thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 1 TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT *) Nhận xét Đối với “Bài toán đếm số” thì không có phương[.]
thuvienhoclieu.com ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT *) Nhận xét: Đối với “Bài tốn đếm số” khơng có phương pháp chung cho toán dạng Mà gặp tốn có liên quan tới việc đếm số, đếm chữ số đòi hỏi tư duy, tố chất thông minh kết hợp với kiến thức học tập hợp số tự nhiên để giải toán Qua toán cụ thể, học sinh tích lũy phương pháp giải, giúp hỗ trợ cho việc giải toán khác dạng tốt *) Đếm số tự nhiên lập từ m số cho trước lấy từ tập hợp số ta làm sau: + Chọn m số làm chữ số hàng cao nhất, lập sơ đồ hình cây, sau đếm số lập + Ví dụ: Từ số 3, 6, lập số có chữ số khác nhau? Bước 1: Chọn chữ số làm hàng trăm, ta có số 369 396 Bước 2: Từ sơ đồ, ta thấy từ chữ số cho ta lập số có chữ số khác mà chữ số hàng trăm Tương tự, ta lập số có chữ số khác mà chữ số hàng trăm 6, lập số có chữ số khác mà có chữ số hàng trăm Bước 3: Vậy từ chữ số cho ta lập (số) *) Để tìm số tự nhiên chưa biết, ta vận dụng hai phương pháp sau: - Phân tích cấu tạo số số tự nhiên Ta có: - Từ đặc điểm số cần tìm kiện toán ta lập luận, nhận xét để lựa chọn chữ số (thường nhận xét để chữ số hàng đơn vị chữ số hàng cao nhất) PHẦN II BÀI TẬP: I.Phương pháp giải - Liệt kê: Các phần tử thỏa mãn điều kiện cho trước ⇒ dùng phương pháp đếm (ít phần tử) - Dựa vào quy luật hình thành phần tử để đếm (chia hết cho 2, 3, … thỏa mãn điều kiện đó) II.Bài tốn thuvienhoclieu.com Trang Dạng 1: Đếm số chữ số dãy số thuvienhoclieu.com Bài 1: Viết dãy số tự nhiên từ đến 999 ta số tự nhiên a) Số A có chữ số? b) Tính tổng chữ số số ? c) Chữ số viết lần? d) Chữ số viết lần? Phân tích: a) Cần đếm số chữ số dãy số sau: Dãy số tự nhiên có chữ số, dãy số tự nhiên có chữ số, dãy số tự nhiên có chữ số Sau cộng kết lại với b) Viết số số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số viết chữ số), tổng chữ số tổng chữ số có mặt 300 lần Số có: chữ số mà chữ số từ đến Lời giải: a) Số có chữ số? Từ đến có số gồm: (chữ số) Từ 10 đến 99 số có 90 số gồm: (chữ số) Từ 100 đến 999 có 900 số gồm: Số có: (chữ số) b) Tính tổng chữ số số Giả sử ta viết số chữ số (chữ số) ? số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số viết chữ số), tổng tổng chữ số A.B có: có mặt: Tổng chữ số chữ số, chữ số từ đến (lần) (cũng ): (chữ số) thuvienhoclieu.com Trang c) Chữ số viết lần? thuvienhoclieu.com Cần đếm số chữ số 11 dãy: Ta xét dãy: Số chữ số hai dãy Ở dãy có 1000 số, số gồm chữ số, số lượng chữ số từ đến Mỗi chữ số (từ đến 9) có mặt (lần) Vậy chữ số viết 300 lần d) Chữ số viết lần? Ở dãy chữ số có mặt 300 lần So với dãy dãy ta viết thêm chữ số 0: - Vào hàng trăm 100 lần (chữ số hàng trăm số từ 000 đến 099); -Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục số từ 000 đến 009); -Vào hàng đơn vị lần (chữ số hàng đơn vị 000) Vậy chữ số dãy viết là: (lần) Bài 2: Viết dãy số tự nhiên từ đến 999 ta số tự nhiên a) Số có chữ số? b) Tính tổng chữ số số ? c) Chữ số viết lần? d) Chữ số viết lần? Phân tích: a) Cần đếm số chữ số dãy số sau: Dãy số tự nhiên có chữ số, dãy số tự nhiên có chữ số, dãy số tự nhiên có chữ số Sau cộng kết lại với thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com b) Viết số số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số viết chữ số), tổng chữ số tổng chữ số có mặt 300 lần Số có: chữ số mà chữ số từ đến Lời giải: a) Số có chữ số? Từ đến có số gồm: (chữ số) Từ 10 đến 99 số có 90 số gồm: (chữ số) Từ 100 đến 999 có 900 số gồm: Số có: (chữ số) b) Tính tổng chữ số số Giả sử ta viết số chữ số (chữ số) ? số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số viết chữ số), tổng tổng chữ số có mặt: Số có: chữ số, chữ số từ đến (lần) Tổng chữ số (cũng ): (chữ số) c) Chữ số viết lần? Cần đếm số chữ số 11 dãy: Ta xét dãy: Số chữ số hai dãy Ở dãy có 1000 số, số gồm chữ số, số lượng chữ số từ đến Mỗi chữ số (từ đến 9) có mặt (lần) Vậy chữ số viết 300 lần thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com d) Chữ số viết lần? Ở dãy chữ số có mặt 300 lần So với dãy dãy ta viết thêm chữ số 0: - Vào hàng trăm 100 lần (chữ số hàng trăm số từ 000 đến 099); -Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục số từ 000 đến 009); -Vào hàng đơn vị lần (chữ số hàng đơn vị 000) Vậy chữ số dãy viết là: (lần) Bài 3: Để đánh số trang sách, người ta viết dãy số tự nhiên 1và phải dùng tất 1998 chữ số a) Hỏi sách có trang? b) Chữ số thứ 1010 chữ số nào? Phân tích: Để đếm số trang sách ta cần phân số trang sách theo loại Loại 1: Số trang sách mà số có chữ số Loại 2: Số trang sách mà số có chữ số Loại 3: Số trang sách mà số có chữ số Từ tính số chữ cịn lại để đánh dấu trang có chữ số, tính số trang sách b) Nhận thấy số 100 số thứ có chữ số Bằng việc dùng phép chia dư ta cần tìm xem chữ số thứ 1010 thuộc số thứ có chữ số Lời giải a) Hỏi sách có trang? Ta có: Từ trang đến trang phải dùng chữ số (viết tắt chữ số) Từ trang 10 đến trang 99 cần số có chữ số, phải dùng 180 (chữ số) Vì cịn trang gồm số có chữ số Cịn lại: Có: (chữ số) đánh dấu trang có chữ số số có chữ số thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Cuốn sách có: (vì trang có 99 trang) Cuốn sách có 702 trang b) Vì nên chữ số thứ 1010 nằm số có chữ số Ta có: (chữ số) đánh dấu trang có chữ số tính từ trang 100 (số thứ có chữ số) nên có 273 dư Số thứ 274 có chữ số 374 Chữ số thứ 1010 nằm số thứ 274 có chữ số Chữ số thứ 1010 chữ số 374 Bài 4: Bạn Tâm đánh số trang có 110 trang cách viết dãy số tự nhiên Bạn Tâm phải viết tất chữ số? Lời giải: Ta có: Từ trang đến trang có trang, phải dùng chữ số Từ trang 10 đến trang 99 có (trang), phải dùng 180 (chữ số) Từ trang 100 đến trang 110 có (trang), phải dùng Vậy bạn Tâm phải viết tất cả: (chữ số) (chữ số) Bài 5: Một cô nhân viên đánh máy liên tục dãy số chẵn 2: 2000 chữ số Tìm chữ số cuối mà đánh Cô phải đánh tất Lời giải: Đánh từ số đến số cần Đánh từ số 10 đến số 98 cần Đánh từ số 100 đến số 998 cần (chữ số) số chẵn có chữ số, phải đánh (chữ số) số chẵn có chữ số, phải đánh số chẵn có chữ số, phải đánh Vì số chẵn phải đánh gồm số chẵn có chữ số Cịn lại: chữ số đánh số chẵn có chữ số thuvienhoclieu.com Trang (chữ số) thuvienhoclieu.com Có: 139 chữ số thứ nằm số chẵn thứ 139 có chữ số Số chẵn thứ 139 có chữ số là: Chữ số thứ 2000 chữ số số 1276 Bài 6: Bạn Mai viết dãy số lẻ a) Bạn Mai phải viết tất chữ số? b) Nếu chữ số viết giây viết đến số 245 giây? Sau phút, bạn Mai viết đến chữ số nào? Lời giải: a) Viết từ số đến số cần số lẻ có chữ số, phải viết chữ số Viết từ số 11 đến số 99 cần số lẻ có chữ số, phải viết Viết từ số 101 đến số 245 cần chữ số số lẻ có chữ số, phải viết Vậy bạn Mai phải viết tất cả: chữ số (chữ số) b) Nếu chữ số viết hết giây viết đến số 245 314 giây Đổi: Sau phút, bạn Mai viết đến chữ số thứ 300 Vì nên chữ số thứ 300 nằm số lẻ có chữ số Ta có: số) mà có chữ số để viết số lẻ có chữ số tính từ số 101 (số lẻ thứ có chữ 68 dư Chữ số thứ 300 nằm số lẻ thứ 69 có chữ số Số lẻ thứ 69 có chữ số Chữ số thứ 300 chữ số số 237 Dạng 2: Đếm số thỏa mãn điều kiện cho trước thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 1: Có số tự nhiên chia hết cho gồm bốn chữ số, chữ số tận 2? Phân tích: Đây tốn đếm số tự nhiên có liên quan tới dấu hiệu chia hết cho Trước hết ta cần viết số tự nhiên cầ n tìm dạng , sau đếm số cách chọn chữ số tập hợp Việc thực số cách chọn chữ số cách chọn, chữ số có có dang buộc lẫn Do chữ số cách chọn, chữ số thỏa mãn tốn Việc chọn chữ số có cách chọn ta có có số có bốn chữ số phải thỏa mãn điều kiện chi chia hết cho Lời giải: Các số phải đếm có dạng: Chữ số có cách chọn Với cách chọn , chữ số có 10 cách chọn Với cách chọn chia hết cho chữ số c có cách chọn Tất có: (số) để tạo với chữ số tận làm thành số Bài 2: Có số tự nhiên có ba chữ số có chữ số 5? Phân tích: Số tự nhiên có ba chữ số có chữ số 5, ta cần hiểu chữ số chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng chục, chữ số hàng trăm nên ta cần chia ba loại số có chữ số thỏa mãn là: Ở loại số ta thực đếm số cách chọn chữ số từ tập hợp giống Lời giải: Ta chia loại số: Số đếm có dạng số thuộc loại có: : chữ số a có cách chọn, chữ số b có cách chọn (số) Số đếm có dạng chọn, số thuộc loại có: : chữ số a có cách chọn, chữ số b có cách (số) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Số đếm có dạng : số thuộc loại có: Vậy số tự nhiên có ba chữ số có chữ số (số) (số) Bài 3: Trong số tự nhiên có ba chữ số, có số: a) Chứa chữ số 4? b) Chứa hai chữ số 4? c) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5? d) Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3? Lời giải: a) Chứa chữ số 4? Các số phải đếm có dạng: - Dạng có (số) - Dạng có (số) - Dạng có (số) Tất có: (số) b) Chứa hai chữ số 4? Các số phải đếm gồm dạng: - Dạng có (số) - Dạng - Dạng Tất có: có (số) có (số) (số) c) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5? thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Số có ba chữ số, chia hết cho gồm 180 số, số khơng chứa chữ số có dạng , gồm có cách chọn, có cách chọn, có cách chọn (là 0) (số) Vậy có (số) phải đếm d) Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3? Số phải tìm có dạng có cách chọn (nếu ) có , a có cách chọn, b có cách chọn, c , , (số) Bài 4: Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho có tận 5? Phân tích: Những số có tận cách 10 đơn vị, nhiên tốn địi hỏi số tự nhiên có chữ số chia hết cho Do ta cần xác định: Số nhỏ có chữ số chia hết cho có tận Khoảng cách dãy 30 Từ vận dụng công thức “Số số hạng = (số cuối – số đầu): Khoảng cách + 1” Lời giải: Số lớn có chữ số chia hết cho có tận 9975 Số nhỏ có chữ số chia hết cho có tận 1005 Ta có dãy số: 1005; 1035; 1065; ; 9975 Khoảng cách dãy 30 Số số tự nhiên có chữ số chia hết cho có tận là: Vậy có 300 số thỏa mãn u cầu tốn Bài 5: Trong số tự nhiên từ đến 100, có số: a) Chia hết cho mà khơng chia hết cho 3? b) Chia hết cho hai số 3? c) Không chia hết cho không chia hết cho 3? Lời giải: a) Chia hết cho mà không chia hết cho 3? thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Các số chia hết cho là: Số số chia hết cho là: (số) Các số chia hết cho 3: Số số chia hết cho là: (số) Vậy từ đến 100 có số chia hết cho mà không chia hết cho b) Chia hết cho hai số 3? Các số chia hết cho là: Số số chia hết cho là: (số) Vậy số chia cho hai số là: (số) c) Không chia hết cho không chia hết cho 3? Số số không chia hết cho cho là: (số) Bài 6: Trong số tự nhiên từ đến 1000, có số: a) Chia hết cho số 2, 3, 5? b) Không chia hết cho tất số tự nhiên từ đến 5? Lời giải: a) Chia hết cho số 2, 3, 5? thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com Gọi tập hợp số từ đến 1000 mà theo thứ tự chia hết cho 2, chia hết cho 3, chia hết cho 5, chia hết cho 3, chia hết cho 5, chia hết cho 5, chia hết cho số Số phần tử tập hợp theo thứ tự Ta có: Số số phải tìm gồm: (số) b) Khơng chia hết cho tất số tự nhiên từ đến 5? Còn lại (số) Bài 7: Có số mà ? Lời giải: Điều kiện: Xét trường hợp sau: Nếu bằng: Nếu bằng: , có 89 số , có 88 số Nếu Nếu ab = 98 bằng: , có số bằng: 99, có số Vậy có tất cả: (số) Bài 8: Có số tự nhiên có bốn chữ số , ? Lời giải: Chữ số a có cách chọn thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com Chữ số b có cách chọn Chữ số c có cách chọn Chữ số d có cách chọn Tất có: (số) Bài 9: Có số chứa chữ số số tự nhiên: a) Có ba chữ số b) Từ đến 999 Lời giải: a) Ta đếm số tự nhiên có ba chữ số bớt số có ba chữ số khơng chứa chữ số Số có ba chữ số là: , có 900 số (1) Trong số trên, số không chứa chữ số có dạng a có cách chọn (từ đến 9), b có cách chọn (từ đến khác 1), c có cách chọn (từ đến khác 1), có: Từ (số) (2) ⇒ Số số phải đếm là: b) Ta thêm chữ số vào dãy (số) thành dãy để đếm số dễ dàng Trước hết, ta đếm số không chứa chữ số dãy này: số có dạng chữ số có cách chọn (từ đến khác 1), tất có: 9.9.9 = 729 (số) Vậy số lượng số từ đến 999 khơng chứa chữ số có: (số) Số lượng số từ đến 999 có chứa chữ số là: (số) Bài 10: Tìm số lượng số tự nhiên có bốn chữ số mà: thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com a) Số tạo hai chữ số đầu (theo thứ tự ấy) cộng với số tạo hai chữ số cuối (theo thứ tự ấy) nhỏ 100 b) Số tạo hai chữ số đầu (theo thứ tự ấy) lớn số tạo hai chữ số cuối (theo thứ tự ấy)? Lời giải: a) Các số cần tìm có dạng: đó: Ta có số sau thỏa mãn đề bài: +) ⇒ Gồm: (số) +) ⇒ Gồm: (số) …………………………………… +) +) ⇒ gồm: (số) ⇒ gồm: (số) +) 9900 ⇒gồm: (số) Vậy có tất cả: (số) b) Các số cần tìm có dạng: đó: Ta có số sau thỏa đề bài: +) ⇒ gồm: +) (số) ⇒ gồm: (số) ………………………………… +) ⇒ gồm: (số) +) ⇒ gồm: (số) +) ⇒ gồm (số) Số số thỏa đề là: thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com Tổng gồm (số) Vậy số số thỏa đề (số) Bài 11: Trong số tự nhiên từ đến 252, xoá số chia hết cho không chia hết cho 5, xố số chia hết cho khơng chia hết cho Còn lại số? Lời giải: Các số phải xóa có tận lại: Mỗi chục xóa số, cịn lại số Từ đến 250 có 25 chục, cịn (số) Xét số số 251 giữ lại Vậy lại 126 số Bài 12: Có số tự nhiên có ba chữ số mà: a) Các chữ số đểu chẵn? b) Chữ số hàng chục chữ số lẻ? Lời giải: a) Các số phải đếm có dạng Chữ số a có cách chọn , đó: Với cách chọn a, chữ số b có cách chọn Với cách chọn Tất có: chữ số c có cách chọn (số) b) Các số phải đếm có dạng Chữ số a có cách chọn , đó: Với cách chọn a, chữ số b có cách chọn thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com Với cách chọn chữ số c có 10 cách chọn Tất có: (số) Bài 13: Có số tự nhiên có bốn chữ số đó: a) Mỗi chữ số chẵn? b) Tổng chữ số số chẵn? Lời giải: a) Các số phải đếm có dạng Chữ số a có cách chọn , đó: Với cách chọn a, chữ số b có cách chọn Với cách chọn Với cách chọn Tất có: chữ số c có cách chọn chữ số d có cách chọn (số) b) Các số phải đếm có dạng , đó: Chữ số a có cách chọn Với cách chọn a, chữ số b có 10 cách chọn Với cách chọn Với cách chọn + Nếu lẻ + Nếu chẵn chữ số c có 10 cách chọn chữ số d có cách chọn: thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com Tất có: (số) Bài 14: Có số tự nhiên có ba chữ số, biết cộng với số gồm ba chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 5? Lời giải: Các số phải đếm có dạng Theo đề bài, ta có : Với cách chọn (từ 10 đến 99) c có cách chọn phụ thuộc vào a : Nếu a = 5k c Nếu a = 5k + c Nếu a = 5k + c Nếu a = 5k + c Nếu a = 5k + c Vậy có: (số) Bài 15: Có số chẵn có ba chữ số, chữ số khác nhau? Lời giải: Các số phải đếm có dạng Nếu Nếu a có cách chọn (từ đến 9), b có cách chọn (từ đến 9, khác a) a có cách chọn (từ đến 9, khác c), b có cách chọn (từ đến 9, khác a c) Vậy có: (số) Bài 16: Có số tự nhiên có ba chữ số có hai chữ số nhau? Lời giải: Ta đếm số tự nhiên có ba chữ số bớt số ba chữ số khác Số có ba chữ số là: , có 900 số thuvienhoclieu.com Trang 17 thuvienhoclieu.com Trong số trên, số có chữ số khác dạng , a có cách chọn (từ đến 9), b có cách chọn (từ đến khác a), c có cách chọn (từ đến khác a b),có: Từ (số) ⇒ Số lượng số phải đếm là: (số) Bài 17: Trong số tự nhiên có bốn chữ số, có số có ba chữ số nhau? Lời giải: Các số phải đếm gồm bốn dạng: Dạng : Chữ số b có cách chọn (từ đến 9), chữ số a có cách chọn (từ đến khác b) Có: Dạng (số) , dạng , dạng : dạng này, chữ số a có cách chọn, chữ số b có cách chọn (khác a) Mỗi dạng có: Tất có: (số) (số) Bài 18: Trong số tự nhiên có ba chữ số, có số chứa chữ số 4? Lời giải: Ta đếm số tự nhiên có ba chữ số bớt số ba chữ số không chứa chữ số Số có ba chữ số là: , có 900 số Trong số trên, số có chữ số khơng chứa chữ số dạng Trong có cách chọn (từ đến khác 4), , có cách chọn (từ đến khác 4), có cách chọn (từ đến khác 4), có: (số) Từ ⇒ Số lượng số phải đếm là: (số) Bài 19: Trong số tự nhiên từ đến 10000 thuvienhoclieu.com Trang 18 thuvienhoclieu.com a) Có số chứa chữ số 0? b) Số chứa chữ số hay số không chứa chữ số có nhiều hơn? Lời giải: a) Ta đếm số tự nhiên từ đến 10000 bớt số không chứa chữ số Các số tự nhiên từ đến 10000 có 10000 số Ta đếm số không chứa chữ số 0: + Từ đến có (số) + Từ 10 đến 99 có (số) + Từ 100 đến 999 có (số) + Từ 1000 đến 9999 có (số) Vậy số lượng số phải đếm là: (số) có chứa chữ số b) Các số tự nhiên từ đến 10000 có 10000 số Ta đếm số khơng chứa chữ số 1: + Từ đến có số + Từ 10 đến 99 có số + Từ 100 đến 999 có số + Từ 1000 đến 9999 có số ⇒Có tất cả: Cịn lại: (số) khơng chứa chữ số (số) có chứa chữ số Vậy số khơng chứa chữ số có nhiều số chứa c số Bài 20: Có số tự nhiên từ 10 đến 24 chia hết cho hai số 3? Lời giải: Trong số tự nhiên từ 10 đến 24: Các số tự nhiên chia hết cho là: , gồm: thuvienhoclieu.com (số) Trang 19 thuvienhoclieu.com Các số chia hết cho là: , gồm số Có số có mặt hai dãy trên, bội : Vậy có: , gồm số (số) chia hết cho hai số Bài 21: Có số tự nhiên chia hết cho 5, có bốn chữ số, có chữ số 5? Lời giải: Các số phải đếm có dạng: có (số) có (số) có (số) có Tất có: (số) (số) Bài 22: Trong số tự nhiên từ đến 200, có số: a Chia hết cho mà không chia hết cho 3? b Chia hết cho hai số 3? c Không chia hết cho không chia hết cho 3? Lời giải: a) Chia hết cho mà không chia hết cho 3? Các số chia hết cho Số số chia hết cho là: (số) Các số chia hết cho là: Số số chia hểt cho là: thuvienhoclieu.com Trang 20