 2.1

Mặt khác với dữ liệu nhiễu , 2 ,

1

n k k

n

n n

µα

∫Tuy nhiên

1

2 0

1

n n

Suy ra bài toán (2.1) không thỏa tính ổn ñịnh

Vậy bài toán (2.1) không chỉnh

2.2 Chỉnh hóa bằng phương pháp moment hữu hạn.

u x x dx=λ k =

Chú ý (2.6) ñúng với mọi k =0,1,2,

Ký hiệu : P n ,ρn là các toán tử chiếu trực giao tương ứng lên các không gian

với Cmj như trong (2.3) nếu j≤ k

Nếu u là nghiệm của (2.1) thì

2

n

p µ →u trong L khi n→ ∞Hơn nữa , nếu nghiệm u H∈ 1(0,1) và

Do ñó

( 2 1)

0

n n n

Vậy bài toán 2.1 có nhiều nhất một nghiệm

Tồn tại nghiệm

Do tính ñầy ñủ của hệ( )Lk k N∈ trong L2(0,1)và

2 2

0,1

k k k

u λ L

∞

=

=∑ L ∈ là nghiệm của bài toán 2.1

Ngược lại, nếu u L∈ 2(0,1)là nghiệm của bài toán 2.1 thì do hệ( )Lk k∈ℕlà hệ trực chuẩn ñầy ñủ trong L2(0,1), nên chúng ta có

αα

+ + + và từ 0 <1+t e< t,∀ ≥ −t 1, j>αk,∀k Chúng ta có

− +

4 3 2 2

2 2

m m

π

++

2 0

m

ππ

− +

− +

Chú ý

( )

21

n t

n m

→ trên (0,1) ii) G x k( ) <G x( ), h k n . trên (0,1 ,) với ∀ ∈ ℕk

δπ

− +

∑ ∑ ∑C chưa chắc hữu hạn, nên bài toán có thể vô nghiệm

Khi ñó ñịnh lý sau ñây cho ta một ước lượng hữu ích trong trường hợp này

ðịnh lý 2.4

ðặt

2 1

Thì tồn tại một hàm η ε( ) sao cho η ε( ) ε → 0 0

→ và mọi dãy ( )µ thỏa

( ) ( )

2 1

k kj

( )

2 0 0

0

k kj

ε ε

Hơn nữa, nếu 1( )

Khi ñó kết hợp với (2.30), (2.31) và (2.32) suy ra

( )

1

1 3

Chương 3 BÀI TOÁN MOMENT TỪ BIẾN ðỔI LAPLACE

Trong chương này, chúng tôi xét bài toán xấp xỉ 2( )

u ∈L ∞ thỏa

0 0

trong ñó ( )βk là dãy số thực rời nhau

Bài toán (3.1) là biến ñổi Laplace của hàm u, xác ñịnh tại từng ñiểm

Từ kết quả trên cho ta thấy tính không chỉnh của bài toán (3.1) ñược rõ hơn Suy

ra từ tính không chỉnh của bài toán (3.2) ñã ñề cập trong mục 2.1 của chương 2

Nghĩa là αk =βk−1, k =0,1,2, thỏa ñiều kiện (2.7) trong ñịnh lý 2.1

Với n( )ε như trong ñịnh lý 2.4 và n( )

p µ như trong (2.9) Ta ñặt ( )

Khi ñó, tồn tại một hàm η ε( )sao cho η ε( ) ε → 0 0

→ và mọi dãy( )µ thỏa

k k

µα

m =

Các hệ số của ña thức Munzt tiếp theo ñược tính tương tự

Bước 2 Tính λm,m= 0,1,2, Theo công thức

Bước 3 Tính hệ các ña thức Munzt ( )Lm m∈ℕ.Theo công thức

Bước 4 Nghiệm xấp xỉ và sai số so với nghiệm chính xác Sau ñây ta minh họa kết quả

với n =5,6,7,10

( ) 2

Chương 5 KẾT LUẬN

Luận văn sử dụng phương pháp moment hữu hạn: sử dụng hệ các ña thức Muntz

ñể chính quy bài toán (0.1), cho kết quả ñánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác Phương pháp này không những cho ta cách tính số dễ dàng cho bài toán (0.1) và (0.4)

Phần chính của luận văn là ñi vào chứng minh chi tiết các kết quả ñã công bố trong [18] và có thêm phần tính số ñể minh họa cho phương pháp moment

Kết quả chính của luận văn nằm trong chương 2,chương 3 và chương 4

Ở chương 2, chúng tôi sử dụng ña thức Muntz và phép chiếu trực giao ñể xây dựng nghiệm xấp xỉ cho bài toán (0.4) và sai số ñánh giá

Cũng trong chương 2, chúng tôi cũng ñã chỉ ra ñiều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán (0.4)

Chương 3 là chứng minh sự liên hệ của hai bài toán (0.1) và bài toán (0.4) Chương 4 thông qua phần tính số, cho thấy phương pháp sử dụng trong luận văn