SỞ GD & ĐT HÀ NỘI pk THI THU ĐẠI HỌC LÀN Ií NĂM 2014 TRUONG THPT LUONG THE VINH | Mơn: TỐN, Khối A, AI, B
——— Thời gian làm bài: 180 phúi, không kế thời gian phái để
„ + Ữ s— 1 *
Câu 1 (2,0 diém) Cho ham so y = — () và đường thăng 4: y= x +7 x + a) Khao sat sw biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Tìm m7 để đường thắng đ cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt 44, 8 Chứng minh răng khi đó tích các hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại 4 và Z không đổi
Câu 2 (1,0 đim) Giải phương trình 2sin” x—cos2x +cos x = Ö Câu 3 (1,0 điển) Giải phương trình 2x? ~09x+3+A/3x7 + Tx " + 3x~2 =0 (x © IR) - , a aa f ro ^ + x + l Cau 4 (1,0 diém) Tinhtich phan J = | Gx? ~2)in eT dx ee 5 X—
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD co day ABCD là hình chữ nhật, 4 = đ, SA = SB = SC == BC!= 2a Tinh thé tich của khối chop S ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thang 4C" và SD theo a | | Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, J, z thay đổi nhưng luôn thỏa mãn diều kiện x°4-y) +2? +xy+ J2 + XZ = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 5 5 z : Pe 24 4 He 12 In(x t+ yz) #2 8
y zx 5 x+y+z OtNpt+ por xz
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam gidc ABC can tai dinh 4 Goi N la trung
điểm của 4ð, Goi £ va F tan lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh 8, C của tam giác ABC Tìm tọa
độ của đính 4 biết răng £(7;1), F(t 2| và phương trình đường thing CN la 2x + y—13 = 0 Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(4;2;O), 8@;3;2),
Œ{2;0;~2) và mặt phắng (?):2x~2y—Z+11= 0 Viết phương trình của mặt cầu (S3 đi qua ba điểm A,B, C và (S) tiếp xúc với mặt phăng (?)
a pea A ¥ 4 ~ on A ~ — 4 + A bả
Câu 9 (1,0 đ/ểm) Cho sô phức z thỏa mãn điêu kiện Zz————~ -, Tìm môđun của sô phức
2
Wz +2-hl.,
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thì không giải thích gì thêm
Tà nh 60800 8n - Sơ báo danh: -«-eerrretrrerie
Trang 2
SO GD & DT HA NOI ĐÈ THỊ THỬ ĐẠI HỌC LÀN I NAM 2614
_ TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẺ VINH Mơn: TỐN, Khối D
nnn metas Thời gian làm bài: 180 phúi, không kế thời gian phái đề
Câu Í (2;0 điểm) Cho hàm sO y= _ (1) và đường thắng đ:y=~x-t a) Khao sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Tìm m dé đường thang d cat dé thi (C) tai hai diém phan biét A, B đồng thời các tiếp tuyến của _ () tại 4 và B có cùng hệ số góc
| Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình — 1+sinx+(1+sinx).sin 2x = c0S2x Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình
| 2x?—~4x—=9+^A/Sx+e6+A/7x+ll=0 — (xe)
tr v4.2
| (x +1)
_Câu 5 (1;0 diễm) Cho hình chóp S.4BCD có đây ABCD là hình chữ nhật, 4B =a, S4 = BC = 24 Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 7 =
Biết rằng hai mặt phang (SAC) va (SBD) cùng vuông góc với mặt phang (ABCD) Tinh thé tích của khéi chop S ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thang AC và SD theo a
“Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện x`°+ y°4-Z”+xp+ J2 + X2 = 6 “Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 x `2 54 P= Zo be + One t y+ 2) 4 — yoo x Ố+xV+- WZ + XZ
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác 1BC Gọi # và lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh Ö, C của tam giác ABC Tìm tọa độ của đỉnh 4 biết ‘rang
1
E74), F( 2), phương trình đường thăng ĐC là x+3y—4= 0 và điểm 8 có tung độ dương Câu 8 GQ, 0 diém) Trong khéng gian voi hé toa dé Oxyz, cho ba điểm A(3;3;2), B(-1;3;2),
ŒQÓ;3;—2) và mặt phẳng ():2x—2y—z+LI= Ô Viết phương trình của mặt cau (S) di qua ba diém 4,B,C và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Câu 9 (1,0 đ/ểm) Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện Z.Z + 2.Z = 19—4¡ Tìm môđun của sô phức
2
wee tz+t
Thi sink khéng duoc sử dụng tài liệu Cán bộ coi thì không giải thích gì thêm
08:08 11 : Số báo danh: .<-errreerersree
Trang 3
SỞ GD & ĐT HÀ NỘI pAP AN — THANG DIEM MON TOÁN KHÔI A TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẺ VINH pk THI THU DAL HOC LAN 2 NAM 2014
| NOL DUNG DIEM | Câu 1 2 điệm _ x-Ì 1 diém a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm SỐ y=—— * Tập xác định: 2=IR\{-l) * Chiều biến thiên: y'= oy >0 WxeD, Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó, do đó hàm số không có cực trị 0,254 _ * Tiệm cận: lim y= to, „Im y=~œ; lim y=!
eee cy oe 0,25đ
=> Đà thị (C) có tiệm cận đứng x= —| va tiém can ngang ve = |, * Bang biộn thiờn x |ơđ -ẽ + L _ + _ +09 _— | l ~ 0,25d ~ * Vẽ đúng đồ thị 0,25d b) Tim để đường thắng ở: yar +m cat dé thi (C) tai hai điểm phân biệt A, B Chứng
minh rằng khi đó tích các hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại 4 và # không adi 1 diém : ` ˆ A x—] x#-l Phương trình hoành độ giao điểm: —=x +7 <> 0.25d x+l s(%x) =x” +mx+m+I<0 (2) “ | Đường thăng ở cắt đỗ thị (C) tại hai điểm phân biệt > phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x #~—] | A>0 1m ~ 4n +]) >0 m>2+2A2 &> = Oo ø(-)#0 (—l) —=m+m+lz0 m<2—22 0,25đ
| Goi A(a,a+m), B(b,b +m) trong dé a, b là hai nghiệm của phương trình (2) | Tích các hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại 4 và Ö là 2 2 4 f(a).f (6) = >= - | (a+lY (+l)? fabt+ (a+b) +1) 0,25đ trhrbm— Theo Định lý Viết ta có “ m ab =m +] 4 Suy ra £9./B)=z—————z (m+1- mạ 0,25đ không đổi - : A lãi ì in 1 điểm | Câu 2 Giải phương trình 2sin x—=cbs2x tcosx = Ö, 7 Phuong trinh
<> 2sin’ x.sinx +1-2cos’ x+cosx =0
Trang 4\2.sin(x + “)=0 Sinx,+cosx =0 <> sin x +cosx+2=0 2 sin(x+—)=~2 ›, A
&> sin(x + 2 =2 (Loại) hoặc sin(x+ 2 =0Qx Ws k# Ox= a kn (ke 2) 0,25d Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = 2kx hoặc x= a kn (k2)
——_— 1 điểm
Câu 3 Giải phương trình 2x°—9x+3+ 3x? +7x-l+vV3x-2=0 (xe)
Điều kiện x > 2- Phương trình đã cho trở thành: 202 =3x+2) =(2x+1— V3” + 7x=1)+(=3x—2) 0,254 +1? —Gx? +7x~1 -(3 | c>202 ~3x+2)= EX 2x+l+N3x?+7x—l =@ =— , x =6x-2) x+AJ3x~2 2 xˆ—3x+2 xằ—3x+2 > 2(x’ -3x4+2)= + = 0,25đ 2x -+b4+V3x2 + 7x—1 x+V3x~2 x=] x —~3x+2=0 x=2 = I + l =? <> {7 | ; mm 2x+l+V3x?+7x-1 x+N3x-~Z —'——-? 0 0/2541 | Với x xế ta có 3 - | | + ! < pt e3y3er | dx+1+V3247x—-1 xtvBx-2 42,, 2 7 2 7 3 3
Do đó phương trình (#) vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = l;x =2 0,25đ
Cầu 4 Tính tích phần [= jox —2)Ìln = dx, 1diém pat = IS “d= (3x° ~ 2)dx > du = - oy pm _xà 0,25d Tacó 7=(x`-2x), nà Joe Ax) rp 21.In2—4.ln3+2 joe v2 — 0.25d 290 | = 21.ln2— 4.ln3+ i _ : | 5 x -Ì 3 " =21.In 2-4,In3 +(x? la|x° = || 0,25d- ~ 2 : + Le =l8lhn2—3ln3 +5 | | | 0,25đ
Câu 5 Cho hình chóp S.4BCD có đáy ABCD là bình chữ nhật, 4B =&, SA =SB= SC= BC = 2a Tính | thé tich khéi chép S ABCD va tinh khoang cach gitta hai đường thing AC va SD theo a Ldiém
Hạ SỐ L.(4BCD).Vì S4= SB = $C nên ta có AS4O =ASBO=<ASCO=OA=OBR=OC ——<“—S SCS _ Vậy Ở là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC Tir dé suy ra Ở là trung điểm của AC 0,25đ
Ta có AC? = AB? + BC? =5a? = AC =aÍŠS => OA= =5 = SỐ =A|S4? T-OA? = oli
¬ | | 3
Trang 5
A
d( AC, SD) = d(SD,(ACM)) = d(D,(ACM)) = ¬
Gọi À⁄/ là trung điểm cua SB Ta cé OM song song véi SD, Do dé mat phing (ACM) song song voi SD Từ đó Đặt ¿=x+p+z Vì x, y,z > Ø nên ta có ? =x? ty? 42? +2(xy + J2 + X2) > x) +? +22 + x) + J2 + xz = 6 => £ > A6, www Mi ATHY §.com ACM , ] ¬ avll + Ta cO Vy ge = “aracn = 2 Peach = 515 sane = “1 0,200 nổ Ta có tam Biác SBC đều, do đó CM = = 2” = a3 | | , "+ AB? SB _ 3a’ | -‡ Trong tam giác SAB ta cô AM? = As’ =— 1 f= AM = os từ đó - Ƒ—— — 2 ——”—— ae af 1 cosAMC = Ma" + MC” ~ AC" =~ => sinAMC = V1-cos’* AMC = KT 2.MAMC 12 12 | —=a_Ì we _a 19 > Sade ÝP „-MA MC.sin AMC 1a a3.~——~ TT „M1 dị Vậy d(AC,SD) = — sae = L2 _ 4a ua : Sac ck avis _ I9 0,225đ
ICâu 6 Cho ba số đương x, ÿ, z thay đối nhưng luôn thỏa mãn điều kiện
Trang 6=-»Ƒ Mặt khác 1a có | (x— y}! +Œ—z)? t(x¬z)°>0=—x) ty tzÏ>xvy+ 2+2 - |Suyra Qf? = 200" + yy? + 27) 4+ Aap + yz +-x2) 8 3(x?+y°+z?+x+z+txz) =18=>7 <3, | Vay P3/(0=3/-lain~22 6-3 - |Œ?) tiếp xúc với mặt câu (%) khi và chỉ khi " '4Œ.(P)<R=1Aœ Pas —= 211 = (a V2 42 4P www Mi ATHY §.com -43? +(5~3a— 2)? +(2a- 2)? To tự 0,254 VỚI /=xEy+zZ€ (6:3 ] | _Fa có + nộ _ f= 2-4 Tay? 7 l2 22 12 -6+1l-6 „(Œ-=ÙŒ-2/-3) _- 5 =2 ¬ <0 _v/e(6;3l Suyra /#Œ)> /G)= ~ -l2hn3 0.25đ Do đó _ | - _ Pa f@)>~L!~12In3 3 II 1]
"Khi x=y=z=lthì P ==]2hẻ vay giá trị nhỏ nhất của P bằng _+]2mẻ 0,25đ | “Câu 7, Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác 4C cân tại đỉnh 44 Gọi XN là trung điểm của 48 1 điểm
Gọi Eva F lan lượt là chân đường cao hạ từ các đính B, C cia tam giác ABC Tim toa độ ‹ củn đỉnh 4 le I
biết rằng EN); 6 (2) y và phương trình đường thẳng CN là 2x+y-—l13= :0,
One Goi G là trọng tâm của tam giác 4BŒ Vì G CN => G(;13—2/) Do tam giae ABC can tai A nên ta có
op o) GE? =GF? o(t-TY +(13-26-ly =(@-—¥ + (13 - 2t -=Y St =5 => G(5;3) ye, 1 cố 13 | , OF (f-7)" +¢ y =( s) ề s) › => G(S;3) | 0,254 TS ị + _ ~ ` x, 2 ` x=5-+f, - ¬ | | Taco AGLEF > wu, =(1;3) Phương trình đường thang AG là 333/ => A(S+a;3+34) TS ` | : yest “7 CECN = C(e,13— 2c) ¬- mu tr đó suy ra Xụ =ẦXg — Xã — Xe = TỔ ga => B8(0—a—eđ;~?— 3a + 2c) Doe Ue =3YG V4 ~ Ye BT 3a + 2e Tac có ˆ ob BCs (a+20-10: 3a ~ 40 +20) Lu, =(133) 0,250
| ©1.(4+2e—10)+3(a —4e-+20)=0 > a=e-5 |
Suy-ta 8qd5—2c;§8—e) Ta có EB = (8 - 20; 7—¢), EC =(c-7;12- 2e) Vì EB 1 EC nên ta có 0254:
_—— EB.EC =0 _
> (8 -2c).(e~+ 7) 4 (7 —e)(12 — 2¢) =0 <> 28~— 4e =0 <đ®e=7,a=e@ =5 = 2,
Vậy 4Œ;9),B(;I).CŒ;~D) | 0,254
Trang 7a= <> 10a° 38a+28=0< 14 Gam, 5 0,25đ © V6l a =] ta có /(1;2;0), R= JA =3 Phuong trinh (S) la (x—1)? #(p 2) +27 = 9, | 18 ® Với a=Ê tạ có CC 12, Ss Re ~3, Phương trình (5) là (xy + (y+ sử +(Z——— 082 025đ 5 5 5 5 25 v36 , cóc 2 Cm TÐ-4i „ ^ 1 , - 2 Câu 9 Cho sô phức z thỏa mãn điêu kiện z = ˆ, Tìm môđun của sô phức w=z'+z +] 1 diém | z+
Trang 8SO GD & DT HA NOI TRUONG THPT LUONG THE VINH ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM MƠN TỐN KHĨI Ð ĐÈ THỊ THỬ ĐẠI HỌC LAN 2 NAM 2014 NỘI DUNG ĐIỂM | Cầu l1 2 điểm - a te mw ah ape ns CA =Ì 1 điểm a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = TT x + —~
* Tap xac dinh: D=R\{-1}
* Chiéu bién thién: y’ = 2 5
(x +1) 0,25đ
Hàm sô đồng biển trên từng khoảng xác định của nó, do đó hàm sô không có cực trị ` | *® Tiệm cận: lim y=+s, lim y=-o; lim y=1 xí C1} (HP xe 0 25ä ` => Đô thị (C) có tiệm cận ding x = —~ Ï và tiệm cận ngang y = ] * Bảng biên thiên x | -00 ~| +0 y` + + +00 | I - 0 0,25đ- * Vẽ đúng đồ thị 0.25đ-
b) Tìm để đường thang d: y=—x-+m cắt đỗ thị (C) tại hai điểm phân biệt 4l, 8 đồng thời | 1 điểm
các tiếp tuyến của (C) tại 4 và B có cùng hệ SỐ góc : ‘ ` ns 2 x-] x#~I ˆ Phương trình hoành độ giao điểm: =X EM <> 5 0.254 x+Ï |ø(Œ)=x/ +(2-m)x—(m+l)=0_ (2) , 7 Đường thắng đ cắt đô thị (C) tai hai điểm phân biệt © phương trình (2) có 2 nghiém phan biét x #~-1 A>0 (2— m3? ~ 40m +1) >0 mm +8>0° | => <> <> - đúng VỚI moi i _ | Goi A(a,~a +), B(b,—b +m) trong dé a, 6 la hai nghiém ctta phương trình (2) Theo để bài ta có —^ 2 a+l=b+1 a=b -
#%œ)=/ƒ0)<> ‘aly (b+ly ——> © (2+1) =(+D © anes ~—~(b+1) > |a+b= 2 | 0,250." 1
Trang 9www IM ATHY §.com 1x 25d
<> sin(x + 2 = —/2 (Loại) hoặc sin(x+ 2) =0<>x a =ktQuxr= xỉ kn (k €5) 0
Vay phuong trinh da cho 6 cac nghiém la x= 2ka hoae x= 7 thr (keZ)
Câu 3 Giải phương trình = 2x’ 4x-9 +A\5x+6+A7x+l1=0 (x eR) 1 điểm ' Điều kiện x> _ Phương trình đã cho trở thành: 2x?~2x=4=(x+2—5x+-6)+(x+3—A/7x+11) 0,25đ (x+2) -(5x + 6) & +3)? —(7x +11) 3 x? —-x-2 x?°—x—2 « 2(xÌ—x~2)= <>2(x”—-x—2)= ——+ a ¿+ t = x+2+V¥5x+6 x+34V7x 411 x+2+A/Sx+6 x+3+47x+ll 0,25đ “4 x=-Ìl x=x¬=2=0 x=2 => l | 4° I , t2445x+L6 x434V7x411 + =2 (*) 0,290 * x46 x43407 x4+24V5x+6 x+3+V7x+ll | Vol x2 : ta có + < : + W242 <2, x4+24V5x46 x+34V7x411 61, _614 5 5 | Do dé phuong trinh (*) v6 nghiém Vay phuong trinh da cho cé hai nghiệm là x = ¬l;x = Z 0,25đ- tr x 42 | Cau 4 Tinh tich phân J = lọ z In(x + l)dx idiém Đặt /=x+l=>x=/—l >> dx=dứ và — voe-lel=e Có CỐ kẻ Tacó 1= l2 nf at 0,25d fe dt [at =I, +1, | | | 0,254 , cine (nz 1 - Tinh f= 7 at = Infd(nf) =-—-—-] =— | | f ịn (n2 2 Tinh J, = Thai Đặt ø = Ín/,w = at => du = a ,U=—— | Ta có Ỉ ẽ f t l =—LiInt ft Se-+-t = a2 t | tt oe th e 0,25đ 3 2 _ Va J=l1+Ù=——— l ma 0,254
Cau 5, Cho hinh chép SABCD c6 day ABCD 1a hinh chit nhat, AB = a, SA = BC = 2a
Biét rang hai mat phẳng (S⁄4C) và (SBĐ) cùng vuông góc với mặt phang (ABCD) Tinh thé tich
của khối chóp S ABCD va tính khoảng cách giữa bai đường thắng 4C và ,ŠD theo ø 1điễm
Trang 10ˆ Trong tam giác %4 ta có AM? = Gọi M {a tring diém ctia SB Ta c6 OM song song voi SD Do đó mặt phang (ACM) song song voi SD Do dé 3V, - d(AC, SD) = d(SD, (ACM )) = d(D,(ACM)) = DACM ACM a Vil | 1 ] 1 Ves ac = 579 Sanco = _12— Ta co Vyas = ¥aacp = 2 als V3.SB đã, Ta cO OA = OB = oc = 23> = SB = SC = SA =2a Tam gidc SBC déu, do đó CM = = | 2 2 zt 2 ASA SD 34? =4 =3, Từ đó vua 2 xả 2 -
cosAMC = MA’ + MC" ~ ACT = -= => sinAMC =V1~—cos 2 AMC = _2.MA4.MCG
=> Sue = 5 MA MAMC, sin AMC = = a3 a3.——— v9 ois 5 oi 7 Vay d(AC, Sb) = eae 1 _ Aah Sim @ nh — A/H19- l6 025đ 0,25đ-
Trang 11(x~ y} tŒ-z}?+(x-2)° >0 => x” +yÌ +2 > xự + J2 + XZ, Do đó 2p? = 2027 + yy? + 2°) + 4(xy + J2 + x2) < Br ty ta taytyetxz)=18Sts3 Từ đó ta được | pe fy=r+9int +2 voi f=x+y+ze(0;3) 0,25d Taco 7 | C 6 (t—3 ro-= [42 HS t thà ee ne ) <0 vie(0;3] Suyra #Œ)> #@)=9+9ln3 Do đó P>/(@)>9+9lIn3
Khix=y=z= thi P=9+9In3 Vay giá trị nhỏ nhất của ? bằng 9+ 9In3 |
Câu 7 Trong mit phang toa dé Oxy, cho tam giác 4C Goi E va F lần lượt là chân đường cao hạ từ 1 did l têm - các đỉnh Ö, C của tam giác ABC Tim tea độ của đỉnh 4 biết rằng #(7;Ù,# [Si 2) phuong trinh
dwong thing BClA x+3y—-4=0 va điểm có tung độ đương,
Gọi K là trung điểm của 8C Vì Ke BC = K(4-3;Ð Vì BEC = BFC = 90° nén ta 06 KE’ = KF? <2 (4-4-TY +(Â-lƠ =(4- ==) By c>/=0> K(4;0) 0,25đ Tacé Be BC => B(4—3b;b) voib>0 Vi BEC =90° néntacd - KR = KE? © (4—~3b ~ 4)? +b? =(7~ 4” +(1—=0)” œ 108? =10 0254 @b=—] (Loại) hoặc ö = I Do dé B31) = —2x, -x,=7 : Ta có {* te BS" COED 1e =2, TXg, =—], , Phương trình đường thắng C*làx= 7, 0.254 7
Phuong trinh duong thang BF la 4x~3y~1= 0, _“
Tacé A= BF OCE = A(7;9) 0,25d_
Cau 8 Trong khong gian với hệ toa dO Oxyz, cho ba diém AG;3;2), B(-1;3;2), Œ@;3;-2)và Si
mặt phẳng (P): 2x - 2y- z+11=0 Viết phương trình của mat cầu (Š) đi qua ba điểm 44, B, C I điểm
| va GS) tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Goi (a,b,c) la fam cha mat cầu (% Ta có
Al =Br ° (a =3)? +-(b~ 3)? +(c— 2)? =(a+1)? +(b—3? +(e—23 - AI? =Cïỉ! (a—~39 +(b—3)? +(e— 2)? =(a—3)?+(b—3)” +(e+2)Ï , 0,254
- Jeno SHO a=} rasp: 025đ a5
Trang 12
Câu 9 Cho số phức ¿ thỏa mãn điều kiện zz+'2z=19-4i Tìm môđun của số phức ,
Wee tard, 1 diém