BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Loại Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) khoảng cách từ điểm tới hình chiếu vng góc lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng) M M H H Δ P Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng P Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng ký hiệu d M; P H hình chiếu vng góc M lên P d M; P MH ký hiệu d M; H hình chiếu vng góc M lên d M; MH Bài toán bản: Nhiều tốn tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, từ điểm tới đường thẳng quy tốn sau Bài tốn: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC Cách giải THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Gọi D chân đường vng góc hạ từ A xuống BC , H chân S đường vng góc hạ từ A xuống SD Ta có +) SA ABC BC SA , lại có BC AD (do dựng) BC SAD SD BC d S;BC SD H A C D B +) Từ chứng minh trên, có BC SAD AH BC , lại có AH SD (do vẽ) AH SBC d A; SBC AH Một số lưu ý +) MN P d M; P d N; P * Về cách tính khoảng cách cách gián tiếp M, N Q d M; P d N; P +) Q P +) MN P I d M; P d M; Q Trường hợp đặc biệt: I trung điểm MN d M; P d N; P MI NI +) MN d M; d N; +) MN I d M; d M; NI MI Trường hợp đặc biệt: I trung điểm MN d M; d N; * Về cách sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho hình chóp S.A1A An Ta có d S, A1 A A n 3VS.A A A n S A A A n * Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng song song với nó: Cho P , M điểm Khi d ; P d M; P * Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Cho P Q , M điểm P Khi THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 d P ; Q d M; Q BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN B Một số ví dụ Ví dụ [ĐHD03] Cho hai mặt phẳng P Q vng góc với nhau, cắt theo giao tuyến Lấy A , B thuộc đặt AB a Lấy C , D thuộc P Q cho AC , BD vng góc với AC BD a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng phẳng BCD Giải a Δ a Q BD AB BD ABC 1 H A Ta có P Q , P Q , AC P , AC AC Q BD AC Lại có P C a B Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống BC Vì ABC vuông cân A nên D AH BC AH BC a 2 Từ 1 suy AH BD AH BCD Do H chân đường vng góc hạ từ A lên BCD d A; BCD AH a 2 Ví dụ [ĐHD12] Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình vng, tam giác A ' AC vng cân, A ' C a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD ' theo a Giải THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN D A ' AC A a AC AA ' a B C AB a 2a a (tại A ) nên a ABC vuông cân (tại B ) nên AH BC , lại có AH A ' B AH BCD ' A' C' A'C cân Hạ AH A ' B ( H A ' B ) Ta có BC ABB ' A ' H D' AC vuông (do dựng) B' AH đường cao tam giác vuông ABA ' Vậy d A; BCD ' AH AH a AH AB AA '2 21a a2 2a2 AH a Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SA 3a SA ABC Giả sử AB BC 2a , ABC 120 Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Giải Dựng AD BC ( D BC ) AH SD ( H SD ) S Thật vậy, từ giả thiết ta có CD SA , lại có CD AD (do dựng) CD SAD AH CD , mà AH SD AH SCD H chân đường 3a vuông góc hạ từ A lên SBC H A C 120o 2a 2a B Ta có AD AB sin ABD 2a sin 60 a D AH đường cao tam giác SAD vuông A nên: AH 3a Vậy d A; SBC AH 3a AH AS AD 9a2 3a12 a42 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Ví dụ [ĐHD11] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B , BA 3a , BC 4a ; 30 Tính mặt phẳng SBC vng góc với mặt phẳng ABC Biết SB 2a SBC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC theo a Giải SK ABC 2a Ta có BK SB cos SBC H 30° 4a D KC BC BK 4a 3a a 2a C SBC ABC Hạ SK BC ( K BC ) Vì S B K 3a nên 3a Do ký hiệu d1 , d khoảng cách từ điểm B , K tới SAC d1 d2 BC KC , hay d1 4d A Hạ KD AC ( D AC ), hạ KH SD ( H SD ) Từ SK ABC AC SK , lại có AC KD (do dựng) AC SKD KH AC , mà KH SD (do dựng) KH SAC d2 KH Từ ADK ABA suy ra: CK CA DK DK BA BA.CK CA a.a 5a 3a ( CA BA2 BC 3a 4a a KH đường cao tam giác vuông SKD nên: KS SB.sin SBC KH KD KS1 925a2 3a12 Vậy d B; SAC d1 4d KH 6a 7 28 9a2 5a ) KH 3a14 Ví dụ [ĐHB11] Cho lăng trụ ABCD A1 B1C1 D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a , AD a Hình chiếu vng góc điểm A1 lên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A1BD theo a Giải THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN C1 Đặt I AC BD Từ giả thiết suy A1I ABCD D1 Đặt J B1 A A1 B J trung điểm A1 B1 B1 A , đồng thời J B1 A A1 BD d B1; A1BD d A; A1BD Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống BD Từ A1I ABCD AH A1 H J C D H I B a a AH BD AH A1BD d A; A1 BD AH , A lại có (do đựng) AH đường cao tam giác ABD vuông A nên AH AB AD a2 3a12 3a42 AH a d A; A1 BD a Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân B AC 2a SA có độ dài a vng góc với đáy 1) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC 2) Gọi H chân đường vng góc hạ từ A lên SB Tính khoảng cách từ trung điểm M AC đến đường thẳng CH Giải 1) Ta có SA ABC BC SA , từ giả thiết ta có BC AB BC SAB SB BC AB BC a SB SA2 AB a 2a a Vậy d S ; BC SB a 2) Gọi H chân đường vng góc hạ từ A lên SB Ở câu trên, ta chứng minh BC SAB AH BC , lại có AH SB S AH CH a H A Lại lấy K trung điểm CH K 2a M C MK song song MK CH , MK B THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 2 SA AB AH SA2 AB a a a2 a2 DĐ: 0983070744 a 6 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC Vậy d M ; CH MK BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN a 6 C Bài tập Bài Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc với Kẻ OH ABC 1) Chứng minh: H trực tâm ABC 2) Chứng minh: OC2 Bài [ĐHD02] Cho tứ diện ABCD có AD ABC ; AC AD 4cm , AB 3cm , OH OA OB BC 5cm Tìm khoảng cách từ A tới mặt phẳng BCD 120 , BSC 60 , CSA 90 Bài Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , ASB Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC Bài Cho tam giác ABC vng A Cạnh AB có độ dài a nằm mặt phẳng Biết cạnh AC có độ dài a tạo với mặt phẳng góc 60 , tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng M điểm nằm Biết Bài Trong mặt phẳng cho góc vng xOy MO 23 cm khoảng cách từ M đến Ox , Oy 17 cm Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Bài Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy Biết AB cm , BC cm , CA cm , SA cm 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC 2) Tính khoảng cách từ điểm S A đến đường thẳng BC BAD 90 , Bài [ĐHD07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC BA BC a , AD 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA a Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD theo a Bài [ĐHD09] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B , AB a , AA' 2a , A'C 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A'C' , I giao điểm AM A'C Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC theo a THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a , cạnh bên 2a Gọi G tâm đáy, M trung điểm SC 1) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC 2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SAG Bài 10 Cho ABC tam giác vuông cân B , BA a Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABC A lấy điểm S cho SA a Gọi I , M theo thứ tự trung điểm SC , 1) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ABC AB 2) Tính khoảng cách từ điểm S I đến đường thẳng CM THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Loại Khoảng cách hai đường thẳng chéo Đường vng góc chung hai đường thẳng A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Cho hai đường thẳng chéo a b Đường thẳng cắt a , b vng góc với a , b gọi M a đường vng góc chung a b Nếu đường vng góc chung cắt a , b M , N b độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai N đường thẳng chéo a b Δ Cách tìm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Phương pháp tổng quát: Cho hai đường thẳng chéo a , b Gọi mặt phẳng chứa b M a lên Đặt N a ' b , gọi đường thẳng a song song với a , a ' hình chiếu vng góc qua N vng góc với đường vng góc chung a b Đặt M a α N a' b khoảng cách a b độ dài đường thẳng MN Trường hợp đặc biệt: Cho hai đường thẳng chéo vng góc với a , b Gọi mặt M a phẳng chứa b vng góc với a Đặt M a Gọi N chân đường vng góc hạ từ M xuống b MN đường vng góc chung a , b khoảng cách a , b độ α N a' b dài đoạn thẳng MN THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Nhận xét: Cho hai đường thẳng chéo a b Các nhận xét cho ta cách khác để tính khoảng cách a b ngồi cách dựng đường vng góc chung Nếu mặt phẳng chứa a song song với b khoảng cách hai đường thẳng Nếu , đường thẳng song song với nhau, chứa a , b khoảng cách khoảng cách b hai đường thẳng khoảng cách B Một số ví dụ Ví dụ [ĐHD08] Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng có BA BC a , cạnh bên AA ' a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B ' C Giải A C M tam giác B ' BC B ' C MN B ' C AMN Do d B ' C; AM d B ' C ; AMN d B '; AMN B N A' Lấy N trung điểm BB ' , ta có MN đường trung bình C' Lại có BB ' cắt AMN N trung điểm BB ' nên d B '; AMN d B; AMN B' Hình chóp B AMN có BA , BM , BN đơi vng góc nên 1 1 a d B; AMN 2 BN a a a a d B; AMN BA BM Vậy d B ' C ; AM a Ví dụ [ĐHA06] Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh Gọi M , N trung điểm AB CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A ' C MN Giải THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 Ta thấy MN BC MN A ' BC BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC D BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A N d A ' C; MN d MN ; A ' BC d M ; A ' BC M B C Gọi H chân đường vng góc hạ từ M xuống A ' B Ta H D' A' C' có: BC ABB ' A ' MH BC , mặt khác MH A ' B (do vẽ) MH A ' BC H chân đường vng góc hạ từ M xuống A ' BC B' MH cạnh góc vuông tam giác vuông cân HBM d A ' C ; MN MH BM a Vậy a Ví dụ [ĐHA04] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình thoi đường chéo AC , SO 2 SO vuông góc với đáy ABCD , O giao điểm AC BD Gọi M trung điểm SC Tìm khoảng cách hai đường thẳng SA BM Giải Ta có MO đường trung bình tam giác SAC S SA MO SA MBD K d SA; MB d SA; MBD d S ; MBD M H D C O A B SC cắt mặt phẳng MBD trung điểm M SC nên d S ; MBD d C; MBD Gọi K chân đường vng góc hạ từ M xuống SA , đặt H CK MO Ta có SO ABCD BD SO , lại có ABCD hình thoi nên BD AC BD SAC CH BD 1 MO SA , CK SA CH MO Từ 1 suy H chân đường vng góc hạ từ C xuống MBD THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Từ SA SO AO , S SAC 12 AC.SO 12 4.2 suy CH 12 CK 12 S SAC SA 12 2.42 32 Vậy d SA; MB Ví dụ [ĐHB02] Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A ' B B ' D Giải M D' Lấy M , N , P trung điểm đoạn thẳng A ' D ' , A' nên MD A ' P , DN PB MDNB ' A ' PB Do BC , AD Ta thấy A ' MDP BNDP hình bình hành C' B' D C d A ' B; B ' D d A ' PB ; MDNB ' d D; A ' PB A P B N A ' PB trung điểm P AD d D; A ' PB d A; A ' PB Lại có AD cắt d A; A ' PB a3 Hình chóp A A ' PB có AA ' , AP , AB đơi vng góc nên d A; A ' PB AA '2 Vậy d A ' B; B ' D a3 AP AB a2 a42 a42 a2 Ví dụ Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh cm Hãy xác định đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD Giải Gọi M , N trung điểm cạnh AB , CD Ta có A ACD BCD tam giác nên CD vuông góc với AN BN CD MN M B D N Lại có AN AN suy AB MN MN AN AM 54 18 cm C Vậy MN đường vng góc chung AB , CD khoảng cách chúng MN cm THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB a , BC 2a , cạnh SA vng góc với đáy SA 2a Hãy xác định đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC Giải Lấy điểm D cho ABCD hình chữ nhật AB SCD S Gọi E chân đường vuông góc hạ từ A xuống E CD AD , lại có SA ABC CD SA SD Ta thấy ABCD hình chữ nhật nên N 2a CD SCD AE CD 1 Mặt khác AE SD (do dựng) Từ 1 suy D 2a A AE SCD E hình chiếu vng góc C a M A lên SCD 2a B Đường thẳng qua E song song với CD hình chiếu vng góc AB lên SCD Đường thẳng cắt SC N Đường thẳng qua N song song với AE cắt AB M MN đường vng góc chung cần tìm.Tam giác SCD cân A nên E trung điểm SD N trung điểm SD AM EN CD a M trung điểm AB Vậy khoảng cách hai đường thẳng AB , CD MN AE AD a C Bài tập Bài [ĐHB07NC] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA , M trung điểm AE , N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Bài [ĐHA11] Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B , AB BC 2a ; hai mặt SAB SAC vng góc với mặt phẳng ABC Gọi M trung điểm AB ; THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 mặt phẳng qua SM song song với BC , cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng SBC BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ABC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài [ĐHA10] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm AB AD ; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng ABCD SH a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Bài [ĐHA12] Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC điểm H thuộc cạnh AB cho HA 2HB Góc đường thẳng SC mặt ABC 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA h SA vng góc với đáy Hãy xác định đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng SC Bài Trong mặt phẳng P cho đường trịn đường kính AB 2R , C điểm chạy AB đường tròn Trên đường thẳng qua A vng góc với P lấy S cho SA a 2R Gọi E F trung điểm AC SB Xác định vị trí C đường trịn cho EF đường vng góc chung AC SB Bài Cho tứ diện ABCD có AC AD BC BD a , AB 2m , CD 2n Gọi I , K trung điểm AB CD 1) Chứng minh IK đường vng góc chung hai cạnh AB CD 2) Tính độ dài IK theo a , m n THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 ... mặt phẳng song song với nó: Cho P , M điểm Khi d ; P d M; P * Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Cho P Q , M điểm P Khi THS PHẠM HỒNG PHONG – GV... PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN C1 Đặt I AC BD Từ giả thi? ??t suy... M C MK song song MK CH , MK B THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 2 SA AB AH SA2 AB a a a2 a2 DĐ: 0983070744 a 6 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI