Giải Tích Toán Học II Đặng Hữu Chung Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm KH&CN Việt Nam https //danghuuchung com Email chung danghuu@gmail com January 2022 Mục lục 2 Tích phân bội 2 2 1 Tích phân hai lớp 2 2 1[.]
Giải Tích Tốn Học II Đặng Hữu Chung Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm KH&CN Việt Nam https://danghuuchung.com Email: chung.danghuu@gmail.com January 2022 Mục lục Tích phân bội 2.1 Tích phân hai lớp 2.1.1 Định nghĩa tính chất 2.1.2 Phương pháp tính tích phân hai lớp 2.1.3 Phép đổi biến tích phân hai lớp 2.1.4 Ứng dụng tích phân hai lớp 2.2 Tích phân ba lớp 2.2.1 Định nghĩa tích phân ba lớp 2.2.2 Tính chất tích phân ba lớp 2.2.3 Phương pháp tính tích phân ba lớp 2.2.4 Phép đổi biến tích phân ba lớp 2.2.5 Ứng dụng tích phân ba lớp 2 13 21 29 29 30 30 36 41 Chương Tích phân bội 2.1 Tích phân hai lớp 2.1.1 Định nghĩa tính chất 2.1.1.1 Bài tốn thể tích Giả sử mặt cong biểu diễn dạng hàm hiển z = f (x, y) ≥ 0, xác định liên tục miền đóng bị chặn (biên hữu hạn) D Vấn đề đặt cần tính thể tích V hình trụ giới hạn mặt Oxy, mặt f (x, y) mặt trụ tạo đường sinh L song song với trục Oz tựa D Hình 2.1: Hình trụ phần tử diện tích ∆Ai Tương tự lập tổng tích phân Riemann tích phân xác định, ta chia miền D thành n miền có diện tích ∆Ai , i = 1, n Tương ứng với phần tử diện tích ∆Ai ta xây dựng hình trụ thể tích xấp xỉ ∆V = f (x∗i , yi∗ )∆Ai với Chương Tích phân bội (x∗i , yi∗ ) điểm tùy ý chứa ∆Ai gọi điểm mẫu (sample point) Lúc thể tích V tính xấp xỉ V ≈ n X f (x∗i , yi∗ )∆Ai (2.1) i=1 Gọi d khoảng cách lớn điểm P, Q ∈ ∆Ai , nghĩa d = max ∥ P −Q ∥ P,Q∈∆Ai Như thế, n lớn tương ứng với d bé cơng thức tính xấp xỉ tốt thể tích hình trụ 2.1.1.2 Định nghĩa tích phân hai lớp Cho hàm số z = f (x, y) xác định miền đóng bị chặn D Chia miền D cách tùy ý thành n phần tử diện tích ∆Ai , i = 1, n lấy điểm (x∗i , yi∗ ) ∆Ai Lập tổng: Sn = n X f (x∗i , yi∗ )∆Ai (2.2) i=1 Tổng gọi tổng tích phân Riemann Khi n → ∞ cho d → 0, lim Sn d→0 tồn không phụ thuộc vào cách phân chia phần tử ∆Ai không phụ thuộc điểm mẫu (x∗i , yi∗ ) gọi tích phân hai lớp hàm f (x, y) miền D: ZZ f (x, y) dA = lim n→∞ D n X f (x∗i , yi∗ )∆Ai (2.3) i=1 Lúc D miền lấy tích phân, f (x, y) hàm dấu tích phân dA yếu tố diện tích hàm f (x, y) gọi khả tích D Vì tích phân tồn không phụ thuộc vào phân chia phần tử diện tích bé ∆Ai , hệ tọa độ Cartesian vng góc ta lấy dA = dxdy tích phân viết: ZZ ZZ f (x, y) dA = f (x, y) dxdy (2.4) D D ZZ (x2 + y )dxdy, D = [1, 3] × [0, 2] với lưới Ví dụ 2.1.1.1 Tính gần tích phân D ∆x = ∆y = 0.5 chọn điểm mẫu điểm phải điểm So sánh kết 68 với trường hợp ∆x = ∆y = 0.1 Giá trị xác tích phân ≈ 22.667 • Trường hợp ∆x = ∆y = 0.5 Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com Chương Tích phân bội Hình 2.2: Lưới miền tích phân ∆x = ∆y = 0.5 Số đoạn trục x, y là: n = 4, m = Áp dụng tổng Riemann: ZZ X X 2 (x + y )dxdy ≈ (x2i + yj2 )∆xi ∆yj = 29.0 +)Điểm phải: D j=1 i=1 ZZ 2 (x + y )dxdy ≈ +)Điểm giữa: D X X (x2i−1/2 + yj−1/2 )∆xi ∆yj = 22.5 j=1 i=1 • ∆x = ∆y = 0.1 Số đoạn trục x, y là: n = 20, m = 20 ZZ 20 X 20 X 2 +)Điểm phải: (x + y )dxdy ≈ (x2i + yj2 )∆xi ∆yj = 23.88 D ZZ j=1 i=1 2 (x + y )dxdy ≈ +)Điểm giữa: D 20 X 20 X (x2i−1/2 + yj−1/2 )∆xi ∆yj = 22.660 j=1 i=1 2.1.1.3 Ý nghĩa tích phân hai lớp Thể tích vật rắn V ZZ f hàm liên tục f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D ⇒ f (x, y) dA = V (2.5) D Diện tích hình phẳng A ZZ f (x, y) = 1, ∀(x, y) ∈ D ⇒ dA = A (2.6) D Khối lượng phẳng m ZZ f mật độ khối lượng phẳng ⇒ f (x, y) dA = m (2.7) D Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com Chương 2.1.1.4 Tích phân bội Tính chất tích phân hai lớp Giả sử f (x, y) g(x, y) khả tích D, lúc tính chất sau thỏa mãn: ZZ ZZ ZZ 1) (af (x, y) ± bg(x, y)) dxdy = a f (x, y) dxdy ± b g(x, y) dxdy D D a, b ∈ R ZZ f (x, y) dxdy + f (x, y) dxdy, ZZZ ZZ f (x, y) dxdy = 2) D D D1 D2 D1 ∩ D2 = ∅, D = D1 ∪ D2 ZZ 3) m ≤ f (x, y) ≤ M, ∀(x, y) ∈ D ⇒ mAD ≤ f (x, y) dxdy ≤ M AD D ZZ ZZ g(x, y) dxdy f (x, y) dxdy ≤ 4) f (x, y) ≤ g((x, y), ∀(x, y) ∈ D ⇒ D D Z Z ZZ 5) = e −y = e16 − 17 2 Z 1Z ex/y dydx Ví dụ 2.1.2.11 Thay đổi thứ tự lấy tích phân tính x Từ tích phân cho ta xác định miền lấy tích phân Hình 2.8 Hình 2.8: Miền tích phân Ví dụ 2.1.2.12 Z Z x/y e Z Z dydx = x y e Z0 = 0 x/y Z dxdy = x/y x=y ye dy x=0 1 (e − 1)y dy = (e − 1)y = (e − 1) 2 2.1.3 Phép đổi biến tích phân hai lớp 2.1.3.1 Phép đổi biến tổng quát Xét tích phân hai lớp hàm f (x, y) liên tục D ⊂ R2 : ZZ f (x, y) dA (2.26) D Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com 13 Chương Tích phân bội T phép đổi biến (u, v) ∈ D∗ 7− → (x, y) ∈ D: x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ D∗ (2.27) Mục đích phép đổi biến nhằm biến miền tính tích phân D phức tạp sang miền D∗ có dạng đơn giản hàm dấu tích phân trở nên thuận lợi việc lấy tích phân Giả sử phép biến đổi thỏa mãn yêu cầu sau: 1) Phép đổi biến T song ánh từ D∗ → D 2) x(u, v), y(u, v) hàm có đạo hàm riêng liên tục miền kín D∗ 3) Định thức Jacobi phép biến đổi ∂x D(x, y) =