tiểu luận Maple

II- KIỀN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.. CÁC LỆNH VÀ HÀM TRONG MAPLEIII.1Giải phương trình và bất phương trình: Cú pháp : > solveequ,{var}; hoặc > solveequ,var; bên phả

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾTI.GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ MAPLE.

I.1 Giới thiệu sơ lược về maple

- Maple là một hệ thống đại số máy tính cho phép người sử dụng thực hiện các phép tính toán đại

số trên ký hiệu (symbol) hoặc trên các con số cụ thể và minh họa toán học mạnh mẽ Maple được xây dựng và phát triển bởi công ty Waterloo Maple In

- Maple cung cấp dầy đủ các công cụ về hình học như là: vẽ đồ thị tỉnh và động, vẻ hình không gian ba chiều…

- Một ngôn ngử lập trình đơn giản mạnh mẽ có thể tương tác với phần mềm khác

- Một công cụ biên soạn giáo án và bài giản điện tử, thích hợp với các lớp học tương tác trực tiếp

- Một công cụ hửu ích cho học sinh và sinh viên trong việc tự học

II- KIỀN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

II.1- Quy trình khảo sát hàm số:

I.1.1 Tập xác định.

I.2 Sự biến thiên

I.2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số

I.2.4 Lập bảng biến thiên.

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên

I.3 Đồ thị

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= ? => (0;?)

- Giao của đồ thị với trục Ox: y= ⇔0 f x( ) 0= ⇔ = ⇒x ? (?;0)

II.1.2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm: y' 3ax +2bx+c= 2+ y' 0= ⇔3ax +2bx+c=02 ( Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải ∆ ∆; 'nếu nghiệm lẻ- không được ghi nghiệm gần đúng)

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

II.1.2.2 Tìm cực trị

II.1.2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực ( x→ ±∞)

(Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có TCĐ và TCN.)

II.1.2.4 Lập bảng biến thiên.

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên

II.1.3 Đồ thị

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)

- Giao của đồ thị với trục Ox: y= ⇔0 ax +bx +cx+d 03 2 = ⇔ =x ?

II.3.2 Sự biến thiên

II.3.2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm y' 4ax +2bx= 3

+ Ta có:

2 2

' 0 4ax +2bx=0 2x(2ax +b)=0

00

b x

II.3.2 3 Tìm các giới hạn tại vô cực ( x→ ±∞) (Hàm trùng phương không có TCĐ và TCN.)

II.3.2 4 Lập bảng biến thiên.

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên

II.3.3 Đồ thị

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c)

- Giao của đồ thị với trục Ox: y= ⇔0 ax +bx +c 04 2 = ⇔ = ⇒x ? (?;0)

- Các điểm CĐ; CT nếu có

Các dạng đồ thị hàm số trùng phương: y = ax4 + bx 2 + c (a ≠ 0)

Dấu a

d cx

b ax

II.4.2 Sự biến thiên

II.4.2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số

c

→±∞ = →±∞ = nên y a

c

= là TCNax+b

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

b ax

III CÁC LỆNH VÀ HÀM TRONG MAPLE

III.1Giải phương trình và bất phương trình:

Cú pháp : > solve(equ,{var}); hoặc > solve(equ,var);

bên phải của hàm số tại x=x0.{ Chữ L trong từ khóa Limit là chữ in hoa}

bên phải của hàm số tại x=x0 .{ Chữ L trong từ khóa limit là chữ thường}

Ví dụ1: Tính giới hạn:

a)

32

x

Ta nhập vào Maple như sau:

Ta nhập vào Maple như sau:

> limit(3*x^3-4*x^2-6,x=-infinity);

III.3Tính đạo hàm:

Cú pháp:

> diff(f(x),var);{ tính giá trị đạo hàm chữ d trong từ khóa diff là chữ thường}

> Diff(f(x),var);{ tính giá trị đạo hàm chữ d trong từ khóa Diff là chữ in hoa}Trong đó:f(x) : là biểu thức cần tính đạo hàm

+ maximize(expr, vars,ranges)

*expr: Biểu thức cần tình giá trị

*vars: biến lầy giá trị

số liên quan như phạm vi vẽ, các trục toạ độ, màu sắc, tựa đề, chú thích,…cho đồ thị Ta

có thể vẽ đồ thị của các hàm có cấu trúc đơn giản, các hàm xác định giá trị phức tạp, các hàm ẩn…Trong không gian ba chiều, ta cũng có thể vẽ các đường (curves) và các mặt (surfaces), chẳng hạn các mặt được cho dưới dạng tham số, dạng ẩn, các nghiệm của phương trình vi phân, các trường véctơ…, sự hiển thị của đồ thị cũng có thể được thay

đổi thông qua việc điều chỉnh font chữ, cường độ sáng, màu sắc tiêu đề…, tính năng quay

(rotate) của Maple còn cho phép ta quan sát đồ thị dưới nhiều góc độ khác nhau Ngoài ra Maple còn cung cấp tính năng animation làm cho các đồ thị vận động theo sự thay đổi

của một tham số nào đó có mặt trong phương trình biểu thị hàm số

Để vẽ đồ thị của hàm số trong mặt phẳng, ta thường sử dụng lệnh plot(…).

- x0 x1: khoảng [x0;x1] trên trục Ox;

- y0 y1: khoảng [y0;y1] trên trục Oy;

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số: x3 +3x2 −4

Ta nhập vào Maple như sau:

> plot(x^3+3*x^2-4);

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số: x3 +3x2 −4

Ta nhập vào Maple như sau:

> plot(x^3+3*x^2-4,x,view=[-10 10,-10 10]);

III.6 Các câu lệnh liên quan đến lập trình

III.6.1 Lệnh điều kiện

Cú pháp:

if <biểu thức điều kiện> then <công việc>

[ elif<biểu thức điều kiện> then<công việc> ]

|[else<công việc> ]

do print(i)

od;

*Vòng lặp While

Cú pháp:

While <điều kiện> do <dãy lệnh> od;

Ví dụ 1: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho >N cho trước (với n = 100)

<Tên chu trình>:proc([tham biến 1, tham biến 2,…])

[<Khai báo biến cục bộ>]

[<khai báo biến toàn cục>]

[Các tùy chọn]

< các lệnh cần thực hiện>;

if -1<=a and b<=1 then

if (( ghr = f(a)) and ( ghl= f(b))) then

printf("Ham so lien tuc tren khoang (%.2f,%.2f) \n",a,b); if( gha=f(a) and ghb=f(b) ) then

printf("Ham so lien tuc tren doan [%.2f,%.2f] \n",a,b); else

printf("Ham so gian doan tren doan [%.2f,%.2f] \n",a,b); fi;

Ham so lien tuc tren khoang (-1.00,1.00)

Ham so lien tuc tren doan [-1.00,1.00]

III.6 Một số hàm khác:

Hàm lấy ra phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của dãy số:

Cú pháp:

> max(dãy số cần lấy giá tri lớn nhất).

> min(dãy số cần lấy giá tri nhỏ nhất).

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của dảy số: 1;2;3;9;-5;-9.

Trong đó:

f(x): là một biểu thức một biến theo biến x.

x: là biến.

n: là bậc của lũy thừa của biến x.

Ví dụ: Lấy hệ số củax3 với f((x)=3x4 +4x3 −9.

x=a;y=b là giá trị các biến

Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: f((x)=3x2 +4x−9 tại x=5.

)2(2

x

> normal(((x-2)^3/(x^2-4))+(x/(x-1)));

Hàm rút gọn một biểu thức:

Cú pháp:

> simplify(expr);{ expr là biểu thức cần rút gọn}

Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau 2cos3x+sin(x)sin(2x)

> simplify(2*cos(x)^3+sin(x)*sin(2*x));

CHƯƠNG II: KHẢO SÁT HÀM SÔ TRONG MAPLE 14.0

I SỬ DỤNG CÁC CÂU LỆNH CỦA MAPLE VÀO GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ.

I.1 Xác định tập xác định của hàm số f(x):

- Đối với hàm đa thức bậc ba và bậc bốn ta có TXĐ: D=R còn đối vời hàm phân

thức dạng

d cx

b ax y

I.2.Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.

- Giải phương trình dhb1=0, sử dụng hàm fsolve để tìm nghiệm:

+ Nếu phương trình vô nghiêm và a>0 thì hàm số luôn đồng biến

+ Nếu phương trình vô nghiêm và a<0 thì hàm số luôn nghịch biến

+ Nếu phương trình vô nghiêm và a<0 thì hàm số luôn nghịch biến

+ Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệtvà thì ta sử dụng hàm min và max để lấy hai nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình

* a>0 thì hàm số đông biến trong khoảng(−∞,min(solve(dhb1=0))) và

max(solve(dhb1=0)),+∞)),nghịch biến trong khoảng

(min(solve(dhb1=0)),max(solve(dhb1=0))).

*a<0 hàm số nghịch biến trong khoảng(−∞,min(solve(dhb1=0))) và

(max(solve(dhb1=0)),+∞)),đồng biến trong khoảng

- Nếu a<0 và b>0 thì hàm số đồng biến trong khoảng (0, +infinity), nghịch biến trong khoảng (-infinity,0).

- Nếu a<0 và b>0 ta sử dụng hàm solve để giải phương trinh va hàm max, min để lấy ra hai nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất của phương trình, khi đó hàm số đồng biến trong

khoảng (-infinity,min(solve(dhb1=0))) và (0,max(solve(dhb1=0))), hàm số nghịch biến trong khoảng (min(solve(dhb1=0)),0)+infinity) và (max(solve(dhb1=0)),+infinity).

- Nếu a>0 và b<0 ta sử dụng hàm solve để giải phương trinh va hàm max, min để lấy ra hai nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất của phương trình, khi đó hàm số đồng biến trong

khoảng (min(solve(dhb1=0)),0)+infinity) và (max(solve(dhb1=0)),+infinity), hàm số nghịch biến trong khoảng (-infinity,min(solve(dhb1=0))) và (0,max(solve(dhb1=0))).I.3 Tìm cực trị của hàm số:

“(max(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0))))))”, cực

tiểu của hàm số là:

“(min(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))))” II.3.3 Hàm bậc bốn:

- Nếu a>0, b>0 thì hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại: cực tiểu của hàm sô là:simplify(eval(f,x=0))).

- Nếu a<0, b<=0 thì hàm số chỉ có cực đại không có cực tiểu: cực đại của hàm

sô là:simplify(eval(f,x=0))).

- Nếu a>0, b<0 thì hàm số có hai cực tiểu và một cực đại: cực đại của hàm sô là: simplify(eval(f,x=0))))),hai cực tiểu của hàm số là:

simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))),simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0 ))))).

- Nếu a<0, b>0 thì hàm số có hai cực đại và một cực tiểu: cực tiểu của hàm sô là: simplify(eval(f,x=0))))),hai cực đại của hàm số là:

simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))),simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0 ))))).

II.4.Tính lồi lõm và điểm uống của đồ thị.( Chỉ xét đối với hàm bật ba).

- Điểm uốn U(x,y) với x là nghiệm của phương trình đạo hàm bậc hai của f(x), y là giá trị của hàm số f(x) tại x.:

Ví dụ: Tìm giới hạn và tiệm cận của hàm số:

44

43

43

print(`2)Sự biến thiên`);

print(`a)Chiều biến thiên`);

if((a*d-b*c)>0) then

print(`ham số luôn đông biến trên tập xác định`);

print(`ham số đồng biên trên khoang`(-infinity,txd) ,(txd,+infinity)); else

print(`ham số luôn nghich biến trên tập xác định`);

print(`ham số nghịch biến trên khoảng`(-infinity,txd),((txd,+infinity))); end if;

print(`Đồ thị cắt trục Ox tại điểm có tọa độ:`(fsolve(y = 0), 0));

print(`Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tọa độ:`(0, (b/d)));

print(`2) Sự biến thiên`);

dh1:=diff(f,x);

print(`a) Chiều biến thiên y'`=dh1);if({fsolve(diff(f,x)=0)}={} and a>0) then

print(`y' >0 với mọi x`);

print(`Hàm số đồng biến`);

end if;

if({fsolve(diff(f,x)=0)}={} and a<0) then

print(`y' <0 với mọi x`);

print(` Hàm số luôn nghịch biến`);

end if;

if({fsolve(diff(f,x)=0)}<>{} and a>0 and

max(solve(diff(f,x)=0))=min(solve(diff(f,x)=0 ))) then

print(`Đạo hàm y' =0 tai x`=min(solve(diff(f,x)=0 )));

print(` y'>=0 với mọi x`);

print(` Hàm số luôn đồng biến`);

end if;

if({fsolve(diff(f,x)=0)}<>{} and a<0 and

max(solve(diff(f,x)=0))=min(solve(diff(f,x)=0 ))) then print(`Đạo hàm y' =0 tai

x`=min(solve(diff(f,x)=0 )));

print (` y'<=0 với mọi x`);

print(` Hàm số luôn nghịch biến`);

end if;

if({fsolve(diff(f,x)=0)}<>{} and a>0 and

max(solve(diff(f,x)=0))<>min(solve(diff(f,x)=0 ))) then

dh1:=factor(dh1);

print(`Đạo hàm y' =0 tại x`=solve(diff(f,x)=0));

print(` Hàm số đồng biến trong các khoảng:`(-infinity,min(solve(diff(f,x)=0))) (` và `) (max(solve(diff(f,x)=0)),infinity));

print(` Hàm số nghịch biến trong các

print(`Đạo hàm y' =0 tại x`=solve(diff(f,x)=0));

print(` Hàm số nghịch biến trong khoảng:`(-infinity,min(solve(diff(f,x)=0))) (` và `) (max(solve(diff(f,x)=0)),infinity));print(` Hàm số đồng biến trong

print(` Hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại:`);

print(` Điểm cực đại:`

print(` Đồ thị hàm số không có tiệm cận`);print(` `);

print(`d) Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị:`);

print(`Hàm số lõm trong khoảng:`(-infinity,solve(diff(diff(f,x),x))));

print(` Hàm số lồi trong khoảng:`(solve(diff(diff(f,x),x)),+infinity));

end if;

print(`3) Đồ thị:`);

print(` Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn U`);

print(` Đồ thị cắt trục Ox tại điểm có hoành độ:`(fsolve(f=0)));

print(`Đồ thị cắt trục Oy tại điểm:`(0,d));

print(plot(f,view=[-10 10,-10 10]));

end:

I 3 Chương trinh khảo sát hàm trùng phương.

print(`a) Chiều biến thiên y'`=dh1);

if(a<0 and b<=0) then

print(` Hàm số đồng biến trong khoảng:`(0,+infinity));

print(` Hàm số nghịch biến trong khoảng:` (-infinity,0));

end if;

if(a<0 and b>0) then

print(`Đạo hàm y' =0 tại x`=solve(diff(f,x)=0));

print(` Hàm số đồng biến trong các khoảng:`

(-infinity,min(solve(diff(f,x)=0))) (` và `) (0,max(solve(diff(f,x)=0))));

print(` Hàm số nghịch biến trong các khoảng:`(min(solve(diff(f,x)=0)),0)(`và `) (max(solve(diff(f,x)=0)),-infinity));

end if;

if(a>0 and b<0) then

print(`Đạo hàm y' =0 tại x`=solve(diff(f,x)=0));

print(` Hàm số đồng biến trong các khoảng:`(min(solve(diff(f,x)=0)),0)(` và `) (max(solve(diff(f,x)=0)),+infinity));

print(` Hàm số nghịch biến trong khoảng:`(-infinity,min(solve(diff(f,x)=0))) (` và `) (0,max(solve(diff(f,x)=0))));

end if;

print(`b) Cực trị:`);

if(a>0 and b>0) then

print(`Hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại`);

print(`Điểm cực tiểu của hàm số là:`(simplify(eval(f,x=0))));

end if;

if(a<0 and b<=0) then

print(`Hàm số chỉ có cực đại không có cực tiểu`);

print(`Điểm cực đại của hàm số là:`(simplify(eval(f,x=0))));

end if;

if(a>0 and b<0) then

print(`Hàm số có hai cực tiểu và một có cực đại`);

print(`Điểm cực tiểu của hàm số

là:`(x=min(solve(diff(f,x)=0)),yct1=simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))) (va) (x=max(solve(diff(f,x)=0)),yct2=simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0))))));

print(`Điểm cực đại của hàm số là:`(x=0,(ycd=simplify(eval(f,x=0)))));

end if;

if(a<0 and b>0) then

print(`Hàm số có hai cực đại và một có cưc tiểu`);

print(`Điểm cực đại của hàm số là:`(x=min(solve(diff(f,x)=0)),

ycd1=simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))) (và) (x=max(solve(diff(f,x)=0)), ycd2=simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0))))));

print(`Điểm cực tiểu của hàm số là:`(x=0,(yct=simplify(eval(f,x=0)))));

b ax y

+

+

= Để khảo hàm dang nài ta chi cần gọi lệnh:

> KSHNB(a,b,c,d); thi ta sẻ có được một bài khảo sát hàm số nhất biến

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

43

43

> KSHNB(3,4,3,-4);

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

42

43

>

> KSHNB(-3,4,2,-4);

II.2 Khảo sát hàm trùng phương.

- Hàm bậc bốn có dạng: y=ax4 +bx2 +c Để khảo hàm dang nài ta chi cần gọi lệnh:

> KSHB4(f(x)) thi ta sẻ có được một bài khảo sát hàm số bậc bốn

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=x4 −2x2 −3.Bài giải:

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y =−2x4 −4x2 +3

Bài giải:

>

> KSHB4(-2*x^4-x^2+3);

II.2.3 Khảo sát hàm bậc ba.

- Hàm bậc ba có dạng: y=ax3 +bx2 +cx+d Để khảo hàm dang nài ta chi cần gọi lệnh:

> KSHB3(f(x)) thi ta sẻ có được một bài khảo sát hàm số bậc ba

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y=−4x3 +3x2 −4

Bài giải:

> KSHB3(-4*x^3+3*x^2-4);

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y=4x3 +3x2 −4

Bài giải:

> KSHB3(4*x^3+3*x^2-4);

>