ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA CƠ KHÍ BÀI TẬP LỚN HỌC PHẦN TOÁN CHUYÊN NGHÀNH 1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH GVHD Trần Quang Khải SVTH Nguyễn Hoàng Thiện Lớp sinh hoạt 21CDT1 Mã số sinh viên 101210.
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA CƠ KHÍ BÀI TẬP LỚN HỌC PHẦN TỐN CHUN NGHÀNH : PHƯƠNG PHÁP TÍNH GVHD : Trần Quang Khải SVTH : Nguyễn Hoàng Thiện Lớp sinh hoạt : 21CDT1 Mã số sinh viên : 101210058 Câu 1:Tìm đa thức nội suy Lagrangeℒ(𝑥) hàm số 𝑓 (𝑥) đoạn [0, 0.75] , biết rằng: 𝑓(0) = 1;𝑓(0,25) = 1,64872;𝑓(0,5) = 2,71828; 𝑓(0,75) = 4,48169 Giải: -Từ đề ta lập bảng số liệu từ liệu có : k x 0,25 0,5 0,75 y 1,64872 2,71828 4,48169 -Theo đa thức nội suy Lagrage ta có: )(𝑥−𝑥3 )(𝑥−𝑥4 ) =(𝑥(𝑥−𝑥 =(𝑥−0,25)(𝑥−0,5)(𝑥−0,75) −𝑥2 )(𝑥1 −𝑥3 )(𝑥1 −𝑥4 ) (0−0,25)(0−0,5)(0−0,75) (1) 𝑝3 =−3𝑥 32 (2) 𝑝3 + 16𝑥 − 11𝑥 +1 (𝑥−0)(𝑥−0,5)(𝑥−0,75) )(𝑥−𝑥3 )(𝑥−𝑥4 ) =(𝑥(𝑥−𝑥 = )(𝑥 )(𝑥 ) (0,25−0)(0,25−0,5)(0,25−0,75) −𝑥 −𝑥 −𝑥 2 =𝑥32 − 40𝑥 + 12𝑥 (3) 𝑝3 (𝑥−0)(𝑥−0,25)(𝑥−0,75) )(𝑥−𝑥2 )(𝑥−𝑥4 ) =(𝑥(𝑥−𝑥 = )(𝑥 )(𝑥 ) (0,5−0)(0,5−0,25)(0,5−0,75) −𝑥 −𝑥 −𝑥 3 =− 𝑥32 + 32𝑥 − 6𝑥 (4) 𝑝3 (𝑥−0)(𝑥−0,25)(𝑥−0,5) )(𝑥−𝑥2 )(𝑥−𝑥3 ) =(𝑥(𝑥−𝑥 = )(𝑥 )(𝑥 ) (0,75−0)(0,75−0,25)(0,75−0,5) −𝑥 −𝑥 −𝑥 4 3 =3𝑥32 − 8𝑥 + 𝑥 -Suy đa thức nội suy Lagrage có dạng : ℒ(𝑥)= ∑4𝑘=1 𝑝3(𝑘) 𝑦𝑘 =(−3𝑥 32 + 16𝑥 − 11𝑥 𝑥3 + 1)+1.64872×(32 − 40𝑥 − 12𝑥) 𝑥3 3𝑥 2.71828×(− 32 + 32𝑥 − 6𝑥) + 4.48169×( 32 + − 8𝑥 − 𝑥 ) =−2,847893333𝑥 + 8,38264𝑥 − 0,04278666667𝑥 + Câu 2: Vận tốc tàu thoi đo từ cảm biến theo thời gian cho bảng sau: 𝑡(s) v(m/s) 0 10 227,04 15 362,78 Bảng 1: Giá trị vận tốc tàu thoi đo theo thời gian 20 517,35 (a)Tìm giá trị vận tốc tàu thoi thời điểm𝑡 = 16s.(b)Tìm đa thức nội suy Newton𝒩 (𝑡)của bảng số liệu trên.(c)Tìm giá trị gia tốc tàu thoi thời điểm𝑡 = 12s Giải: (a) -Dựa vào đề ta lập bảng theo kiện có sau: STT 𝑡(s) 10 15 20 v(m/s) 227,04 362,78 517,35 -Theo hồi quy tuyến tính ta cần tính hệ số hệ phương trình sau: •m=4 • ∑𝑚𝑖=1 𝑡 (𝑖) = + 10 + 15 + 20 = 45 •∑𝑚𝑖=1 𝑣 (𝑖) = + 227,04 + 362,78 + 517,35 = 1107,17 •∑𝑚𝑖=1(𝑡 (𝑖))2 = 02 + 102 + 152 + 202 = 725 •∑𝑚𝑖=1 𝑡 (𝑖) 𝑣 (𝑖) = 0 0 + 10 227,04 + 15 362,78 + 20 517,35 = 18059,1 *Vậy hệ phương trình tìm 𝜃0 và 𝜃1 có dạng : -Giải hệ trên, ta tìm nghiệm (𝜃0 , 𝜃1) = ( − 7969 ≈ -11.38428571; 17931 ≈25,61571429 ) 700 700 -Khi hàm hồi quy có dạng : 𝑣(𝑡) = 25,61571429𝑡 − 11.38428571 -Khi t = 16s v = 398,4671429 m/s (b) - Có tổng cộng bốn điểm liệu nên ta dùng đến tỷ sai phân cấp 𝑓 𝑁𝑛 (𝑥) = 𝑦1 + 𝑓[𝑥1 , 𝑥2 ](𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑓[𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ](𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) + 𝑓[𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 ](𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 ) -Theo nội suy Newton ta sẻ lập bảng để tính tốn sau (ta kí hiệu tỉ sai phân cấp p 𝑓△𝑝 ) x y 𝑓△1 𝑓△2 10 227,04 22,704 15 362,78 27,148 0,2962666667 20 517,35 30,914 0,3766 𝑓△3 0,0040166667 -Thế tỷ sai phân vào công thức tổng 𝑓 𝑁𝑛 (𝑥) = 22,704𝑥 + 0,2962666667𝑥(𝑥 − 10) + 0,0040166667𝑥(𝑥 − 10)(𝑥 − 15) -Vậy đa thức nội suy Newton là: 𝒩(𝑡) = 241 𝑥3 60000 + 0,19585𝑥 + 20,34383333𝑥 (c) Dựa vào đa thức nội suy Newton t = 12s v = 279,2692 m/s Câu 3: Giải: (a) Theo phương pháp phương trình ta cần tìm ma trận X vector đầu y tập huấn luyện - Phương trình chuẩn cho phép ta tìm giá trị 𝜃0 𝜃1 có dạng: −1 𝜃 = (𝑋 Τ 𝑋) 𝑋 Τ 𝑦 - Với 𝑋Τ chuyển vị X ma trận ; (𝑋Τ 𝑋)−1 nghịch đảo 𝑋Τ 𝑋 - Khi thay giá trị phương trình chuẩn ta tìm 𝜃 là: -Vậy hàm hồi quy cho tập huấn luyện có dạng: ℎ𝜃 (𝑥) = −62785787 32537 + 𝑥 30200 30200 (b) -Từ hàm hồi quy +Dân số năm 2015 91,92940397 (triệu người) +Dân số năm 2018 95,16155629 (triệu người) - Nhận xét : Dựa vào hàm hồi quy vừa tìm cho ta thơng số gần với giá trị thống kê vào năm 2015 2018 (c) -Từ hàm hồi quy dân số dự đoán là: +Dân số năm 2021 98,39370861 (triệu người) +Dân số năm 2022 99,47109272 (triệu người) Câu 4: -Ta có cơng thức sấp xỉ tính tích phân ∫𝑎𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 chia thành n đoạn với đoạn có độ dài ℎ = 𝑏−𝑎 là: 𝑛 𝑛 𝐼 = ∑ 𝐼𝑖 𝑖 = 1 - Với 𝐼𝑖 tính phương pháp sau: • Quy tắc trung điểm (hình chữ nhật): 𝐼𝑖 = ℎ 𝑓 (𝑥 +𝑥2 𝑘 • Quy tắc hình thang: 𝐼𝑖 = ℎ 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 𝑘 𝑘+1 ) 𝑘+1 ) • Quy tắc Simpson (parabola):𝐼𝑖 = ℎ3 [𝑓(𝑥𝑘 ) + 4𝑓(𝑥𝑘+1 ) + 𝑓(𝑥𝑘+2)],với n chẵn Giải: (a)∫14 𝐶𝑜𝑠(1 + √𝑥)𝑑𝑥 ; với ℎ = 4−1 = 0,5; điểm đoạn tính tích phân là: 𝑥0 = 1 ; 𝑥1 = 1,5 ; 𝑥2 = 2 ; 𝑥3 = 2,5 ; 𝑥4 = 3 ; 𝑥5 = 3,5 ; 𝑥6 = *Với quy tắc trung điểm ta tính diện tích hình chữ nhật nhỏ đó: 1 +1,5 • 𝐼1 = ℎ 𝑓 (𝑥 +𝑥 ) = 0,5 𝐶𝑜𝑠 (1 + √ ) = −0,2601651384 2 1,5 +2 • 𝐼2 = ℎ 𝑓 (𝑥 +𝑥 ) = 0,5 𝐶𝑜𝑠 (1 + √ ) = −0,3415793535 2 2+2,5 • 𝐼3 = ℎ 𝑓 (𝑥 +𝑥 ) = 0,5 𝐶𝑜𝑠 (1 + √ ) = −0,4005718078 2 2,5+3 • 𝐼4 = ℎ 𝑓 (𝑥 +𝑥 ) = 0,5 𝐶𝑜𝑠 (1 + √ ) = −0,4427376992 3+3,5 •𝐼5 = ℎ 𝑓 (𝑥 +𝑥 ) = 0,5 𝐶𝑜𝑠 (1 + √ ) = −0,4715742579 3,5+4 •𝐼6 = ℎ 𝑓 (𝑥 +𝑥 ) = 0,5 𝐶𝑜𝑠 (1 + √ ) = −0,4895202116 𝐼 = ∑6𝑖 = 1 𝐼𝑖 = (−0,2601651384) + (−0,3415793535) + (−0,4005718078) + (−0,4427376992) +(−0,4715742579) + (−0,4895202116) = − 2,4061484684 -Vậy ∫1 𝐶𝑜𝑠(1 + √𝑥)𝑑𝑥 = − 2,4061484684 * Với quy tắc hình thang ta sẻ tính diện tích hình thang nhỏ: ) 𝐶𝑜𝑠(1+√1)+𝐶𝑜𝑠(1+√1,5) •𝐼1 = ℎ 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 = 0,5 = −0,2561179722 2 ) 𝐶𝑜𝑠(1+√1,5)+𝐶𝑜𝑠(1+√2) •𝐼2 = ℎ 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 = 0,5 = −0,3388111744 2 ) 𝐶𝑜𝑠(1+√2)+𝐶𝑜𝑠(1+√2,5) •𝐼3 = ℎ 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 = 0,5 = −0,3984834011 2 ) 𝐶𝑜𝑠(1+√2,5)+𝐶𝑜𝑠(1+√3) •𝐼4 = ℎ 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 = 0,5 = −0,4410793275 2 ) 𝐶𝑜𝑠(1+√3)+𝐶𝑜𝑠(1+√3,5) •𝐼5 = ℎ 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 = 0,5 = −0,4702175485 2 ) 𝐶𝑜𝑠(1+√3,5)+𝐶𝑜𝑠(1+√4) •𝐼6 = ℎ 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 = 0,5 = −0,4883898349 2 𝐼 = ∑6𝑖 = 1 𝐼𝑖 = (−0,2561179722) + (−0,3388111744) + (−0,3984834011) + (−0,4410793275) +(−0,4702175485) + (−0,4883898349) = − 2,393099259 -Vậy∫14 𝐶𝑜𝑠(1 + √𝑥)𝑑𝑥 = − 2,393099259 * Với quy tắc simpson diện tích hình thang vng cạnh cong giá trị tích phân xác định cần tính là: •𝐼1 = 0,53 [𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)] = 0,53 [𝐶𝑜𝑠(1 + √1) + 4𝐶𝑜𝑠 (1 + √1,5) + 𝐶𝑜𝑠(1 + √2)] = −0,5993944485 •𝐼2 = 0,53 [𝑓(𝑥2) + 4𝑓(𝑥3) + 𝑓(𝑥4)] = 0,53 [𝐶𝑜𝑠(1 + √2) + 4𝐶𝑜𝑠 (1 + √2,5) + 𝐶𝑜𝑠(1 + √3)] = −0,8420464721 •𝐼3 = 0,53 [𝑓(𝑥4) + 4𝑓(𝑥5) + 𝑓(𝑥6)] = 0,53 [𝐶𝑜𝑠(1 + √3) + 4𝐶𝑜𝑠 (1 + √3,5) + 𝐶𝑜𝑠(1 + √4)] = −0,9602605366 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = (−0,5993944485) + (−0,8420464721) + (−0,9602605366) = −2,401701457Vậy ∫1 𝐶𝑜𝑠(1 + √𝑥)𝑑𝑥 = − 2,401701457 (b) ∫02 : √𝑒 𝑥 + 1𝑑𝑥; với ℎ = 2−0 = 3;vậy điểm đoạn tích phân 𝑥0 = 0; 𝑥1 = ; 𝑥2 = ; 𝑥3 = 1 ; 𝑥4 = ; 𝑥5 = ; 𝑥6 = 3 3 *Với quy tắc trung điểm ta tính diện tích hình chữ nhật nhỏ đó: •𝐼1 = 𝑥 +𝑥 ℎ 𝑓 ( ) •𝐼2 = 𝑥 +𝑥 ℎ 𝑓 ( ) •𝐼3 = 𝑥 +𝑥 ℎ 𝑓 ( 2 ) •𝐼4 = 𝑥 +𝑥 ℎ 𝑓 ( ) 0+ = 1√ 𝑒 = 1√ 3 𝑒 = 1√ 𝑒 = 1√ 𝑒 + + = 0,5424964179 +1 + = 0,6056195992 1+ 1√ •𝐼5 = ℎ 𝑓 (𝑥 +𝑥 )=3 𝑒 + = 0,4923143094 + 3 + = 0,684046014 + = 0,780433574 •𝐼6 = 𝑥 +𝑥 ℎ 𝑓 ( ) +2 = 1√ 𝑒 + = 0,8978184023 𝐼 = ∑6𝑖 = 1 𝐼𝑖 = 0,4923143094 + 0,5424964179 + 0,6056195992 + 0,684046014 + 0,780433574 + 0,8978184023 = 4,002728317 -Vậy ∫02 √𝑒 𝑥 + 1𝑑𝑥 = 4,002728317 * Với quy tắc hình thang ta sẻ tính diện tích hình thang nhỏ: •𝐼1 = 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 ) ℎ •𝐼2 = 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 ) ℎ 2 •𝐼3 = 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥3 ) ℎ 2 •𝐼4 = 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 ) ℎ = √𝑒 +1+√𝑒 +1 = √𝑒 +1+√𝑒 +1 = √𝑒 +1+√𝑒 +1 = √ √𝑒 +1+ 𝑒 +1 = 0,5441122063 = 0,6075302194 𝑓(𝑥4 )+𝑓(𝑥5 ) •𝐼6 = 2 ℎ = 0,4936650282 = •𝐼5 = = 0,6862882233 √𝑒 +1+√𝑒 +1 = 0,7830544809 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 ) ℎ = √𝑒 +1+√𝑒 +1 = 0,9008781605 𝐼 = ∑6𝑖 = 1 𝐼𝑖 = 0,4936650282 + 0,5441122063 + 0,6075302194 + 0,6862882233 + 0,7830544809 + 0,900878165 = 4,015528319 -Vậy ∫02 √𝑒 𝑥 + 1𝑑𝑥 = 4,015528319 * Với quy tắc simpson diện tích hình thang vng cạnh cong giá trị tích phân xác định cần tính là: •𝐼1 = 19 [𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)] = 19 [√𝑒 + + 4√𝑒 + + √𝑒 + 1] = 1,035801847 •𝐼2 = 19 [𝑓(𝑥2) + 4𝑓(𝑥3) + 𝑓(𝑥4)] = 19 [√𝑒 + + 4√𝑒 + + √𝑒 + 1] = 1,291053336 •𝐼3 = 19 [𝑓(𝑥4) + 4𝑓(𝑥5) + 𝑓(𝑥6)] = 19 [√𝑒 + + 4√𝑒 + + √𝑒 + 1] = 1,680151146 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 1,035801847 + 1,291053336 + 1,680151146 = 4,007006329 - Vậy ∫02 Câu 5: √𝑒 𝑥 + 1𝑑𝑥 = 4,007006329 - Ta tính gần giá trị đạo hàm phương pháp sau : • Với phương pháp sai phân tiến ta có cơng thức: 𝑓 ′ (𝑥𝑘 ) ≈ 𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 •Với phương pháp sai phân lùi ta có cơng thức: 𝑓 ′ (𝑥𝑘 ) ≈ 𝑦𝑘 − 𝑦𝑘−1 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 •Với phương pháp sai phân hướng tâm ta có cơng thức: 𝑓 ′ (𝑥𝑘 ) ≈ 𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘−1 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘−1 Giải: - Ta sẻ tính gần giá trị đạo hàm điểm 𝑥𝑘 bảng giá trị cho trước x y 𝑓 ′ (𝑥𝑘 ),sai phân tiến 𝑓 ′ (𝑥𝑘 ),sai phân lùi 𝑓 ′ (𝑥𝑘 ),sai phân hướng tâm 0,1 0,564642 0,79576 0,2 0,644218 0,73138 0,79576 0,76357 0,3 0,717356 0,65971 0,73138 0,695545 0,4 0,783327 0,58144 0,65971 0,620575 0,5 0,841471 0,49736 0,58144 0,5394 0,6 0,891207 0,40832 0,49736 0,20416 0,7 0,932039 0,40832 Câu 6: Ta cần nhắc lại phương pháp để tính giá trị gần vi phân : * Đối với phương pháp Euler :𝑓(𝑥𝑘+1) = 𝑓(𝑥𝑘 ) + (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ) 𝐹(𝑥𝑘 , 𝑓(𝑥𝑘 )) * Đối với phương pháp Heun: 𝑓(𝑥𝑘+1 ) = 𝑓(𝑥𝑘 ) + (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ) 𝐹(𝑥𝑘 , 𝑓(𝑥𝑘 )) + 𝐹(𝑥𝑘+1 , 𝑓 𝐸 (𝑥𝑘+1 )) (trong 𝑓 𝐸 (𝑥𝑘+1) vế phải giá trị hàm số 𝑥𝑘+1 tính phương pháp Euler) * Đối với phương pháp Runge - Kutta bậc 4: 𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 + (𝐾1 + 2𝐾2 + 2𝐾3 + 𝐾4 ) Với + 𝐾1 = (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ) 𝐹(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) + 𝐾2 = (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ) 𝐹 (𝑥𝑘 + (𝑥 𝑘+1 −𝑥𝑘 ) + 𝐾3 = (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ) 𝐹 (𝑥𝑘 + (𝑥 𝑘+1 −𝑥𝑘 ) 2 , 𝑦𝑘 + 𝐾1 ) , 𝑦𝑘 + 𝐾2 ) + 𝐾1 = (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ) 𝐹(𝑥𝑘 + (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ), 𝑦𝑘 + 𝐾3) Giải: Để tính f(3) từ phương trình vi phân x = f(2) = với bước phân hoạch h = 0,1 cần tính giá trị f(x) từ 2;2,1;…;3 bảng phương pháp tính vi phân gần x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 f(x) Phương pháp Euler 3,14 3,918 4,609 5,5555 6,88125 8,771875 11,5058125 15,50071875 21,38307813 30,0926172 f(x) Phương pháp Heun 3,459 4,07825 4,9370625 6,155203125 7,913316406 10,48361426 14,27597095 19,90714338 28,30503626 40,86344963 F(x) Phương pháp Runge - Kutta bậc 3.470489583333 4.137343505859 5.122704268773 6.627916151389 8.984882614139 12.74072576757 18.79734221582 28.64145214223 44.72382084904 71.08438176418 ... = 279,2692 m/s Câu 3: Giải: (a) Theo phương pháp phương trình ta cần tìm ma trận X vector đầu y tập huấn luyện - Phương trình chuẩn cho phép ta tìm giá trị