Chuyen de 1

Chuyên đề 1: Phương trình Schrođinger 1.1 1.1.1 Phương trình sóng [1] Phương trình sóng hạt tự Hàm sóng hạt tự (sóng deBroglie) có lượng , xung lượng có dạng: (1.1) Lấy đạo hàm theo thời gian hàm sóng (1.1), ta có: (1.2) được: Lấy đạo hàm cấp hai theo tọa độ hàm sóng (1.1), ta Hay: Chú ý đến hạt tự do: (1.3) , kết hợp với (1.2) (1.3), ta có: (1.4) Đây phương trình Schrodinger hạt tự do, thỏa mãn hai u cầu: + Phương trình Schrodinger phương trình tuyến tính + Phương trình Schrodinger phương trình chứa đạo hàm bậc theo thời gian Phương trình (1.4) thu từ hệ thức cổ điển (1.4) thay lượng xung lượng toán tử tương ứng tác dụng lên hàm sóng: 1.1.2 Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trường lực Người ta giả định vi hạt chuyển động trường lực thỏa mãn phương trình tương tự phương trình Schrođiger hạt tự do, động hạt tự thay động hạt chuyển động trường lực, tức phương trình Schrodinger phải có dạng: (1.5) Thay vào (1.5): (1.6) Đây phương trình Schrodinger tổng qt Đặt : tốn tử Hamilton hệ phương trình Schrodinger viết dạng ngắn gọn: (1.7) 1.2 Mật độ dòng xác suất [1] Từ ý nghĩa thống kê hàm song, xác suất tìm thấy hạt thể tích : (1.8) mật độ xác suất Lấy đạo hàm theo thời gian phương trình (1.8) đồng thời ý đến phương trình (1.7) ta được: (1.9) với mặt kín bao quanh thể tích Đặt: Ta có: Hay: (1.10) (1.11) Các phương trình (1.10), (1.11) thể định luật bảo tồn số hạt, coi véc tơ mật độ dịng xác suất 1.3 Một số tính chất phương trình Schrodinger [1] 1.3.1 Các trạng thái dừng Trong học cổ điển, hệ khơng phụ thuộc rõ vào thời gian lượng hệ bảo tồn, hay nói cách khác lượng hệ tích phân chuyển động Trong học lượng tử trạng thái hệ có tính chất tương tự Hamilton hệ nói khơng phụ thuộc thời gian, hàm sóng mơ tả trạng thái hệ viết dạng tích hàm phụ thuộc thời gian hàm phụ thuộc tọa độ: (1.12) Thực việc tách biến số phương trình Schrodinger ta thu hai phương trình: (1.13) Và: (1.14) Phương trình (1.13) với điều kiện biên biết xác định giá trị lượng hàm sóng tương ứng, gọi phương trình trị riêng để xác định hàm riêng trị riêng lượng vi hạt Ta viết gọn lại phương trình (1.13): (1.15) : Hamilton hệ Trong học lượng tử, trạng thái có lượng xác định gọi trạng thái dừng Phương trình (1.14) xác định phụ thuộc thời gian hàm sóng, tức giải phương trình (1.14) tìm - cho biết phụ thuộc vào thời gian hàm sóng Hàm sóng tồn phần trạng thái dừng có lượng viết dạng: (1.16) 1.3.2 Tính chất hàm sóng Để xác định hàm sóng phải thơng qua việc giải phương trình sóng Tuy nhiên, khơng phải lời giải phương trình Schrodinger ứng với trạng thái vật lí Chỉ có giá trị đặc biệt , phương trình (1.15) cho nghiệm thừa nhận phương diện vật lí Những giá trị tạo thành phổ lượng hệ, bao gồm giá trị gián đoạn dải giá trị liên tục Để mô tả trạng thái vật lí, nghiệm phương trình Schrodinger phải có tính chất chung mà hàm sóng phải có: + Đơn trị + Liên tục có đạo hàm liên tục + Hữu hạn 1.3.3 Chuyển động hữu hạn vơ hạn Nếu , phương trình (1.13) có nghiệm ứng với giá trị riêng gián đoạn , tạo thành phổ gián đoạn lượng Hàm riêng ứng với giá trị không vơ cùng, xác suất tìm thấy hạt khác khơng khoảng khơng gian giới hạn Ta nói hạt chuyển động hữu hạn hay hạt trạng thái liên kết Nếu phương trình (1.13) có nghiệm với giá trị nào, người ta nói lượng tạo thành phổ liên tục Hàm sóng ứng với giá trị khác khơng vơ cùng, có dáng điệu gần sóng phẳng Do đó, chuyển động hạt vô hạn, hạt trạng thái không liên kết 1.4 Chuyển động giếng vng góc sâu vơ hạn [2] dạng: Xét hạt bị giam hãm trường chiều có Để vượt khỏi miền nên hạt bị chặn lại và khơng Hình 1.1 phải tốn cơng tức là, xác suất để hạt Ta có điều kiện biên: (1.17) Bây ta viết phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động giếng thế: (1.18) Đặt : phương trình (1.18) viết thành: (1.19) Nghiệm phương trình có dạng: (1.20) Dựa vào điều kiện biên (1.17), ta thu được: (1.21) Như vậy: lượng hạt chuyển động giếng khơng cịn nhận giá trị tùy ý mà nhận giá trị gián đoạn Sự gián đoạn giá trị lượng tồn lí thuyết lượng tử - gọi lượng tử hóa lượng 1.5 Chuyển động giếng vng góc đối xứng hữu hạn [1,2] Xét hạt chuyển động giếng có bề sâu , có dạng: Ở ta xét hạt có lượng U V0 Hình 1.2 I  a độ rộng III II a Phương trình Schrodinger miền có dạng: (1.22) Đặt : , phương trình (1.22) viết lại: Phương trình có nghiệm: (1.23) Phương trình Schrodinger miền có dạng: (1.24) Đặt : , phương trình (1.24) có dạng: Phương trình có nghiệm: (1.25) Từ điều kiện nghiệm phương trình Schrođinger phải hữu hạn ta suy nghiệm phương trình Schrodinger miền tương ứng có dạng: (1.26) Từ điều kiện liên tục hàm sóng đạo hàm nó, suy ra: (1.27) Biến đổi hệ phương trình (1.27), ta được: Suy ra: hay với Nên : (1.28) Do mà lại biểu diễn qua lượng hạt nên kết lượng hạt nhận giá trị gián đoạn, tức lượng hạt bị lượng tử hóa 1.6 Phản xạ truyền qua rào [1,2] 1.6.1 Thế bậc thang Xét chuyển động hạt trục từ trái sang phải trường có dạng: U Hình 1.3 V0 I II x Theo học cổ điển: Nếu hạt có lượng toàn phần hạt bị phản xạ toàn phần Nếu hạt hồn tồn qua Ta xét tốn học lượng tử Phương trình Schrodinger miền x < có dạng: (1.29) Đặt , phương trình (1.29) có dạng: Phương trình có nghiệm: Để đơn giản ta chọn Lúc đó, hàm sóng miền x < có dạng: (1.30) Phương trình Schrođinger miền x > có dạng: (1.31) Trường hợp : Đặt : , phương trình (1.31) viết lại: Phương trình có nghiệm: (1.32) Trong biểu thức (1.30) (1.31), mơ tả sóng phẳng truyền theo chiều dương trục, mơ tả sóng phẳng truyền theo chiều ngược lại Trong miền ( x > 0) sóng phản xạ nên Từ (1.30) (1.32) ta có hàm sóng miền tương ứng: (1.33) Sử dụng điều kiện hàm sóng ta được: (1.34) Suy ra, hệ số phản xạ: Hệ số truyền qua: Dễ dàng thấy Như vậy, theo học lượng tử phản xạ phần rào Trường hợp Đặt nên: , sóng bị , phương trình (1.31) có nghiệm dạng: Do điều kiện hữu hạn hàm sóng nên Sử dụng điều kiện biên hàm sóng , suy ra: (1.35) Suy ra, hệ số phản xạ: Như vậy, theo học lượng tử hạt bị phản xạ hoàn toàn (giống học cổ điển) hạt không bị phản xạ hồn tồn Xác suất tìm thấy hạt miền khác không giảm nhanh theo định luật hàm số mũ 1.6.2 Hiệu ứng đường ngầm Xét chuyển động hạt trục từ trái sang phải trường có dạng: U Hình 1.4 II I III a x Theo học cổ điển: Nếu hạt có tồn phần hạt qua hàng rào (sự truyền qua tồn phần, khơng có phản xạ), hạt bị phản xạ hoàn toàn (mặt trước hàng rào) Ta xét toán theo học lượng tử Phương trình Schrođinger miền (1.36) Đặt phương trình (1.36) có nghiệm: Để đơn giản, ta chọn đồng thời ý miền khơng có sóng phản xạ Lúc hàm sóng miền: (1.37) Phương trình Schrođinger miền : (1.38) Ở ta xét Đặt , phương trình (1.37) có nghiệm: (1.39) Kết hợp (1.37) (1.38), ta có hàm sóng miền tương ứng là: (1.40) Áp dụng điều kiện liên tục hàm sóng biên rào ta thu hệ bốn phương trình : 10 ... (1. 17) Bây ta viết phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động giếng thế: (1. 18) Đặt : phương trình (1. 18) viết thành: (1. 19) Nghiệm phương trình có dạng: (1. 20) Dựa vào điều kiện biên (1. 17),... (1. 10) (1. 11) Các phương trình (1. 10), (1. 11) thể định luật bảo tồn số hạt, coi véc tơ mật độ dịng xác suất 1. 3 Một số tính chất phương trình Schrodinger [1] 1. 3 .1 Các trạng thái dừng Trong học... tích : (1. 8) mật độ xác suất Lấy đạo hàm theo thời gian phương trình (1. 8) đồng thời ý đến phương trình (1. 7) ta được: (1. 9) với mặt kín bao quanh thể tích Đặt: Ta có: Hay: (1. 10) (1. 11) Các