Thuvienhoclieu com chuyen de 12 boi va uoc cua mot so nguyen

thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ 12: BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Với ta gọi Nếu có số nguyên số bị chia, cho số chia, ta ta có phép chia hết thương) Khi ta nói chia hết cho Khi ( , ) ta gọi bội ướccủa Nhận xét - Số bội số nguyên khác Số ước số nguyên - Các số ước số ngun Tính chất Có tất tính chất tập -Nếu chia hết cho chia hết cho chia hết cho - Nếu chia hết cho bội chia hết cho ( - Nếu , chia hết cho - Nếu , chia cho ) tổng hiệu chúng chia hết cho số dư chia hết cho Nhận xét: - Nếu chia hết cho , chia hết cho - Nếu chia hết cho hai số nguyên tố - Nếu chia hết cho số nguyên tố - Nếu chia hết cho - Trong thì chia hết cho chia hết cho nguyên tố chung số ngun liên tiếp có số chia hết cho chia hết cho II CÁC DẠNG BÀI Dạng Tìm bội ước số nguyên thuvienhoclieu.com Trang (trong , kí hiệu thuvienhoclieu.com I Phương pháp giải -Tập hợp bội số ngun a có vơ số phần tử - Tập hợp ước số số nguyên hữu hạn Cách tìm: Trước hết ta tìm ước số nguyên dương phần số tự nhiên chẳng hạn Khi (làm tập số tự nhiên), ước số a Do ước a Như số ước nguyên gấp đôi số ước tự nhiên - Số ước nguyên dương số II Bài tốn A TRẮC NGHIỆM Bài 1.Khi ta nói bội A ? B C D Lời giải Đáp án: A Bài 2.Hãy nêu cách tìm bội số: A nhân số với C chia số cho B nhân số với D chia số cho Lời giải Đáp án: B Bài 3.Hãy số ước tất số: Lời giải Đáp án: C Bài 4.Số 28 có ước nguyên? Lời giải Đáp án: D Giải thích: ta có thuvienhoclieu.com Trang , thuvienhoclieu.com Số ước nguyên dương số 28 Số ước 28 Bài Các số có chữ số ước 60 là: Lời giải Đáp án: C Bài Hãy tìm số Lời giải Đáp án: A B TỰ LUẬN Bài 1.Tìm năm bội của: Lời giải Cả -3 có chung bội dạng ( ), nghĩa là: Chẳng hạn, năm bội – : Bài Tìm năm bội -2 Lời giải Muốn tìm bội 2, (-2) ta nhân 2, (-2) với số nguyên Chẳng hạn: Năm bội : Năm bội -2 : Tổng quát: Các bội -2 có dạng với : Bài Tìm bội Lời giải Bài Tìm tất ước Lời giải Các ước -2 : thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Cấc ước : Các ước 13 : Các uớc 15 : Các ước : Bài 5.Tìm tất ước Lời giải Kí hiệu   tập hợp ước số nguyên , ta có: viết gọn là: ; ;  ;      Bài 6.Tìm tất ước 36 Lời giải Phân tích 36 thừa số  nguyên tố: Để tìm tất ước 36 khơng bị sót, bị trùng, ta làm sau: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ta viết:                                  hay                  hay           Các ước nguyên dương của 36  : Tất có ước  nguyên dương là:   Tập hợp tất ước nguyên 36 : Bài Tìm tất ước 12 mà lớn – Lời giải Các ước 12 là: Các ước 12 mà lớn – Bài 8.Tìm số tự nhiên cho: ước 28 Lời giải Ta có: , ta có bảng sau: Vì Vì số tự nhiên nên Bài Tìm bội -13 lớn -40 nhỏ 40 Lời giải Các bội -13 Các bội -13 lớn -40 nhỏ 40 Bài 10.Tìm số tự nhiên x bội 75 đồng thời ước 600 Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Đáp án: Bài 11 Chứng tỏ số có dạng bội 37 Lời giải Đáp án: Ta có: nên Bài 12 Tìm chữ số cho bội 37 vừa bội 5, vừa bội Lời giải Ta có nên Số chia hết cho nên Ta có nên hay Vậy , số vừa bội 5, vừa bội Bài 13 a) Tìm năm bội của: ; b) Tìm bội , biết chúng nằm khoảng từ đến 24 Lời giải a) Các bội số có dạng ( ) Chẳng hạn chọn năm bội số là: ( ứng với ) b) Các bội số –12 có dạng 12.k ( Tức là: Vậy bội ) Cần tìm cho: , chọn nằm khoảng từ đến 24 Bài 14 Tìm tất ước của: a) ; b) ; c) 12 Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a) Các ước tự nhiên 1, 3.Do ước b) Các ước tự nhiên 25 là Do ước 25 c) Các ước tự nhiên 12 Do ước 12 Nhận xét: Số tự nhiên a phân tích thừa số ngun tố có dạng nhiên a (p, q, r số nguyên tố) số ước tự Khi số ngun có ước nguyên Số nguyên tố có ước nguyên Bài 15 Tìm số nguyên a) chia hết cho để: ; c) chia hết cho b) chia hết cho ; d) ; chia hết cho 17 Lời giải a) chia hết cho Vậy ( b) chia hết cho , nên bội ( khơng chia hết cho 2) số ngun tùy ý) , nên ước Vậy c) chia hết cho , nên ước Suy Với suy hay Với suy hay Với suy hay Với suy hay Với suy hay thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Với suy hay Vậy d) chia hết cho 17, nên Vậy ( bội 17 Do ( ) ) III Bài tập có hướng dẫn Bài a) Tìm bốn bội b) Tìm bội , biết chúng nằm khoảng từ 100 đến 200 HD a) Chẳng hạn là: –18; –9; 0; b) 120; 144; 168; 192 Bài Tìm tất ước của: a) ; b) 49; c) HD a) b) c) Bài a) Tìm tập hợp ; b) Tìm tập hợp HD a) suy b) suy Bài Tìm số nguyên a) chia hết cho 3; để: b) thuvienhoclieu.com chia hết cho ; Trang thuvienhoclieu.com c) chia hết cho ; d) chia hết cho 18 HD a) mà (7; 3) = nên b) nên c) nên Vậy d) nên suy Bài Tìm tập hợp HD Suy Bài Cho hai tập hợp a) Viết tập hợp gồm phần tử có dạng với b) Trong tích có tích chia hết cho 5? HD a) C = = ( Chú ý: Các phần tử tập hợp phải khác đôi một) b) Trong tích có tích chia hết cho ứng với Dạng Vận dụng tính chất chia hết số nguyên I Phương pháp giải Để chứng minh biểu thức A chia hết cho số nguyên a; - Nếu A có dạng tích n chia hết cho cần m (hoặc n, p) chia hết cho a Hoặc m chia hết cho , p chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com - Nếu A có dạng tổng m + n + p cần m, n, p chia hết cho a, tổng số dư chia m, n, p cho a phải chia hết cho a - Nếu A có dạng hiệu m – n cần m, n chia cho a có số dư Vận dụng tính chất chia hết để làm tốn tìm điều kiện để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho hết II Bài toán Bài Chứng minh rằng: chia hết cho Lời giải Nhóm tổng S thành tổng bội số Mỗi số hạng tổng S chia hết cho Bài Cho số cách: , nên S chia hết cho Hỏi số a có chia hết cho khơng? Lời giải Số hạng đầu chia hết cho 9, cịn khơng chia hết không chia hết cho Bài Cho không chia hết cho Do số nguyên Chứng minh chia hết cho 31 chia hết cho 31 Điều ngược lại có khơng? Lời giải Ta có: (*) Do từ (*) suy Mà 31 nguyên tố nhau, nên suy Ngược lại, , mà từ (*) suy Vậy điều ngược lại Ta phát biểu toán lại sau: “Cho số nguyên Chứng minh chia hết cho 31 cho 31” thuvienhoclieu.com Trang 10 chia hết thuvienhoclieu.com Bài Tìm số nguyên a) cho: chia hết cho b) ước số Lời giải a) Nhận thấy Do nên Suy hay Vậy b) Nhận thấy Do nên Suy Vậy III Bài tập có hướng dẫn Bài Chứng minh rằng: chia hết cho HD = = 39 + 33.39 + 36.39 = 39.(1 + 33 + 36) Suy Bài Cho số nên (gồm 20 chữ số 1) Hỏi số a có chia hết cho 111 không? HD Nhận thấy: = Suy tổng hai số hạng có số chia hết cho 111, số không chia hết cho 111 nên không chia hết cho 111 thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com Vậy không chia hết cho 111 Bài Cho số nguyên Chứng minh chia hết cho 17 chia hết cho 17 HD Xét hiệu Nhận thấy nên: Nếu , mà nên Nếu , mà nên Bài Tìm số nguyên a) cho: chia hết cho ; b) ước số HD a) nên Vậy b) Do nên Do Vậy Bài Tìm cặp số ngun a) cho: b) c) HD a) Vì = 5.1 = nên ta có trường hợp sau: 1) và 2) và thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com 3) 4) và b) c) Do tìm Bài Tìm tất cặp số nguyên x, y cho 20x + 10y = 2010 HD Từ điều kiện đề suy 201 số lẻ 2x số chẵn, suy y số lẻ Khi y có dạng: Chẳng hạn, bốn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: Bài Tìm số nguyên cho bội 15 ước số 1001 HD Ta có: Mà bội 15 nên ( ước 1001 nên kiểm tra thấy ) suy ( ) hay Vậy Dạng TÌM SỐ NGUYÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ CHIA HẾT I Phương pháp giải Áp dụng tính chất: Nếu chia hết cho chia hết cho chia hết cho II Bài tốn Bài 1.Tìm số tự nhiên cho Lời giải Ta có ước 10 thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com Ta có bảng sau: Suy ( Bài 2.Tìm a) ) cho : chia hết cho ; b) chia hết cho Lời giải a) Ta có: Ta có: Do chia hết cho chia hết cho Ước gồm số chia hết cho , tức là ước Ta có bảng sau: Suy b) Ta có: chia hết cho Do Do chia hết cho chia hết cho ước Ước gồm số Ta có bảng sau: thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com Suy ra: Bài 3.Tìm các số nguyên thoả mãn: Lời giải a) Ta có nên , tức Vì ĐS : ước , ta có bảng sau: b) HD: Ta có nên Đáp số: Bài 4.Tìm a) , tức là ước 11   cho : chia hết cho b) chia hết cho Lời giải a) Ta có: Ta có: Do chia hết cho chia hết cho Ước gồm số chia hết cho Suy , tức là ước b) Ta có: Ta có: Do chia hết cho chia hết cho Ước gồm số chia hết cho , tức Suy ước thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com Bài 5.Tìm số tự nhiên cho bội Lời giải bội mà Do Mà nên Bài 6.Tìm số ngun biết chia hết cho Lời giải Ta có: chia hết cho chia hết cho Mà chia hết cho ⇒ chia hết cho thuộc ước mà Vậy Bài 7.Tìm số nguyên dương cho bội Lời giải bội Mà Do thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com Mà nên Bài Có hai số nguyên , khác mà chia hết cho chia hết cho không ? Lời giải chia hết cho chia hết cho Vì nên Do đó: Vậy cặp số ngun đối nhau và khác  có tính chất chia hết cho ( ) ( ) chia hết cho cặp số Bài 9. Cho hai tập hợp số: a) Có thể lập tổng dạng với b) Trong tổng có tổng chia hết cho ? ? Lời giải Giải a) Ta lập bảng cộng sau : Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng tạo thành, có tổng khác nhau: b) Có tổng chia hết cho : (Có tổng khác chia hết cho : ) Bài 10.Cho hai tập hợp số  a) Có thể lập tổng dạng với ? b) Trong tổng có tổng chia hết cho 3? thuvienhoclieu.com Trang 17 thuvienhoclieu.com Lời giải Lập bảng ta thấy : a) Ta lập bảng cộng sau: Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng tạo thành, có tổng khác : b) Trong có tổng chia hết cho : Như có hai tổng khác chia hết cho 18 21 thuvienhoclieu.com Trang 18 ... Các bội số ? ?12 có dạng 12. k ( Tức là: Vậy bội ) Cần tìm cho: , chọn nằm khoảng từ đến 24 Bài 14 Tìm tất ước của: a) ; b) ; c) 12 Lời giải thuvienhoclieu. com Trang thuvienhoclieu. com a) Các ước... x bội 75 đồng thời ước 600 Lời giải thuvienhoclieu. com Trang thuvienhoclieu. com Đáp án: Bài 11 Chứng tỏ số có dạng bội 37 Lời giải Đáp án: Ta có: nên Bài 12 Tìm chữ số cho bội 37 vừa bội 5, vừa... ngun a) cho: b) c) HD a) Vì = 5.1 = nên ta có trường hợp sau: 1) và 2) và thuvienhoclieu. com Trang 12 thuvienhoclieu. com 3) 4) và b) c) Do tìm Bài Tìm tất cặp số nguyên x, y cho 20x + 10y =