SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP
SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP L I NĨI ĐẦU Có thể nói tư tổ hợp đời từ sớm, nhiên lý thuyết tổ hợp hình thành ngành tốn học vào khoảng kỷ 17 loạt cơng trình nghiên cứu nhà tốn học xuất sắc Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler Mặc dù vậy, suốt hai kỷ rưỡi, tổ hợp không đóng vai trị nhiều việc nghiên cứu tự nhiên Đến với hỗ trợ đắc lực máy tính, tổ hợp chuyển sang lĩnh vực tốn ứng dụng với phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng cho người Nhận thức vai trò lý thuyết tổ hợp đời sống đại, lý thuyết tổ hợp đưa vào chương trình tốn trung học phổ thơng Các tốn tổ hợp ngày chiếm vị trí quan trọng kì thi học sinh giỏi tốn, olympic tốn, vơ địch tốn Tốn tổ hợp dạng tốn khó, địi hỏi tư lơgic, tư thuật tốn cao, tính hình tượng tốt, phù hợp với mục đích tuyển chọn học sinh có khả khiếu toán học Hơn nữa, nội dung toán kiểu ngày gần với thực tế, điều hồn tồn phù hợp với xu hướng tốn học đại Giải tốn tổ hợp khơng đơn giản Khi làm quen với giải tích tổ hợp, liên tục đếm nhầm vụ đếm lặp, đếm thiếu, không phân biệt đối tượng tổ hợp cần áp dụng, nên sử dụng cơng cụ để giải tốn Khi vượt qua khó khăn ban đầu này, ta lại gặp toán mà việc áp dụng trực tiếp quy tắc đếm đối tượng tổ hợp không đem lại kết mong muốn Với toán vậy, ta cần đến phương pháp đếm nâng cao Bài viết đề xuất ph toán tổ hợp quan trọng ng pháp sử dụng ánh x để giải số lớp Trong viết này, để có tính hệ thống, trước hết chúng tơi trình bày cách vắn tắt phần lý thuyết phương pháp ánh xạ, sau đó, chúng tơi tập trung vào giới thiệu sử dụng phương pháp ánh xạ thơng qua ví dụ cụ thể Đồng Hới, ngày 24 tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Chiến Thắng Page SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP N I DUNG I KIẾN TH C C Ánh x B N 1.1 Định nghĩa Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x X với (và một) phần tử Y Phần tử gọi ảnh x qua ánh xạ f kí hiệu f(x) (i) Tập X gọi tập xác định f Tập hợp Y gọi tập giá trị f (ii) Ánh xạ f từ X đến Y kí hiệu f : X Y x y f x (iii) Khi X Y tập số thực, ánh xạ f gọi hàm số xác định X (iv) Cho a X , y Y Nếu f a y ta nói y ảnh a a nghịch ảnh y qua ánh xạ f (v) Tập hợp Y y Y x X , y f x gọi tập ảnh f Nói cách khác, tập ảnh f X tập hợp tất phẩn tử Y mà có nghịch ảnh Đ n ánh, toƠn ánh, song ánh 2.1 Định nghĩa Ánh xạ f : X Y gọi đơn ánh với a X , b X mà a b f a f b , tức hai phần tử phân biệt có hai ảnh phân biệt Từ định nghĩa ta suy ánh xạ f đơn ánh với a X , b X mà f a f b , ta phải có a b Page SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 2.2 Định nghĩa Ánh xạ f : X Y gọi toàn ánh với phần tử y Y tồn phần tử x X cho y f x Như f toàn ánh Y f X 2.3 Định nghĩa Ánh xạ f : X Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Như ánh xạ f : X Y song ánh với y Y , tồn phần tử x X để y f x Ánh x ng ợc c a m t song ánh 3.1 Định nghĩa Ánh xạ ngược f, kí hiệu f 1 , ánh xạ từ Y đến X gán cho phần tử y Y phần tử x X cho y f x Như f 1 x y f x y 3.2 Chú ý Nếu f song ánh ta khơng thể định nghĩa ánh xạ ngược f Do nói đến ánh xạ ngược f song ánh Ánh x hợp 4.1 Định nghĩa Nếu g : A B f : B C g A B ánh xạ hợp f g : A C xác định f g a f g a Kí hiệu p n p p p n II PH NG PHÁP ÁNH X Nguyên lý ánh x Cho A B tập hữu hạn khác rỗng f : A B ánh xạ Khi đó, a) Nếu f đơn ánh | A | | B | b) Nếu f tồn ánh | A || B | Page SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP c) Nếu f song ánh | A || B | Phương pháp ánh xạ dựa vào ý tưởng đơn giản: - Nếu tồn song ánh từ tập hữu hạn A vào tập hữu hạn B |A| = |B| Do đó, muốn chứng minh hai tập hợp có số phần tử, cần xây dựng song ánh chúng Hơn nữa, ta đếm số phần tử tập hợp A cách xây dựng song ánh từ A vào tập hợp B mà ta biết cách đếm dễ đếm - Nếu tồn đơn ánh (t.ư tồn ánh) từ A vào B | A | | B | (t.ư | A || B | ) Do đó, đơn ánh tồn ánh chủ yếu sử dụng để chứng minh toán liên quan đến bất đẳng thức tổ hợp Chuyển toán cần chứng minh việc so sánh số phần tử hai tập hợp, có tập hợp biết cách đếm dễ đếm Tương tự nguyên lý Dirichle, mặt ý tưởng đơn giản nhiên thực khơng phải đơn giản Để sử dụng phương pháp ta cần xác định song ánh tập cần đếm vào tập biết cách đếm việc làm lúc thực dễ dàng Sau số tập áp dụng phương pháp Định lý (Bài toán chia kẹo Euler) Cho k, n số nguyên dương Số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + … + xk = n Cnkk11 Ch ng minh: Ta cho tương ứng nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + … + xk = n (1) với xâu nhị phân độ dài n+k-1 có n bit k-1 bit 0, cụ thể xâu gồm x1 bit 1, sau bit 0,tiếp theo x2 bit 1, sau bit 0, thế, cuối xk bit Dễ dàng chứng minh song ánh từ tập A nghiệm nguyên không âm (1) vào tập hợp B xâu nhị phân độ dài n+k-1 với n bit k-1 bit Từ đó, theo nguyên lý song ánh ta có | A || B | Cnkk11 (đpcm) Page SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Ví dụ Cho số tự nhiên k, n Hãy xác định số ánh xạ f :{1,2, ,n} thỏa mãn f (i ) k n i 1 L i gi i: Đây tốn chia kẹo Euler Đáp số: Cnkk11 Ví dụ 2.(IMO 1989) Mỗi hốn vị ( x1 , x2 , , x2 n ) 1,2, ,2n gọi có tính chất P | xi xi 1 | n với giá trị i {1,2, ,2n} Chứng minh với số n , số hốn vị có tính chất P lớn số hốn vị khơng có tính chất P L i gi i: Cách 1: Ta chia 1,2, ,2n thành n cặp (1, n 1),(1, n 2), ,(n ,2n ) Bây ta thiết lập ánh xạ f từ tập hốn vị khơng có tính chất P vào tập hốn vị có tính chất P Giả sử ( x1 , x2 , , x2 n ) hốn vị khơng có tính chất P giả sử xk số cặp với x2 n , k 2n 2, ánh xạ f xác định sau ( x1 , x2 , , x2 n ) ( x1 , x2 , , xk , x2 n , x2 n1, x2 n2 , , xk 1 ) Ta chứng minh f đơn ánh không tồn ánh Suy điều phải chứng minh Ví dụ Với số nguyên dương n , chứng minh số cách biễu diễn n thành tổng số lẻ nhiều số cách biễu diễn n thành tổng số nguyên dương đôi khác L i gi i: Giả sử A tập tất cách biểu diễn n thành tổng số lẻ B tập tất cách biễu diễn n thành tổng số nguyên dương đôi khác Tức là, A {(a i )|a i odd , =n} i Page SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP B {(bi )|bi b j , i j, bi =n,bi *} b {2 ri - i | si , ri odd , i si i i n} Ta xây dựng toàn ánh f từ A vào B Với (ai ) A, giả sử có k1 số lẻ b1 , k số lẻ b2 ,…, kt số lẻ bt Tức ta có k b =n t i 1 i i Biễu diễn ki , i 1,2, , t theo hệ nhị phân ki ls ,ils 1,i l1,il0,i 2s ls ,i 2s 1 ls 1,i 21 l1,i 20 l0,i i i i i i i Ta thấy (2s ls ,i 2s 1 ls 1,i 21 l1,i 20 l0,i )bi kibi n t t i i 1 i i i 1 i Và số hạng biểu diễn nhị phân ki trừ trường hợp ls j ,i đơi khác i Do (2s ls ,1b1 ,2s 1 ls 1,1b1 , ,20 l0,1b1 , ,2s ls ,1bt ,2s 1ls 1,1bt , ,20 l0,tbt ) B t 1 t t t Khi ánh xạ f : A B xác định sau (b1 , b1 , , b1 , b2 , b2 , , b2 , , bt , bt , , bt ) (2s ls ,1b1 ,2s 1 ls 1,1b1 , ,20 l0,1b1 , ,2s ls ,1bt ,2 s 1 ls 1,1bt , ,20 l0,tbt ) t 1 t t t Ta chứng minh f tồn ánh Do ta có điều phải chứng minh Ví dụ (APMO 1998) Giả sử F tập hợp tất gồm n tập ( A1 , A2 , , An ), Ai tập tập {1,2, ,2012} Tính ( A1 , A2 , , An )F | A1 A2 An | L i gi i Với i phần tử n1 , n2 , , ni {1,2, ,2012}, ta đếm xem có ( A1 , A2 , , An ) thỏa mãn A1 A2 An {n1 ,n , ,n i } (*) Page SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Ta cho phần tử n1 ,n , ,n i đăng kí có mặt tập Ak cách với phần tử 0 if ni At n j ta gán cho số (a1 , a2 , , an ) cho at , t 1, n 1 if ni At Một đăng kí hợp lệ có số (nếu khơng phần tử tương ứng khơng có mặt tập A1 A2 An ) Với i phiếu đăng kí n1 , n2 , , ni (ta gọi nhóm phiếu đăng kí), ta lập ( A1 , A2 , , An ) Ngược lại, với nhóm phiếu đăng kí khác ta có tập hợp ( A1 , A2 , , An ) khác nhau, số ( A1 , A2 , , An ) thỏa mãn (*) số nhóm phiếu đăng kí hợp lệ Vì phiếu đăng kí n j , j 1,2, , n gồm n chữ số phải có số nên có 2n cách ghi phiếu cho n j , suy có (2n 1)i nhóm phiếu đăng kí hợp lệ khác i Có C2012 cách chọn i phần tử nên suy ( A1 , A2 , , An )F i | A1 A2 An | iC2012 (2n 1)i 2012(2n 1)2n (20121) 2012 i 1 2012(2n 1)22011n Bình lu n: Bài tốn khơng dùng phương pháp song ánh theo nghĩa thường, khơng có ánh xạ Nguyên lý ánh xạ dùng cách, thay tính tổng ta tìm cách tính tổng khác dễ có giá trị tổng cho Với {1,2, ,2012} ta gọi Si số F mà i thuộc hợp phần tử họ Rõ ràng S i đếm Si lần, S Si Dễ thấy Si (2n 1)22011n tổng cần tính 2012(2n 1)22011n Page SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TỐN TỔ HỢP Ví dụ Cho n X {1,2, ,n 3}=E gồm 3n phần tử Chứng minh có a1 x a2 y a3 z thể tìm số a1 , a2 , , a9 X đôi khác cho hệ a4 x a5 y a6 z a x a y a z có nghiệm nguyên ( x0 , y0 , z0 ) thỏa mãn x0 , y0 , z0 L i gi i Sắp xếp phần tử tập X theo thứ tự x1 x2 x3n Đặt X1 {x1 , x2 , , xn }, X {xn 1 , xn 2 , , x2 n }, X {x2 n 1, x2 n 2 , , x3n } Xét ánh xạ 2 2 2 f : X1 X X E E (a, b, c) (b a, c b) Ta có | X1 X X || X1 || X || X | n6 Do a X1 , b X , c X nên a b c,suyra b a 1, c b (b a) (c b) c a n3 Vì tập ảnh f tập tập A với A {(m; n) | m, n X , m n n3} Mà ta có n3 (n3 1) n6 | A | k 2 k 1 n3 1 Do đó, theo nguyên lý Dirichle tồn số (ai , bi , ci ), i 1,2,3 cho ảnh ( x0 , y0 ) nghĩa ta có bi x0 ci bi y0 , i 1,2,3 Chọn z0 x0 y0 z0 ci , i 1,2,3 Do với i 1,2,3 ta có ci x0 y0 bi z0 ci (bi ) (ci bi ) bi (ai ci ) Chứng tỏ hệ phương trình c1 x a1 y b1 z c2 x a2 y b2 z c x a y b z 3 Có nghiệm nguyên ( x0 , y0 , z0 ) thỏa mãn x0 , y0 , z0 Do Page SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP X1 , bi X , ci X nên bi ci , 1 i, j, k Giả sử 1 i j 3: a j bi bj a j nên bi bj suyra ci c j , (ai , bi , ci ) (a j , bj , c j ) , vô lý Vậy a j , 1 i j Tương tự, bi bj , ci c j , 1 i j Vậy tốn chứng minh Ví dụ Có n người xếp hàng dọc Hỏi có cách chọn k người cho khơng có hai người liên tiếp chọn L i gi i: Ta đánh số n người số thứ tự 1, 2, …, n Một cách chọn thích hợp số a1 < a2 < …< ak n thỏa mãn điều kiện ai+1 – > (tức 2) Vậy ta cần tìm số phần tử A = (a1, a2, …, ak) | a1 < a2 < …< ak n, ai+1 – với i=1, 2, …, k-1 Xét ánh xạ f(a1, a2, …, ak) = (b1, b2, …, bk) với bi = – i + rõ ràng ta có 1) b1 = a1 1; 2) bi+1 – bi = (ai+1 – (i+1) + 1) – (ai – i + 1) = ai+1 – – > 3) bk = ak – k + n – k + Suy (b1, b2, …, bk) phần tử tập hợp B: B = (b1, b2, …, bk) | b1 < b2 < …< bk n – k + 1 Dễ thấy f đơn ánh Ngoài ra, ánh xạ g(b1, b2, …, bk) = (a1, a2, …, ak) với = bi + i – cho đơn ánh từ B vào A Vậy | A | = | B | = C nkk 1 Ví dụ (Putnam 2002) Cho n số nguyên dương Tn số tập khác rỗng tập {1,2, ,n} cho trung bình cộng tất phần tử số nguyên Chứng minh Tn n số chẵn Page SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP H ng d n Có n tập phần tử tập thoả mãn điều kiện đầu Vậy ta cần chứng minh số tập nhiều phần tử có tính chất số chẵn xong Ta ghép tập thành cặp sau: Các tập có trung bình thuộc với tập có trung bình khơng thuộc Ví dụ Có 20 người xếp thành vịng trịn Hỏi có cách chọn người cho khơng có hai người kề chọn L i gi i Ta giải tốn tổng qt sau Ví dụ 8.1 Có n người xếp thành hàng dọc Có cách chọn k người, cho khơng có hai người kề chọn? Cách (Phương pháp song ánh) Đặt En = {1, 2, …, n} Gọi u1< u2 < …< uk số thứ tự người chọn ta có ui+1 – ui với i=1, …, k-1 Đặt A = {(u1, u2, …, uk) Ekn | ui+1 – ui với i=1, …, k-1} Xét ánh xạ f: A B, B = {(v1, v2, …, vk) Ekn-k+1| v1 < v2 < …< vk} xác định sau f(u1, u2, …, uk) = (v1, v2, …, vk) với vi = ui – (i-1) Ta kiểm tra (v1, v2, …, vk) B : 1) Rõ ràng vi+1 – vi = (ui+1 – i) – (ui – (i-1)) = ui+1 – ui – 2) v1 = u1 1, vk = uk – (k -1) n – k + Ta kiểm tra f song ánh Nếu (u1, u2, …, uk) (u1’, u2’, …, uk’) rõ ràng ảnh chúng khác Suy f đơn ánh Ngược lại, với (v1, v2, …, vk) thuộc B, ta chọn ui = vi + i-1 (u1, u2, …, uk) thuộc A f(u1, …, uk) = (v1, v2, …, vk) Suy f toàn ánh Vậy |A| = |B| Mà |B| rõ ràng số tập k phần tử En-k+1, Cnkk 1 Page 10 SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Cách (Sử dụng toán chia kẹo Euler) Giả sử ta chọn k người Gọi x1 số người tính người đến trước người thứ chọn, x2 số người nằm người thứ người thứ hai, …, xk số người nằm người thứ k-1 người thứ k xk+1 số người nằm sau người thứ k đến cuối Khi ta có x1 + x2 + … + xk+1 = n – k (1) x1, xk+1 số ngun khơng âm, cịn x2, …, xk số nguyên Ngược lại, (x1, …, xk+1) nghiệm (1) với x1, xk+1 0, x2, …, xk ta cho tương ứng với cách chọn người thứ 1+x1, 2+x1+x2, …, k+x1+…+xk rõ ràng (i + x1 + …+ xi) – (i-1 + x1 + …+xi-1) = + xi nên khơng có người liên tiếp chọn Để hồn tất lời giải tốn, ta đặt y1 = x1, yk+1 = xk+1 yi = xi – với i=2, …, k y1 + y2 + … + yk+1 = n – 2k + (2) với yi số nguyên không âm Theo kết định lý chia kẹo Euler, ta có số nghiệm (2) Cnkk 1 Đó kết tốn ban đầu Ví dụ 8.2 Có n người xếp thành vịng trịn Có cách chọn k người, cho khơng có hai người kề chọn? Bài tốn giải kết tốn phương pháp « cắt đường trịn » Giả sử n người đánh số 1, 2, …, n Ta xét trường hợp sau : 1) Người số chọn Khi người số số n khơng chọn Như ta phải chọn thêm k-1 người từ đến n-1 cho khơng có hai người kề chọn Vì n-1 khơng kề nên coi n-3 người xếp theo hàng dọc Theo kết toán trên, số cách chọn Cnk31( k 1)1 Cnkk11 Page 11 SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 2) Người số khơng chọn Khi ta cần chọn k người từ số đến n cho khơng có người kề chọn Vì n khơng kề nên coi n-1 người xếp theo hàng dọc Theo kết toán trên, số cách chọn C nkk Vậy đáp số toán C nkk11 C nkk (n k 1)! (n k )! (n k 1)! n (k n k ) C nkk11 (k 1)!(n 2k )! k!(n 2k )! k!(n 2k )! k Ví dụ Cho k , n * 1