Toan nang cao lop 9 chu de 8 so hoc

| Chủ đề Số học Câu 1732 [id1129](TS10 chuyên tỉnh Nghệ An 2019-2020) Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c (a ∈ N∗ ) thỏa mãn P (9) − P (6) = 2019 Chứng minh P (10) − P (7) số lẻ Câu 1733 [id1130](TS10 chuyên tỉnh Ninh Bình 2019-2020) Cho P (x) đa thức bậc n với hệ số nguyên, n ≥ Biết P (1) P (2) = 2019, chứng minh phương trình P (x) = khơng có nghiệm nguyên Câu 1734 [id1131](HSG9 Hà Tĩnh 2018-2019)Dãy số (an ) thỏa mãn an+1 = an + 3, ∀n ∈ N∗ a2 + a19 = 25 Tính tổng S = a1 + a2 + + a20 Câu 1735 [id1132](TS10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Chứng minh số M = (n + 1)4 + n4 + chia hết cho số phương khác với số n nguyên dương Câu 1736 [id1133](TS10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Chứng minh số M = (n + 1)4 + n4 + chia hết cho số phương khác với số n nguyên dương Câu 1737 [id1134](TS10 chuyên tỉnh Bình Định 2019-2020) Gọi n số x1 ; x2 ; x3 ; ; xn (n ∈ Z, n ≥
thỏa mãn: số xi i = , n 2019 −2019 x1 x2 + x2 x3 + + xn−1 xn + xn x1 = Chứng minh n bội Câu 1738 [id1135](TS10 chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Chứng minh số có dạng A = n6 − n4 + 2n3 + 2n2 khơng phải số phương, n ∈ N, n > Câu 1739 [id1136](TS10 chuyên tỉnh Bến Tre 2019-2020)Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a2019 + b2020 + c2021 bội số Chứng minh a2021 + b2022 + c2023 bội số Câu 1740 [id1137](TS10 chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP 2019-2020) Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a3 + b3 + c3 chia hết cho 14 Chứng minh abc chia hết cho 14 Câu 1741 [id1138](TS10 chuyên tỉnh DAK LAK 2019-2020) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 42019 + 3n có chữ số tận Câu 1742 [id1139](TS10 chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Cho m, n hai số nguyên Chứng minh 7(m + n)2 + 2mn chia hết cho 225 mn chia hết cho 225 Câu 1743 [id1140](TS10 chuyên tỉnh Hà Nam 2019-2020) Tìm tất số tự nhiên n cho 7n + 147 số phương Câu 1744 [id1141](TS10 chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Cho biểu thức P = ab (a + b) + , với a, b số nguyên Chứng minh giá trị biểu thức P chia hết cho P chia hết cho Câu 1745 [id1142](TS10 chuyên tỉnh Hà nội 2019-2020) Cho biểu thức P = abc (a − 1) (b + 4) (c + 6) với a, b, c số nguyên thỏa mãn a + b + c = 2019 Chứng minh giá trị biểu thức P chia hết cho Câu 1746 [id1143](TS10 q chuyên tỉnh Hà nội 2019-2020) Tìm tất số tự nhiên n để giá trị √ √ biểu thức Q = n + + n + n + số nguyên Câu 1747 [id1144](TS10 chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2019-2020) Cho a, b,
c số nguyên đôi khác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc Chứng minh a4 + b4 + c4 số phương Câu 1748 [id1145](TS10 chun tỉnh Hịa Bình Chun Tin năm 2019-2020) Tìm tất số phương có chữ số cho chữ số đầu giống hai chữ số cuối giống Câu 1749 [id1146](TS10 chuyên tỉnh Hải Dương 2019-2020) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2a2 + a = 3b2 + b Chứng minh rằng: 2a + 2b + số phương Câu 1750 [id1147](TS10 chun tỉnh Hải phịng 2019-2020) Tìm số ngun tố p; q thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 197 i) p2 q + p chia hết cho p2 + q ii) pq2 + q chia hết cho q2 − p Câu 1751 [id1148](TS10 chuyên tỉnh Hậu Giang 2019-2020) Cho trước số nguyên dương m Tìm số nguyên dương n cho m + n + số phương mn + lập phương số tự nhiên Câu 1752 [id1149](TS10 chuyên tỉnh Nam Định 2019-2020) Chứng minh n số n5 + 29n số nguyên nguyên 30 Câu 1753 [id1150](TS10 chuyên
tỉnh Nam Định 2019-2020)
Tìm tất cặp số tự nhiên (x; y) cho x2 + y2 − 3x + 2y − x2 + y2 + 4x + 2y + số phương Câu 1754 [id1151](TS10 chuyên tỉnh Nghệ An 2019-2020) Tìm cặp số nguyên dương (x; y) cho x2 y + x + y chia hết cho xy2 + y + Câu 1755 [id1152](TS10 chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG ) năm 2019-2020) a) Tìm tất số tự nhiên n cho 2n + chia hết cho b) Cho n số tự nhiên n > Chứng minh 2n + không chia hết cho 2m − với số tự nhiên m cho < m ≤ n Câu 1756 [id1153](TS10 chuyên tỉnh Quảng Nam 2019-2020) Chứng minh với số nguyên dương n, số M = 9.34n − 8.24n + 2019 chia hết cho 20 Câu 1757 [id1154](TS10 chuyên tỉnh Quảng Ngãi 2019-2020) Số tự nhiên n = 1116 có tất ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích tất ước số Câu 1758 [id1155](TS10 chuyên tỉnh Nguyên
Thái
2019-2020) Cho a số tự nhiên không 4 chia hết cho Chứng minh a − a + 15a + chia hết cho 35 Câu 1759 [id1156](TS10 chuyên tỉnh Thái Nguyên 2019-2020) Cho P(x) đa thức bậc bốn có hệ số bậc cao Biết P (2016) = 2017, P (2017) = 2018, P (2018) = 2019, P (2019) = 2020 Chứng minh P(2020) số tự nhiên chia hết cho Câu 1760 [id1157](TS10 chuyên tỉnh Vĩnh Long 2019-2020) Chứng minh với số tự nhiên n n3 + 9n + không chia hết cho Câu 1761 [id1158](TS10 chuyên tỉnh Phú Thọ 2019-2020) Với số thực x, kí hiệu [x]   h√ i = 1; − = −2 số nguyên lớn không vượt x Ví dụ a) Chứng minh x − < [x] ≤ x < [x] + = [x + 1] với x ∈ R √  b) Có số nguyên dương n ≤ 840 thỏa mãn n ước n? Câu 1762 [id1159](TS10 chuyên tỉnh Quảng Trị 2019-2020) Cho số tự nhiên có chữ số abc Chứng minh rằng: abc chia hết cho 21 a − 2b + 4c chia hết cho 21 Câu 1763 [id1160](TS10 chuyên tỉnh Thanh hóa 2019-2020) Cho hai số nguyên dương x, y với x > thỏa mãn điều kiện 2x2 − = y15 Chứng minh x chia hết cho 15 Câu 1764 [id1161](TS10 chuyên tỉnh Yên Bái 2019-2020) Chứng minh A = |11 {z } |22 {z } 2019 số phương Câu 1765 [id1162](HSG9 Bà Rịa Vũng Tàu 2018-2019) 1) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh: 46n + 296.13n chia hết cho 1947 198 2020 2) Cho A số phương gồm chữ số thỏa mãn ta cộng thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B gồm chữ số Tìm hai số A B Câu 1766 [id1163](HSG9 Bình Phước 2018-2019) Chứng minh với n số chẵn n3 + 20n + 96 chia hết cho 48 Câu 1767 [id1164](HSG9 Bình Thuận 2018-2019) Tìm số tự nhiên n cho n2 + 18n + 2020 số phương Câu 1768 [id1165](HSG9 Bắc Giang 2018-2019) Chứng minh 12 số tự nhiên có ba chữ số, ln tồn hai số cho ghép chúng lại cạnh để số có sáu chữ số chia hết cho 11 Câu 1769 [id1166](HSG9 Gia Lai 2018-2019) Chứng minh với số nguyên n, số A = 3n3 + 15n chia hết cho 18 Câu 1770 [id1167](HSG9 Hà Nội 2018-2019) Biết a; b số nguyên dương thỏa mãn a2 − ab + b2 chia hết cho 9, chứng minh a b chia hết cho Câu 1771 [id1168](HSG9 Hà Nội 2018-2019) Tìm tất số nguyên dương n cho 9n +11 tích k (k ∈ N, k ≥ 2) số tự nhiên liên tiếp Câu 1772 [id1169](HSG9 Hịa Bình 2018-2019) 1) Chứng minh A = a3 − 7a + 12 chia hết cho với số a ∈ Z 2) Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương Câu 1773 [id1170](HSG9 Hải Dương 2018-2019) Chứng minh a31 + a32 + a33 + + a3n chia hết cho , biết a1 , a2 , a3 , , an chữ số 20192018 Câu 1774 [id1171](HSG9 Hải Phòng 2018-2019) Cho biểu thức P = a1 + a2 + a3 + + a2019 với a1 ; a2 ; a3 ; ; a2019 số nguyên dương P chia hết cho 30 Chứng minh Q = a51 + a52 + a53 + + a52019 chia hết cho 30 Câu 1775 [id1172](HSG9 Kiên Giang 2018-2019) Cho đa thức hệ số nguyên P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 hai số nguyên a, b khác Chứng minh: P (a) − P (b) chia hết cho (a − b) Câu 1776 [id1173](HSG9 Lai Châu 2018-2019) Tìm dư phép chia: x200 −2x91 +1 cho x2 − Câu 1777 [id1174](HSG9 Lâm Đồng 2018-2019) Chứng minh 2n3 + 3n2 + n chia hết cho với số nguyên n n Câu 1778 [id1175](HSG9 Nghệ An bảng A 2018-2019) Chứng minh A = 22 + 4n + 16 chia hết cho với số nguyên dương n Câu 1779 [id1176](HSG9 Nghệ An bảng B 2018-2019) Chứng minh A = 4n + 17 chia hết cho với số nguyên dương n Câu 1780 [id1177](HSG9 Quảng Bình 2018-2019) Tìm số tự nhiên n cho C = 2019n + 2020 số phương Câu 1781 [id1178](HSG9 Quảng Ngãi 2018-2019) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a + b = c3 − 2018c Chứng minh A = a3 + b3 + c3 chia hết cho Câu 1782 [id1179](HSG9 Quảng Ngãi 2018-2019) Cho B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n (n − 1) (n − 2) với n ∈ N∗ Chứng minh B khơng số phương 199 Câu 1783 [id1180](HSG9 Quảng Ninh bảng A 2018-2019) Tìm tất số nguyên n cho giá trị biểu thức 2n2 + 18n − chia hết cho 13 Câu 1784 [id1181](HSG9 Quảng Trị 2018-2019) Cho số nguyên a , b , c thỏa mãn a2 c2 2c + = a2 + b a2 + c b+c Chứng minh bc số phương Câu 1785 [id1182](HSG9 Thanh hóa 2018-2019) Cho n ∈ N∗ Chứng minh 2n + 3n + số phương n chia hết cho 40 Câu 1786 [id1183](HSG9 Vĩnh Phúc 2018-2019) Chứng minh rằng:   1 1 A = 1.2.3 2017.2018 + + + + + 2017 2018 chia hết cho 2019 Câu 1787 [id1184](HSG9 Hà Tĩnh 2018-2019) Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) = 11 Tính Q = 4P(4) + P(−1) Câu 1788 [id1185](HSG9 Kiên Giang 2018-2019) Cho đa thức P (x) hệ số nguyên thỏa P (9) = 10 P (10) = Tồn hay không số nguyên x0 cho P (x0 ) = x0 Câu 1789 [id1186](HSG9 Nam Định 2018-2019) Cho đa thức P(x) Q(x) thỏa mãn P (x) = [Q (x) + Q (1 − x)] với x Biết hệ số P(x) số nguyên khơng âm P(0) = Tính P [3P (3) − P (2)] Câu 1790 [id1187](HSG9 Quảng Bình 2018-2019) Tìm a b để đa thức P (x) = x4 − 2x3 + 3x2 + ax + b bình phương đa thức Câu 1791 [id1188](TS10 chuyên tỉnh Bình Dương 2019-2020) Tìm tất số nguyên x x−3 cho số nguyên x +1 Câu 1792 [id1189](TS10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Tìm tất số tự nhiên n để phương trình x2 − n2 x + n + = (ẩn số x) có nghiệm số nguyên Câu 1793 [id1190](TS10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Tìm tất số tự nhiên n để phương trình x2 − n2 x + n + = (ẩn số x) có nghiệm số nguyên Câu 1794 [id1191](TS10 chuyên tỉnh Bắc Giang 2019-2020) Tìm tất số nguyên tố x, y, z thỏa mãn (x + 2) (y + 3) (z + 4) = 8xyz Câu 1795 [id1192](TS10 chuyên tỉnh Bắc Ninh 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn
(xy + x + y) x2 + y + = 30 Câu 1796 [id1193](TS10 chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 y − 4x2 y + y + 4x2 − 3y + = 200 Câu 1797 [id1194](TS10 chuyên tỉnh Cần thơ 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn
2020 x2 + y − 2019 (2xy + 1) = Câu 1798 [id1195](TS10 chuyên tỉnh DAK LAK 2019-2020) Tìm số tự nhiên (a1 ; a2 ; a3 ; ; a2019 thỏa mãn: ( a1 + a2 + a3 + + a2019 ≥ 20192 a21 + a22 + a23 + + a22019 ≤ 20193 + Câu 1799 [id1196](TS10 chuyên tỉnh DAK NONG 2019-2020) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 2x2 y − = x2 + 3y Câu 1800 [id1197](TS10 chuyên tỉnh Gia lai 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 − 3y + 2xy − 2x − 10y + = Câu 1801 [id1198](TS10 chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên phương trình
x2 + x − = (x − 1) 2y + y Câu 1802 [id1199](TS10 chun tỉnh Hịa Bình 2019-2020) Có đội bóng đá A, B, C, D, E thi đấu bảng theo thể thức vòng tròn (mỗi đội gặp trận, trận lượt trận lượt về) Trong trận đấu, đội thắng điểm, đội thua khơng có điểm, đội hịa điểm Kết thúc vòng bảng, số điểm đội thống kê sau: Đội.A.B.C.D.E tương ứng số điểm là.15.14.10.5.4 Hỏi tất trận đấu diễn có trận hịa? Câu 1803 [id1200](TS10 chun tỉnh Hải Dương 2019-2020) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn điều kiện: x2 − 6xy + 10y = 2(x − 5y) Câu 1804 [id1201](TS10 chuyên tỉnh Ninh Bình 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn x2 − xy + y = x + y + Câu 1805 [id1202](TS10 chuyên tỉnh Phú Yên 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 85 x2 + y = · x+y 13 Câu 1806 [id1203](TS10 chuyên tỉnh Quảng Ngãi 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình p √ √ x+y+3+1= x+ y 201 Câu 1807 [id1204](TS10 chuyên tỉnh Quảng Ninh 2019-2020)Tìm số ngun khơng âm a, b, n thỏa mãn: ( n2 = a + b n3 + = a2 + b2 Câu 1808 [id1205](TS10 chuyên tỉnh Thái Bình 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên (x; y) phương trình √ √ √ x + y = 2020 Câu 1809 [id1206](TS10 chuyên tỉnh Thái Bình 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm M (a, b) gọi điểm nguyên a b số nguyên Chứng minh tồn điểm I mặt phẳng tọa độ 2019 số thực dương R1 ; R2 ; R2019 cho có k điểm nguyên nằm đường tròn (I; Rk ) với k số nguyên dương không vượt 2019 Câu 1810 [id1207](TS10 chuyên tỉnh Tiền Giang 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn
(2x + 5y + 1) 2|x|−1 + y + x2 + x = 65 Câu 1811 [id1208](TS10 chuyên tỉnh Tuyên Quang 2019-2020) Tìm tất giá trị nguyên x để x4 + x2 + x + A= x + 3x3 + 7x2 + 3x + nhận giá trị số nguyên Câu 1812 [id1209](TS10 chuyên tỉnh Vĩnh Long 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 − xy − 9x − 3y + = Câu 1813 [id1210](TS10 chuyên tỉnh Bình Phước 2019-2020) Giải phương trình nghiệm nguyên √ 4y = + 199 − x2 − 2x Câu 1814 [id1211](TS10 chuyên tỉnh Quảng Trị 2019-2020) Tìm tất số nguyên tố x, y, z thỏa mãn xy = z − Câu 1815 [id1212](TS10 chun tỉnh Thanh hóa 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thoã mãn : y + y = x4 + x + x2 + x Câu 1816 [id1213](TS10 chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế 2019-2020) Có số nguyên 22020 số nguyên ? x cho 3x + Câu 1817 [id1214](TS10 chuyên tỉnh Vĩnh Phúc 2019-2020) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn 9x2 − 3xy − 24x − 2y + y + 28 = 202 Câu 1818 [id1215](TS10 chuyên tỉnh Yên Bái 2019-2020) Tìm số x, y nguyên thỏa mãn: x3 − y − 2y − 3y − = Câu 1819 [id1216](HSG9 Bình Phước 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên phương trình 4y + 6y − = x Câu 1820 [id1217](HSG9 Bình Định 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2xy + x + y + = x2 + 2y + xy Câu 1821 [id1218](HSG9 DAK LAK 2018-2019) Giải phương trình nghiệm nguyên 2x2 + y + 2xy + 6x + 4y = 20 Câu 1822 [id1219](HSG9 Hà Nam 2018-2019) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 − 5x + = 3y Câu 1823 [id1220](HSG9 Hải Dương 2018-2019) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x2 + x + 2y + y = 2xy + xy + Câu 1824 [id1221](HSG9 Kiên Giang 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên (x; y) phương trình: x2 − y + = y + 2x Câu 1825 [id1222](HSG9 Lai Châu 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 − 3y Câu 1826 [id1223](HSG9 Lâm Đồng 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x + 5y − 3xy = Câu 1827 [id1224](HSG9 Lạng Sơn 2018-2019) Tìm tất cặp (x; y) nguyên thỏa mãn x2 y + (x − 2)2 + (2y − 2)2 − 2xy (x + 2y − 4) = Câu 1828 [id1225](HSG9 Nam Định 2018-2019) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: (x − y − 1) (x + − y) + 6xy + y (2 − x − y) = (x + 1) (y + 1) 203 Câu 1829 [id1226](HSG9 Nghệ An bảng A 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y + x − 2y + = xy Câu 1830 [id1227](HSG9 Nghệ An bảng B 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy − = 2y Câu 1831 [id1228](HSG9 Ninh Bình 2018-2019) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x2 y − x2 + 5y − 22x − 121 = Câu 1832 [id1229](HSG9 Quảng Nam 2018-2019) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 + 2y + 2xy − 4x − 6y + = Câu 1833 [id1230](HSG9 Quảng Ngãi 2018-2019) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 4x = + 3y Câu 1834 [id1231](HSG9 Quảng Ninh bảng A 2018-2019) Chứng minh không tồn hai số nguyên x, y thỏa mãn x3 = y + 2019 Câu 1835 [id1232](HSG9 Thanh hóa 2018-2019) Tìm nghiệm ngun phương trình x2 y (x + y) + x = + y (x − 1) Câu 1836 [id1233](HSG9 Trà Vinh 2018-2019) Chứng minh không tồn số nguyên x, y, z thỏa mãn x3 + y + z = x + y + z + 2017 Câu 1837 [id1234](TS10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020)Trong buổi tổ chức tuyên dương học sinh có thành tích học tập xuất sắc huyện, ngoại trừ bạn An, hai người bắt tay nhau, An bắt tay với người quen Biết cặp (hai người) bắt tay không lần có tổng cộng 420 lần bắt tay Hỏi bạn An có người quen buổi tổ chức tuyên dương đó? Câu 1838 [id1235](TS10 chuyên tỉnh Bình Định 2019-2020) Tại đỉnh đa giác 2020 cạnh ta đánh số số tự nhiên từ đến 1009 Chứng minh tồn đỉnh đa giác cho (kí hiệu A , B , C , D với số đánh tương ứng a , b , c , d ) cho ABCD hình chữ nhật a + b = c + d Câu 1839 [id1236](TS10 chuyên tỉnh Bắc Ninh 2019-2020) Cho 2020 kẹo vào 1010 hộp cho khơng có hộp chứa nhiều 1010 kẹo hộp chứa kẹo Chứng minh tìm thấy số hộp mà tổng số kẹo hộp 1010 204 Câu 1840 [id1237](TS10 chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Trên bàn có hai túi kẹo : túi thứ có 22 viên kẹo, túi thứ hai có 29 viên kẹo An Bình chơi trị chơi sau : lượt chơi, bạn chọn túi kẹo lấy viên kẹo túi kẹo Hai bạn luân phiên thực lượt chơi Bạn khơng thể thực lượt chơi người thua Nếu An người lấy kẹo trước, chiến thuật chơi để An người thắng Câu 1841 [id1238](TS10 chuyên tỉnh Hà nội 2019-2020) Mỗi điểm mặt phẳng tô hai màu xanh đỏ 1) Chứng minh mặt phẳng tồn hai điểm tơ màu có khoảng cách d 2) Gọi tam giác có ba đỉnh tơ màu tam giác đơn sắc Chứng minh mặt phẳng tồn hai tam giác đơn sắc hai tam giác vuông đồng dạng với theo tỉ số k= 2019 Câu 1842 [id1239](TS10 chuyên tỉnh Hải phòng 2019-2020) Viết lên bảng 2019 số: 1; 1 1 ; ; ; ; 2018 2019 xy (các số lại bảng giữ x+y+1 nguyên) Tiếp tục thực thao tác trên bảng lại số Hỏi số bao nhiêu? Từ số viết xóa số x; y viết lên bảng số Câu 1843 [id1240](TS10 chuyên tỉnh Khánh Hịa 2019-2020) Huyện KS có 33 cơng ty, huyện KV có 100 cơng ty Biết rằng, cơng ty huyện KS hợp tác với 97 cơng ty huyện KV Chứng minh có công ty huyện KV hợp tác với tất công ty huyện KS Câu 1844 [id1241](TS10 chuyên tỉnh Kon Tum 2019-2020) Cho tập hợp A gồm 41 phần tử số nghuên khác thỏa mãn tổng 21 phần tử lớn tổng 20 phần tử lại Biết số 401 402 thuộc tập A Tìm tất phần tử tập hợp A Câu 1845 [id1242](TS10 chuyên tỉnh Nam Định 2019-2020) Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không 49 bút đem tặng cho tất 32 bạn học sinh lớp 9A cho nhận bút thầy Chứng minh có số bạn lớp 9A nhận số lượng bút tổng cộng 25 Câu 1846 [id1243](TS10 chuyên tỉnh Nghệ An 2019-2020) Cho 12 điểm mặt phẳng cho điểm đỉnh tam giác mà tam giác ln tồn cạnh có độ dài nhỏ 673 Chứng minh có hai tam giác mà chu vi tam giác nhỏ 2019 Câu 1847 [id1244](TS10 chun tỉnh Ninh Bình 2019-2020) Trong hình trịn có diện tích 1009cm2 lấy 2019 điểm phân biệt cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh 2019 điểm ln tìm ba điểm tạo thành tam giác có diện tích nhỏ 1cm2 Câu 1848 [id1245](TS10 chuyên tỉnh PTNK 2019-2020 V2) Trong buổi gặp gỡ giao lưu học sinh đến từ n quốc gia, người ta nhận thấy 10 học sinh có học sinh đến từ quốc gia a) Gọi k số quốc gia có học sinh tham dự buổi gặp gỡ Chứng minh n < k + 10 b) Biết số học sinh tham dự buổi gặp gỡ 60 Chứng minh tìm 15 học sinh đến từ quốc gia 205 Câu 1849 [id1246](TS10 chuyên tỉnh Quảng Ngãi 2019-2020) Trên bảng ô vuông, người ta điền tồn dấu + Sau thực trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) theo bước sau: Bước 1: Các dịng thứ i đổi dấu i lần, i = 1, 2, , 2019 Bước 2: Các ô cột thứ j đổi dấu 3j + lần, j = 1, 2, , 2019 Tính số dấu cịn lại bảng ô vuông sau thực xong trình đổi dấu Câu 1850 [id1247](TS10 chuyên tỉnh Quảng
Ninh 2019-2020) Cho trước p số nguyên tố
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy hai điểm A p8 ; B p9 ; thuộc trục Ox Có tứ giác ABCD nội tiếp cho điểm C, D thuộc trục Oy có tung độ số nguyên dương Câu 1851 [id1248](TS10 chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Hai bạn Thái Nguyên chơi trò lấy kẹo hộp có 2019 kẹo Cách chơi sau: “ Mỗi người đến lượt lấy số kẹo lũy thừa với số mũ tự nhiên 2, lấy kẹo cuối người thắng cuộc” Bạn Thái người lấy kẹo trước Hãy chiến thuật giúp cho bạn Nguyên người thắng Câu 1852 [id1249](TS10 chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Cho 19 điểm nằm hay nằm cạnh lục giác √ cạnh 3cm Chứng minh có hai số điểm cho có khoảng cách không vượt 3cm Câu 1853 [id1250](TS10 chuyên tỉnh Long An chun tốn dự bị năm 2019-2020) Có nhóm bạn hái nấm Số nấm bạn hái tổng số nấm hái Số nấm bạn hái nhiều tổng số nấm hái Hỏi nhóm bạn có người? Câu 1854 [id1251](TS10 chuyên tỉnh Long An 2019-2020) Cho số tự nhiên 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Từ số tự nhiên ta thành lập số tự nhiên gồm ba chữ số khác số tự nhiên thành lập phải chia hết cho Ta thành lập tất số tự nhiên vậy? Câu 1855 [id1252](TS10 chuyên tỉnh Phú Thọ 2019-2020) Có 15 bạn học sinh nam 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh bàn tròn Chứng minh tồn học sinh mà bạn ngồi cạnh bạn nữ Câu 1856 [id1253](TS10 chuyên tỉnh Thanh hóa 2019-2020) Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng phân biệt cho khơng có hai đường thẳng song song khơng có ba đường thẳng đồng quy Tam giác tạo ba đường thẳng số đường thẳng cho gọi tam giác đẹp khơng bị đường thẳng số đường thẳng lại cắt Chứng minh số tam giác đẹp khơng 674 Câu 1857 [id1254](TS10 chun tỉnh Vĩnh Phúc 2019-2020) Bạn Bình có 19 viên bi màu xanh, 21 viên bi màu đỏ 23 viên bi màu vàng Bình thực trị chơi theo quy tắc sau: Mỗi lần Bình chọn viên bi có màu khác nhau, sơn chúng màu thứ ba (Ví dụ: Nếu Bình chọn viên bi gồm viên bi màu xanh viên bi màu đỏ Bình sơn viên bi thành màu vàng) Hỏi sau số hữu hạn lần thực trị chơi theo quy tắc trên, bạn Bình thu tất viên bi màu hay không ? Tại ? Câu 1858 [id1255](TS10 chuyên tỉnh Yên Bái 2019-2020) Từ đa giác 15 đỉnh, chọn đỉnh Chứng minh có đỉnh số đỉnh chọn ba đỉnh tam giác cân Câu 1859 [id1256](HSG9 Bình Thuận 2018-2019) Trên đường trịn (C) bán kính cho 2019 điểm phân biệt A1 , A2 , A3 , A4 , , A2019 Chứng minh tồn điểm M (C) thỏa mãn MA1 + MA2 + MA3 , + + MA2019 > 2019 Nội Dung 206 Câu 1860 [id1257](HSG9 Bình Định 2018-2019) Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích tam giác với đỉnh điểm cho không lớn Chứng minh số điểm cho tìm 2019 điểm nằm nằm cạnh tam giác có diện tích khơng lớn Câu 1861 [id1258](HSG9 Bắc Ninh 2018-2019) Trong kì thi Olympic có 17 học sinh thi mơn Tốn mang số báo danh số tự nhiên khoảng từ đến 1000 Chứng minh chọn học sinh thi tốn có tổng số báo danh mang chia hết cho Câu 1862 [id1259](HSG9 Gia Lai 2018-2019) Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp Tỉnh, đồn học sinh huyện A có 17 học sinh dự thi Mỗi thí sinh có số báo danh số tự nhiên khoảng từ đến 907 Chứng minh chọn học sinh đồn có tổng số báo danh chia hết cho Câu 1863 [id1260](HSG9 Hà Nội 2018-2019) Xét bảng vng cỡ 10 × 10 gồm 100 hình vng có cạnh đơn vị Người ta điền vào ô vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai ô chung cạnh có giá trị tuyệt đối khơng vượt Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần Câu 1864 [id1261](HSG9 Hưng Yên 2018-2019) Trên mặt phẳng có 25 điểm phân biệt, biết điểm cho tìm điểm có khoảng cách chúng nhỏ Chứng minh tồn hình trịn có bán kính chứa khơng 13 điểm 25 điểm nói Câu 1865 [id1262](HSG9 Hải Phịng 2018-2019) Bên đường trịn có đường kính AB = 19 cho 38 đoạn thẳng, đoạn thẳng có độ dài Chứng minh tồn đường thẳng vng góc song song với AB giao hai đoạn 38 đoạn cho Câu 1866 [id1263](HSG9 Kiên Giang 2018-2019) Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 50 sau thực trị chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bảng viết số a + b − lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 49 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? Câu 1867 [id1264](HSG9 Lạng Sơn 2018-2019) Cho đa giác 30 đỉnh Chứng minh đỉnh đó, gồm có đỉnh chứa đỉnh tạo nên hình thang cân Câu 1868 [id1265](HSG9 Nam Định 2018-2019) Cho đa giác có 10 đỉnh hình vẽ (4 đỉnh A, B, C, D B, C, D, E C, D, E, F J, A, B, C gọi đỉnh liên tiếp đa giác) Các đỉnh đa giác đánh số cách tùy ý số nguyên thuộc tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} (biết đỉnh đánh số, số đánh đỉnh khác nhau) Chứng minh ta ln tìm đỉnh liên tiếp đa giác đánh số mà tổng số lớn 21 Câu 1869 [id1266](HSG9 Nghệ An bảng A 2018-2019) Trong hình vng cạnh có nằm hình 2019 điểm phân biệt Chứng minh tồn hình trịn bán kính 91 vng mà không chứa điểm 2019 điểm cho Câu 1870 [id1267](HSG9 Nghệ An bảng B 2018-2019) Cho 2019 điểm phân biệt khơng có ba điểm thẳng hàng đường thẳng (d) không qua điểm cho Chứng minh số giao điểm đoạn thẳng có hai đầu mút hai điểm 2019 điểm nói với đường thẳng (d) số chẵn Câu 1871 [id1268](HSG9 Ninh Bình 2018-2019) Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 210 Chứng minh đoạn thẳng ln tìm ba đoạn thẳng để ghép thành tam giác Câu 1872 [id1269](HSG9 Sơn La 2018-2019) Cho hình vng ABCD 2019 đường thẳng phân biệt thỏa mãn: Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng chia hình vng thành 207 hai phần có tỷ số diện tích Chứng minh 2019 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy Câu 1873 [id1270](HSG9 Vĩnh Phúc 2018-2019)Cho 1000 điểm phân biệt M1 , M2 , M1000 mặt phẳng Vẽ đường tròn (C) bán kính R = tùy ý Chứng minh tồn điểm S đường tròn (C) cho SM1 + SM2 + + SM1000 ≥ 1000 Câu 1874 [id1271](TS10 chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Tìm tất số tự nhiên x để giá trị biểu thức P = x3 + 3x2 + x + lũy thừa số nguyên tố Câu 1875 [id1272](TS10 chuyên tỉnh Bình Phước 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên tố (p,q) cho p2 − 2q = 41 Câu 1876 [id1273](TS10 chuyên tỉnh Vĩnh Phúc 2019-2020) Tìm tất số nguyên dương p, m, n thỏa mãn 2m p2 + = n5 , p số nguyên tố Câu 1877 [id1274](HSG9 Bắc Ninh 2018-2019) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p3 − 4p + số phương Câu 1878 [id1275](HSG9 Ninh Bình 2018-2019) Tìm tất số nguyên tố ( p ; q ; r ) cho pqr = p + q + r + 160 Câu 1879 [id1276](HSG9 Thái Bình 2018-2019)Tìm tất số nguyên dương (x; y; z) √ x + y 2019 √ số hữu tỉ x2 + y2 + z2 số nguyên tố cho y + z 2019 Câu √ 1880 [id1277](TS10 chuyên tỉnh Bắc Ninh 2019-2020) Cho n số nguyên dương thỏa √ mãn 12n2 + số nguyên Chứng minh 12n2 + + số phương Câu 1881 [id1278](TS10 chuyên tỉnh Thái Nguyên 2019-2020) Tìm tất số nguyên tố p cho p2 + 59 có sáu ước số dương Câu 1882 [id1279](TS10 chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP 2019-2020) Cho tập hợp X thỏa mãn tính chất sau: Tồn 2019 tập A1 , A2 , , A2019 X cho tập A1 , A2 , , A2019 có ba phần tử hai tập Ai , Aj có phần tử chung với ≤ i < j ≤ 2019 Chứng minh a) Tồn tập hợp tập hợp A1 , A2 , , A2019 cho giao tập hợp có phần tử b) Số phần tử X phải lớn 4039 Câu 1883 [id1280](TS10 tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Tìm tất số nguyên tố p cho tổng ước nguyên dương p2 số phương Câu 1884 [id1281](TS10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020)Trong buổi tổ chức tuyên dương học sinh có thành tích học tập xuất sắc huyện, ngoại trừ bạn An, hai người bắt tay nhau, An bắt tay với người quen Biết cặp (hai người) bắt tay không lần có tổng cộng 420 lần bắt tay Hỏi bạn An có người quen buổi tổ chức tuyên dương đó? 208 Câu 1885 [id1282](TS10 chuyên tỉnh Bắc Giang 2019-2020) Cho tập hợp T gồm 2019 số nguyên dương đôi khác số lớn thuộc T 4036 Chứng minh tập hợp T có hai số phân biệt mà số bội số Câu 1886 [id1283](TS10 chuyên tỉnh Khánh Hòa 2019-2020) Cho A = 20 + 21 + 22 + + 22019 B = 22020 Chứng minh rằng: A, B hai số tự nhiên liên tiếp Câu 1887 [id1284](TS10 chuyên tỉnh Lâm Đồng 2019-2020) Biết 5555 | {z } 1111 | {z } 2018 chă oo so a 2018 chă oo so a5 l tớch ca hai số lẻ liên tiếp Tính tổng hai số lẻ Câu 1888 [id1285](TS10 chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Tìm số tự nhiên có chữ số dạng abcd , biết tích hai số ab cd 380 đồng thời tăng số ab thêm đơn vị giảm số cd đơn vị tích khơng đổi Câu 1889 [id1286](TS10 chun tỉnh Tây Ninh 2019-2020) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd cho abcd = k2 (k ∈ N∗ ) ab − cd = (các chữ số tự nhiên a, b, c, d giống nhau) Câu 1890 [id1287](HSG9 An Giang 2018-2019) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết bình phương số sau bỏ chữ số hàng chục hàng đơn vị cộng với số 2419 Câu 1891 [id1288](HSG9 DAK LAK 2018-2019) Tìm tất số tự nhiên có bốn chữ số, biết số lập phương tổng chữ số Câu 1892 [id1289](HSG9 Gia Lai 2018-2019) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Có thể lập số tự nhiên có chữ số đơi khác lớn 2019      2 Câu 1893 [id1290](HSG9 Hà Nội 2018-2019) Cho S = − 1− − 2.3 3.4 2020.2021 tích 2019 thừa số Tính S (kết để dạng phân số tối giản) √ √ Câu 1894 [id1291](HSG9 Hà Tĩnh 2018-2019) Tìm số thực a biết a + 15; − 15 a số nguyên Câu 1895 [id1292](HSG9 Phú Thọ 2018-2019) a) Chứng minh năm số nguyên dương đôi phân biệt tồn số có tổng hợp số b) Bạn Thắng chia số 2018 cho 1, 2, 3, , 2018 viết 2018 số dư tương ứng, sau bạn Việt chia số 2019 cho 1, 2, 3, , 2019 viết 2019 số dư tương ứng Hỏi có tổng số dư lớn lớn Câu 1896 [id1293](HSG9 Sóc Trăng 2018-2019) Chứng minh tổng chữ số số phương khơng thể 2019 Câu 1897 [id1294](HSG9 Tiền Giang 2018-2019) Với số thực x , ta định nghĩa phần nguyên x , kí hiệu [x] số ngun lớn khơng vượt x Hãy tìm phần nguyên của: r q √ B = x2 + 4x2 + 36x2 + 10x + x số nguyên dương Câu 1898 [id1295](HSG9 Tiền Giang 2018-2019) Tìm số tự nhiên√n biết bỏ ba chữ số tận bên phải số có giá trị n Tìm năm số thực dương cho số bình phương tổng bốn số lại 209 ... số Câu 1 89 2 [id12 89 ] (HSG9 Gia Lai 20 18- 20 19) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Có thể lập số tự nhiên có chữ số đơi khác lớn 20 19      2 Câu 1 89 3 [id1 290 ](HSG9 Hà Nội 20 18- 20 19) Cho S... Câu 1 89 0 [id1 287 ](HSG9 An Giang 20 18- 20 19) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết bình phương số sau bỏ chữ số hàng chục hàng đơn vị cộng với số 24 19 Câu 1 89 1 [id1 288 ](HSG9 DAK LAK 20 18- 20 19) Tìm... tích 20 19 thừa số Tính S (kết để dạng phân số tối giản) √ √ Câu 1 89 4 [id1 291 ](HSG9 Hà Tĩnh 20 18- 20 19) Tìm số thực a biết a + 15; − 15 a số nguyên Câu 1 89 5 [id1 292 ](HSG9 Phú Thọ 20 18- 20 19) a) Chứng