Giáo trình Xác suất thống kê

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM BỘ MƠN TỐN LÝ GIÁO TRÌNH NỘI BỘ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Dành cho sinh viên tất ngành học (Tài liệu lưu hành nội bộ) Thái Nguyên, năm 2017 M l PhÇn Lý thuyÕt x¸ suÊt BiÕn è ngÉu nhiên xá suất 1.1 Giải tí h tổ hợp 1.1.1 Quy t¾ éng 1.1.2 Quy tắ nhân 1.1.3 Hoán vị 1.1.4 ChØnh hỵp 1.1.5 Chỉnh hợp lặp 1.1.6 Tỉ hỵp 1.1.7 Phương pháp giải toán giải tí h tổ hợp 1.2 Php thử vµ biÕn è 1.2.1 Php thö 1.2.2 BiÕn è (sù kiÖn) 1.2.3 Quan hệ biÕn è 1.2.4 Ph©n hia mét biÕn è theo hệ đầy đủ 1.3 Cá định nghĩa xá suất 1.3.1 Định nghĩa ổ điển xá suất 1.3.2 Định nghĩa thống kê xá suất 1.3.3 Nguyên lý xá suất lớn xá suất nhỏ 1.4 Cá định lý ¬ b¶n 1.4.1 Định lý ộng xá suất 1.4.2 Định lý nhân xá suất 1.4.3 Định lý xá suất toàn phần - Định lý Bayes 1.4.4 Định lý Bernoulli 6 7 8 9 10 10 11 11 13 14 14 17 18 19 19 20 23 26 Bài tập hương 28 Biến ngẫu nhiên Quy luật phân phối xá suất 33 2.1 BiÕn ngÉu nhiªn 2.2 Quy luật phân phối xá suất biến ngẫu nhiên 2.2.1 Bảng phân phối xá suất biến ngẫu nhiên 2.2.2 Hàm phân phối xá xuÊt 2.2.3 Hàm mật độ xá suất 2.3 Cá tham số đặ trưng biến ngẫu nhiên 2.3.1 Kỳ vọng toán 2.3.2 Ph­¬ng sai 2.3.3 §é lÖ h huÈn 2.4 Một số quy luật phân phối xá suất thông dng 2.4.1 Quy luËt kh«ng-mét rêi r¹ 33 34 35 37 40 43 44 48 50 51 52 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.4.6 2.4.7 Quy luËt nhÞ thø Quy luËt Poisson Quy luËt huÈn N(a, σ ) Quy luËt bình phương-2 Quy luật Student-T(n) Cá định lí giới hạn 52 53 54 60 61 62 Bµi tập hương 66 Phần Thống kê toán 70 Cơ sở lý thuyết mẫu 3.1 Tổng thể mÉu 3.1.1 Tỉng thĨ vµ kÝ h th­í đa tỉng thĨ 3.1.2 MÉu phương pháp họn mẫu 3.1.3 MÉu ngÉu nhiªn 3.2 Cá phương pháp mô tả mẫu ngẫu nhiên 3.2.1 Sắp xÕp sè liÖu thù nghiÖm 3.2.2 Hàm phân phối thự nghiệm mẫu 3.2.3 BiĨu diƠn sè liƯu b»ng biĨu ®å 3.3 Cá đặ trưng mẫu ngẫu nhiên 3.3.1 Hàm thống kª 3.3.2 Trung b×nh mÉu 3.3.3 Ph­¬ng sai mÉu 3.3.4 Phương sai điều hỉnh mẫu 3.3.5 Độ lệ h tiêu huẩn mẫu độ lệ h tiªu 3.3.6 Sai sè tiªu huÈn 3.3.7 C¸ h tính đặ trưng mẫu 3.3.8 TÇn suÊt mÉu 71 hn ®iỊu hØnh mÉu 71 71 71 73 74 74 75 76 79 79 79 80 80 80 81 81 84 Bài tập hương 84 ớ lượng tham số 87 4.1 Phương pháp ướ lượng ®iÓm 4.1.1 Phương pháp hàm ướ lượng (phương pháp mô men) 4.2 Phương pháp ướ lượng khoảng tin Ëy 4.2.1 Kh¸i niÖm 4.2.2 í l­ỵng kú väng đa biÕn ngÉu nhiên ó phân phối huẩn 4.2.3 ớ lượng kì vọng toán biến ngẫu nhiên không theo quy luËt phèi huÈn 4.2.4 ớ lượng khoảng ho tỉ lÖ ph©n 87 87 90 90 91 97 97 Bài tập hương 100 Kiểm định giả thuyết thống kê 106 5.1 Khái niệm 5.1.1 Gi¶ thuyÕt thèng kª 5.1.2 Tiêu huẩn kiểm định giả thuyết thống kê 5.1.3 Miền bá bỏ giả thuyết thống kê 5.1.4 Giá trị quan sát tiêu huẩn kiểm định 5.1.5 Quy tắ kiểm định gi¶ thuyÕt 106 106 107 107 107 107 5.1.6 C¸ sai lầm mắ phải kiểm định 5.1.7 Thủ t kiểm định giả thuyết thống kê 5.2 Kiểm định giả thuyết giá trị trung bình 5.2.1 Đà biết phương sai 5.2.2 Ch­a biÕt ph­¬ng sai 5.3 Kiểm định hai kỳ vọng hai biÕn huÈn 5.4 Kiểm định giả thuyết xá suất 5.4.1 Tr­êng hỵp mét tỉng thĨ 5.4.2 Tr­êng hỵp hai tỉng thÓ ngÉu nhiªn ã ph©n phèi Bài tập hương 113 116 116 117 118 Tương quan hồi quy 6.1 Đồ thị phân tán 6.2 HƯ sè t­¬ng quan 6.2.1 Ph©n tÝ h ý nghÜa hƯ sè t­¬ng quan 6.2.2 HƯ sè t­¬ng quan mÉu 6.2.3 Kiểm định giả thuyết giá trị 6.3 Hồi quy tuyến tính đơn gi¶n 6.3.1 Mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản 6.3.2 Phương trình hồi quy tuyến tính đơn giản 6.3.3 Phương trình đường håi quy tuyÕn tÝnh mÉu 108 108 108 109 110 123 tỉng thĨ 123 124 124 125 127 128 128 129 130 Bài tập hương 133 Ph l 139 Ph l 141 Ph l 142 Ph l 143 Tài liệu tham khảo 144 Lời nói đầu "Xá suất thống kê" môn họ ần thiết sinh viên khối trường Kinh tếNông-Lâm-Sinh-Y nội dung phong phú ứng dng réng r·i đa nã nhiỊu lÜnh vù kh¸ khoa họ tự nhiên, kỹ thuật, y họ kinh tế-xà hội Đà ó nhiều uốn sá h giáo trình đượ viết ho môn họ này, nhiên nhóm tá giả mong muốn viết uốn giáo trình phù hợp với nội dung hương trình Trường Đại họ Nông Lâm để sinh viên ó thể tiếp ận môn họ môn họ sở ngành sau đó, ũng ập nhật với hương trình thi tuyển sau đại họ môn Toán ao ấp thống kê Đại họ Thái Nguyên ho khối ngành Nông-Lâm-Sinh-Y Giáo trình gồm hai phần Phần I: "Lý thuyết xá suất" ó hai hương Chương trang bị kiến thứ giải tí h tổ hợp, khái niệm tảng, định lý quan trọng lý thuyết xá suất ổ điển Chương quan tâm đến khái niệm trung tâm xá suất biến ngẫu nhiên ¸ quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt, ¸ tham sè đặ trưng Một số quy luật phân phối xá suất thông dng định lý luật số lớn, định lý giới hạn ũng đượ trình bày hương Phần II: "Thống kê toán" gồm ó hương Chương trình bày sở lý thuyết mẫu: phương pháp họn mẫu, xếp mẫu, đặ trưng mẫu Chương Chương quan tâm đến hai toán ướ lượng tham số kiểm định giả thuyết thống kê Cá toán tương quan hồi quy tuyến tính đơn giản đượ đề ập đến Chương Phần uối ùng số bảng ph l thông dng Bạn đọ ó thể tự họ môn "Xá suất thống kê" với uốn giáo trình đà đượ trang bị số kiến thứ Giải tí h ổ điển Đại số tuyến tính Cá khái niệm đượ ập nhật thêm thuật ngữ tiếng Anh để bạn đọ ó thể làm quen với thuật ngữ đọ sá h nướ Hệ thống ví d đượ lựa họn nhiều liên quan đến toán thường gặp thự tế lĩnh vự Nông, Lâm nghiệp, Sinh họ Cá tập uối hương dành ho bạn đọ giải thông qua vận dng lý thuyết lời giải ví d hương Trong kiến thứ rộng lớn lý thuyết xá suất thống kê toán, để lựa họn đượ vấn đề ần thiết viết khuôn khổ uốn giáo trình nhỏ ho phù hợp với nội dung hương trình bậ đại họ , đáp ứng đượ m tiêu đà đề khó khăn không tránh khỏi sai sót Cá tá giả mong muốn nhận đượ nhận xt góp ý đồng nghiệp, sinh viên bạn đọ để uốn giáo trình đượ hoàn thiện Nhóm tá giả Phần Lý thuyết xá suất Sự không hắ phổ biến giới mà ta sống: từ vấn đề giới tự nhiên nắng, mưa, giông, bÃo, đến vấn đề đời sống hính trị, xà hội on ng­êi Ngay ¶ Sinh - L·o - BƯnh - Tư - mét quy lt tÊt u mµ ịng biết, hặng đường hắ mà đời người phải trải qua nhìn ũng nằm điều khiển húng ta Tuy nhiên, không hắ làm ho uộ sống húng ta trở nên thú vị nhiều HÃy thử tưởng tượng xem giới trở nên buồn tẻ, hán ngắt đến mứ thứ ó thể biết trướ á h hắ hắn, hoàn hảo? Lý thuyết xá suất ngành khoa họ Toán họ xá lập suy luận mang tính định lượng không hắ hắn, thông qua nghiên ứu quy luật tất nhiên ẩn dấu sau tượng mang tính ngẫu nhiên nhằm ho php dự báo tượng ngẫu nhiên xảy Chính vậy, phương pháp lý thuyết xá suất đượ ứng dng rộng rÃi lĩnh vù đa sèng Ch­¬ng BiÕn è ngÉu nhiên xá suất Chương dành để giới thiệu ¸ kh¸i niƯm nỊn mãng đa x¸ st: php thư, biến ố ngẫu nhiên, biến ố sơ ấp, Cá định nghĩa xá suất đượ giới thiệu M ùng M 1.3 uối 1.4 ung ấp ông  để tính xá suất: định lý ộng, định lý nhân, định lý toàn phần, Bayes định lý Bernoulli 1.1 Giải tí h tổ hợp M dành để tóm lượ lại kiến thứ giải tí h tổ hợp mà sinh viên đà đượ họ hương trình phổ thông Cá toán giải tí h tổ hợp òn đượ gọi toán "đếm": đếm số kết quả, đếm số khả xảy ra, đếm á h giải vấn đề, nói đếm số lượng đối tượng mà hầu hết loại đối tượng đượ đề ập đến ó thể mô tả dÃy phần tử thỏa mÃn điều kiện định Ta ó thể mô toán giải tí h tổ hợp sau Bài toán "Cho n, k N tËp hỵp E = {x1 , x2 , , xn } gồm n phần tử Cã bao nhiªu d·y x1 x2 xk phần tử đượ lấy từ tập E thỏa m·n ¸ tÝnh hÊt N1 , N2 , ?" Có nhiều á h giải toán tùy theo á h lấy k phần tử phương pháp xếp húng để ho ta kết 1.1.1 Quy tắ ộng Giả sử ông việ ó thể thự theo k phương án A1 , A2 , , Ak , phương án Ai ó ni á h thự á h thự phương án Ai không trùng với á h thự phương án thể đượ thự hiÖn bëi VÝ d 1.1.1 n1 + n2 + + nk á h ta gọi quy tắ ộng (Additional Rule) Một tổ gồm ó Tuyên Quang vµ Aj nÕu i 6= j , víi mäi i, j = 1, , k Khi đó, ông việ ó sinh viên Thái Nguyên, sinh viên Yên Bái, sinh viên sinh viên Hà Giang Cần họn sinh viên ùng tỉnh để lao động Hỏi ó á h họn? Giải Phương án 1: ó á h họn sinh viên Thái Nguyên; Phương ¸n 2: ã ¸ h hän sinh viªn ë Yên Bái; Phương án 3: ó ó á h họn sinh viên Tuyên Quang; Phương án 4: á h họn sinh viên Hà Giang Vậy, ó n = + + + = 10 á h họn Chú ý rằng, hất quy tắ đếm số phần tử tập hợp hữu hạn không giao Tuy nhiên, nhiều trường hợp, ta ần đếm số phần tử hợp hai tập hợp hữu hạn ó giao Nếu ký hiệu n(ã) số phần tử tập hợp ta ó quy tắ ộng mở réng sau: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A B) Ví d 1.1.2 Pháp, Một hội nghị khoa hä què tÕ gåm 100 ng­êi biÕt tiÕng Anh, 60 ng­êi biÕt tiÕng 20 ng­êi biÕt ¶ hai thø tiếng 50 người òn lại ả hai thứ tiếng Hỏi Hội nghị khoa họ ó người? Giải Gọi tập hợp người biết tiếng Anh A, người biết tiếng Pháp B Khi tập hợp người biết tiếng Anh hoặ Pháp AB Theo ta ã n(A) = 100; n(B) = 60; n(A ∩ B) = 20 vµ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 100 + 60 − 20 = 140 Vậy Hội nghị khoa họ ó 1.1.2 140 + 50 = 190 (người) Quy tắ nhân Giả sử ông việ phải thự k giai đoạn A1 , A2 , , Ak , giai đoạn Ai đượ thự ni ¸ h, víi mäi i = 1, , k Khi ®ã, ã n1 n2 nk á h thự ông việ nói ta gọi quy tắ nhân (Multipli ative Rule) Ví d 1.1.3 Biển số xe ô tô gồm hữ bảng ký tự, ký tự đầu mà số tỉnh, ký tự thứ ba 26 hữ tiếng Anh, ký tự hữ số thuộ tập {0, 1, , 9} Hái nÕu hØ dïng mét mà số tỉnh ố định tỉnh ó thể làm đượ nhiều biển số xe nhau? Giải Vì mà số tỉnh đà đượ ố định nên ta ó 26 á h họn hữ xếp vị trí thứ ba ó 10 á h họn hữ số ho vị trí bốn vị trí òn lại Theo quy tắ nhân, ta ó 26 ì 10 × 10 × 10 × 10 = 260.000 (biÓn sè xe) 1.1.3 Hoán vị Định nghĩa 1.1.4 Một hoán vị (permutation) tử theo thứ tự định n phần tử tập E á h xếp n phần Số hoán vị n phần tử, ký hiƯu Pn , lµ Pn = n! = n(n − 1)(n − 2) 2.1 vµ quy ­í 0! = VÝ d 1.1.5 (i) Cã xÕp nh­ sau: ng­êi A, B, C xÕp vµo hỗ ngồi Ta ó P3 = 3! = ì ì = á h ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA (ii) Tõ h÷ sè 1, 2, ó thể tạo đượ số gồm hữ số nhau? Giải Rõ ràng số gồm hữ số tạo từ 1, 2, hoán vị phần tử Vậy ta ã 1.1.4 P3 = 3! = × × = số, là: 123, 132, 213, 231, 312, 321 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.1.6 ó thứ tự gồm Một hỉnh hợp (arrangement) hập k n phần tư (0 < k n) lµ mét d·y k phần tử đượ lấy từ tập E Số hỉnh hợp hập k n phần tử, ký hiƯu Akn , lµ Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = VÝ d 1.1.7 n! (n k)! Sinh viên năm thứ Trường Đại họ Nông Lâm phải họ họ kỳ, ngày họ họ phần họ phần Hỏi Phòng Đào tạo Trường ó á h xếp thời khóa biểu ngày? Giải Số á h ần tìm hính số á h ghp họ phần từ họ phần, ¸ h ghp sÏ kh¸ nÕu ã Ýt nhÊt mét họ phần hoặ thứ tự họ phần Vì á h xếp thời khóa biểu ngày A25 = ì ì = 60 ( á h) 1.1.5 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.1.8 Một hỉnh hợp lặp (arrangement with repetition) hập dÃy ó thứ tự gồm k n phần tử k phần tử (không thiết nhau) đượ lấy từ tập E Số hỉnh hợp lặp hập k n phần tử, ký hiệu Akn , Akn = nk Ví d 1.1.9 ó Có khá h hàng không quen biết ùng vào mua hàng ửa hàng gồm quầy Giả sử khá h hàng vào mua hàng quầy á h ngẫu nhiên Hỏi ó á h để người vào quầy nói trên? Giải Vì người ó á h họn quầy nên số á h để người vào mua hàng á h ngẫu nhiên quầy hính A57 = 75 = 16.807 1.1.6 Tổ hợp Định nghĩa 1.1.10 on gồm Một tổ hợp ( ombination) hập k đa n phÇn tư (0 < k n) tập k phần tử tập E Số tổ hợp hập k n phần tử, ký hiệu Cnk , Cnk = Vì Cnnk = nên á h lấy n(n 1) (n − k + 1) n! = k!(n − k)! k! n! n! = = Cnk , (n − k)!(n − (n − k))! k!(n − k)! k phần tử ũng hính á h lấy n k phần tử òn lại Ta ó số trường hợp đặ biệt sau Cn0 = Cnn = 1; Cn1 = Cnn−1 = n Tõ «ng thø tỉ hợp trên, ta ó ông thứ Nhị thứ Newton (a + b)n = an + Cn1 an−1 b + + Cnk an−k bk + + Cnn−1 abn−1 + bn Thay n = 2, vào ông thứ ta ó đẳng thứ đáng nhớ quen thuộ Ví d 1.1.11 (i) Chän ngÉu nhiªn C32 = (ii) Cã ng­êi tõ mét nhãm ng­êi A, B, C Khi đó, ó 3! = á h họn : AB, AC, BC 2!.1! hä sinh, Çn hän họ sinh để trự lớp, hỏi ó á h họn? Giải Rõ ràng số á h họn họ sinh bÊt kú sè hä sinh lµ sè tổ hợp hập phần tử Vậy ta ã C52 = 1.1.7 5×4 5! = = 10 á h họn 2!3! Phương pháp giải toán giải tí h tổ hợp Giải tí h tổ hợp ông  quan trọng, ph v đắ lự ho việ giải tập xá suất sau Trong trình giải toán giải tí h tổ hợp, ông việ đòi hỏi nhiều tư hính "nhận dạng" xem toán thuộ á h đếm Nói á h khá , điều quan trọng ần phân biệt, so sánh đượ khái niệm để áp dng đượ ông thứ ần dùng Do đó, ta ã mét sè nhËn xt sau a) VỊ ¸ h lÊy phần tử: Ta thường dùng á h để lấy k phÇn tư tõ n phÇn tư LÊy theo nghÜa tỉ hỵp LÊy theo nghÜa hØnh hỵp H·y ho kÕt ln vỊ hiƯu qu¶ đa viƯ ®ỉi míi thiÕt bÞ víi mø ý nghÜa BiÕt độ hịu lự trung bình mẫu bê tông 5% 230kg/cm2 Đo độ hịu lự X 210 mẫu bê tông ta ó kết sau: X ni Víi mø ý nghÜa 180 190 200 210 220 230 240 250 180 190 200 210 220 230 240 250 12 15 30 58 65 35 20 15 0, 05 hÃy ho kết luận độ hịu lự mẫu bê tông Mứ hao phí xăng loại xe ô tô hạy đoạn đường từ A đến B biến ngẫu nhiên ó phân phối huẩn với kì vọng 50 lít Do đoạn đường AB bị xuèng Êp, ng­êi ta nghi ngê r»ng mø hao phÝ xăng trung bình đà tăng lên Quan sát 28 ô tô ùng loại ta đượ : Lượng xăng hao phí (lít) Sè « t« ni 48, 49 49, 50 50, 49 49, 50 50, 51 10 H·y ho kÕt ln vỊ ®iỊu nghi ngê trªn víi mø ý nghÜa 5% Träng lượng đóng bao loại sản phẩm biến ngẫu nhiên ó phân phối huẩn với trọng lượng trung bình theo qui định ta ân thử 100 kg Nghi ngờ sản phẩm bị đóng thiếu, người 29 bao loại thu đượ kết quả: Trọng lượng (X)(kg) Sè bao t­¬ng øng Víi mø ý nghÜa ni 98, 98, 99, 99, 100, 100, 98, 99, 99, 100, 100, 101, 10 2, 5%, hÃy ho kết luận điều nghi ngờ Giám đố xí ngiệp ho biết lương trung bình ông nhân thuộ xí nghiệp 380 USD tháng Chọn ngẫu nhiên 36 ông nhân thấy lương trung bình 350 USD tháng, với độ lệ h huẩn 40 USD Lời báo áo giám đố ó tin ậy đượ không HÃy kết luận với mø ý nghÜa 5% Mét ưa hµng thù phÈm nhËn thÊy thêi gian võa qua trung b×nh mét khá h hàng mua 25 ngàn đồng thự phẩm ngày Nay ửa hàng theo dõi ngẫu nhiên 25 khá h hàng thấy trung bình khá h hàng mua độ lệ h tiêu huẩn điều hỉnh mẫu 24 ngàn đồng thự phẩm ngày ngàn đồng Với mứ ý nghĩa 5%, ó phải sứ mua khá h hàng thự giảm sút? 10 Để so sánh suất hai giống lúa A (năng suất X ) giống lúa B (năng suất Y ), người ta trồng ặp loại đất sau thu hoạ h ta đượ kết sau: Giống A (X ) Gièng B (Y ) BiÕt 6, 5, 4, 6, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 5, 5, 6, 4, 6, 4, X Y biến ngẫu nhiên ã ph©n phèi hn Víi mø ý nghÜa 0, 05 ó thể oi suất hai giống lúa không? 11 Để xt ảnh hưởng hai loại phân bón bón A, B giống lúa người ta dùng phân A bón ho lúa thưa rng Dïng ph©n bãn B bãn ho lóa ruộng Sau thu hoạ h ta ó kết (đơn vị tạ/ha): Năng suất sử dng phân A(X) Năng suất sử dng phân B(Y ) Với mứa ý nghÜa 45 47 46 49 43 44 46 43 46 50 44 0, 05 ã thĨ oi ¶nh h­ëng đa hai loại phân suất lúa hay không? 12 Theo dõi doanh thu X, Y hàng tháng ửa hàng bán giống ây trồng tỉnh A 10 ửa hàng bán giống ây trồng tỉnh B ta thu đượ kết sau X (triệu đồng/tháng) Y (triệu đồng/tháng) Với mø ý nghÜa 32 36 31 35 28 24 30 25 32 33 27 36 31 26 28 34 32 30 0, 05 ã thĨ oi doanh thu đa ¸ ửa hàng bán giống ây trồng hai địa phương hay không? 13 Một ông ty ã hƯ thèng m¸y tÝnh ã thĨ xư lÝ 1300 hóa đơn Công ty nhập hệ thống máy tính mới, hệ thống hạy kiểm tra hóa đơn đượ xử lý trung bình nghÜa 40 giê ho thÊy sè giê lµ 1378 với độ lệ h huẩn 215 Với mứ ý 2, 5%, hÃy nhận định xem hệ thống máy tính ó tốt hệ thống máy tính ũ không? 14 Theo mét ngn tØ lƯ d©n thÝ h xem d©n a ti vi ó 80% Thăm dò 36 d©n thÊy 25 d©n thÝ h xem d©n a Với mứ ý nghĩa 5%, hÃy xá định xem nguồn tin ó đáng tin ậy không? 15 Tỷ lệ bệnh nhân khỏi bệnh thuố loại T điều trị thuố loại A 85% Thí nghiệm dùng B số 900 người mắ bệnh T ó 810 người đượ hữa khỏi Như ó thể kết luận thuố loại B hiệu thuố loại A điều trị bệnh T hay không? Yêu ầu kết luËn víi mø ý nghÜa 0, 05 16 Trong vườn ươm, nghiên ứu tỷ lệ nảy mầm Keo tai tượng với hai phương pháp xử lý hạt (ở hai mứ nhiệt độ nhau), kết ho thấy xử lý mứ nhiệt độ thứ thấy ó 500 hạt đem 325 hạt nảy mầm; mứ nhiệt độ thứ hai 500 hạt ó 100 hạt không nảy mầm Có thể khẳng định hai mứ nhiệt độ nhau, tỷ lệ nảy mầm Keo tai tượng không? Mứ nhiệt độ tỷ lệ nảy mầm ao hơn? Kết luËn víi mø ý nghÜa 5% 17 Trong mét v­ên ươm ây mỡ on lô đượ he bóng 50%, kiểm tra ngẫu nhiên 430 ây thấy ó 350 ây on đạt tiêu huẩn xuất vườn; lô đượ he bóng 75%, kiểm tra ngẫu nhiên 450 ây thấy ó 150 ây không đạt tiêu huẩn xuất vườn Có thể khẳng định mứ he bóng ảnh hưởng đến tỷ lệ ây đạt tiêu huẩn xuất vườn hay không? Cho kÕt ln víi mø ý nghÜa 5% 18 Kh¶o sát hai khu rừng với diện tí h lớn bị nhiễm bệnh rơm thông Từ khu rừng, lập ô tiêu huẩn ngẫu nhiên điển hình sau: Khu rừng 1: Số ây đếm ây đếm 2000m2 thông kê số ây bị bệnh 70 ây, ó 24 ây nhiễm bệnh Khu rừng 2: Số 75 ây, ó 36 ây nhiễm bệnh Có thể khẳng định tỷ lệ ây bị nhiễm bệnh rơm thông hai khu rừng víi mø ý nghÜa 5% hay kh«ng? 19 Rõng trồng ây Keo lai hai vị trí ó độ dày tầng đất (< 30 m hoặ 30 50 m) Theo anh ( hị), nhân tố độ dày tầng đất ó ảnh hưởng đến sinh trưởng đường kính ây Keo lai hay không? Cho giá trị đường kÝnh đa ©y Keo lai víi hiỊu ao 1, m sau: Tầng đất 12,4 11,5 < 30 m Tầng ®Êt > 30 m 13,3 12,2 12,9 12,3 12,4 11,5 12,3 12,8 12,6 12,8 12,7 11,6 11,2 12,4 12,2 19,5 12,2 13,8 19,8 20,5 20,7 19,3 Yêu ầu ho kết luận với mứ ý nghĩa nhiên ó phân phối huẩn 5%, biết đường kính ây Keo lai biến ngẫu Chương Tương quan hồi quy Trong hương trướ húng ta hỉ nghiên ứu vấn đề liên quan ®Õn mÉu ngÉu nhiªn đa mét biÕn ngÉu nhiªn X Trong hương húng ta quan tâm đến mẫu ngẫu nhiên bao gồm ặp giá trị hai biến ngẫu nhiên X Y Chẳng hạn, để nghiên ứu hiều ao Y (m) đường kính X(cm) loại ây, người ta lấy mẫu ngẫu nhiên gồm ây thu thập số liệu hiều ao đường kính xi yi 4 8 ây bảng số liệu sau 11 14 Vấn đề đặt hiều ao ây đường kính ó mối liên hệ với nào? Qua mối quan hệ biết hiều ao ây liệu ó thể dự đoán đượ đường kính ngượ lại, biết đường kính ó thể dự đoán đượ hiều ao ây không? Trong hương húng ta giải vấn đề nêu toán phân tí h tương quan hồi quy Trong phân tí h tương quan người ta ®Ị Ëp ®Õn ­êng ®é đa mèi quan hƯ gi÷a hai biến X Y , đánh giá xem hai biÕn X vµ Y ã quan hƯ ph th lÉn hay không? Trong phân tí h hồi quy người ta lại xá định quan hệ hai biến dạng phương trình toán họ , từ ó thể dự đoán đượ biÕn BiÕn X vµ Y d­íi Y dùa vµo biÕn X ngượ lại Y đượ gọi biến ph thuộ (dependent variable), biến X đượ gọi biến độ lập (indenpendent variable) Chương ũng nghiên ứu tương quan hồi quy đơn biến tuyến tính, nghĩa hỉ nghiên ứu trường hợp biến Y hỉ ph thuộ vào biến X dạng phương trình hồi quy phương trình đường thẳng 6.1 Đồ thị phân tán Định nghĩa 6.1.1 điểm Đồ thị phân tán (S atter diagram) biến Y biến X tập hợp M(xi , yi ) hệ tọa độ vuông gó Dựa vào đồ thị phân tán ta ó thể xá định dạng quan hệ hai biến thị phân tán, điểm X Y Trong đồ M(xi , yi ) quy t xung quanh mét ®­êng thẳng d ta nói hai biến 123 ngẫu nhiên X Y ó tương quan tuyến tính (linear orrelation) Đường thẳng d đượ gọi đường hồi quy tuyÕn tÝnh Y Y X X H×nh 6.1: Quan hƯ tun tÝnh Y Y X H×nh 6.2: Quan hƯ phi tuyến tính 6.2 6.2.1 X Hình 6.3: Không ó quan hệ Hệ số tương quan Phân tí h ý nghĩa hệ số tương quan Khi nghiên ứu ph thuộ hai biến ngẫu nhiên mà biến hịu phân tán ngẫu nhiên (sự tản mát kiểm tra đượ ) ta dùng phương pháp phân tí h tương quan Phân tí h tương quan phát đượ mối quan hệ ph thuộ húng mà òn "lượng hoá" đượ mối quan hệ Định nghĩa 6.2.1 Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên ó V (X) > vµ V (Y ) > HƯ sè tương quan ( orrelation oeffi ient) hai biến ngẫu nhiên X Y , kí hiệu (X, Y ), đượ xá ®Þnh nh­ sau: ρ(X, Y ) = E[X − E(X)][Y − E(Y )] E(XY ) − E(X)E(Y ) p p p p = V (X) V (Y ) V (X) V (Y ) TÝnh hÊt (i) ρ(X, Y ) = ρ(Y, X) (ii) (iii) ρ(X, Y ) = X Y độ lập với |(X, Y )| (6.1) Chó ý 6.2.2 nhiªn NÕu i) Ta ã thĨ dïng ρ(X, Y ) ®Ĩ ®o mø ®é ph thué tuyÕn tÝnh gi÷a hai biÕn ngÉu |ρ| µng lín th× sù ph th tun tÝnh µng râ Đặ biệt = ph thuộ tun tÝnh xÈy víi x¸ st b»ng NÕu || àng nhỏ mứ độ ph thuộ tuyến tính X Y àng Đặ biệt = X Y không tương quan với ii) Hai biến ngẫu nhiên độ lập với không tương quan, điều ngượ lại hưa hắ đà Riêng biến ngẫu nhiên phân phối huẩn tính không tương quan tính độ lập tương đương 6.2.2 Hệ số tương quan mẫu Hệ số tương quan lý thuyết nhiên số đo mứ độ ph thuộ tuyến tính hai biến ngẫu X Y Tuy nhiên hưa biết phân phối (X, Y ) việ tính hệ số tương quan lý thuyết khó khăn Giả sử tiến hành n bướ quan sát độ lập ặp biến ngẫu nhiên (X, Y ) ta ã mÉu ngÉu nhiªn kÝ h th­í n : (X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), , (Xn , Yn ) Định nghĩa 6.2.3 Hệ số tương quan mẫu (sample orrelation oeffi ient) X Y , kí hiệu r(X, Y ) hay r đượ xá định ông thứ : 1P (Xi X)(Yi Y ) X.Y − X Y n i r r=r = 1P 1P SX SY 2 (Xi − X) (Yi − Y ) n i n i HÖ sè tương quan mẫu (6.2) r đượ xem ướ lượng hệ số tương quan lý thuyết TÝnh hÊt (i) Ta ã |r| (ii) NÕu r (iii) Nếu > X Y tương quan thuận, r < X Y tương quan nghị h 0, |r| X Y tương quan mạnh, |r| 0, X Y tương quan yếu Cá h tính hệ số tương quan mẫu: Giả sử ho mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n, ã mÉu  thÓ w = (xi , yj ), ®ã i = 1, h; j = 1, , k Ta xt ¸ tr­êng hỵp sau: (i) Trong mäi tr­êng hỵp, hƯ số tương quan mẫu đượ xá định ông thø : r= xy − x y sx sy (ii) Nếu mẫu  thể (6.3) xi yj tương ứng á h khoảng hx hy xi x0 yi y0 để làm giảm số liệu tính toán ta dùng php biến đổi, đặt ui = vµ vi = , víi x0 hx hy y0 đượ họn thí h hợp theo bảng số liệu, ®ã P ui vi − nu v uv − u v i r = r = rP (6.4) P su sv 2 ui − n(u) vi n(v) i i Từ á h đổi biến ta ã: VÝ d 6.2.4 x = x0 + hx u; sx = hx su ; (6.5) y = y0 + hy v; sy = hy sv (6.6) Theo dâi kết thi hai môn Toán kí hiệu (X) vµ vËt lý kÝ hiƯu lµ (Y ) ë 10 em họ sinh lớp ta thu đượ bảng số liÖu sau: Xi Yi ni 3 2 5 2 1 H·y tÝnh hƯ sè t­¬ng quan mÉu Giải Dựa vào ông thứ (6.3) để tránh nhầm lẫn ta lËp b¶ng tÝnh nh­ sau: xi 2 3 yi 5 ni 2 P n = 10 ni xi ni yi ni x2i ni yi2 ni xi yi 27 8 32 16 25 10 10 18 50 30 36 18 P P P 16 P 49 P 28 = 22 = 45 = 58 = 219 x y x2 y2 xy = 111 Nhìn vào bảng số liệu ta ó: 22 = 2, 2; 10 58 = 5, 8; x2 = 10 s2x = 5, − (2, 2)2 = 0, 96; 45 = 4, 5; 10 219 = 21, 9; y2 = 10 s2y = 21, − (4, 5)2 = 1, 645; xy = 11, 1; sx sy = 1, 26 x= VËy hƯ sè t­¬ng quan đa mẫu là: Ví d 6.2.5 Theo dõi vi lượng y= r= 11, − (2, 2).(4, 5) = 0, 52 1, 26 A đất trồng (Y mg/kg đất) suất loại rau (X /ha) ta ó kết sau: X HÃy tìm hệ số tương quan 10 Y 20 30 40 50 60 15 20 25 3 r vµ ho nhËn xt? Giải Vì xi á h khoảng hx = 5, họn x0 = 20; Cá yi á h mét kho¶ng hy = 10, hän y0 = 40 §Ỉt u = xi − 20 yi − 40 ;v = Ta lập lại bảng số liệu mới: 10 u v −2 −2 −1 −1 −2 15 −15 15 20 0 −6 12 11 −11 11 18 0 13 13 13 10 20 P Pn = 50 Pu = −15 u2 = 45 P 10 10 10 −15 = −0, 3; v = = 0, 12; 50 50 u v = −0, 036; r 45 su = − (−0, 3)2 = 0, 9; 50 Hệ số tương quan mẫu r= Vậy Nhìn vào bảng số liệu ta ó: u= ni vi2 0 −10 20 ni vi mj mj uj mj u2j ni 1 v =6 P v2 P uv = 56 = 26 45 56 = 0, 9; v = = 1, 12; 50 50 26 = 0, 52; uv = 50 r 56 sv = − (0, 12)2 = 1, 051 50 u2 = uv − u v 0, 556 = = 0, 588 su sv 0, 946 X Y ó mối tương quan thuận, tứ lượng vi lượng A đượ ung ấp đầy đủ suất rau àng ao Chú ý 6.2.6 r đượ hứng minh ướ lượng vững ướ lượng hƯ h −ρ(1 − ρ2 ) Do ®ã nÕu r = không ó hệ số tương quan lý thuyết với độ hệ h 2n nghĩa = 0, ngượ lại r 6= hưa h¾ ρ 6= 0, thËm hÝ ã X, Y lại độ lập với Hệ số tương quan mẫu Vì ần phải kiểm định giả thuyết giá trị để ó kết luận thống kê đắn tồn hay không tồn mối quan hệ tuyến tính hai biến ngẫu nhiên xt 6.2.3 Kiểm định giả thuyết giá trị Có nhiều toán kiểm định giả thuyết giá trị , nhiên khuôn khổ giáo trình ta hỉ xt toán kiểm định giả thuyết H0 : = 0, tứ toán sau: Bài toán Kiểm định giả thuyết tương quan tuyến tính hai biến ngẫu nhiên X Y Giải Để giải toán này, trướ hết ta xây dựng mẫu ngẫu nhiên, tính hệ số tương quan mẫu r, sau tiến hành thủ t toán kiểm định giả thut B­í Chän gi¶ thut: H0 : ρ = 0, ®èi thuyÕt: H1 : ρ 6= √ n2 Bướ Chọn tiêu huẩn kiểm định: T = r √ − r2 B­í Tõ mÉu  thể ta tính đượ Tqs (n2) (n2) Bướ Tìm miền bá bỏ W : (; t1 ) ∪ (t1− α ; +∞) 2 B­í So s¸nh Tqs víi miỊn b¸ bá: nÕu Tqs ∈ W bá bỏ H0 , tứ X vàY ã quan hÖ tuyÕn tÝnh NÕu tÝnh VÝ d 6.2.7 Tqs W hưa ó sở bá bỏ H0 , tứ X Y không ó quan hƯ tun Quay trë l¹i vÝ d (6.2.5), h·y kiĨm tra xem hai tỉng thĨ đa hai biÕn ngÉu nhiªn X, Y ã quan hƯ tun tÝnh kh«ng víi mø ý nghÜa α = 0, 05 Gi¶i Chän gi¶ thuyÕt H0 : ρ = 0, ®èi thuyÕt H1 : ρ 6= Ta ó Vì = 0, 05 nên − √ √ n−2 48 = 0, 588 p = 5, 0264; Tqs = r √ 1−r − 0, 5882 α (48) = 0, 975, tra Ph l ta ã t0,975 ≈ 2, 02, miỊn b¸ bá hai phÝa lµ (−∞; −2, 02) ∪ (2, 02; +∞) DƠ thÊy 6.3 6.3.1 Tqs ∈ Wα nªn bá bỏ H0 , tứ hai biến X, Y ó quan hệ tuyến tính Hồi quy tuyến tính đơn giản Mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản Để mô hình hóa quan hệ tuyến tính tương đối hặt hẽ hai biến ngẫu nhiên X, Y người ta sử dng loại mô hình sau Định nghĩa 6.3.1 Mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản (Simple linear regression model) mô hình ó dạng sau (6.7) Yi = A + BXi + ei , ®ã Yi giá trị biến ph thuộ Y , Xi giá trị biến độ lập X ei sai số lần quan sát thứ i Hệ số A (điểm đường thẳng hồi quy tổng thể tr Oy) hính giá trị trung bình Y X thay đổi đơn vị Hệ số B (độ dố đường hồi quy tổng thể) mô tả thay đổi giá trị trung bình Phương trình Y X thay đổi đơn vị (6.7) ho php ta tiên đoán giá trị Y biết giá trị  thể X, ũng phương trình ho thấy phương trình giúp tiên đoán tuyệt đối đượ Như vậy, với giá trị  thể trị  thể Y hính xá X ho trướ ó thể ó nhiều giá Y Chẳng hạn, ta quan sát bảng số liệu sau đây: X Y Với giá trị 0 1 2 8 3 10 10 11 12 X ó giá trị Y Như vậy, đường hồi quy qua tất ả điểm ó tọa độ (x, y) y 12 10 x H×nh 6.4: §­êng håi quy tun tÝnh BiĨu diƠn sè liƯu trªn biểu đồ phân tán đường thẳng hồi quy đồ thị phân tán đường "vừa khít nhất" ho tất ả điểm theo nghĩa tổng bình phương khoảng á h điểm đường "vừa khít " nhỏ 6.3.2 Phương trình hồi quy tuyến tính đơn giản tổng thể Định nghĩa 6.3.2 Phương trình hồi quy tuyến tính đơn giản tổng thể (Population simple linear regression equation) phương trình diễn tả giá trị trung bình biến ph thuộ Y theo biÕn ®é lËp X ®· biÕt (6.8) Y = A + BX Nếu biểu diễn biểu đồ phân tán đường hồi quy đường qua giá trị trung bình giá trị y ó thự tương ứng với x đà ho trướ Y Yi = A + BXi + ei ei β A B = tan Giá trị quan sát Y = A + BX X Hình 6.5: Mô hình hồi quy tuyến tính tổng thể Vấn đề đặt ta ần xá định hai tham số A, B phương trình (6.8) Phương pháp bình phương tối thiểu (least squared method) phương pháp tốt để ướ tính tham số Theo phương pháp này, húng ta xây dựng ông thứ tính bình phương trung b×nh A, B ho ù tiĨu sai sè E(Y − A − BX)2 Khi ®ã dïng tÝnh hÊt kỳ vọng phương pháp xt dấu tam thứ bậ hai để tìm ự tiểu, người ta hứng minh đượ phương trình đường hồi quy bình phương trung b×nh tun tÝnh đa tỉng thĨ đa Y theo X (tương ứng X theo Y ) s s s V (Y ) V (Y ) V (Y ) Y =ρ X + E(Y ) − ρ E(X) = ρ (X − E(X)) + E(Y ) V (X) V (X) V (X) s X=ρ s s V (X) V (X) V (X) Y + E(X) − ρ E(Y ) = ρ (Y − E(Y )) + E(X) V (Y ) V (Y ) V (Y ) (6.9) (6.10) Sai số bình phương trung bình (sai số dự báo) dùng đường hồi quy trung bình tuyến tính ®Ĩ xÊp xØ Y (t­¬ng øng xÊp xØ X ) 2 y/x = V (Y )(1 − ρ2 ); σx/y = V (X)(1 − ρ2 ) Chú ý 6.3.3 (i) Mô hình hồi quy tuyến tính (6.11) (6.9) hay (6.10) òn đượ gọi phương trình ®­êng håi quy lý thuyÕt (ii) Ng­êi ta høng minh đượ hai biến ngẫu nhiên huẩn hai hiều, với kỳ vọng tương quan lý thuyết X, Y tuân theo phân phối E(X), E(Y ), phương sai dương V (X), V (Y ) hệ số hàm hồi quy Y theo X hàm hồi quy X theo Y hàm tuyến tính (iii) Nhìn vào ông thứ 6.11 ta thấy sai số àng nhỏ hỉ nên dùng hàm hồi quy trường hợp xấp xỉ 6.3.3 X ) || àng gần Do ®ã hóng ta (6.9) ®Ĩ xÊp xØ Y sở biết X || gần (tương tự ho Phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu Trong thự tế, húng ta khảo sát hết tổng thể, nên hưa biết quy luật phân phối xá suất (X, Y ), hưa biết đặ trưng kì vọng, phương sai biến ngẫu nhiên nên khó ó thể xá định đượ dạng toán họ hàm hồi quy tổng thể Chúng ta phải dựa mẫu để xây dựng hàm hồi quy tuyến tính mẫu (sample linear regression equation) hay òn gọi hàm hồi quy bình phương trung bình tuyến tính thự nghiƯm Gi¶ sư (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), , (xn , yn ) lµ n ặp quan sát đượ mẫu đượ thành lập tõ hai biÕn ngÉu nhiªn (X, Y ) Tõ mÉu  thể trên, ta xây dựng đượ đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính thự nghiệm á h phương trình (6.9) (6.10) thay tham số đặ trưng tổng thể tham số mẫu tương ứng, tứ thay E(Y ) y , E(X) bëi x,V (Y ) bëi sy , V (X) sx r Khi ta ó: - Phương trình đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính thự nghiệm (tương ứng y theo x x theo y ) y=r sy sx (x − x) + y; x = r (y − y) + x, sx sy (6.12) víi ¸ sai số dự báo mẫu tương ứng s2y/x = s2y (1 − r ); s2x/y = s2x (1 − r ) VÝ d 6.3.4 ®­êng kÝnh (6.13) Để thự ông trình nghiên ứu mối quan hệ hiều ao Y (m) X(cm) loại ây, người ta quan sát mẫu ngẫu nhiên ó kết xi yi 4 11 14 (i) HÃy vẽ biểu đồ phân tán ho liệu bảng (ii) HÃy tính hệ số tương quan mẫu ho nhận xt mối quan hệ hiều ao ây đường kính ây (iii) Viết phương trình đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính thự nghiệm hiều ao ây theo đường kính HÃy dự báo hiều ao ây ó đường kính 12(cm) Giải (i) Biểu đồ phân tán đượ mô tả Hình 6.6: (ii) Để tính hệ số tương quan mẫu, ta lập bảng tính sau: xi yi x2i yi2 xi yi 1 1 4 16 16 16 36 16 24 64 25 40 81 49 63 11 121 64 88 14 196 81 126 P P P P P = 56 = 40 = 524 = 256 = 364 Từ bảng ta tính ®­ỵ x = 7; sx = 4, 342; HƯ sè tương quan mẫu r= y = 5; sy = 2, 828, xy = 45, 45, − 7.5 = 0, 977 4, 342.2, 828 Nh­ vËy, gi÷a hiỊu ao ây đường kính ó mối quan hệ tương quan thuận mạnh, tứ đường kính ây àng lớn ây àng ao (iii) Phương trình đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính thự nghiệm hiều ao ây đường kÝnh đa nã lµ sy (x − x) + y = 0, 6364x + 0, 5455 sx Phương trình hồi quy tuyến tính thự nghiệm ó độ dố 0, 6364, nghĩa tăng y=r y y 5 2 1 11 14 x 0, x+ 14 11 Hình 6.6: Biểu đồ phân tán đường kính ây lên y= 46 0, 45 x Hình 6.7: Đồ thị hàm hồi quy tuyến tính 1(cm) hiều ao trung bình ây tăng lên khoảng 0, 6364(m) (xem Hình 6.6) Khi đường kính ây 12(cm) dự báo hiều ao ây y0 = 0, 6364.12 + 0, 5455 = 8, 1823(m) Ví d 6.3.5 Để nghiên ứu tá dng đa ph©n vi sinh (tÊn/ha), ng­êi ta thÝ nghiƯm X X (tạ/ha) tới suất hua Y 20 ruộng Sau thu hoạ h ta ó kết sau: 0, 15 0, 17 0, 19 0, 21 0, 23 Y 20 22 24 2 (i) Tìm hệ số tương quan mẫu ho nhận xt (ii) Viết phương trình hồi quy tun tÝnh thù nghiƯm đa Y theo X (iii) HÃy tính sai số dự báo mẫu ho phương trình đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính thự nghiệm Giải (i) Đặt u = u v yj − 22 xi − 0, 19 ;v = vµ lập lại bảng số liệu 0, 02 2 3 2 −6 12 −6 nj nj vj nj vj2 −8 0 5 mi mi ui mi u2i 1 0 4 4 P Pn = 20 Pu = −6 u2 = 26 P v P = −3 uv = 12 P v2 = 13 Nh×n vào bảng số liệu ta ó: u= = −0, 3; v = = −0, 15; 20 20 u v = 0, 045; p su = 1, − (−0, 3)2 = 1, 1; VËy hƯ sè t­¬ng quan mÉu lµ r= 26 13 = 1, 3; v = = 0, 65.; 20 20 12 = 0, 6; uv = 20 p sv = 0, 65 − (−0, 15)2 = 0, 79215 u2 = uv − u v 0, 555 = = 0, 637 su sv 0, 871365 (ii) Dùng ông thứ đổi biến để đổi l¹i biÕn u vỊ biÕn x, ta ã sx = hx su = 0, 02 × 1, = 0, 022; x = x0 + hx u = 0, 19 + 0, 02(−0, 3) = 0, 184; y = y0 + hy v = 22 + 2(−0, 15) = 21, 7; sy = hy sv = × 0, 79215 = 1, 5843 Phương trình đường hồi quy bình phương trung b×nh tun tÝnh thù nghiƯm đa y=r y theo x lµ sy (x − x) + y = 45, 873x + 13, 2594 sx (iii) Sai sè dù b¸o mÉu lµ s2y/x = s2y (1 − r ) = 1, 58432 × (1 − 0, 6372) = 1, 492 Bài tập hương Theo dõi doanh thu X tiền lời Y 10 đại lý thứ ăn hăn nuôi tháng tỉnh A ta ó kết sau: (đơn vị triệu đồng/tháng) X Y ni 32 34 36 38 4, 4, 4, 3 (a) T×m hƯ sè tương quan mẫu ho nhận xt (b) Viết phương trình hồi quy tuyến tính thự nghiệm Để nghiên ứu ảnh hưởng lượng phân bón người ta thí nghiệm Y theo X X (tạ/ha) st lóa Y (tÊn/ha), 10 thưa rng Sau thu ho¹ h ta ã kÕt qu¶ sau: X Y 3, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 2 2 (a) T×m hƯ số tương quan mẫu ho nhận xt (b) Viết phương trình hồi quy tuyến tính thự nghiệm Y theo X Theo dâi doanh thu X vµ tiỊn lời Y ửa hàng bán giống ây trồng 12 tháng ta đượ kết sau (đơn vị triệu đồng/tháng): X Y ni 14 16 18 20 2, 3, 3, 4 (a) Tìm hệ số tương quan mẫu ho nhận xt (b) Viết phương trình hồi quy tuyến tính thự nghiệm Điều tra tổng sản phẩm nông nghiệp Y theo X X tổng tài sản ố định Y (đơn vị triệu đồng) 10 nông trại ta thu đượ số liệu sau: X Y 11, 12, 13, 16, 18, 22, 22, 23, 26, 27, 13, 15, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 24, (a) T×m hệ số tương quan mẫu ho nhận xt (b) Viết phương trình hồi quy tuyến tính thự nghiệm Người ta xt suất lúa Y theo X v X theo Y 10 mảnh ruộng đượ kết sau tỷ lệ phần trăm hạt hắ X vµ Y (tÊn/ha): X Y 83 80 90 83 85 95 90 85 93 88 7, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 6, (a) Tìm hệ số tương quan mẫu ho nhận xt (b) Viết phương trình hồi quy tun tÝnh thù nghiƯm đa Theo dâi vi lượng Y theo X A đất trồng (X mg/kg đất) suất loại rau (Y tấn/ha) ta ã kÕt qu¶ sau: X Y 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 10 9, 8, 9, 8, 8, 7, 7, 7, 7, (a) Tìm hệ số tương quan mẫu ho nhận xt (b) Viết phương trình hồi quy tuyến tính thự nghiệm ña Sè vi khuÈn nghiÖm: Y theo X Y (triệu on) sinh sản sau X (giờ) đượ ghi lại b¶ng sau qua mét thÝ ... định giả thuyết thống kê 106 5.1 Khái niÖm 5.1.1 Giả thuyết thống kê 5.1.2 Tiªu hn kiĨm định giả thuyết thống kê 5.1.3 Miền bá bỏ giả thuyết thống kê 5.1.4 Giá... giả thuyết thống kê Cá toán tương quan hồi quy tuyến tính đơn giản đượ đề ập đến Chương Phần uối ùng số bảng ph l thông dng Bạn đọ ó thể tự họ môn "Xá suất thống kê" với uốn giáo trình đà đượ... ũng ập nhật với hương trình thi tuyển sau đại họ môn Toán ao ấp thống kê Đại họ Thái Nguyên ho khối ngành Nông-Lâm-Sinh-Y Giáo trình gồm hai phần Phần I: "Lý thuyết xá suất" ó hai hương Chương