Giải Tích Toán Học II Đặng Hữu Chung Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm KH&CN Việt Nam https //danghuuchung com Email chung danghuu@gmail com January 2022 Mục lục 1 Hàm nhiều biến 2 1 1 Các khái niệm cơ bản 2[.]
Giải Tích Tốn Học II Đặng Hữu Chung Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm KH&CN Việt Nam https://danghuuchung.com Email: chung.danghuu@gmail.com January 2022 Mục lục Hàm nhiều biến 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Không gian Rn 1.1.2 Hàm vector 1.1.3 Hàm số nhiều biến 1.2 Giới hạn liên tục 1.2.1 Giới hạn hàm nhiều biến 1.2.2 Tính liên tục hàm nhiều biến 1.3 Đạo hàm vi phân 1.3.1 Đạo hàm riêng 1.3.2 Vi phân toàn phần 1.3.3 Đạo hàm hàm số hợp 1.3.4 Gradient đạo hàm theo hướng 1.3.5 Đạo hàm riêng cấp cao 1.3.6 Công thức Taylor 1.3.7 Hàm số ẩn 1.4 Cực trị hàm nhiều biến 1.4.1 Cực trị tương đối 1.4.2 Cực trị tuyệt đối 1.4.3 Cực trị có điều kiện, nhân tử Lagrange 1.4.4 Bài tốn tối ưu 1.5 Ứng dụng phép tính vi phân 1.5.1 Đường 1.5.2 Mặt 2 9 11 13 13 15 17 21 25 27 29 34 34 38 40 42 44 44 57 Chương Hàm nhiều biến 1.1 1.1.1 Các khái niệm Không gian Rn Không gian vector Xét V tập hợp khác rỗng trường K (K = C hay K = R), xét trường số thực K = R Tập V gọi khơng gian vector hay cịn gọi khơng gian tuyến tính trường R thỏa mãn 10 tiên đề (axioms) liên quan đến hai phép toán cộng nhân V (Tom M Apostol, 1969) Cơ sở không gian vector n chiều Một không gian vector V n chiều có tối đa n vector độc lập tuyến tính Một họ n vector độc lập tuyến tính V tạo thành sở khơng gian vector V Vector v ∈ V biểu diễn qua sở S = {v1 , v2 , , } sau: v = c1 v + c2 v + · · · + cn v n (1.1) Trong (c1 , c2 , , cn ) gọi tọa độ vector v sở S Khơng gian Euclide Khơng gian vector V có định nghĩa phép tích vơ hướng < x, y > hai vector x, y ∈ V gọi không gian Euclide Trường hợp V = Rn gọi khơng gian Euclide Rn không gian Euclide sử dụng phạm vi chương trình Giải tích Trong hình học, R2 mặt phẳng Euclide hai chiều R3 không gian Euclide ba chiều Trường hợp tổng quát không gian n chiều Thuật ngữ "Euclide" phân biệt không gian với loại không gian khác xem xét hình học đại Euclide nhà tốn học Hy Lạp, khoảng 300 năm TCN, nghiên cứu quan hệ khoảng cách góc mặt phẳng sau khơng gian Ngày quan hệ biết tên gọi hình học Euclide hai ba chiều Chương Hàm nhiều biến Sau nêu số định nghĩa khơng gian Euclide Rn • Cơ sở trực chuẩn Gọi S = {e1 , e2 , , en } sở trực chuẩn không gian Euclide Rn : ( i=j < ei , ej >= i ̸= j (1.2) Hai vector x, y ∈ Rn biểu diễn hệ tọa độ trực chuẩn là: x = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en y = y1 e1 + y2 e2 + · · · + yn en (1.3) (1.4) Trong xi , i = : n tọa độ vector x yi , i = : n tọa độ vector y Hình 1.1: Hệ tọa độ Cartesian chiều • Tổng hai vector x+y= n X (xi + yi )ei (1.5) i=1 • Tích vơ hướng (dot product) hai vector < x, y >≡ x · y = n X xi y i (1.6) i=1 • Chuẩn (norm) vector hay chiều dài vector ∥ x ∥= (x · x)1/2 v u n uX =t x2 i (1.7) i=1 Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com Chương Hàm nhiều biến • Cosine phương vector x n X u= xi ei ∥ x ∥ i=1 (1.8) • Khoảng cách hai điểm v u n uX d(x, y) =∥ x − y ∥= t (xi − yi )2 (1.9) i=1 • Góc hai vector α = arccos x·y ∥ x ∥∥ y ∥ (1.10) • Tích vector (vector product) R3 x × y = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ) x//y ⇔ x × y = (1.11) (1.12) • Tích hỗn tạp (scalar triple product) R3 z · (x × y) ⇒ V = |z à (x ì y)| (1.13) (1.14) ã Qu cầu mở đóng Gọi M0 (x0 ) ∈ Rn δ > Tập hợp điểm M (x) ∈ Rn thỏa mãn bất đẳng thức ∥ x − x0 ∥< δ gọi cầu mở tâm M0 bán kính δ ký hiệu B(M0 , δ) Nếu thỏa mãn bất đẳng thức ∥ x − x0 ∥≤ δ gọi cầu đóng ký hiệu B(M0 , δ) 1.1.2 Hàm vector Hàm vectơ (vector function) hàm toán học nhiều biến có miền giá trị tập vectơ đa chiều vectơ vô hạn chiều Tập nguồn hàm vectơ vơ hướng vector nhiều chiều Chúng ta khái quát hàm vector ánh xạ f : Rn → Rm biểu diễn mối quan hệ điểm nguồn điểm ảnh: f (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn → 7− (f1 , f2 , , fm ) ∈ Rm (1.15) Trong n ≥ m ≥ Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com Chương Hàm nhiều biến Ví dụ 1.1.2.1 Các ánh xạ cho sau hàm vector: x + y2 + z2 f : R → R , f (x, y, z) = 2x + 3y − z x 2x + 5y y g : R3 → R2 , g(x, y, z) = = 3y − 4z −4 z f hàm vector phi tuyến, cịn g hàm vector tuyến tính biểu diễn dạng tích ma trận khơng phụ thuộc x với vector x Ví dụ 1.1.2.2 Phương trình chuyển động chất điểm M (x, y, z) vận tốc biểu diễn hàm vector biến thời gian t có dạng sau đây: r t∈R→ 7− (f1 (t), f2 (t), f3 (t)) ∈ R3 v t∈R→ 7− (f1′ (t), f2′ (t), f3′ (t)) ∈ R3 Hình 1.2: Vector bán kính chất điểm Trong đó: r(t) = (f1 (t), f2 (t), f3 (t)) phương trình vector xác định vị trí chất điểm M v(t) = r′ (t) = (f1′ (t), f2′ (t), f3′ (t)) phương trình vector vận tốc chất điểm M Hay phương trình vector biểu diễn qua vector sở: r(t) = f1 (t)e1 + f2 (t)e2 + f3 (t)e3 v(t) = f1′ (t)e1 + f2′ (t)e2 + f3′ (t)e3 Phương trình chuyển động chất điểm M biểu diễn dạng tham số: x = f1 (t), y = f2 (t), z = f3 (t) Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com Chương Hàm nhiều biến Đạo hàm tổng tích hàm vector Giả sử u, v hàm vector khả vi, f (t) hàm vô hướng khả vi c số vô hướng dễ dàng chứng minh công thức sau: d [u(t) + v(t)] = u′ (t) + v′ (t) dt d b) [cu(t)] = cu′ (t) dt d c) [f (t)u(t)] = f ′ (t)u + f (t)u′ (t) dt d d) [u(t) · v(t)] = u′ (t) · v(t) + u(t) · v′ (t) dt d e) [u(t) × v(t)] = u′ (t) × v(t) + u(t) × v′ (t) dt d f) [u(f (t))] = f ′ (t)u′f (f (t)) dt (1.16) a) (1.17) (1.18) (1.19) (1.20) (1.21) Tích phân hàm vector Z b Z b Z b Z b f3 (t) dt e3 f2 (t) dt e2 + f1 (t) dt e1 + r(t) dt = (1.22) a a a a Giới hạn hàm vector lim r(t) = ( lim f1 (t), lim f2 (t), lim f3 (t)) t→t0 t→t0 Ví dụ 1.1.2.3 Cho hàm vector r(t) = ( t→t0 t→t0 (1.23) sin t , t ln t, (t + 1)e2t ) Tìm lim r(t) t→0 t sin t , lim(t ln t), lim(t + 1)e2t )) = (1, 0, 1) t→0 t t→0 t→0 lim r(t) = (lim t→0 1.1.3 Hàm số nhiều biến Định nghĩa 1.1.3.1 Xét không gian Euclide n chiều Rn Gọi D ⊂ Rn ánh xạ f : D → R cho với ∀(x1 , x2 , , xn ) ∈ D: f : (x1 , x2 , , xn ) ∈ D 7→ f (x1 , x2 , , xn ) ∈ R (1.24) f gọi hàm số (hàm vô hướng) n biến độc lập x1 , x2 , , xn , D gọi miền xác định (domain) hàm f tập hợp {f (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ R : (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ D} miền giá trị (range) f Miền xác định D miền đơn liên (bị giới hạn mặt kín) miền đa liên (giới hạn nhiều mặt kín rời nhau), minh họa Hình (1.3) Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com Chương Hàm nhiều biến Hình 1.3: (a): miền đơn liên (b): đa liên Tập mức (level set) hàm f (x1 , x2 , , xn ) xác định tập hợp: {(x1 , x2 , , xn ) ∈ D : f (x1 , x2 , , xn ) = c}, c = const (1.25) Khi n = f (x, y) hàm hai biến tập mức đường mức (contour, isoline) Khi n = f (x, y, z) hàm ba biến tập mức gọi mặt mức (level surface, isosurface) Khi n > tập mức gọi siêu mặt mức (level hypersurface) Ví dụ 1.1.3.1 Tìm miền xác định miền giá trị hàm f (x, y) = x2 + y biểu diễn mặt elliptic paraboloid Vẽ mặt cong đường đồng mức Miền xác định f (x, y) D = R2 Vì x2 + y ≥ nên miền giá trị R+ Mặt cong vẽ Hình 1.4.a Các đường mức có phương trình x2 + y = c với giá trị c = {2, √ 4, 6, 8, 10, 12, 14} biểu diễn Hình 1.4.b, đường trịn đồng tâm bán kính c Hình 1.4: (a): Mặt f (x, y) = x2 + y (b): Contours x2 + y = c Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com Chương Hàm nhiều biến Ví dụ 1.1.3.2 Cho mặt hyperbolic paraboloid (mặt n ngựa) có phương trình z = x2 − y Tìm miền xác định miền giá trị Vẽ mặt cong đường mức Miền xác định f (x, y) D = R2 Khi x = z = −y ≤ y = z = x2 ≥ 0, miền giá trị f R Các đường mức xác định phương trình x2 − y = c với giá trị c = {−8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8} vẽ Hình 1.5.b Các đường mức trình bày dạng tơ màu (Filled contours) Hình 1.6 Hình 1.5: (a): Mặt f (x, y) = x2 − y (b): Contours x2 − y = c Hình 1.6: Contours tơ màu f (x, y) = x2 − y Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com Chương Hàm nhiều biến Ví dụ 1.1.3.3 Tìm miền xác định miền giá trị hàm p f (x, y) = 16 − x2 − y Miền xác định D = {(x, y) ∈pR2 : 16 − x2 − y ≥ 0} = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y ≤ 16} Miền giá = 16 − x2 − y , (x, y) ∈ D} ptrị {z ∈ R : z √ Vì ≤ 16 − x2 − y ≤ 16, miền giá trị [0, 4] Hình 1.7: Mặt bán cầu z = p 16 − x2 − y miền xác định Ví dụ 1.1.3.4 Tìm miền xác định miền giá trị hàm ba biến f (x, y, z) = Miền xác định D = R3 \ {0, 0, 0} Vì 1.2 1.2.1 x2 x2 + y2 + z2 > nên miền giá trị R∗+ + y2 + z2 Giới hạn liên tục Giới hạn hàm nhiều biến Định nghĩa 1.2.1.1 Xét hàm f : D ⊂ R2 → R Gọi M0 (x0 , y0 ) ∈ R2 M0 ∈ / D l giới hạn có hàm f M (x, y) → M0 (x0 , y0 ) lý hiệu lim f (M ) = l nếu: M →M0 ∀ε > 0, ∃δ > :∥ M − M0 ∥< δ ⇒ |f (M ) − l| < ε (1.26) Định nghĩa minh họa Hình 1.8 Với ε > cho trước, xác định lân cận B(M0 , δ) ⊂ D cho (x, y) ∈ B(M0 , δ) (x, y) ̸= (x0 , y0 ) z = f (x, y) nằm miền bị giới hạn mặt S mặt phẳng z = L ± ε Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com Chương Hàm nhiều biến Cơng thức xấp xỉ tuyến tính mặt phẳng tiếp xúc Khi n = ta nhận công thức xấp xỉ tuyến tính từ khai triển Taylor: f (x) ≈ f (a) + n X ∂f (a) i=1 ∂xi (xi − ) (1.74) Trong trường hợp hàm hai biến z = f (x, y): f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ) + ∂f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) (x − x0 ) + (y − y0 ) = L(x, y) ∂x ∂y (1.75) L(x, y) cơng thức xấp xỉ tuyến tính hàm f (x, y) lân cận (x0 , y0 ) phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = f (x, y) tiếp điểm (x0 , y0 ) 1.01 Ví dụ 1.3.6.2 Tính gần giá trị ln 0.98 x Đặt f (x, y) = ln điểm (x0 , y0 ) = (1, 1) Ta có: y 1 z0 = f (1, 1) = 0, fx′ = , fy′ = − ⇒ fx′ (1, 1) = 1, fy′ (1, 1) = −1, x y L(x, y) = + 1(x − 1) − 1(y − 1) = x − y f (1.01, 0.98) ≈ L(1.01, 0.98) = 0.01 + 0.02 = 0.03 Kết tính FORTRAN: f (1.01, 0.98) = 0.030153 Hình 1.20: f (x, y) = ln x/y L(x, y) = x − y Ví dụ 1.3.6.3 Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = x2 +2y +1 (1, 1, 4) Đặt f (x, y) = x2 + 2y + fx′ = 2x, fy′ = 4y ⇒ fx′ (1, 1) = 2, fy′ (1, 1) = 4, z0 = f (1, 1) = L(x, y) = + 2(x − 1) + 4(y − 1) = 2x + 4y − Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com 28 Chương Hàm nhiều biến Hình 1.21: f (x, y) = x2 + 2y + L(x, y) = 2x + 4y − 1.3.7 Hàm số ẩn 1.3.7.1 Khái niệm hàm ẩn Hàm ẩn hàm xác định với biến độc lập phương trình có dạng: F (x1 , x2 , · · · , xn ) = (1.76) xi , (i = 1, n − 1) biến độc lập xn hàm ẩn phụ thuộc vào biến x1 , x2 , · · · , xn−1 Chẳng hạn xét phương trình hàm hai biến: F (x, y) = x2 − y − = (1.77) Nếu xem y = y(x) phương trình xác định quan hệ hàm y biến độc lập x Ta gọi y ẩn hàm hay hàm số ẩn x xác định phương trình ẩn F (x, y) = Trong trường hợp √ (đơn giản) ta giải phương trình tìm y theo x có hai hàm y = ± x2 − nhánh hyperbol với miền xác định D = (−∞, −2] ∪ [2, ∞) Trong trường hợp tổng quát ta khơng thể tìm y = y(x) Tương tự, hàm ẩn z = f (x, y) xác định phương trình F (x, y, z) = hàm z khơng miền xác định D(x, y) Mở rộng với hệ m hàm ẩn fi (x), (i = 1, m), cần phải xác định hệ m phương trình Fi (x, f1 , f2 , · · · , fm ) = 0, (i = 1, m) Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com 29 Chương Hàm nhiều biến Định lý 1.3.7.1 Cho F : U ⊂ R2 → R hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập mở U Giả sử (x0 , y0 ) ∈ U hàm F (x0 , y0 ) = Nếu Fy′ (x0 , y0 ) ̸= 1) Phương trình F (x, y) = xác định lân cận x0 hàm ẩn y = f (x) 2) y0 = f (x0 ) 3) f (x) f ′ (x) liên tục lân cận x0 Chứng minh 1) Giả sử Fy′ (x0 , y0 ) > Vì Fy′ (x, y) liên tục U nên: ∃α > : Fy′ (x, y) > 0, ∀(x, y) ∈ [x0 − α, x0 + α] × [y0 − α, y0 + α] ⇒Fy′ (x0 , y) > 0, ∀y ∈ [y0 − α, y0 + α] ⇒ F (x0 , y) tăng ⇒F (x0 , y0 − α) < = F (x0 , y0 ) < F (x0 , y0 + α) (1.78) Mặt khác, hàm F (x, y0 − α), F (x, y0 + α) liên tục [x0 − α, x0 + α] nên từ (1.78): ∃δ > : F (x, y0 − α) < < F (x, y0 + α), ∀x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] (1.79) Từ (1.79) cho thấy hàm F (x, y) trái dấu, liên tục tăng nghiêm ngặt [y0 − α, y0 + α], theo định lý Bolzano-Cauchy thứ (Định lý 2.3.3.1 Chương Giải tích 1) hàm liên tục kết hợp với điều kiện tăng nghiêm ngặt ta suy ra: ∃! y ∈ (y0 − α, y0 + α) : F (x, y) = ⇒ y = f (x) (đpcm) (1.80) 2) y0 = f (x0 ) hiển nhiên 3) Với ε > cho trước, xét lân cận (x0 − δ, x0 + δ) Gọi x1 ∈ (x0 − δ, x0 + δ), y1 = f (x1 ) Suy F (x1 , y1 ) = y1 ∈ (y0 − α, y0 + α) Do theo 1) ∃!f1 : (x1 − δ1 , x1 + δ1 ) → (y1 − α1 , y1 + α1 ) với α1 , δ1 > đủ nhỏ cho: (x1 − δ1 , x1 + δ1 ) × (y1 − α1 , y1 + α1 ) ⊂ (x0 − δ, x0 + δ) × (y0 − δ, y0 + δ) ⇒f1 (x) = f (x), ∀x ∈ (x1 − δ1 , x1 + δ1 ) Do với ε > cho trước, ∃δ1 : |x − x1 | < δ1 suy |f1 (x) − y1 | = |f (x) − f (x1 )| < ε Vậy hàm f (x) liên tục x1 Vì x1 tùy ý lân cận x0 nên f (x) liên tục lân cận x0 Để chứng minh hàm f (x) khả vi (x0 − δ, x0 + δ) ta xét x, x + h ∈ (x0 − δ, x0 + δ) Suy F (x, f (x)) = Theo định lý giá trị trung bình ta có: F (x + h, f (x + h)) − F (x, f (x)) = [F (x + h, f (x + h)) − F (x, f (x + h))] + [F (x, f (x + h)) − F (x, f (x))] = hFx′ (x + θh, f (x + h)) + ∆f Fy′ (x, f (x) + θ1 ∆f ) = Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com 30 Chương Hàm nhiều biến Với ∆f = f (x + h) − f (x) Suy ∆f F ′ (x + θh, f (x + h)) = − x′ h Fy (x, f (x) + θ1 ∆f ) Vì Fx′ , Fy′ f liên tục nên h → ta có: ∆f F ′ (x, f (x)) = − x′ = f ′ (x) h→0 h Fy (x, f (x)) lim (1.81) Nghĩa hàm f (x) khả vi Đồng thời hàm f ′ (x) xác định thương hai hàm liện tục Fy′ ̸= lân cận (x0 , y0 ) nên liên tục (đpcm) Chú ý Nếu Fx′ (x0 , y0 ) = Fy′ (x0 , y0 ) = ta khơng thể kết luận tồn hàm ẩn y = f (x) lúc (x0 , y0 ) gọi điểm kỳ dị (singularity) Mở rộng điều kiện tồn hàm ẩn nhiều chiều nhờ định lý sau Định lý 1.3.7.2 Cho F : U ⊂ R3 → R hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập mở U Giả sử (x0 , y0 , z0 ) ∈ U hàm F (x0 , y0 , z0 ) = Nếu Fz′ (x0 , y0 , z0 ) ̸= 1) Phương trình F (x, y, z) = xác định lân cận (x0 , y0 ) hàm ẩn z = f (x, y) 2) z0 = f (x0 , y0 ) 3) f (x, y) fx′ (x, y), fy′ (x, y) liên tục lân cận (x0 , y0 ) Định lý 1.3.7.3 Cho F : U ⊂ R5 → R G : U ⊂ R5 → R hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập mở U Giả sử (x0 , y0 , z0 , u0 , v0 ) ∈ U hàm F (x0 , y0 , z0 , u0 , v0 ) = G(x0 , y0 , z0 , u0 , v0 ) = Nếu định thức Jacobi (x0 , y0 , z0 , u0 , v0 ) ′ Fu Fv′ ̸= |J| = ′ (1.82) Gu G′v 1) Hệ phương trình F (x, y, z, u, v) = 0, G(x, y, z, u, v) = xác định lân cận (x0 , y0 , z0 ) cặp hàm ẩn u = f (x, y, z) v = g(x, y, z) 2) u0 = f (x0 , y0 , z0 ), v0 = g(x0 , y0 , z0 ) 3) Cặp hàm u, v đạo hàm riêng chúng liên tục lân cận (x0 , y0 , z0 ) Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com 31 Chương 1.3.7.2 Hàm nhiều biến Đạo hàm riêng hàm ẩn Từ định lý (1.3.7.1) ta có cơng thức tính đạo hàm (1.81) hàm ẩn y từ phương trình F (x, y) = Hoặc cách lấy đạo hàm toàn phần hàm F : ∂F ∂F dy + =0 ∂x ∂y dx dy F′ ⇒ = − x′ dx Fy (1.83) Tương tự hàm F (x, y, z) = thỏa mãn định lý (1.3.7.2) ta lấy đạo hàm vế hàm F (x, y, z) = theo x y ta có: ∂F ∂F ∂z + = 0, ∂x ∂z ∂x ∂F ∂F ∂z + =0 ∂y ∂z ∂y Từ suy zx′ = − Fx′ , Fz′ zy′ = − Fy′ Fz′ (1.84) Đối với hệ hai phương trình ( F (x, y, u, v) = G(x, y, u, v) = thỏa mãn định lý (1.3.7.3) tồn đạo hàm riêng u v Chúng xác định cách lấy đạo hàm vế theo x y: ∂F + ∂F ∂u + ∂F ∂v = ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x (1.85) ∂G ∂G ∂u ∂G ∂v + + =0 ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂F ∂F ∂u ∂F ∂v + + =0 ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y (1.86) ∂G ∂G ∂u ∂G ∂v + + =0 ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Do định thức Jacobi (1.82) khác không nên hai hệ hai phương trình tồn nghiệm G′x Fv′ − Fx′ G′v ′ G′ F ′ − Fu′ G′x , vx = u x |J| |J| ′ ′ ′ ′ ′ ′ Gy Fv − Fy Gv ′ Gu Fy − Fu′ G′y u′y = , vy = |J| |J| u′x = Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com (1.87) (1.88) 32 Chương Hàm nhiều biến Ví dụ 1.3.7.1 Cho hàm số ẩn y = y(x) xác định phương trình: 2x2 y + ln 2x2 + y − 3x + 2y = Hãy tính đạo hàm yx′ F (x, y) = 2x2 y + ln 2x2 + y − 3x + 2y 4x + 4xy − ⇒ Fx′ = 2x + y 2y +2 Fy′ = 6x2 y + 2x + y − 2x24x+y2 − 4xy + F′ 8x3 y − 6x2 + 4xy + 4x − 3y yx′ = − x′ = = − Fy (6x4 y + 3x2 y + 2x2 + y + y) 6x2 y + 2x22y+y2 + Cách 2: Từ phương trình cho lấy đạo hàm vế theo x: 4x + 2yy ′ + 4xy + 2y ′ − = 2x2 + y −8x3 y + 6x2 − 4xy − 4x + 3y ⇒ y′ = (6x4 y + 3x2 y + 2x2 + y + y) 6x2 y y ′ + Ví dụ 1.3.7.2 Cho biết z = z(x, y) xác định phương trình: ex +y +z + xyz + 5xz + y z + = Tính đạo hàm zx′ , zy′ F (x, y, z) = ex ⇒ Fx′ = 2xex +y +z + xyz + 5xz + y z + + yz + 5z +y +z + xz + 2yz , +y +z + xy + 20xz + 3y z Fy′ = 2yex Fz′ = 2zex +y +z 2 2 2xex +y +z + yz + 5z F′ = − x′ = − Fz 2zex +y2 +z2 + xy + 20xz + 3y z 2 2 Fy′ 2yex +y +z + xz + 2yz ′ zy = − ′ = − Fz 2zex2 +y2 +z2 + xy + 20x z + 3y z zx′ Chúng ta lấy đạo hàm vế theo x theo y tìm zx′ zy′ Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com 33 Chương 1.4 1.4.1 Hàm nhiều biến Cực trị hàm nhiều biến Cực trị tương đối Định nghĩa 1.4.1.1 Cho f : D ⊂ R2 → R Gọi M0 (x0 , y0 ) ∈ D B(M0 , δ) ⊂ D lân cận M0 Khi đó: f có cực đại tương đối M0 ⇔ f (x0 , y0 ) ≥ f (x, y), ∀(x, y) ∈ B(M0 , δ) (1.89) f có cực tiểu tương đối M0 ⇔ f (x0 , y0 ) ≤ f (x, y), ∀(x, y) ∈ B(M0 , δ) (1.90) Khi hàm f đạt cực đại hay cực tiểu tương đối M0 gọi chung hàm f đạt cực trị tương đối M0 Cực trị tương đối gọi cực trị địa phương Định lý 1.4.1.1 Nếu hàm f (x, y) đạt cực trị địa phương M0 (x0 , y0 ) giả sử hàm f có đạo hàm riêng M0 (x0 , y0 ) đạo hàm riêng phải 0: ∇f (x0 , y0 ) = (0, 0) (1.91) Chứng minh Đặt g(x) = f (x, y0 ) Nếu hàm f (x, y) đạt cực đại (cực tiểu) địa phương M0 hàm g(x) đạt cực đại (cực tiểu) địa phương M0 Do đó, theo định lý Fermat biết hàm biến g ′ (x0 ) = 0, nghĩa fx′ (x0 , y0 ) = Chứng minh tương tự hàm h(y) = f (x0 , y), ta nhận fy′ (x0 , y0 ) = h′ (y0 ) = Vậy suy ∇f (x0 , y0 ) = (0, 0) (đpcm) Ý nghĩa hình học định lý (1.4.1.1) hàm f có cực trị địa phương M0 mặt phẳng tiếp xúc với mặt f (x, y) M0 nằm ngang Điểm M0 (x0 , y0 ) xảy ∇f (x0 , y0 ) = (0, 0) gọi điểm dừng (stationary point) hay điểm tới hạn (critical point) Điểm dừng trở thành điểm yên ngựa (saddle point) lân cận B(M0 , δ) chứa điểm (x,y) cho f (x, y) ≤ f (x0 , y0 ) điểm khác lân cận f (x, y) ≥ f (x0 , y0 ) Hình 1.22: Điểm yên ngựa tiêu biểu P (0, 0, 0) Đặng Hữu Chung https://danghuuchung.com 34