Chuong 3.Pdf

Giải Tích Toán Học II Đặng Hữu Chung Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm KH&CN Việt Nam https //danghuuchung com Email chung danghuu@gmail com February 2022 Mục lục 3 Tích phân đường và tích phân mặt 2 3 1 Trườ[.]

Giải Tích Tốn Học II Đặng Hữu Chung Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm KH&CN Việt Nam https://danghuuchung.com Email: chung.danghuu@gmail.com February 2022 Mục lục Tích phân đường tích phân mặt 3.1 Trường vector 3.1.1 Định nghĩa trường vector 3.1.2 Các toán tử trường vector 3.2 Tích phân đường loại 3.2.1 Các định nghĩa 3.2.2 Cách tính tích phân 3.2.3 Ý nghĩa tích phân đường loại 3.3 Tích phân đường loại 3.3.1 Định nghĩa tính chất 3.3.2 Cách tính tích phân 3.3.3 Ý nghĩa vật lý 3.3.4 Công thức Green 3.3.5 Các định lý tích phân đường R2 3.3.6 Định lý tích phân đường R3 3.4 Tích phân mặt loại 3.4.1 Định nghĩa 3.4.2 Cách tính điều kiện khả tích 3.4.3 Ý nghĩa vật lý 3.5 Tích phân mặt loại 3.5.1 Định nghĩa 3.5.2 Cách tính điều kiện khả tích 3.5.3 Ý nghĩa vật lý 3.6 Các định lý liên hệ loại tích phân 3.6.1 Định lý Stokes 3.6.2 Định lý phân kỳ 2 5 11 13 13 15 17 17 21 24 26 26 27 29 30 30 32 36 37 37 40 Chương Tích phân đường tích phân mặt 3.1 3.1.1 Trường vector Định nghĩa trường vector Trong khí tượng học, trường vận tốc gió trường vector, điểm (x, y, z) vector vận tốc chuyển động khơng khí với thành phần (u, v, w) xác định Thông thường trường vector vận tốc gió xác lập độ cao định, chẳng hạn cách bề mặt khu vực khoảng 10 mét lúc trường vận tốc tốc gió vector với hai thành phần (u, v) Bản đồ trường gió Hình 3.1 thể hướng gió cường độ tốc độ gió dải màu khác Hình 3.1: Trường gió bề mặt Biển Đơng thời điểm Trong Cơ học chất lỏng, trường vận tốc dịng chảy ví dụ trường vector Tại điểm miền dòng chảy thời điểm định xác định vector vận tốc v = (u, v) đối vơi miền hai chiều v = (u, v, w) không gian ba chiều Chương Tích phân đường tích phân mặt Ví dụ trường vận tốc dịng chảy thủy triều vùng cửa sơng Severn (Anh) từ kết mơ hình tốn học Hình3.2 [8]: Hình 3.2: Trường vận tốc dịng chảy vùng cửa sơng Severn lúc triều lên Hình 3.3 biểu diễn trường vận tốc dòng thủy triều bãi triều Sylt-Romo (Đức) từ mơ hình tốn học [9]: Hình 3.3: Trường vận tốc dịng chảy bãi triều Sylt-Romo Một loại trường vectơ khác quan tâm Cơ học hay Vật lý, trường lực Tại điểm không gian thuộc miền xét vectơ lực xác định, chẳng hạn trường lực hấp dẫn ví dụ Định nghĩa 3.1.1 Cho tập E ⊂ Rn Trường vectơ E hàm vector F : E → Rn : F (x1 , x2 , , xn ) ∈ E 7− → (f1 , f2 , , fn ) ∈ Rn (3.1) • Khi n = 2: F(x, y) = P (x, y)e1 + Q(x, y)e2 • Khi n = 3: F(x, y, z) = P (x, y, z)e1 + Q(x, y, z)e2 + R(x, y, z)e3 Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com Chương 3.1.2 Tích phân đường tích phân mặt Các tốn tử trường vector Rot Div hai toán tử thực trường vector Các tốn tử đóng vai trị phép tính vector áp dụng học chất lỏng, điện tử từ học 3.1.2.1 Toán tử Rot Cho F = P e1 + Qe2 + Re3 trường vector R3 giả sử đạo hàm riêng P, Q, R tồn tại, Rot trường vector F định nghĩa bởi:       ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P rotF = − e1 + − e2 + − e3 (3.2) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Để giúp công thức dễ nhớ người ta sử dụng toán tử ∇ (nabla, gradient) tốn tử trường vơ hướng: ∇= ∂ ∂ ∂ e1 + e2 + e3 ∂x ∂y ∂z (3.3) Và lúc tốn tử Rot viết cách hình thức: e1 e2 e3 Chương Tích phân đường tích phân mặt Z Z 4π p 3t cos t sin t sin2 t + cos2 t + dt √ Z 10 4π t sin(2t) dt = √  4π √ 10 t = sin(2t) − cos(2t) = −3 10π xyzds = C Z x ds với C đường cong có phương trình tọa độ cực r = cos θ Ví dụ 3.2.2.5 Tính C Hình 3.10: Đường cong C Biểu diễn x = r cos θ = cos2 θ, y = r sin θ = cos θ sin θ Áp dụng công thức: p p ′ ds = r + (r ) dθ = cos2 θ + sin2 θdθ = dθ Z π Z cos2 θ dθ = π xds = −π C 3.2.3 Ý nghĩa tích phân đường loại Tích phân đường xuất vào đầu kỷ 19 để giải vấn đề liên quan đến lĩnh vực học lý thuyết, học chất lỏng, điện từ trường vật lý 3.2.3.1 Ý nghĩa hình học Xét đường cong C xác định phương trình x = x(t), y = y(t) hàm z = f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ C Khi P (x, y) di chuyển dọc theo đường cong C điểm P ′ (x, y, z) di chuyển dọc theo đường cong C ′ Ztrên mặt z = f (x, y) f (x, y)ds diện tích "hàng rào" tạo đường Z ′ cong C C Khi f (x, y) = ds chiều dài đường cong C Rõ ràng tích phân C C Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com 11 Chương Tích phân đường tích phân mặt Hình 3.11: Đường cong C C ′ t t Ví dụ 3.2.3.1 Một chim đại bàng bay lên theo đường xoắn r(t) = (2400 cos , 2400 sin , 500t), 2 với x, y, z có đơn vị feet, t có đơn vị phút Hỏi chim bay bao xa sau 10 phút ? p √ ∥ r′ (t) ∥= x′ (t)2 + y ′ (t)2 + z ′ (t)2 = 12002 + 5002 = 1300 Z 10 Z 10 Z ′ 1300 dt = 13, 000f t ∥ r ∥ dt = ds = L= C 3.2.3.2 0 Ý nghĩa vật lý Ý nghĩa vật lý tích phân đường loại thùy thuộc vào hàm f Nếu f mật độ khối lượng ρ(x, y, z) tâm C tính bởi: Z ρ(x, y, z)ds m= CZ Z 1 xc = xρ ds, yc = yρ ds, zc = m C m C biểu diễn đại lượng vật lý cong C khối lượng khối (3.29) m Z zρ ds (3.30) C Ví dụ 3.2.3.2 Tính khối lượng khối tâm trụ thép xoắn có phương trình r(t) = (cos t, sin t, 3t), t ∈ [0, 4π], cho biết đường kính trụ 0.1m khối lượng riêng thép 7850kg/m3 Khối lượng trụ thép: Z Z Z 7850π(0.1)2 7850π(0.1)2 4π √ m= ρds = ds = + dt 4 C C 7850π(0.1)2 √ = 104π = 2450.02 kg Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com 12 Chương Tích phân đường tích phân mặt Khối tâm: Z Z Z 4π √ 1 7850π(0.1)2 xc = x ds = √ 10 cos t dt = xρds = m C m C 104π Z Z Z 4π √ 1 7850π(0.1)2 yc = yρds = y ds = √ 10 sin t dt = m C m C 104π Z 4π √ Z Z 1 7850π(0.1)2 zc = z ds = √ 103t dt = 6π yρds = m C m C 104π Thực ra, nhận xc = yc = gồm vịng xoắn đối xứng qua trục z mật độ không đổi nên khối tâm nằm trục z, nghĩa xc = yc = 0, zc ̸= 3.3 3.3.1 Tích phân đường loại Định nghĩa tính chất Tích phân đường loại tích phân đường trường vô hướng Bây xét tích phân đường với trường vector Cho hàm vector F : D ⊂ R2 → R2 : F = P (x, y)e1 + Q(x, y)e2 (3.31) Gọi C đường cong D có phương trình tham số: Hình 3.12: Vector F biến thiên đường cong C r = x(t)e1 + y(t)e2 , t ∈ [a, b] (3.32) Chia [a, b] thành n đoạn với điểm ti , i = 0, n, lúc đường cong C nhận điểm tương ứng Mi (xi , yi ) Xét tích vơ hướng: −−−−−→ (3.33) F · Mi−1 Mi = F · dr = P (x∗i , yi∗ )∆xi + Q(x∗i , yi∗ )∆yi Với (x∗i , yi∗ ) điểm cung bé Mi−1 Mi Lập tổng: n X [P (x∗i , yi∗ )∆xi + Q(x∗i , yi∗ )∆yi ] (3.34) i=1 Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com 13 Chương Tích phân đường tích phân mặt Ta đến định nghĩa tích phân đường loại sau Định nghĩa 3.3.1.1 Cho trường vector F = (P (x, y), Q(x, y)) xác định D ⊂ R2 bao gồm đường cong C : x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b, tích phân đường trường vector F là: Z Z n X F · dr = P (x, y)dx + Q(x, y)dy = lim [P (x∗i , yi∗ )∆xi + Q(x∗i , yi∗ )∆yi ] (3.35) C n→∞ C i=1 giới hạn tồn Tích phân đường trường vector gọi tích phân đường loại Tổng quát, xem F trường vector R3 với: F = P (x, y, z)e1 + Q(x, y, z)e2 + R(x, y, z)e3 C : r = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3 , t ∈ [a, b] dr = dxe1 + dye2 + dze3 (3.36) (3.37) (3.38) Z Z F(r) · dr = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz (3.39) C C Chú ý 1) Đối với tích phân đường loại tổng tích phân tính theo độ dài vi phân cung ds nên không phụ thuộc vào chiều đường cong lấy tích phân Tuy nhiện, tích phân đường loại hai tổng tích phân dựa vào tích vơ hướng hai vector F với vector dr, tích phân phụ thuộc vào chiều đường cong lấy tích phân, nghĩa là: Z Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy (3.40) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = − AB BA 2) Có thể tách rời tích phân đường thành tổng tích phân thành phần: Z Z Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P (x, y)dx + Q(x, y)dy C C (3.41) C Các tính chất 1) Nếu AB = ∪ni=1 Ci với Ci cung trơn Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy = AB i=1 Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy C Đặng Hữu Chung Z F · dr + b C (3.42) Ci Z (aF + bG) · dr = a 2) n Z X G · dr (3.43) C https://danghuuchung.com 14 Chương 3.3.2 Tích phân đường tích phân mặt Cách tính tích phân Điều kiện khả tích Nếu C đường cong trơn khúc hàm P (x, y), Q(x, y) liên tục C tích phân đường loại tồn Cách tính • Đường cong C biểu diễn phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b] ⇒ dx = x′t dt, dy = yt′ dt (3.44) Do đó: Z Z b [P (x(t), y(t))x′t + Q(x(t), y(t))yt′ ]dt P (x, y)dx + Q(x, y)dy = C (3.45) a • Nếu C cho y = f (x), x ∈ [a, b] tích phân tính: Z Z b P (x, y)dx + Q(x, y)dy = [P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y ′ ]dx C (3.46) a • Nếu đường cong C có dạng tọa độ cực r = r(θ), α ≤ θ ≤ β: Biểu diễn x = r cos θ = r(θ) cos θ, y = r sin θ = r(θ) sin θ chuyển đường cong dạng phương trình tham số θ • Tổng qt trường vector R3 : F = P (x, y, z)e1 + Q(x, y, z)e2 + R(x, y, z)e3 C : r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3 , t ∈ [a, b] Z b Z Z F(r) · dr = F(r) · τ ds = F(r(t)) · r′ (t)dt (3.49) a C C (3.47) (3.48) r ′ (t) vector tiếp tuyến đơn vị đường cong C ∥ r ′ (t) ∥ Z Ví dụ 3.3.2.1 Tính (x2 + y)dx + xydy với C1 : (0, 0) → (1, 1), C2 : (1, 1) → (1, 2), Với τ = C C3 : (1, 2) → (2, 2) C4 : (2, 2) → (0, 4) Đường cong C gồm đương cong, đó: Z Z (x + y)dx + xydy = C C1 +C2 +C3 +C4 Z C1 : y = x, dy = dx ⇒ Z (x + y)dx + xydy = C1 Đặng Hữu Chung (x2 + y)dx + xydy (2x2 + x)dx = https://danghuuchung.com 15 Chương Tích phân đường tích phân mặt Hình 3.13: Đường lấy tích phân Z C2 : x = 1, dx = 0, y = y ⇒ Z 2 (x + y)dx + xydy = ZC2 C3 : y = 2, dy = 0, x = x ⇒ (x2 + y)dx + xydy = ZC3 ydy = Z1 Z1 (x2 + 2)dx = 13 C4 : y = − x, dy = −dx ⇒ (x2 + y)dx + xydy = (3x + 4)dx = −14 C4 Z 13 − 14 = −7 Vậy (x2 + y)dx + xydy = + + C Z ydx + zdy + xdz với C bao gồm C1 : (2, 0, 0) → (3, 4, 5) nối tiếp Ví dụ 3.3.2.2 Tính C C2 : (3, 4, 5) → (3, 4, 0) (Hình 3.13.b) Z Z Z ydx + zdy + xdz = ydx + zdy + xdz + C C1 ydx + zdy + xdz C2 C1 : r(t) = (1 − t)(2, 0, 0) + t(3, 4, 5), ≤ t ≤ ⇒ x = (1 − t)2 + 3t = + t, y = 4t, z = 5t Z Z ydx + zdy + xdz = [4t + 20t + (2 + t)5]dt = 24.5 C1 C2 : r(t) = (1 − t)(3, 4, 5) + t(3, 4, 0), ≤ t ≤ ⇒ x = (1 − t)3 + 3t = 3, y = (1 − t)4 + 4t = 4, z = (1 − t)5 = − 5t Z Z ydx + zdy + xdz = 3(−5)dt = −15 C2 Z ydx + zdy + xdz = 24.5 − 15 = 9.5 Vậy C Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com 16 Chương Tích phân đường tích phân mặt Z Ví dụ 3.3.2.3 Tính tích phân (2xy + 1)dx + (x2 − z)dy + (xy + z − 2z)dz với C C đường xoắn x = cos t, y = sin t, z = t, ≤ t ≤ 2π Ta có x′ = − sin t, y ′ = cos t, z ′ = Z (2xy + 1)dx + (x2 − z)dy + (xy + z − 2z)dz ZC2π [(2 cos t sin t + 1)(− sin t) + (cos2 t − t) cos t + (t2 − 2t + cos t sin t)]dt = Z 2π [cos3 t − sin2 t cos t − t cos t + sin t cos t + t2 − 2t − sin t]dt = π (2π − 3) = 3.3.3 Ý nghĩa vật lý Xét chất điểm M dịch chuyển dọc theo đường cong AB tác dụng lực thay đổi F(M ) Một đại lượng bé công thực lực F điểm M dịch chuyển đoạn bé dr tính bởi: δW = F · dr (3.50) Nếu AB đường cong trơn khúc cơng lực F tác động lên điểm M dịch chuyển đường cong AB tổng đại lượng bé δW tích phân đường loại 2: Z F · dr (3.51) W = AB Ví dụ 3.3.3.1 Tìm cơng thực lực F = x2 i − xyj làm dịch chuyển hạt dọc theo cung phần tư đường trịn có phương trình r = cos ti + sin tj, ≤ t ≤ π/2 r = cos ti + sin tj ⇒ r′ = − sin ti + cos tj Z Z π/2 Z π/2 π/2 2 ′ W = F · dr = F · r dt = (−2 cos t sin t)dt = cos t = − 3 C 0 3.3.4 Công thức Green Chiều dương đường biên Gọi đường cong khép kín C biên miền đơn liên D Chiều dương C quy ước chiều ngược chiều kim đồng hồ, nghĩa dọc theo biên C miền D ln phía bên trái Định lý 3.3.4.1 (Định lý Green) Cho miền đa liên D với biên C có định hướng dương Nếu hàm P (x, y) Q(x, y) có đạo hàm riêng cấp liên tục D  I ZZ  ∂Q ∂P P dx + Qdy = − dxdy (3.52) ∂x ∂y C D Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com 17 Chương Tích phân đường tích phân mặt I tích phân đường cong kín C Định lý Green xác thiết lập mối quan hệ Ký hiệu C tích phân hai lớp miền D với tích phân đường loại hai dọc theo biên C Chứng minh 1) Ta chứng minh cho trường hợp miền D đơn liên loại 3, nghĩa đồng thời quy miền loại miền loại • Miền D loại 1: Hình 3.14: Miền loại ZZ D ∂P dxdy = ∂y Z bZ a φ2 (x) ∂P dydx = ∂y φ1 (x) Mặt khác, tích phân đường: Z Z I P dx = P (x, y) dx + C1 C Z [P (x, φ2 (x)) − P (x, φ1 (x))]dx b Z a (3.53) a Z Z P (x, y) dx − P (x, y) dx = C2 P (x, φ1 (x)) dx − = b Z b Z P (x, φ2 (x)) dx = − a P (x, y) dx −C2 C1 b [P (x, φ2 (x)) − P (x, φ1 (x))]dx (3.54) a Từ (3.53) (3.54) suy ra: I ZZ P dx = − C D ∂P dxdy ∂y (3.55) • Miền D loại 2: Z d Z ψ2 (y) Z d ZZ ∂Q ∂Q dxdy = dxdy = [Q(ψ2 (y), y) − Q(ψ1 (y), y)]dy c ψ1 (y) ∂x c D ∂x Mặt khác: I Z Q dy = C Z =− d Z Q(ψ1 (y), y) dy + c Đặng Hữu Chung C2 d Q(x, y) dy + −C1 Z d Q(x, y) dy C2 [Q(ψ2 (y), y) − Q(ψ1 (y), y)]dx Q(ψ2 (y), y) dy = c Z Q(x, y) dy = − Q(x, y) dy + C1 Z Z (3.56) (3.57) c https://danghuuchung.com 18 Chương Tích phân đường tích phân mặt Từ (3.56) (3.57) suy ra: ZZ D ∂Q dxdy = ∂x I Q dy (3.58) C Từ (3.55) (3.58) suy đpcm 2) Đối với trường hợp miền đơn liên D có dạng phân thành tổng miền loại áp dụng định lý Green Chẳng hạn xét D = D1 ∪ D2 : Hình 3.15: Miền đơn liên D  ∂Q ∂P P dx + Q dy = − dxdy ∂x ∂y C1 ∪C3 D1  ZZ  I ∂Q ∂P P dx + Q dy = − dxdy ∂x ∂y D2 C2 ∪(−C3 )  I ZZ  ∂Q ∂P ⇒ − dxdy P dx + Q dy = ∂x ∂y C1 ∪C2 D I  ZZ (3.59) (3.60) (3.61) 3) Đối với miền D đa liên, chẳng hạn xét trường hợp miền có bậc liên thơng Hình (3.16) Miền D phân thành hai miền D1 , D2 có biên Ci , i = 1, Với cách chia biên miền D trở thành miền đơn liên, áp dụng định lý Green Đối với miền D1 :  ZZ  I ∂Q ∂P − dxdy = P dx + Qdy ∂x ∂y D1 C Z Z Z Z = P dx + Qdy + P dx + Qdy + P dx + Qdy + C1 C2 C3 Đối với miền D2 :  ZZ  I ∂Q ∂P − dxdy = P dx + Qdy ∂x ∂y D2 C Z Z Z =− P dx + Qdy + P dx + Qdy − C4 Đặng Hữu Chung C5 P dx + Qdy (3.62) C4 Z P dx + Qdy + C2 https://danghuuchung.com P dx + Qdy (3.63) C6 19 Chương Tích phân đường tích phân mặt Hình 3.16: Miền liên thơng bậc Lấy tổng (3.62) (3.63):    ZZ  ZZ  ZZ  ∂Q ∂P ∂Q ∂P ∂Q ∂P − dxdy = − dxdy + − dxdy ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y D1 D2 D Z Z Z Z = P dx + Qdy + P dx + Qdy + P dx + Qdy + P dx + Qdy C1 C3 C5 C6 I I = P dx + Qdy + P dx + Qdy (3.64) C1 ∪C6 C3 ∪C5 Chiều dương biên ngược chiều kim đồng hồ, chiều dương biên chiều kim đồng hồ Như định lý Green áp dụng cho miền đa liên thông tổng quát Khi chiều dương biên C theo hướng ngược lại phải đổi dấu tích phân cơng thức Green Hệ 3.3.4.1 Nếu C biên miền đóng kín D diện tích A miền D xác định công thức sau: I I I xdy − ydx (3.65) A= xdy = − ydx = C C C Rất hiển nhiên, Z Z chẳng hạn với công thức cuối ta đặt P (x, y) = −y, Q(x, y) = x tích phân đưa dxdy = A D I Ví dụ 3.3.4.1 Tính x5 dx + 3xy dy với C biên tam giác theo hướng từ (0, 0) C đến (1, 0), từ (1, 0) đến (0, 1) từ (0, 1) đến (0, 0) Theo phương pháp tích phân đường loại 2: I Z Z 5 x dx + 3xy dy = x dx + 3xy dy + C Đặng Hữu Chung C1 Z x dx + 3xy dy + C2 https://danghuuchung.com x5 dx + 3xy dy C3 20 Chương Tích phân đường tích phân mặt Hình 3.17: Đường biên có định hướng dương Tuy nhiên, cách áp dụng công thức Green tích phân trở nên đơn giản: I ZZ x dx + 3xy dy = (3y − 0) dxdy C D Z Z 1−x Z = 3y dydx = (1 − x)2 dx 0 1