��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC S× PH�M * * * * * * * * * * * * * * * * HO�NG THÀ NG�N V� VAI TRÁ CÕA TO�N TÛ CHI�U TRONG B�I TO�N B�T ��NG THÙC BI�N PH�N LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC Th¡i Nguy¶n n«m[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM **************** HONG THÀ NG N V VAI TRÁ CÕA TON TÛ CHIU TRONG BI TON BT NG THÙC BIN PH N LUN VN THC S TON HC ThĂi Nguyản - nôm 2015 I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM **************** HONG THÀ NG N V VAI TRÁ CÕA TON TÛ CHIU TRONG BI TON BT NG THÙC BIN PH N LUN VN THC S TON HC Chuyản ngnh: TON GII TCH M số: 60.46.01.02 Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS TSKH L DễNG MìU ThĂi Nguyản - nôm 2015 Lới cam oan i Tổi xin cam oan ton bở nởi dung luên vôn l cổng trẳnh nghiản cựu cừa riảng tổi, ữủc tờng hđp tø c¡c t i li»u tham kh£o C¡c k¸t qu£ trẳnh by luên vôn hon ton trung thỹc, khổng chp, trũng lp vợi bĐt kẳ ti liằu no khĂc Hồc viản Hong Th NgƠn Lới cÊm ỡn ii Luên vôn ny ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc sữ phÔm ThĂi Nguyản Trữợc trẳnh by nởi dung chẵnh cừa luên vôn, tổi xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh v sƠu sưc tợi GS.TSKH Lả Dụng Mữu, thƯy l ngữới trỹc tiáp hữợng dăn, tên tẳnh ch b£o, gióp ï v ëng vi¶n tỉi st qu¡ trẳnh nghiản cựu v hon thnh luên vôn Tổi cụng xin chƠn thnh cÊm ỡn ban lÂnh Ôo sau Ôi hồc, quỵ thƯy, cổ giĂo khoa ToĂn, cĂc bÔn hồc viản lợp Cao hồc ToĂn K21B  tÔo iÃu kiằn thuên lủi, giúp ù, ởng viản tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi trữớng Qua Ơy tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi ngữới thƠn trong gia ẳnh, bÔn b  luổn ởng viản, khẵch lằ tổi suốt quĂ tr¼nh ho n th nh kho¡ håc M°c dị câ nhi·u câ gưng luên vôn ny văn khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt v hÔn chá Tổi rĐt mong nhên ữủc nhỳng ỵ kián õng gõp quỵ bĂu cừa thƯy, cổ v bÔn ồc luên vôn ữủc hon thiằn hỡn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, ngy 14 thĂng 03 nôm 2015 Hồc viản Hong Th NgƠn iii Mửc lưc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Mưc lửc iii M Ưu 1 CĂc kián thực chuân bà 1.1 C¡c ki¸n thùc v· khỉng gian Hilbert 1.1.1 Tẵch vổ hữợng 1.1.2 Khæng gian ti·n Hilbert 1.1.3 Khæng gian Hilbert 1.2 CĂc kián thực và têp lỗi, hm lỗi 1.2.1 Têp lỗi 1.2.2 H m lỗi 1.2.3 C¡c ành l½ t¡ch 1.2.4 Dữợi vi phƠn 10 12 12 Vai trá cừa toĂn tỷ chiáu ối vợi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn iv 2.1 ToĂn tỷ chiáu 2.2 Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn 2.2.1 Ph¡t biºu b i to¡n 2.2.2 Sỹ tỗn tÔi nghiằm 2.3 Ph÷ìng phĂp chiáu giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn 2.3.1 Phữỡng phĂp chiáu cỡ bÊn 2.3.2 Phữỡng phĂp Ôo hm tông cữớng 16 16 20 20 22 27 28 30 Kát luên 33 Ti liằu tham khÊo 33 M Ưu ToĂn tỷ chiáu lản mởt têp lỗi õng l mởt lợp Ănh xÔ quan trồng giÊi t½ch, °c bi»t l gi£i t½ch ùng dưng Trong khỉng gian Hilbert thỹc toĂn tỷ ny luổn tỗn tÔi v cõ nhiÃu tẵnh chĐt c thũ cõ th khai thĂc nghiản cựu v giÊi quyát nhiÃu bi toĂn cĂc lắnh vỹc khĂc nhữ trong: Lỵ thuyát tối ữu, bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn v bi toĂn cƠn bơng Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn l mët lỵp b i to¡n quan trång câ nhi·u ùng dửng phữỡng trẳnh Ôo hm, cĂc bi toĂn vêt lỵ v kắ thuêt cụng nhữ tối ữu hoĂ CĂc hữợng nghiản cựu chẵnh bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn l sỹ tỗn tÔi nghiằm v phữỡng ph¡p gi£i, â ph÷ìng ph¡p düa v o to¡n tû chiáu v cĂc nh lỵ im bĐt ởng thữớng ữủc sỷ dửng, ữủc trẵch dăn chừ yáu cĂc ti liằu [7], [9] BÊn luên vôn ny nhơm mửc ẵch giợi thiằu vai trỏ cừa toĂn tỷ chiáu khỉng gian Hilbert v vi»c ¡p dưng lỵp b i to¡n ny vo bĐt ng bián phƠn Cử th: Sỷ dửng toĂn tỷ chiáu kát hủp vợi nh lỵ im bĐt ởng Brouwer chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn Giợi thiằu hai phữỡng phĂp dỹa vo toĂn tỷ chiáu giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn, õ l phữỡng phĂp chiáu cỡ bÊn giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ỡn iằu mÔnh cõ tẵnh Lipschitz v phữỡng phĂp chiáu tông cữớng (chiáu hai lƯn) giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn giÊ ỡn iằu Chữỡng CĂc kián thực chuân b Trong chữỡng ny, ta s nhưc lÔi mởt số kián thực quan trồng lm nÃn tÊng nghiản cựu chữỡng sau â l c¡c ki¸n thùc cì b£n v· khỉng gian Hilbert v giÊi tẵch lỗi CĂc nởi dung chữỡng ữủc trẵch dăn tứ cĂc ti liằu tham khÊo [1], [2], [3] 1.1 C¡c ki¸n thùc v· khỉng gian Hilbert 1.1.1 Tẵch vổ hữợng nh nghắa 1.1.1 Cho H l mởt khổng gian vectỡ trản trữớng số thỹc R Tẵch vổ hữợng trản H l mởt Ănh xÔ xĂc nh nhữ sau: , : H ì H R (x, y) 7→ x, y tho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau ¥y: x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = v ch¿ x = x, y = y, x , ∀x, y ∈ H x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H λx, y = λ x, y , ∀x, y ∈ H, λ ∈ R x, y ữủc gồi l tẵch vổ hữợng cừa hai vectỡ x v y tr¶n H 1.1.2 Khỉng gian ti·n Hilbert ành ngh¾a 1.1.2 C°p H , , , â H l mởt khổng gian vectỡ trản trữớng số thỹc R, , l mởt tẵch vổ hữợng trản H ữủc gồi l khæng gian ti·n Hilbert (hay cán gåi l khæng gian Unita) nh lỵ 1.1 (BĐt ng thực Cauchy- Schwartz) Trong khỉng gian ti·n Hilbert H, vỵi måi x, y ∈ H ta ln câ b§t ¯ng thùc sau: | x, y |2 ≤ x, x y, y (1.1) DĐu bơng cừa bĐt ng thực xÊy v ch x, y phử thuởc tuyán tẵnh Mối quan hằ giỳa chuân v tẵch vổ hữợng ữủc th hin qua nh lẵ sau nh lỵ 1.2 Mồi khổng gian tiÃn Hilbert H Ãu l khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, vợi chuân ữủc xĂc nh bi cổng thực q x = x, x ∀x ∈ H (1.2) Chuân ny ữủc gồi l chuân cÊm sinh tứ tẵch vổ hữợng Theo nh lỵ trản, khổng gian tiÃn Hilbert l khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, cõ th Ưy õ ho°c khỉng ¦y õ 1.1.3 Khỉng gian Hilbert ành nghắa 1.1.3 Náu H l mởt khổng gian tiÃn Hilbert v Ưy ừ ối vợi chuân cÊm sinh tứ tẵch vổ hữợng thẳ ữủc gồi l khổng gian Hilbert Vẵ dư 1.1 Khỉng gian R l khỉng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng n x, y = n X xi yi , i=1 â x, y ∈ Rn, x = (x1, · · · , xn), v chuân cÊm sinh tứ tẵch vổ hữợng y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn , n n X λ n hëi tö v ∞ ∞ X X e n n en = n=1 n=1 n=1 nh lỵ 1.9 Cho {e1, · · · , en} l mët hằ trỹc chuân khổng gian Hilbert H, kẵ hiằu A l khỉng gian sinh bði h» vectì {e1, · · · , en} Khi â vỵi méi x ∈ H ta câ n X y= xi , ei ei l hẳnh chiáu trỹc giao i=1 cừa x l¶n khỉng gian n X xi , ei ≤ x 2 A v i=1 1.2 CĂc kián thực và têp lỗi, hm lỗi Ta nhưc lÔi mởt số kián thực cỡ bÊn cừa giÊi tẵch lỗi nhữ têp lỗi, hm lỗi, dữợi vi phƠn, khổng gian Hilbert H 1.2.1 Têp lỗi ành ngh¾a 1.2.1 Cho a ∈ H, â ta cõ cĂc nh nghắa sau: Têp A ữủc gồi l têp affine náu (1 )x + y A ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R Giao cừa tĐt cÊ cĂc têp affine chựa têp A ữủc gồi l bao affine cừa A, v ữủc kẵ hiằu l af f A PhƯn cừa têp A, k½ hi»u l intA = x ∈ H : ∃ > 0, x + B ⊂ A Ph¦n tữỡng ối cừa têp A l phƯn cừa A af f A , ữủc kẵ hiằu l riA = x ∈ af f A : ∃ > 0, (x + B) ∩ af f A ⊂ A nh nghắa 1.2.2 Mởt têp A H ữủc gồi l têp lỗi náu a, b A, ∈ [0, 1] ta câ λa + (1 − λ)b ∈ A ành ngh¾a 1.2.3 Gi£ sû A ⊂ H, a, b A oÔn thng nối hai im a, b ữủc nh nghắa nhữ sau: [a, b] = x ∈ A : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1] Nhªn x²t 1.2 V· mt hẳnh hồc, nh nghắa têp lỗi cõ nghắa rơng, náu hai im bĐt kẳ thuởc A, cÊ oÔn thng nối hai im Đy cụng nơm trồn A Vẵ dử 1.2 Têp rộng l têp lỗi Têp ch chựa mởt im nhĐt l têp lỗi Trong m°t ph¯ng hay khæng gian chiÃu, mồi hẳnh quen thuởc nhữ oÔn thng, hẳnh tam giĂc, hẳnh chỳ nhêt, hẳnh hởp chỳ nhêt, hẳnh trỏn, hẳnh cƯu Ãu l nhỳng têp lỗi Mằnh à 1.2 Ta cõ: Têp lỗi õng vợi php giao, php cởng v php nhƠn vợi mởt số thỹc Tẵch à cĂc cừa cĂc têp lỗi l têp lỗi Têp Ênh v tÔo Ênh cừa têp lỗi qua Ănh xÔ tuyán tẵnh l têp lỗi nh nghắa 1.2.4 x H ữủc gồi l tờ hủp lỗi cừa x1, à à à , xn H náu tỗn tÔi i > 0, i = 1, · · · , n, n X λi = cho x = i=1 n X λi xi i=1 Gi£ sû A ⊂ H, giao cõa t§t cÊ cĂc têp lỗi chựa A ữủc gồi l bao lỗi cừa têp A v kẵ hiằu l coA Giao cừa tĐt cÊ cĂc têp lỗi õng chựa A ữủc gồi l bao lỗi õng cừa têp A, kẵ hiằu l coA nh nghắa 1.2.5 Têp K H ữủc gồi l nõn cõ nh tÔi náu: x ∈ K, ∀λ > 0, ⇒ λx ∈ K K ữủc gồi l nõn cõ nh tÔi x0 náu K x0 l nõn cõ nh tÔi Nõn K cõ nh tÔi ữủc gồi l nõn lỗi náu K l mởt têp lỗi, tực l: x, y ∈ K, ∀λ, µ > ⇒ λa + µy ∈ K ành ngh¾a 1.2.6 Vectì x∗ ∈ H∗ ữủc gồi l phĂp tuyán cừa têp lỗi A tÔi x0 ∈ A n¸u ∗ x , x − x0 0, x A Têp tĐt cÊ cĂc vectỡ phĂp tuyán cừa têp lỗi A tÔi x0 A ữủc gồi l nõn phĂp tuyán cừa A tÔi x0, k½ hi»u l NA (x0 ) = x∗ ∈ H∗ : x∗ , x − x0 ≤ 0, x A 10 1.2.2 Hm lỗi GiÊ sỷ A H l têp lỗi khĂc rộng v Ănh xÔ f : A R {+} nh nghắa 1.2.7 Trản ỗ th cừa hm f , kẵ hiằu l epif , ữủc nh nghắa nhữ sau: epif = (x, r) ∈ A × R : f (x) ≤ r Mi·n húu hi»u (mi·n x¡c ành) cõa h m f , k½ hi»u l domf , ữủc nh nghắa nhữ sau: domf = x ∈ A : f (x) < +∞ H m f ữủc gồi l chẵnh thữớng náu domf 6= v f (x) > −∞, vỵi måi x ∈ A Hm f ữủc gồi l hm lỗi trản A n¸u f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1] H m f ÷đc gåi l h m lỗi ngt trản A náu f (x + (1 λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1] H m f ữủc gồi l hm lỗi mÔnh trản A vợi hằ sè α > n¸u f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)α x − y vỵi måi x, y ∈ A, måi λ ∈ [0, 1] H m f ÷đc gåi l h m lãm (t÷ìng ùng lãm ngt, lóm mÔnh vợi hằ số > 0) trản A náu f l hm lỗi (tữỡng ựng lỗi ngt, lỗi mÔnh vợi hằ số > 0) trản A V½ dư 1.3 H m affine f (x) = mët hm lỗi a, b + , vợi a ∈ H∗, ∀ b ∈ H, ∀α ∈ R l H m chu©n 11 q f (x) = x = x, x , ∀x ∈ Rn l mët h m lỗi Ta cõ mằnh à và cĂc php toĂn ối vợi cĂc hm lỗi PhƯn chựng minh ữủc suy trỹc tiáp tứ nh nghắa Mằnh à 1.3 Cho f1, à à à , fn l cĂc hm lỗi chẵnh thữớng Khi õ cĂc hm sau l hm lỗi: n X fi (x) = f1 + · · · + fn (x) i=1 n M fi = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ) : xi ∈ H, n X xi = x x=1 i=1 kim tra tẵnh lỗi cừa mët h m sè kh£ vi ta câ m»nh · sau Kẵ hiằu f (x) l Ôo hm cừa f tÔi x M»nh · 1.4 Gi£ sû A ⊆ H v f : A → H l h m kh£ vi, ∇f liản tửc Khi õ f l hm lỗi v ch¿ khi: f (x) − f (y) ≤ ∇f (x), x − y , vỵi måi x, y ∈ A M»nh · 1.5 Gi£ sû fα, α ∈ I l cĂc hm lỗi trản H Khi õ cên trản cừa cĂc hm f l hm lỗi Kẵ hiằu l ∨α∈I fα (x) = sup fα(x) α∈I ành ngh¾a 1.2.8 H m f : H → R ÷đc gåi l Lipschitz a phữỡng tÔi x0 H, náu tỗn tÔi lƠn cên U cừa x0, tỗn tÔi số K > cho |f (x) − f (x0 )| ≤ K x − x0 ∀x, y ∈ U (1.6) Hm f ữủc gồi l Lipschitz a phữỡng trản têp A H, náu f Lipschitz a phữỡng tÔi mồi x A Hm f ữủc gồi l Lipschitz vợi hơng số Lipschitz K trản têp A H, náu (1.6) óng vỵi måi x, x0 ∈ A 12 Mối quan hằ giỳa hm lỗi v hm Lipschitz a phữỡng ữủc th hiằn qua nh lẵ sau nh lỵ 1.10 Náu f l hm lỗi v b chn trản mởt lƠn cên cừa x H thẳ f l Lipschitz a phữỡng tÔi x 1.2.3 CĂc nh lẵ t¡ch ành ngh¾a 1.2.9 Gi£ sû H l khỉng gian Hilbert, H l khổng gian liản hủp cừa H LĐy x∗ ∈ H∗, x∗ 6= 0, α ∈ R, ta câ H(x∗ , α) = x ∈ H : x∗ , x = α ÷đc gåi l mët siảu phng H nh nghắa 1.2.10 Cho hai têp A, B H, ta nõi rơng siảu phng H(x , α) : t¡ch hai tªp A v B n¸u x∗, a ≤ α ≤ x∗, b , ∀a ∈ A, b ∈ B t¡ch ngt hai têp A v B náu x, a < α < x∗, b , ∀a ∈ A, b ∈ B tĂch mÔnh hai têp A v B náu sup x∗ , a < α < inf x∗ , b b∈B a∈A ành lỵ 1.11 ( nh lẵ tĂch thự nhĐt) Cho A v B l hai têp lỗi khĂc rộng khổng gian Hilbert H, A ∩ B = ∅ Khi â câ mởt siảu phng tĂch A v B nh lỵ 1.12 ( ành l½ t¡ch thù hai) Cho A v B l hai têp lỗi õng khĂc rộng khổng gian Hilbert H v A ∩ B = ∅ Trong â cõ ẵt nhĐt mởt têp l compact Khi õ, mởt siảu phng cõ th tĂch mÔnh hai têp A v B 1.2.4 Dữợi vi phƠn nh nghắa 1.2.11 GiÊ sỷ f l hm lỗi trản H Ôo hm cừa hm f theo phữỡng d tÔi x0, kẵ hiằu l f (x0 , d) = lim λ↓0 f (x0 + λd) − f (x0 ) λ ... I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM **************** HONG THÀ NG N V VAI TRÁ CÕA TON TÛ CHIU TRONG BI TON BT NG THÙC BIN PH N LUN VN THC S TON HC Chuyản ngnh: TON GII TCH... gi£i t½ch ùng dưng Trong khổng gian Hilbert thỹc toĂn tỷ ny luổn tỗn tÔi v cõ nhiÃu tẵnh chĐt c thũ cõ th khai thĂc nghiản cựu v giÊi quyát nhiÃu bi toĂn cĂc lắnh vỹc khĂc nhữ trong: Lỵ thuyát... 10 12 12 Vai trỏ cừa toĂn tỷ chiáu ối vợi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn iv 2.1 ToĂn tỷ chiáu