Đang tải... (xem toàn văn)
thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 10 – SỐ THẬP PHÂN CHỦ ĐỀ 2 SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 KHÁI NIỆM a) Khái niệm Khi viết phân số dưới dạng số thập phân t[.]
thuvienhoclieu.com ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 10 – SỐ THẬP PHÂN CHỦ ĐỀ 2: SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT KHÁI NIỆM a) Khái niệm: Khi viết phân số dạng số thập phân ta thực phép chia cho , phép chia cho khơng chấm dứt Ví dụ: ; ;… Tuy phép chia không chấm dứt phần thập phân kết phép chia có nhóm chữ số lặp lặp lại vơ hạn lần Ta nói số thập phân thu số thập phân vô hạn tuần hồn nhóm chữ số lặp lặp lại phần thập phân chu kì b) Cách viết: Để viết số thập phân vô hạn tuần hồn, người ta đặt chu kì dấu ngoặc Chẳng hạn: ; ;… Chú ý: Số thập phân vô hạn tuần hoàn chia thành hai dạng - Số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn chu kì bắt đầu sau dấu phẩy VD: ; ; - Số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp chu kì khơng bắt đầu sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì gọi phần bất thường, VD: có chu kì 18 phần bất thường NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ VIẾT ĐƯỢC DƯỚI DẠNG SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN ĐƠN HAY TẠP - Nếu phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác phân số viết thành số thập phân vơ hạn tuần hồn Đặc biệt +) Nếu mẫu khơng có ước ngun tố viết thành số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com +) Nếu mẫu có ước nguyên tố viết thành số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp +) Ví dụ: chia Số cho số thập phân vơ hạn, Ta có: viết dạng So với cách viết có chu kì 21 cách viết thứ hai có chu kì lớn hơn, cách viết thứ ba có chữ số thập phân liền trước chu kì chữ số cuối chu kì nhau, ta khơng chọn cách viết +) Số thập phân vô hạn tuần hồn gọi đơn chu kì bắt đầu sau dấu phẩy, ví dụ ; gọi tạp chu kì khơng bắt đầu sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì gọi phần bất thường, ví dụ có chu kì 18 phần bất thường 3 VIẾT SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN DƯỚI DẠNG PHÂN SỐ: - Quy tắc viết số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số: + Muốn viết phần thập phân số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn dạng phân số, ta lấy chu kì làm tử, cịn mẫu số gồm chữ số 9, số chữ số số chữ số chu kì Ví dụ: + Muốn viết phần thập phân số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp dạng phân số, ta lấy số gồm phần bất thường chu kì trừ phần bất thường làm tử, cịn mẫu số gồm chữ số kèm theo chữ số 0, số chữ số số chữ số chu kì, số chữ số số chữ số phần bất thường Chẳng hạn: - Tổng quát: PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Viết phân số dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn I.Phương pháp giải: Để viết tỉ số phân số dạng số thập phân ta làm phép chia II.Bài toán: Bài 1: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Các phân số sau viết dạng số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn? Tại sao? Hãy viết phân số dạng ; ; ; ; Lời giải: a) Xét phân số mẫu phân số có ước nguyên tố nên viết dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Vậy: b) Xét phân số mẫu phân số có ước nguyên tố nên viết dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn nên viết dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn Vậy: c) Xét phân số mẫu phân số có ước nguyên tố Vậy: d) Xét phân số mẫu phân số có ước nguyên tố nên viết dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn Vậy: e) Xét phân số mẫu phân số có ước nguyên tố Vậy: nên viết dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn = Bài 2: a) Khi viết phân số dạng số thập phân, hỏi chữ số thứ thuvienhoclieu.com sau dấu phẩy chữ số nào? Trang thuvienhoclieu.com b) Tìm chữ số thập phân thứ c) Tìm chữ số thập phân thứ sau dấu phẩy phân số sau dấu phẩy phân số (viết dạng số thập phân) (viết dạng số thập phân) Lời giải: a) Ta có: Số thập phân số thập phân vơ hạn tuần hồn có chu kì gồm Mà: , chia cho dư chữ số nên chữ số thập phân thứ sau dấu phẩy chữ số b) Ta có: Số thập phân có chữ số Ta lại có: số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp mà phần bất thường có hai chữ số chu kì nên chữ số thập phân thứ c) Ta có: sau dấu phẩy số chữ số số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn mà chu kì gồm 16 chữ số Mà: , suy chia 16 dư nên chữ số thập phân thứ sau dấu phẩy chữ số Dạng 2: Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số I.Phương pháp giải: - Muốn viết phần thập phân số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn dạng phân số với + Tử: chu kì + Mẫu: số gồm chữ số 9, số chữ số số chữ số chu kì Tổng quát: - Muốn viết phần thập phân số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp dạng phân số với + Tử: phần bất thường chu kì trừ phần bất thường + Mẫu: số gồm chữ số kèm theo chữ số 0, số chữ số số chữ số chu kì, số chữ số số chữ số phần bất thường thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com - Tổng quát: II.Bài tốn: Bài 3: Viết số thập phân vơ hạn tuần hoàn sau dạng phân số: ; ; ; ; ; ; Lời giải: a) b) c) d) e) f) g) Bài 4: Các số thập phân vô hạn tuần hồn sau có khơng ? ; ; Lời giải: Ta có: Vậy = = thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Nhận xét: Như từ phân số khác ; ta viết dạng nhiều số thập phân vơ hạn tuần hồn ; ;…nhưng cách viết thuận tiện hơn, người ta chọn cách viết Dạng 3: Tính giá trị biểu thức số I.Phương pháp giải: Để thực phép tính số thập phân vơ hạn tuần hồn trước hết ta viết chúng dạng phân số tối giản thực phép toán phân số II.Bài toán: Bài 5: Tính: a) b) c) d) Lời giải: a) b) c) d) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 6: Tìm x, biết: a) b) c) Lời giải: a) Vậy b) Vậy c) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vậy Bài 7: Thay chữ chữ số thích hợp: , biết Lời giải: Ta có: Mà Do đó: Vậy thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 8: Cho (số chia có 99 chữ số sau dấu phảy) Tính với 300 chữ số thập phân Lời giải: Ta có: Nhân tử mẫu với , ta được: Theo quy tắc viết số thập phân vô hạn tuần hồn đơn thành phân số số 0, viết thành phân số Vậy Bài 9: Cho số bên phải dấu phảy ta viết số từ đến 999 liên tiếp Chữ số thứ bên phải dấu phảy chữ số mấy? Vì sao? Lời giải: Xét dãy 2003 chữ số sau dấu phẩy Gọi chữ số thứ Chia dãy số thành ba nhóm: Nhóm I có chữ số, nhóm II có chữ số, nhóm III có: (chữ số) Ta thấy chia Số thứ kể từ là: Hai chữ số số Vậy dư chữ số chữ số (thuộc số ) Chữ số thứ 2003 bên phải dấu phảy chữ số Bài 10: Thay dấu * chữ số thích hợp: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải: Xét phép trừ thứ hai, ta có: số bị trừ có dạng số bị trừ 100 (vì chữ số đơn vị số bị trừ chữ số thêm vào để tìm chữ số thập phân thương) Đặt số chia, thương tích riêng thứ theo thứ tự ; Ta thấy (vì nên (Với ; ), thương dừng lại )) ước Suy có ba chữ số + Trường hợp + Trường hợp Tương ứng , trái với (số bị chia), loại , số bị chia Vậy ta có thuvienhoclieu.com Trang 10 (vì thuvienhoclieu.com Dạng 4: Kiểm tra biểu thức phân số viết dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn (đơn hay tạp) I.Phương pháp giải: Đối với phân số đó, mẫu khơng có ước ngun tố viết thành số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn, mẫu có ước nguyên tố viết thành số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp II.Bài tốn Bài 11: Chứng tỏ rằng: phân số sau viết dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn ; ; Lời giải: a) Ta có: , mà mẫu số chứa thừa số , rút gọn đến tối giản viết thành số thập phân dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn b) Ta có: thừa số , mà , rút gọn đến tối giản mẫu số chứa viết thành số thập phân dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn c) Ta có: Ta có: , mà mẫu số chứa thừa số số nguyên tố , rút gọn đến tối giản viết thành số thập phân dạng số thập phân vơ hạn tuần hoàn Bài 12: Với số tự nhiên , viết phân số sau dạng số thập phân, ta số thập phân hữu hạn hay vô hạn ? Nếu số thập phân vô hạn số số thập phân vơ hạn tuần hoàn đơn hay tạp? thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com a) ; b) Lời giải: a) Ta có: Vì mẫu phân số nên đổi số thập phân hữu hạn b) Xét phân số: Ta có: mà phân số rút gọn đến phân số tối giản, mẫu có ước phân số đổi thành số thập phân vô hạn tuần hồn Mặt khác: Ta có: mà phân số rút gọn đến phân số tối giản, mẫu có ước phân số đổi thành số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp Bài 13: Khi viết phân số sau dạng số thập phân, ta số thập phân hữu hạn, hay vơ hạn tuần hồn đơn, hay vơ hạn tuần hồn tạp: a) b) ; ? thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com Lời giải: a) Ta có: , mà , rút gọn đến tối giản mẫu số chứa thừa số viết thành số thập phân dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn Mặt khác: , mà phân số Vậy , rút gọn đến tối giản mẫu số chứa thừa số viết thành số thập phân dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp b) Xét phân số Tổng chữ số tử số là: tử số Mà mẫu số tích ba số tự nhiên liên tiếp Do phân số rút gọn đến tối giản mẫu số chứa thừa số viết thành số thập phân dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn Mặt khác: phân số Vậy ; rút gọn đến tối giản mẫu số chứa thừa số viết thành số thập phân dạng số thập phân vơ hạn tuần hoàn tạp Bài 14: Cho phân số: thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com a) Chứng tỏ C phân số tối giản b) Phân số C viết dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn Lời giải: a) Xét phân số: Gọi ƯCLN tử số mẫu phân số Ta có: ƯCLN tử số mẫu phân số Vậy C phân số tối giản b) Vì cho ba số tự nhiên liên tiếp nên ba số có số chia hết , số chia hết cho Mà Phân số tối giản phân tích mẫu có chứa thừa số nên viết thành số thập phân dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn Dạng 5: Chứng minh I.Phương pháp giải: Sử dụng phép biến đổi số thập phân vơ hạn tuần hồn tính chất chia hết, để chứng minh số tốn II.Bài tốn: Bài 15: Cho số lẻ khơng tận Chứng minh tồn bội gồm toàn chữ số Lời giải: Xét phân số , mẫu không chứa thừa số nguyên tố nên viết dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com Vậy tồn bội gồm toàn chữ số Bài 16: Cho số lẻ không tận Chứng minh tồn bội gồm toàn chữ số Lời giải: Xét phân số , mẫu không chứa thừa số nguyên tố nên viết dạng số thập phân vô hạn tuần hồn đơn Ta có: Mà ước chung + Nếu ƯC + Nếu ƯC từ (1) suy đặt , ta có đặt Từ (1) suy + Nếu ƯC Từ (1) suy Vậy tồn bội gồm toàn chữ số Bài 17: thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com Tìm phân số dương tối giản nhỏ biết chia tử cho tử cho mẫu ta số thập phân vô hạn tuần hồn đơn chu kì có chữ số phân số bẳng lập phương phân số khác Lời giải: Gọi chu kì số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn Phân số cần tìm phải có dạng: Ta có: Đặt , mà hay Với Với , ta phân số: , ta phân số: Vậy phân số cần tìm ; Bài 18: Viết tiếp vào chỗ chấm hai phân số theo quy luật: a) b) Lời giải: a) Ta thấy phân số: viết dạng phân số thập phân hữu hạn có tử mẫu tăng dần Vậy hai phân số điền tiếp vào chỗ chấm là: b) Ta thấy phân số: , ta dãy số: viết dạng phân số thập phân vơ hạn tuần hồn có tử mẫu tăng dần thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com Vậy hai phân số điền tiếp vào chỗ chấm là: , ta dãy số: HẾT thuvienhoclieu.com Trang 17