THÔNG TIN TÀI LIỆU
TUYỂN TẬP 100 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN LỚP Họ tên: om Lớp: Vn D oc c Trường: UBND THµNH PHè H kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè líp thCS - năm học 2007 - 2008 PHòNG Giáo dục đào tạo Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 phút Đề thức Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 x x4 2008x2 2007 x 2008 Bài 2: (2điểm) Giải ph-ơng tr×nh: x2 3x x 2 1 1 x x x x x x x x x om Bài 3: (2điểm) c Căn bậc hai 64 viết d-íi d¹ng nh- sau: 64 Hái có tồn hay không số có hai chữ số viết bậc hai chúng d-ới dạng nh- số nguyên? HÃy toàn số Bài 4: (4 điểm) D ®a thøc x2 10 x 21 oc T×m sè d- phÐp chia cđa biĨu thøc x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho Vn Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đ-ờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đ-ờng vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chøng minh: GB HD BC AH HC HÕt ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2008-2009 Thời gian làm 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (3 điểm) Làm để đem lít nước từ sơng tay có hai can, can có dung tích lít, can có dung tích lít khơng can có vạch chia dung tích ? Bài 2: (3 điểm) Một số gồm chữ giống chia cho số gồm chữ số giống thương 16 số dư số r Nếu số bị chia số chia bớt chữ số thương khơng đổi số dư giảm bớt 200 Tìm số Bài 4: (3 điểm) Tính tổng S = om Bài 3: (3 điểm) Chứng minh n3 – n chia hết cho với số tự nhiên n 1 1 x 1 x 1 x 1 x x8 c Bài 5: (4 điểm) Nhân ngày 1- phân đội thiếu niên tặng số kẹo Số oc kẹo chia hết chia cho người phân đội Để đảm bảo D nguyên tắc phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo người sau: Vn Bạn thứ nhận kẹo lấy thêm số kẹo lại Sau bạn 11 thứ lấy phần mình, bạn thứ hai nhận kẹo lấy thêm số kẹo 11 lại Cứ tiếp tục đến bạn cuối thứ n nhận n kẹo lấy thêm số kẹo lại 11 Hỏi phân đội thiếu niên nói có đội viên đội viên nhận kẹo Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A, có góc A = 200 Trên AB lấy điểm D cho AD = BC Tính góc BDC PHỊNG GD &ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (Năm học 2013-2014) Mơn : TỐN – Thời gian : 150 phút Họ tên GV đề : Hồ Thị Song ĐỀ ĐỀ NGHỊ Đơn vị: Trường THCS Hoàng Văn Thụ Bài : (5 đ) a) Khơng tính giá trị biểu thức ,hãy so sánh : 2015 2014 2015 2014 2015 2014 2015 2014 b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x2 – 8)2 + 36 c) Cho ba số hữu tỉ x, y,z đôi khác Chứng minh : x y y z z x 2 bình phương số hữu tỉ om Bài : (5 đ) oc c a2 b2 c2 a b c a) Chứng minh bất đẳng thức sau : b c a b c a b) Tìm giá trị nhỏ A = 6x 9x b) Vn D c) Xác định dư phép chia đa thức : x19 + x5 – x1995 cho đa thức x2 -1 Bài : (4 đ) Giải phương trình sau : a) X4 + 6y2 -7 = 1 1 2011x 2012 x 2013x 2014 x Bài : (4đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm BC Qua E kẻ tia Ax vng góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G a) Chứng minh : AE = AF tứ giác EGKF hình thoi b) Chứng minh : AEF ~ CAF AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Bài : (2đ) Cho tam giác ABC có A B Tính độ dài AB biết AC = 9cm, BC = 12cm TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG Người đề : TRẦN ĐINH TRAI ĐỀ ĐỀ NGHỊ ĐỀ ĐỀ NGHỊ HOC SINH GIỎI Năm học 2013- 2014 Mơn TỐN – Lớp Thời gian : 150 phút ( không kể thi gian giao ) Câu : (2 điểm) Cho P= a 4a a a 7a 14a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu 2: ( điểm) a) Giải ph-ơng trình : om Chứng minh rằng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 víi m, n Z Câu : (2 điểm) 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 c Câu 4: ( điểm) D oc Trong hai số sau số lớn hơn: a = 1969 1971 ; b = 1970 tâm Vn C©u 5: (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực HA' HB' HC' AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM a) Tính tổng (AB BC CA) c) Tam giác ABC biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA' BB' CC' PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (NĂM HỌC 2013 – 2014) MƠN: TỐN (Thời gian 150 phút) ĐỀ ĐỀ NGHỊ GV đề: Võ Công Tiển Đơn vị: Trường THCS Lê Lợi 1 x2 Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức A : x x 3x 27 3x 1) Rút gọn A 2) Tìm x để A < –1 Bài : (2 điểm) Phân tích đa thức sau thừa số: 1) x 2) x x 3 x x 24 Bài 3: (4 điểm) om x x x x 2010 x 2009 x 2008 2010 2009 2008 1 2) Cho ba số x, y, z khác khác thoả mãn x y z 1 0 Chứng minh: x yz y zx z xy oc c 1) Giải phương trình D Bài 4: (4 điểm) Vn a Tìm giá trị lớn A = 2x x3 27 b/ Tìm giá trị nhỏ B = với x -3 3x x x 2x Bài 5: (7,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Hết PHÒNG GD & ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ ĐỀ NGHỊ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013- 2014 Mơn: Tốn (Thời gian làm bài: 120 phút) Người đề: TRẦN MƯỜI ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ ĐỀ NGHỊ Bài 1(4 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử : : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 b) Tìm số dư phép chia x7 + x5 + x3 + cho x2 – Câu (4 điểm) - 4x x2 1 x 1 2x b) Rút gọn biểu thức với x : 2 x x 1 x x 1 om a) Tìm GTNN, GTLN A = c Bài 3(4 điểm) a b 2c ab + a + bc + b + ac + 2c + oc a) Cho abc = Rút gọn biểu thức A = Vn D b) Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số phương b1) n2 – n + b2) n5 – n + Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC E F a) Chứng minh DE + DF không đổi D di động BC b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE K Chứng minh K trung điểm FE Bài 5(3 điểm) Cho ABC , O điểm nằm tam giác Từ O kẻ OA’ BC, OB’ AC, OC’ AB (A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng: OA' OB' OC' (Với AH, BK, CI ba đường cao tam giác hạ AH BK CI từ A, B, C) - Hết PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (NĂM HỌC 2013 - 2014) Mơn: Tốn (Thời gian: 150 phút) ĐỀ ĐỀ NGHỊ Họ tên GV đề: Phạm Thanh Bình Đơn vị: Trường THCS Lý Thường Kiệt ĐỀ BÀI Bài 1(5đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y Chứng minh 2 x y x y 2 0 y 1 x 1 x y 3 2005 2004 c 2007 2006 om Bài 2(5đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) Tìm số dư đa thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 2014 chia cho đa thức x2+10x+21 c) x x x x Vn D oc Bài 3(3đ) Giải tốn cách lập phương trình: Một người xe gắn máy từ A đến B với dự định 20 phút Nếu người tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định người Bài 4(7đ) Cho góc xOy điểm I nằm góc Kẻ IC vng góc với Ox(C thuộc Ox), ID vng góc với Oy(D thuộc Oy) cho IC = ID = a Đường thẳng qua I cắt Ox A cắt Oy B a/ Chứng minh tích AC DB không đổi đường thẳng qua I thay đổi CA OC b/ Chứng minh DB OB 8a c/ Biết SAOB = Tính CA; DB theo a PHỊNG GD&ĐT ĐẠI LỘC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG Năm học 2013-2014 MƠN : TỐN (8) ( Thời gian : 150 phút ) Họ tên GV đề : NGUYỄN THỊ TRÂM OANH Đơn vị : THCS LÝ TỰ TRỌNG Câu 1: (2 điểm) a.Cho a, b, c số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện: ab + ac + bc = Chứng minh rằng: (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) bình phương số hữu tỉ b.Tính: ĐỀ ĐỀ NGHỊ A (1 1 1 )(1 )(1 ) (1 ) 2 x ( x 1) ( x 2) ( x 9) Câu 2: (5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ P( x) x2 x x2 x om b) Tìm dư phép chia đa thức f(x) = x1994 + x1993 +1 cho g(x) = x2 – oc c c) Chứng minh rằng: 16n – 15n – 225 Câu 3: (5 điểm) a) Định m để phương trình sau có nghiệm nhất: D x2 x 1 x m x 1 Vn b)Giải phương trình: | x | + | 2x + 1| - |x - 3| =14 c)Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Câu 4: (2điểm)Tính độ dài đường trung bình hình thang cân có đường chéo vng góc với có độ dài đường cao 10 cm Câu 5: (6điểm)Cho hình vng OCID cạnh a, AB đường thẳng qua I cắt tia OC, OD A B a Chứng minh tích CA.CB có giá trị khơng đổi (tính theo a) b.Chứng minh: CA OA2 DB OB c.Xác định đường thẳng AB cho DB = 4CA d.Cho diện tích tam giác AOB 8a Tính CA + DB theo a Hết Phịng GD & ĐT Đại Lộc Trường THCS MỸ HOÀ GV: Nguyễn Hai ĐỀ THAM KHẢO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2013-2014 Mơn thi TỐN Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu ( điểm ) : 1)Cho biểu thức : 2 x 2y x y P x y : x 3x x y 3x a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn P c) Tính giá trị P x = 3y 2) a)Chứng minh : ( a + b – c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc b) Cho xy = Chứng minh rằng: x2 + y2 ( x – y ) 1 1 x x x 3x x 5x x 2013 oc b) c om Câu ( 4điểm ) : Giải phương trình : x 2005 x 8038 x 4004 3x 6022 a) 18 24 20 Vn D Câu ( điểm ): Cho tam giác ABC vng A có AB = 6cm, AC = 8cm M điểm nằm hai điểm B C Từ M vẽ đường vuông góc MH, MK đến AB, AC a) Chứng minh tứ giác AHMK hình chữ nhật b) Tìm vị trí M nằm hai diểm Bvà C để HK có giá trị nhỏ nhất, Tìm giá trị nhỏ đó? Câu ( điểm ) : Cho tam giác nhọn ABC Trên cạnh BC, AC lấy hai điểm M, N cho BC = 3BM; AC = 3AN Từ A vẽ tia Ax song song với BC cho Ax cắt MN P.BP cắt AC I a) Chứng minh AI2 = IN.IC b)BN cắt PC Q Giả sử diện tích tam giác ABC S Tính theo S diện tích tam giác BPQ? Câu ( 2điểm ) : 1) Chứng minh 11 số nguyên tồn số chia hết cho 10 tồn hai số có hiệu chia hết cho 10? 2)Tìm số nguyên n biết n2 – n + số phương Hết x2 =2 +) x - = => x = +) x - = -2 => x = S = {0;4} Bµi 3(2 đ) Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là: x 3x (km / h) 10 3 (3 20 = h ’ 1® 0,25® h ) 0,25® VËn tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h lµ: 3x km / h 10 0,25® 3x x 10 0,5® 0,5® 0,25® D Vn D oc c x =150 Vậy khoảng cách A B 150 (km) 3.150 45 km / h Vận tốc dự định là: 10 Bài 4(7đ) Vẽ hình, ghi GT, KL om Theo đề ta có phơng trình: 0,5đ C P M F I E A O B a) Gäi O giao điểm đờng chéo hình chữ nhật ABCD PO đờng trung bình tsm giác CAM AM//PO tứ giác AMDB hình thang 1đ b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB Gọi I giao điểm đờng chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đờng trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ c) MAF d) NÕu DBA g g nªn MF AD không đổi FA (1đ) AB PD PB PD k PD 9k , PB 16k th× 16 PB 16 NÕu CP BD th× CBD DCP g g CP PB PD CP 1® ®ã CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 ®ã BC = (cm) CD = (cm) 0,5d 0,5đ 0,5đ c om Bài 5: a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 2010 2011 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) Tõ (1) (2) ta có đpcm 1đ Vn D oc 1 b) x2 y xy (1) 1 1 0 2 x xy y xy x y x y x y 1 x 1 xy 1 y 1 xy 2 0 y x xy 1 2 x y xy V× x 1; y => xy => xy => B§T (2) => BĐT (1) (dấu = xảy x = y) ĐỀ SỐ 19 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y Chứng minh 1® 2 x y x y 2 0 y 1 x 1 x y 3 Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x 1 x x x x x b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ H-íng dÉn chÊm vµ biĨu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 2x Với x Z A B 2x Z 2x c B om b) (0,75đ) Xét A 10x 7x 5x (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) ( 2x – 3) B (0,25đ) oc Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; ; A (0,25đ) 4 x y = x 3 x y3 y y x (y 1)(x 1) x y4 (x y) D c) (1,5đ) Biến đổi ( x + y = y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) xy(y y 1)(x x 1) x y x y x y2 (x y) = (0,25đ) xy(x y y x y yx xy y x x 1) Vn = = = x y (x y 1) xy x y xy(x y) x y xy x y (x x y y) = x y x(x 1) y(y 1) xy(x y 3) xy x y (x y) = x y x( y) y( x) = x y (2xy) xy(x y 3) xy(x y 3) = 2(x y) Suy điều cần chứng minh x y2 Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y -12 = (y + 6)(y - 2) = y = - 6; y = * x2 + x = - vô nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x = x2 + x - = x2 + 2x - x - = x(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x - 1) = x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x 1 x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x2 x 3 x4 x5 x6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 b) (1,75đ) x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ( x 2009)( 1 1 1 ) (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Do : 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) Vì 1 ; ; 2008 2005 2007 2004 1 2006 2003 (0,25đ) Vậy x + 2009 = x = -2009 E Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) I 1 B EDF vuông cân ADE = CDF (c.g.c) EDF cân D Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) Eˆ Fˆ2 C F Chứng minh Ta có O Mà Eˆ Eˆ Fˆ1 = 90 Fˆ2 Eˆ Fˆ1 = 90 0 A D om EDF = 90 Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng CO trung trực BD Mà EDF vuông cân DI = EF DI = BI B oc Tương tự BI = EF c D Vn D I thuộc dường trung trực DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vng A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 a a a ) + 2 = 2(x – E (0,25đ) Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x = BD = AE = C A a D, E trung điểm AB, AC b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ (0,25đ) a (0,25đ) (0,25đ) 1 1 AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) 2 2 2 AB AB AB2 AB AB AB = – (AD – AD + )+ = – (AD – ) + (0,25đ) 2 4 8 Ta có: SADE = Vậy SBDEC = SABC – SADE AB2 AB2 – = AB2 không đổi 8 Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) (0,25đ) ĐỀ SỐ 20 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 5x Bài 2: Tìm đa thức A, biÕt r»ng: x 16 A x x2 Bài 3: Cho phân thức: 5x 2x 2x x2 x x x( x 2) c Bµi 4: a) Giải phơng trình : om a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức oc b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Vn D Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do đà hoàn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tích AHM ? Biểu điểm - Đáp án Đáp án Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iĨm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x 7) (1 điểm) Biểu điểm Bài 2: Tìm A (1 ®iĨm) A= x(4 x 16 x[(2 x) x(2 x 4)(2 x 4) x.2( x 2).2( x 2) 4( x 2) x x( x 2) x( x 2) x 2x x 2x Bµi 3: (2 ®iĨm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 2x vµ x + x vµ x -1 b) Rút gọn: (1 điểm) x= (loại) x = - VËy S = 1 om 5x 5( x 1) (0,5 ®iĨm) 2 x x x( x 1) x 5 (0,25 ®iĨm) 2x x 2x 5 Vì thoả mÃn điều kiện hai tam giác nên x 2 Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x x(x 2) - (x - 2) - Gi¶i: x2 + 2x – x +2 = 2; x( x 2) x( x 2) (0,25 ®iĨm) Vn D oc c b) x2 – < x2 + 4x + x2 – x2 – 4x < + - 4x < 16 x> - Vậy nghiệm phơng trình x > - Bµi 5: – Gäi sè ngµy tỉ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > Vậy số ngày tổ đà thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 57x – 57 – 50x = 13 7x = 70 x = 10 (thoả mÃn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phÈm) Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc góc) b) áp dụng pitago vuông ABC AB AC = 15 20 = 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 ABC ~ HBA nên hay HB HA BA HB HA 15 20.05 AH = 12 (cm) 25 ta cã : BC = 1® 1® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1® 1® 1® 1® BH = 1® 15.15 (cm) 25 HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) BC 25 BH 3,5(cm) 2 1 SAHM = AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 c) HM = BM – BH = - Vẽ hình: 1đ A 1đ B H M C ĐỀ SỐ 21 c om Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x 17 x 21 x 4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 x y z yz xz xy Tính giá trị biểu thức: A x yz y 2xz z 2xy Vn D oc Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H HA' HB' HC' trực tâm a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB BC CA) c) Chứng minh rằng: AA'2 BB'2 CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 điểm ) ( b) Tính x = 2007 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0,25điểm ) x x x x x (2 – 4) – 8(2 – 4) = (2 – 8)(2 – 4) = 0,25điểm ) x x x x (2 – )(2 –2 ) = –2 = –2 = 0,25điểm ) x x = = x = 3; x = 0,25điểm ) om Bài 2(1,5 điểm): xy yz xz 1 xy yz xz yz = –xy–xz 0 xyz x y z 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) 0,25điểm ) c yz xz xy ( x y)(x z) ( y x )( y z) (z x )(z y) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d (0,25điểm) N, (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ( ( ( a, b, c, d 9, a Ta có: abcd k với k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25điểm) abcd k abcd 1353 m ( ( 0,5 Vn Tính A = điểm ) ( ( D 0,25điểm ) ( ( oc Do đó: A (1 k = 56 (0,25điểm) Kết (0,25điểm) luận k = abcd = 3136 Bài (4 điểm): Vẽ hình (0,25điểm) HA'.BC S HBC HA' a) ; S ABC AA' AA'.BC (0,25điểm) C’ H N x B’ M I A’ C B S HAB HC' SHAC HB' ; S ABC CC' SABC BB' D om Tương tự: A Vn D oc c (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 2 AB + AD (BC+CD) (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (0,5điểm ) (0,5điểm ) (AB BC CA) 4 AA'2 BB'2 CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) §Ị SỐ 22 Câu 1: (5điểm) a, Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 số nguyên tố b, B = n 3n 2n 6n Có giá trị số nguyên n2 D= n5-n+2 số ph-ơng Chứng minh : c, Câu 2: (5điểm) (n 2) a b c biÕt abc=1 ab a bc b ac c b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a b2 c2 a2 b a c Câu 3: (5điểm) x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 oc a, Giải ph-ơng trình sau: c c, om a, b Chøng minh: Vn D b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên d-ơng Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đ-ờng chéo.Qua kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC 1 AB CD EF c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đ-ờng thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF Câu Nội dung giải (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A số nguyên tố n-1=1 n=2 A=5 b, (2điểm) B=n2+3n- n B có giá trị nguyên n2+2 n2+2 -ớc tự nhiên Câu n2+2=1 giá trị thoả mÃn (5điểm) Hoặc n2+2=2 n=0 Với n=0 B có giá trị nguyên a, Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 c, (2®iĨm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) n 4 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 (tich 5sè tự nhiên liên tiếp) Và n(n-1)(n+1 Vậy D chia d- Do ®ã sè D cã tận 7nên D số ph-ơng Vậy giá trị n để D số ph-ơng a b c ab a bc b ac c ac abc c abc ac c abc abc ac ac c ac abc c abc ac = 1 ac c c ac ac c abc ac 0,5 0,5 0,5 0,5 a, (1®iĨm) 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 áp dụng bất đẳng thức: x +y 2xy DÊu b»ng D c, (2®iĨm) x=y oc c om b, (2®iĨm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= 2(ab+ac+bc) a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì Câu a+b+c=0 (5điểm) a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) Vì a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Từ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 0,5 Vn a2 b2 a b a ; b c c b c 2 c b c b b 2 a c a a c 2 a2 c2 a c c ; b a b b a 0,5 0,5 0,5 0,5 Céng vế ba bất đẳng thức ta có: a b2 c2 a c b 2( ) 2( ) b c a c b a 2 a b c a c b 2 b c a c b a x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 ( 1) ( 2) ( 3) 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 (x-300) x-300=0 x=300 VËy S = 300 86 84 82 a, (2®iĨm) 1,0 0,5 0,5 b, (2®iĨm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2 0,5 (64x -16x+1)(8x -2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 2 §Ỉt: 64x -16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 k =72,25 0,5 Câu (5điểm) k= 8,5 Với k=8,5 tacó ph-ơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; 0,5 x= ; x 1 0,5 Víi k=- 8,5 Ta có ph-ơng trình: 64x -16x+9=0 (8x-1) +8=0 vô nghiệm 2 1 2 VËy S = , 0,5 oc c om c, (1®iĨm) x2-y2+2x-4y-10 = (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên d-ơng Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Ph-ơng trình có nghiệm d-ơng (x,y)=(3;1) B a,(1điểm) Vì AB//CD S DAB=S CBAA (cùng đáy đ-ờng cao) S DAB SAOB = S CBA- SAOB K O E F Hay SAOD = SBOC I N 0,5 0,5 0,5 M D Vn D EO AO b, (2điểm) Vì EO//DC Mặt khác AB//DC Câu DC AC (5điểm) AB AO AB AO AB AO EO AB DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 1 DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iĨm) +Dùng trung tun EM ,+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ đ-ờng thẳng KN đ-ờng thẳng phải dựng Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao EM KN I SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN 0,5 C 1,0 0,5 1,0 1,0 Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp www.PNE.edu.vn Đề số 1: (lớp 8) Bài 1: (2 ®iÓm) Cho A (0,8.7 0.82 ).(1,25.7 1,25) 31,64 B (11,81 8,19).0,02 : 11,25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín lớn lần ? b) Số A 101998 cã chia hÕt cho không ? Có chia hết cho không ? Câu 2: (2 điểm) Trên quÃng đ-ờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính quÃng đ-ờng ng-ời tới lúc gặp ? om Câu 3: a) Cho f ( x) ax2 bx c với a, b, c số hữu tỉ .c Chøng tá r»ng: f (2) f (3) BiÕt r»ng 13a b 2c oc b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A Câu 4: (3 điểm) x có giá trị lớn D Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B E nằm hai nửa Vn mặt phẳng khác bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900 F C nằm hai nửa mặt phẳng khác bê AB a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB EC Câu 5: (1 điểm) Tìm chữ sè tËn cïng cña 18 A 195 19 29 Các tài liệu Ôn thi HSG Toỏn Lp www.PNE.edu.vn Đề số Bài 1: (2 điểm) 1) Chứng minh P 2P + số nguyên tố lớn 4P + hợp số 2) HÃy tìm BSCNN ba số tự nhiên liên tiếp Bài 2: (2 điểm) HÃy thay chữ số vào chữ x, y N 20 x0 y04 ®Ĩ N chia hÕt cho 13 Bµi 3: (2 ®iĨm) Vòi n-ớc I chảy vào đầy bể 30 phút Vòi n-ớc II chảy vào đầy bể 11 40 phút Nếu vòi n-ớc I chảy vào giờ; vòi n-ớc II chảy vào 25 phút l-ợng n-ớc chảy vào bể vòi nhiều Khi l-ợng n-ớc bể đ-ợc phần trăm bể om Bài 4: (2 điểm) Bạn Huệ nghĩ số có ba chữ số mà viết ng-ợc lại đ-ợc số c có ba chữ số nhỏ số ban đầu Nếu lấy hiệu số lớn số bé hai số oc đ-ợc 396 Bạn Dung nghĩ số thoả mÃn điều kiện Hái cã bao nhiªu sè cã tÝnh chÊt trªn, h·y tìm số D Bài 5: (2 điểm) Vn Chứng minh rằng: số có chẵn chữ số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số đứng vị trí chẵn tổng chữ số đứng vị trí lẻ, kể từ trái qua phải chia hết cho 11 (Biết 102n 102n 1 chia hÕt cho 11) Bộ đề thi Học sinh giỏi Tốn Lớp www.PNE.edu.vn §Ị sè (t0án 8) Bài 1: (3 điểm) x2 1 Cho biÓu thøc A : x x 3x 27 3x a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1 c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Giải ph-ơng trình: a) 6y y 10 y y 1 y om 6 x x 3 x 1 2 b) x 3 2 c Bài 3: (2 điểm) oc Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lần l-ợt lúc giờ, giê, giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h Vn Bài 4: (2 điểm) D 55 km/h Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đ-ờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB vµ N AD) Chøng minh: a) BD // MN b) BD MN cắt K nằm AC Bài 5: (1 điểm) Cho a = 111 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4) Chøng minh r»ng: a + b + lµ sè chÝnh ph-¬ng ... 1 2 1002 om P a a a oc Đáp án A a 1 a 3 a a 15 D a 8a a 8a 15 15 8a 22 a 8a 120 Vn Câu 2đ c Đáp án biểu điểm 8a 12... Mạo ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học 2013-2014 Thời gian : 120 phút ĐỀ ĐỀ NGHỊ Bài : (2đ) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 8a 14a 8a 15 b/ Chứng minh biểu thức 10 n 18n chia... ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 điểm ) b) Tính x = 2007 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8. 2x + 4 .8 = 0,25điểm ) x x x x x (2 – 4) – 8( 2 – 4)
Ngày đăng: 22/03/2023, 16:16
Xem thêm: