Một số tính chất của vành giao hoán artin

h­íng dÉn ®äc toµn v¨n b¸o c¸o KQNC ! B¹n muèn ®äc nhanhB¹n muèn ®äc nhanhB¹n muèn ®äc nhanhB¹n muèn ®äc nhanh nh÷ng th«ng tin cÇn thiÕt ? nh÷ng th«ng tin cÇn thiÕt ? nh÷ng th«ng tin cÇn thiÕt ? nh÷ng[.]

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC ! ! Bạn muốn đọc nhanh thông tin cần thiết ? Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào đề mục để đọc toàn dòng bị che khuất ) ! Chọn đề mục muốn đọc nháy chuột vào ! ! Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ trang báo cáo hình ? Chọn, nháy chuột vào kích th thưước có sẵn Menu , ! Më View trªn Menu, Chän Zoom to ! Chän tû lƯ cã s½n hép kÝch th th­­íc muốn,, Nhấn OK tự điền tỷ lệ theo ý muốn Chúc bạn hài lòng với thông tin đđưược cung cÊp BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN – TIN … o0o… VŨ KIM HỒNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HỐN ARTIN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN – TIN VŨ KIM HỒNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HỐN ARTIN Ngành: Sư phạm Tốn MSSV: 34101028 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Trần Tuấn Nam, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ mặt nghiên cứu niềm tin để hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn đến q thầy tổ mơn Đại số nói riêng tồn thể q thầy khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu cho suốt bốn năm học trường Và cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè hỗ trợ vật chất tinh thần để tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Vũ Kim Hồng MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU .5 Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN .7 1.1 Vành iđêan 1.2 Môđun .15 1.3 Sự phân tích nguyên sơ 20 Chương 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH ARTIN 22 2.1 Điều kiện dây chuyền .22 2.2 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether 29 2.3 Một số tính chất vành Artin .32 KẾT LUẬN .38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Vành môđun ký hiệu chữ in hoa: A, B,…, M, N,… Iđêan ký hiệu chữ thường tiếng Đức: a , b, , m , , p, q, Phần tử vành, môđun iđêan ký hiệu chữ thường: a, b, …, x, y,… Kết thúc chứng minh (hoặc thiếu chứng minh) đánh dấu:  Sự bao hàm tập hợp ký hiệu bởi: ⊆ Sự bao hàm ngặt tập hợp ký hiệu bởi: ⊂ MỞ ĐẦU Điều kiện dây chuyền tăng điều kiện dây chuyền giảm tính chất hữu hạn thỏa mãn cấu trúc đại số đó, đặc biệt iđêan vành giao hoán Hai điều kiện đóng vai trị quan trọng phát triển lý thuyết cấu trúc vành giao hoán nghiên cứu David Hilbert, Emmy Noether Emil Artin Vành Artin vành Noether vành giao hoán thỏa điều kiện dây chuyền giảm điều kiện dây chuyền tăng tập không rỗng iđêan Trong đó, vành Artin tìm nhà tốn học người Áo Emil Artin (1898 – 1962), loại vành đơn giản sau trường Và luận văn nhằm mục đích tìm hiểu số tính chất vành giao hoán Artin Bố cục luận văn chia làm hai chương: • Chương 1: Kiến thức Chương trình bày kiến thức liên quan đến đề tài: 1.1 Vành iđêan, 1.2 Môđun, 1.3 Sự phân tích nguyên sơ Các chứng minh chương bỏ qua • Chương 2: Một số tính chất vành Artin Đây chương luận văn gồm ba phần: 2.1 Điều kiện dây chuyền: Từ điều kiện dây chuyền xây dựng khái niệm môđun Artin (và Noether), vành Artin (và Noether), chứng minh số tính chất mơđun Artin (và Noether) 2.2 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether: Phần cung cấp số định lý, mệnh đề nhằm phục vụ cho việc chứng minh tính chất vành Artin có liên quan đến vành Noether phần 2.3 Một số tính chất vành Artin: Phần sâu vào tìm hiểu tính chất vành Artin về: iđêan nguyên tố, lũy linh, vành Artin địa phương, mối quan hệ vành Artin vành Noether đặc biệt định lý cấu trúc vành Artin Vì khả thời gian cịn hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn đọc đóng góp để luận văn hồn chỉnh Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Vành iđêan Định nghĩa 1.1.1 Một vành A tập hợp với hai phép tốn hai ngơi (phép cộng phép nhân) thỏa: 1) A nhóm aben phép cộng, có phần tử trung hịa phần tử khơng (ký hiệu 0) 2) Phép nhân có tính kết hợp: ( ab ) c = a ( bc ) , phân phối phép cộng: a ( b + c ) = ab + ac , ( b + c ) a =ba + ca Ta xét vành có tính giao hốn: 3) ab = ba với a, b ∈ A , có phần tử đơn vị (ký hiệu 1): 4) = 1a= a với a ∈ A ∃1 ∈ A cho a1 Ghi chú: • Khái niệm “vành” dùng “vành giao hốn có đơn vị”, nghĩa vành thỏa tiên đề từ (1) đến (4) cho • Nếu vành A ta có = A có phần tử Ta gọi A vành không, ký hiệu Mệnh đề 1.1.2 Cho vành A Khi đó: • Phần tử đơn vị vành • 0a = với a ∈ A • a ( −b ) = − ( ab ) ( −a ) b = • ab với a, b ∈ A ( −a )( −b ) = • na ) b (= •  n  m  n m  ∑ a i   ∑ b j  = ∑∑ a i b j với a1 , ,a n , b1 , , b m ∈ A =i  =j  =i =j với a, b ∈ A a= ( nb ) n ( ab ) với a, b ∈ A , n ∈  • ( ab ) • (a + b) n = a n b n với a, b ∈ A , n ∈  n n = ∑ Cin a n −i bi với a, b ∈ A , n ∈   i =0 Định nghĩa 1.1.3 Một tập S vành A gọi vành A thỏa: i) a − b ∈ S với a, b ∈ S , ii) ab ∈ S với a, b ∈ S , iii) ∈ S Định nghĩa 1.1.4 Một đồng cấu vành ánh xạ f từ vành A vào vành B thỏa: i) f ( a + b )= f ( a ) + f ( b ) với a, b ∈ A , ii) f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) với a, b ∈ A , iii) f (1) = Ghi chú: • Đồng cấu vành f gọi đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu ánh xạ f tương ứng đơn ánh, toàn ánh hay song ánh • Nếu có đẳng cấu vành từ vành A đến vành B ta nói hai vành A B đẳng cấu nhau, ký hiệu A ≅ B Mệnh đề 1.1.5 Cho đồng cấu vành f : A → B Khi đó: • f ( 0) = • f ( −a ) = −f ( a ) với a ∈ A • f ( a − b )= f ( a ) − f ( b ) với a, b ∈ A  Mệnh đề 1.1.6 Nếu f : A → B , g : B → C hai đồng cấu vành tích (ánh xạ hợp) g  f : A → C đồng cấu vành  Định nghĩa 1.1.7 Một iđêan a vành A tập A thỏa: i) a ≠ ∅, ii) x − y ∈a với x, y ∈a , ... chứng minh tính chất vành Artin có liên quan đến vành Noether phần 2.3 Một số tính chất vành Artin: Phần sâu vào tìm hiểu tính chất vành Artin về: iđêan nguyên tố, lũy linh, vành Artin địa phương,... Noether Emil Artin Vành Artin vành Noether vành giao hoán thỏa điều kiện dây chuyền giảm điều kiện dây chuyền tăng tập khơng rỗng iđêan Trong đó, vành Artin tìm nhà tốn học người Áo Emil Artin (1898... xây dựng khái niệm môđun Artin (và Noether), vành Artin (và Noether), chứng minh số tính chất mơđun Artin (và Noether) 2.2 Sự phân tích ngun sơ vành Noether: Phần cung cấp số định lý, mệnh đề nhằm