Thuvienhoclieu com so hoc 6 chuyen de 4 chu de 3 cac phuong phap tim ucln va bcnn

thuvienhoclieu.com 111 ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 4- ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM ƯCLN, BCNN PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Kiến thức cần nhớ Ước chung hai hay nhiều số ước tất số Ước chung lớn (ƯCLN) hai hay nhiếu số số lớn ước chung số Muốn tìm ƯCLN hai hay nhiếu số lớn , ta thực ba bước sau: - Phân tích mổi số thừa số nguyên tố - Chọn thừa số nguyên tố chung - Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm Để tìm ước chung nhiều số, ta tìm ƯCLN số tìm ước ƯCLN Bội chung hai hay nhiều số bội tất số Bội chung nhỏ (BCNN) hai hay nhiều số số nhỏ khác Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số lớn bội chung số , ta thực ba bước sau: - Phân tích số thừa số nguyên tố - Chọn thừa sổ nguyên tố chung riêng - Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ lớn Tích BCNN phải tìm Để tìm bội chung nhiều số, ta tìm BCNN số nhân BCNN với Các tính chất Khi cần kí hiệu gọn, ta viết ƯCLN Nếu Nếu Nếu ƯCLN Nếu thì , viết Đặc biệt, thì với với thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ƯCLN Người ta chứng minh rằng: Cho hai số tự nhiên + Nếu a chia hết cho + Nếu dó ƯCLN khơng chia hết cho ƯCLN ƯCLN số dư phép chia cho Từ đó, ta có thuật tốn Euclide tìm ƯCLN hai số mà khơng cần phân tích số thừa số nguyên tố sau: - Chia số lớn cho số nhỏ - Nếu phép chia dư, lấy số chia đem chia cho số dư - Nếu phép chia dư, lại lấy số chia chia cho số dư - Cứ tiếp tục làm số dư số chia cuối ƯCLN phải tìm PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Phương pháp phân tích thừa số nguyên tố I Phương pháp giải Muốn tìm ƯCLN, BCNN hai hay nhiều số ta làm sau Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố với số mũ tương ứng Bước 2: Tìm thừa số chung riêng Bước 3: ƯCLN tích thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ BCNN tích thừa số nguyên tố chung riêng với số mũ lớn II Bài tốn Bài 1: Tìm số tự nhiên lớn cho chia cho , ta ba số dư Lời giải: chia cho có số dư nên hiệu hai số ba số chia hết cho Ta có: , tức , , tức , thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com , tức Để lớn ƯCLN Phân tích thừa số nguyên tố: ƯCLN Vậy Bài 2: Tìm số tự nhiên nhỏ để số có ước chung khác Lời giải: Gọi ước chung Ta có Suy Để Thử lại nên , tức có ước chung khác Ta lại có Do nên nên tức hay , , ta phải có thỏa mãn Vậy Bài 3: Tổng năm số tự nhiên bao nhiêu? , Ước chung lớn chúng nhận giá trị lớn Lời giải: Gọi năm số tự nhiên cho , ước chung lớn chúng Ta có: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com nên Suy ước Ta lại có nên , suy Phân tích thừa số nguyên tố: Ước lớn không vượt Giá trị lớn chúng , xảy chẳng hạn Bài 4: Có ba đèn tín hiệu, chúng phát sáng lúc vào lần, đèn thứ hai sáng Đèn thứ phút phát sáng lấn, đèn thứ ba tiên để ba đèn phát sáng sau hoán vị phút phát sáng phút phát sáng lần Thời gian đầu trưa lúc giờ? Lời giải: Gọi thời gian để sau đó, ba đèn lại phát sáng Ta có Phân tích thừa số nguyên tố: Sau (phút) nên phút, ba đèn phát sáng Chúng phát sáng vào lúc phút, phút Thời gian sau trưa để ba đèn phát sáng lúc Bài 5: Điền chữ số thích hợp vào dấu * để số phút chia hết cho tất số Lời giải: Điều kiện để chia hết cho tất số thuvienhoclieu.com chia hết cho Trang phút, thuvienhoclieu.com Ta thấy chia , dư chia hết cho Đáp số: nên chia hết cho Bài 6: Tìm số tự nhiên biết ƯCLN Lời giải: Ta có ƯCLN ƯCLN nên Suy Từ Ta có suy nên hay Các số nguyên tố có tích nên Suy Bài 7: Cho ƯCLN Tìm Từ kiểm tra cơng thức ƯCLN(ƯCLN Lời giải: Ta có: thuvienhoclieu.com Trang , thuvienhoclieu.com ƯCLN ƯCLN ƯCLN(ƯCLN ƯCLN Bài 8: Tìm ƯCLN, BCNN số sau a) b) Lời giải: a) Ta có: ; ; ƯCLN b) Ta có ; ; ; ƯCLN Bài 9: Một trường tổ chức cho khoảng xếp người học sinh tham quan Tính số học sinh biết người lên xe tơ vừa đủ Lời giải: Gọi số học sinh trường là: Theo ta có: Vì Ta có: Vậy Số học sinh Dạng 2: Thuật tốn EUCLID để tìm ƯCLN thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Trong toán học, giải thuật Euclid (hay thuật toán Euclid) một giải thuật để tính ước chung lớn nhất (ƯCLN) hai số nguyên, số lớn chia hai số ngun với số dư bằng khơng Giải thuật đặt tên theo nhà toán học người Hy Lạp cổ đại Euclid, người viết bộ Cơ sở của ơng (khoảng năm 300 TCN) Nó ví dụ về thuật tốn, chuỗi bước tính tốn theo điều kiện định số thuật toán lâu đời sử dụng rộng rãi Giải thuật Euclid dựa nguyên tắc ước chung lớn hai số nguyên không thay đổi thay số lớn hiệu với số nhỏ Chẳng hạn, ƯCLN (vì ) ƯCLN Khi lặp lại trình hai số cặp số ngày nhỏ đến chúng nhau, chúng ƯCLN hai số ban đầu Bằng cách đảo ngược lại bước, ƯCLN biểu diễn thành tổng hai số hạng, số hạng hai số cho nhân với số nguyên dương âm (đồng thức Bézout), chẳng hạn, Dạng ban đầu giải thuật tốn nhiều bước thực phép trừ để tìm ƯCLN hai số lớn nhiều so với số lại Một dạng khác giải thuật rút ngắn lại bước này, thay vào số lớn số dư chia cho số nhỏ (dừng lại số dư không) Dạng thuật toán tốn số bước nhiều năm lần số chữ số số nhỏ trên hệ thập phân Gabriel Lamé chứng minh điều vào năm 1844, đánh dấu đời của lý thuyết độ phức tạp tính tốn Nhiều phương pháp khác để tăng hiệu thuật toán phát triển kỷ 20 Giải thuật Euclid có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tế Nó dùng để rút gọn  phân số về dạng tối giản và thực phép chia trong số học module Thuật toán thành phần then chốt trong giao thức mật mã để bảo mật kết nối Internet và dùng để phá vỡ hệ thống mật mã qua phân tích số ngun Nó áp dụng để giải phương trình Diophantine, chẳng hạn tìm số thỏa mãn nhiều biểu thức đồng dư theo định lý số dư Trung Quốc, để xây dựng liên phân số hay tìm xấp xỉ gần nhất cho số thực Cuối cùng, cơng cụ để chứng minh nhiều định lý trong lý thuyết số như định lý bốn số phương Lagrange và tính phân tích số nguyên thừa số nguyên tố Thuật toán Euclid ban đầu giới hạn về số tự nhiên và độ dài hình học (số thực), đến kỷ 19 mở rộng cho nhiều dạng số khác như số nguyên Gauss và đa thức một biến, dẫn đến khái niệm về đại số trừu tượng như miền Euclid Giải thuật Euclid dùng để tính ước chung lớn (ƯCLN) hai số tự nhiên lớn số lớn chia Nếu ƯCLN là số nguyên tố Chẳng hạn, và Ước chung mà không để lại số dư ký hiệu ƯCLN gọi hai số nguyên tố Tính chất khơng khẳng định thành tích thừa số ngun tố: chúng khơng có thừa số chung khơng phải số ngun tố chúng phân tích Tuy nhiên, thuvienhoclieu.com nguyên tố Trang thuvienhoclieu.com Gọi ƯCLN Vì , khơng tồn số bội nên chúng viết thành để biểu thức Hai số tự nhiên phân tích thừa số chung từ chia chia để Ước chung lớn chúng chia ước chung có độ dài và ước chung Ước chung lớn để điều xảy Chẳng hạn, hình chữ nhật có kích thước , nên ước chung lớn , tức hình chữ nhật có hai hình vng nằm cạnh ( vng nằm cạnh cịn lại ( Ước chung lớn hai số ) năm hình ) tích thừa số nguyên tố chung hai số cho, thừa số nhân lên nhiều lần, tích thừa số chia hạn, ta phân tích bất Cả hai cạnh hình chữ nhật chia thành đoạn thẳng chia thành hình vng có cạnh ước chung (dương) để chia hình chữ nhật thành hình vng có cạnh giá trị lớn nhất phải nguyên tố lớn Do đó, số ƯCLN minh họa sau: Xét hình chữ nhật có kích thước kỳ chia hết và nên ước chung lớn Chẳng (là tích thừa số nguyên tố chung) Nếu hai số khơng có thừa số ngun tố chung ước chung lớn chúng (một trường hợp của tích rỗng), hay nói cách khác chúng ngun tố Một ưu điểm quan trọng giải thuật Euclid tính ƯCLN mà khơng cần phân tích thừa số ngun tố Bài tốn phân tích số ngun lớn khó tính bảo mật nhiều giao thức mật mã phổ biến dựa tính chất ƯCLN ba số trở lên tích thừa số nguyên tố chung ba số cho,  nhưng tính cách tìm ƯCLN cặp số ba số  Chẳng hạn, ƯCLN Vì vậy, giải thuật Euclid, vốn dùng để tính ƯCLN hai số ngun áp dụng để tính ƯCLN số lượng số nguyên thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Giải thuật Euclid gồm dãy bước mà đó, đầu bước đầu vào bước Gọi số nguyên dùng để đếm số bước thuật toán, số khơng (khi bước tương ứng với , bước , ) Mỗi bước bắt đầu với hai số dư không âm bước nên nhỏ phần dư nhỏ không số dư Mục tiêu bước thứ tìm thương số dư , trừ bội số nhỏ ), số dư và số dư bước đầu tiên, Do đó, thuật tốn viết thành dãy thuật tốn đảo ngược vị trí hai số Chẳng hạn, Do đó, ln nhỏ với thương khơng thuật tốn dừng lại đó. Số dư khác không cuối đến , hai số cần tìm ƯCLN Đến bước ( Vì số dư giảm dần theo bước số âm nên số dư sau Số thỏa mãn ), hai số dư bước: nhỏ Vì thuật tốn giúp đảm bảo số dư giảm dần theo Nói cách khác, từ số lớn Ở bước ( Nếu phải ước chung lớn khơng thể vơ hạn có số lượng hữu hạn số nguyên dương nằm số dư ban đầu Tính đắn giải thuật Euclid chứng minh qua hai bước lập luận.  Bước thứ nhất, cần chứng minh số dư khác khơng cuối chung nên phải nhỏ với ước chung lớn Bước thứ hai, cần chứng minh ước chung ; từ đó, phải nhỏ chia Vì ước , có Hai kết luận mâu thuẫn trừ thuvienhoclieu.com cần phải chia Trang thuvienhoclieu.com Để chứng tỏ chia cuối không , cần biết chia số dư liền trước chia số dư : : số dư chia hai số hạng vế phải phương trình Chứng minh tương tự, chia tất số dư liền trước kể và Khơng có số dư liền trước nên , , chia ước chung Trong bước thứ hai, số tự nhiên số dư cho số dư khơng Vì Theo định nghĩa chia và (là ước chung viết thành bội số tự nhiên Ta có nên Chứng minh bước thứ nhất, ta thấy ước hay tất cặp số liền sau: : và với ước số dư ban đầu ước số dư liền sau Kết hợp hai kết luận thu được, ta có Bước 1: Chia cho Vậy có số dư Bước 2: ƯCLN + Nếu , ta chia tiếp Việc tìm ƯCLN dừng lại cho - Nếu - Nếu ta thực phép chia ƯCLN số dư khác , số dư Dừng lại việc tìm ƯCLN cho lập lại trình nhỏ dãy phép chia nói II Bài tốn Bài 1: Hãy tìm ƯCLN thuật tốn Ơclide Lời giải: thuvienhoclieu.com ước chung lớn (giả sử + Nếu Từ đó, ước chung lớn I Phương pháp giải Muốn tìm ƯCLN ) chia Trang 10 thuvienhoclieu.com Ta có: (chia hết) Vậy ƯCLN Trong thực hành làm sau: 1575 343 203 140 63 63 343 203 140 1 14 Vậy ƯCLN Bài 2: Tìm ƯCLN thuật tốn Euclide Lời giải: Ta có: ƯCLN Bài 3: Chứng minh ƯCLN Lời giải: Cách 1: Gọi Vậy ƯCLN Cách 2: thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com Ta có: Mà chia cho dư Suy ƯCLN Bài 4: Chứng minh hai số nguyên tố Lời giải: Cách 1: Gọi Mà Vậy lẻ nên lẻ Suy hai số nguyên tố Cách 2: Ta có: chia cho dư Suy ƯCLN Vậy (Vì Bài 5: Biết số lẻ , số chẵn) hai số nguyên tố gồm chữ số gồm chữ số Hãy tìm ƯCLN Lời giải: Ta có Vì Ta có: Bài 6: Số gồm chữ số , Y gồm chữ số Tìm ƯCLN Lời giải: Có: thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com Từ ƯCLN Bài 7: Tìm số tự nhiên , biết chia cho số dư Lời giải: Theo đầu ta có: ƯCLN Vì chia cho dư Vậy Bài 8: Người ta đếm số trứng trog rổ Nếu đếm theo chục theo tá theo lần dư Tính số trứng rổ, biết số trứng lớn nhỏ quả Lời giải: Gọi số trứng rổ ( ) Ta có: Theo Vạy số trứng rổ Bài 9: Một trường học có số lượng học sinh khơng q Nhưng xếp hàng Khi xếp hàng dư vừa đủ Tính số học sinh trường? Lời giải: Gọi số học sinh trường là: ( ) Theo ta có: Lại có: thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com Mà Vậy số học sinh trường (học sinh) Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số cho số dư Lời giải: Gọi số tự nhiên cần tìm là: ( ) Theo ta có: Ta tìm số cho: Nhận thấy: Vì nhỏ Vậy số tự nhiên cần tìm Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho dư , chia cho dư , chia cho Lời giải: Gọi số cần tìm Mà , ta có: nhỏ nhỏ Do ƯCLN Vậy số tự nhiên cần tìm là: thuvienhoclieu.com Trang 14 dư thuvienhoclieu.com Bài 12: Cho số tự nhiên khác cho số tự nhiên Gọi ƯCLN Chứng minh rằng: Lời giải: , đặt Bài 13: Một số tự nhiên chia cho dư , chia cho dư Nếu đem số chia cho dư bao nhiêu? Lời giải: Gọi số Vì chia cho dư mà ƯCLN Vậy , chia chia cho dư Bài 14: Tìm số tự nhiên dư dư biết chia cho ta số dư chia cho có số Lời giải: Theo đề chia cho ta số dư (1) chia ta có với có số dư hay với (2) Từ (1) (2) suy số tự nhiên cần tìm Bài 15: Một số chia cho nhiêu? dư , chia cho dư , chia cho dư Hỏi số chia cho Lời giải: Gọi số cho Theo ta có: thuvienhoclieu.com Trang 15 dư bao thuvienhoclieu.com Mặt khác: Như đồng thời chia hết cho Nhưng ƯCLN Do nên số dư phép chia số cho Bài 16: Tìm số tự nhiên lớn có chữ số, cho chia cho dư chia cho Lời giải: Gọi số cần tìm Vì a chia cho ( ) dư chia cho dư nên: Vì Vì số có chữ số lớn nên Vậy số cần tìm , Bài 17: Tìm sớ tự nhiên nhỏ nhất có chữ số biết rằng số đó chia cho đều dư Lời giải: Gọi số cần tìm là Vì chia cho Mà nhỏ nên điều kiện đều dư nhỏ Mà ƯCLN Vậy sớ cần tìm là thuvienhoclieu.com Trang 16 dư thuvienhoclieu.com Bài 18: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho dư , chia cho dư Lời giải: Ta có chia cho dư , chia cho dư và Vì bội chung số tự nhiên nỏ nên Bài 19: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết số chia cho dư , cho , cho , cho dư Lời giải: Gọi số tự nhiên cần tìm Ta có chia Nên cho , cho , cho , cho dư là số nhỏ chia cho dư tức nhận giá trị Mặt khác (vì số nhỏ chia hết cho khơng chia hết cho ) PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài 1: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng ƯCLN Lời giải: Gọi số cần tìm , giả sử Vì ƯCLN Ta có Lập bảng: thuvienhoclieu.com Trang 17 , cịn chia cho thuvienhoclieu.com Vậy hai số cần tìm Bài 2: Tìm số tự nhiên ; biết ; chia hết cho Lời giải: Ta có Vì nên để phải ước Mà nên Vậy chia hết cho Bài 3: Tìm số tự nhiên biết số tự nhiên Lời giải: Để số tự nhiên chia hết cho chia hết cho Mà Vậy nên chia hết cho phải số tự nhiên lớn Bài 4: Tìm số tự nhiên đồng thời ước số tự nhiên biết Lời giải: Ta có Vì nên để thuvienhoclieu.com Trang 18 thuvienhoclieu.com Mà nên Vậy phải số tự nhiên lớn đồng thời ước Bài 5: Tìm số tự nhiên biết có giá trị số nguyên Lời giải: Ta có số nguyên Ta có ước Vậy có giá trị số nguyên Bài 6: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu chúng khoảng từ đến , ƯCLN chúng số Lời giải: Gọi hai số tự nhiên cần tìm Đặt ƯCLN Mà ƯCLN Xét giả sử với nên ta có ước với ƯCLN hay nên ta có trường hợp m, n sau: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Trường hợp 3: thuvienhoclieu.com Trang 19 thuvienhoclieu.com Xét ta có (khơng thỏa mãn) Bài 7: Cho Tìm ƯCLN Lời giải: Gọi -Nếu Vậy có dạng Bài 8: Tìm ƯCLN với Lời giải: Giả sử , ước nguyên tố (vơ lý) Bài 9: Tìm ƯCLN Lời giải: Gọi ƯCLN Khi ta có: Do mà khơng chia hết cho , nên (loại) Do thuvienhoclieu.com Trang 20 ... 1575 34 3 2 03 140 63 63 34 3 2 03 140 1 14 Vậy ƯCLN Bài 2: Tìm ƯCLN thuật tốn Euclide Lời giải: Ta có: ƯCLN Bài 3: Chứng minh ƯCLN Lời giải: Cách 1: Gọi Vậy ƯCLN Cách 2: thuvienhoclieu. com Trang... tìm ƯCLN thuật toán Ơclide Lời giải: thuvienhoclieu. com ước chung lớn (giả sử + Nếu Từ đó, ước chung lớn I Phương pháp giải Muốn tìm ƯCLN ) chia Trang 10 thuvienhoclieu. com Ta có: (chia hết) Vậy... cuối chung nên phải nhỏ với ước chung lớn Bước thứ hai, cần chứng minh ước chung ; từ đó, phải nhỏ chia Vì ước , có Hai kết luận mâu thuẫn trừ thuvienhoclieu. com cần phải chia Trang thuvienhoclieu. com