Đang tải... (xem toàn văn)
MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN 3 LỜI MỞ ĐẦU 4 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1 1 Quá trình ngẫu nhiên 5 1 2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc 6 1 2 1 Định nghĩa (bộ lọc) 6 1 2 2 Quá trình ngẫu nhiên t[.]
MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN - LỜI MỞ ĐẦU - CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ - 1.1 Quá trình ngẫu nhiên - - 1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc - - 1.2.1 Định nghĩa (bộ lọc) - - 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc - - 1.3 Thời điểm Markov thời điểm dừng: - - 1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ − trường - - 1.5 Martingale - - 1.6 Quá trình Wiener hay chuyển động Browwn: - - 1.7 Tích phân Ito - - 1.7.1 Vi phân Itô - - 1.7.2 Công thức Itô - - CHƯƠNG II: LÃI SUẤT VÀ MƠ HÌNH ĐỊNH GIÁ TRÁI PHIẾU - 11 2.1 Một số khái niệm tài - 11 - 2.2 Đường cong hoa lợi lãi suất - 13 - 2.2.1 Đường cong hoa lợi (Yeid Curve) - 13 - 2.2.2 Lãi suất định trước (Forward Rates) - 14 - 2.2.3 Tính lãi suất định trước f ( 0; t ) - 15 - 2.4 Các mơ hình định giá trái phiếu - 16 - 2.3.1 Định giá trái phiếu độ đo martingale - 16 - 2.3.2 Độ đo martingale trung hòa rủi ro - 16 - 2.3.3 Chuyển đổi trái phiếu (Bond Swap) - 18 - 2.4 Định giá bảo hộ hợp đồng chuyển đổi - 21 - 2.5 Mơ hình định giá trái phiếu - 25 - 2.5.1 Quá trình định giá Quyền Chọn - 25 - 2.5.2 Mơ hình định giá trái phiếu - 25 - 2.5.1 Giá trái phiếu - 32 - CHƯƠNG III: MƠ HÌNH HĨA CÁC Q TRÌNH LÃI SUẤT - 34 3.1 Mô hình Vasicek mơ hình Ho-Lee: - 34 - 3.1.1 Định nghĩa: - 34 - 3.1.2 Phương trình giá trái phiếu Vasicek: - 35 - 3.2 Mơ hình Hull-White - 36 - 3.2.1 Công thức giá trái phiếu P : - 36 - 3.2.2 Lãi suất ngắn hạn mơ hình Hull-White: - 38 - 3.3 Mơ hình lãi suất ngắn hạn: - 39 - 3.3.1 Danh mục đầu tư không rủi ro địa phương - 41 - 3.3.2 Mơ hình hóa Martingale - 45 - 3.3.3 Cấu trúc affine - 46 - 3.3.4 Ước lượng tham số mơ hình lãi suất: - 51 - 3.4 Mơ hình Heath-Jarrow-Merton (HJM) - 55 - KẾT LUẬN - 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO - 60 - LỜI CÁM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS NGUYỄN CHÍ LONG tận tình bảo hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giảng viên khoa Tốn – Tin học trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM tận tình dạy bảo cho tơi q trình học tập khoa Tôi xin cám ơn cán Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học viên khác học tập nghiên cứu hiệu Cuối cùng, xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè ln giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Đỗ Thị Thu LỜI MỞ ĐẦU Lãi suất xem vấn đề nhạy cảm đời sống kinh tế Lãi suất tác động trực tiếp đến lợi nhuận chủ thể kinh tế, định tới lợi nhuận nhà kinh doanh Ngân Hàng, định tới hiệu kinh tế hoạt động sản suất kinh doanh doanh nghiệp Có nhiều nghiên cứu, tranh luận bàn cãi lãi suất, diễn biến lãi suất, mơ hình lãi suất,…Thơng tin lãi suất cập nhật hàng ngày báo, tạp chí, tạp san chuyên nghành, Lãi suất thực vấn đề nóng bỏng thu hút quan tâm tầng lớp dân cư xã hội Các mơ hình lãi suất chủ yếu sử dụng để định giá trái phiếu, định giá bảo hộ giá quyền lựa chọn trái phiếu Các mơ hình trái phiếu thường khơng tương đương với mơ hình Black-Scholes cho quyền lựa chọn trái phiếu Với mong muốn hiểu thêm mô hình lãi suất kiến thức giải tích ngẫu nhiên học xuất phát từ ý nghĩa thực tiễn tính thời vấn đề này, tơi chọn đề tài “Mơ hình hóa q trình lãi suất” Tuy nhiên, với tính chất phức tạp vấn đề, với giới hạn viết tơi trình bày mơ hình lãi suất quan trọng nhất, nghiên cứu phương pháp định giá trái phiếu dựa mơ hình rõ cách vận dụng thực hành Nội dung luận văn gồm có chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ……………………………………… Chương 2: LÃI SUẤT VÀ LÃI SUẤT ĐỊNH TRƯỚC ……………………………………… Chương 3: MƠ HÌNH HĨA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT ……………………………………… CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1: Cho ( Ω; ; P ) không gian xác suất, tức ba gồm: • Ω tập sở mà phần tử ω ∈ Ω đại diện cho yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập Ω gồm số yếu tố ngẫu nhiên • họ tập Ω có tính chất sau: i ∅, Ω ∈ ii Nếu A∈ A∈ iii Nếu { An }n ∈ ∞ A ∈ n n =1 Khi họ gọi σ − đại số tập Ω Chú ý tiên đề thứ hai thứ ba nên ta có tính chất { An }n ∈ ∞ A ∈ n n =1 Mỗi tập ∈ gọi biến cố ngẫu nhiên • P độ đo xác suất xác định không gian độ đo ( Ω, ) , nghĩa σ − đại số xác định hàm tập P : → [ 0,1] thỏa tính chất sau: P ( Ω ) =1 Nếu { An }n∈ dãy biến cố cho: Ai ∩ Aj =∅, ∀i ≠ j ∞ ∞ P Ai = ∑ P ( Ai ) i =1 i =1 Một trình ngẫu nhiên ( X t , t ≥ ) hàm hai biến X ( t , ω ) xác định tích + × Ω lấy giá trị , hàm đo B+ σ − trường tập Borel + σ − trường tích B × , + 1.2 Q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.2.1 Định nghĩa (bộ lọc) Định nghĩa 1.2: Một họ σ − trường ( t , t ≥ ) , t ⊂ gọi lọc thỏa mãn điều kiện thông thường nếu: i {t } họ tăng theo t , tức s ⊂ t ii {t } họ liên tục phải, nghĩa t = ε>0 t +ε iii Nếu A ∈ P ( A ) = A∈ 0 = ( Ω, ∅ ) (do nằm t ) 1.2.2 s < t Q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc X Cho trình ngẫu nhiên= ( X t , t ≥ ) Ta xét σ − trường t X sinh tất X σ ( X s , s ≤ t ) σ − trường chứa : t biến ngẫu nhiên X s với s ≤ t= đựng thơng tin diễn biến q khứ q trình X thời điểm t Người ta gọi lọc tự nhiên q trình X (hay gọi lịch sử X , hay gọi trường thông tin X ) Một không gian xác suất ( Ω, , P ) ta gắn thêm vào lọc {t } , gọi không gian xác suất lọc ký hiệu ( Ω, , {t } , P ) 1.3 Thời điểm Markov thời điểm dừng: Định nghĩa 1.3: Biến ngẫu nhiên τ ∈ + {+∞} gọi thời điểm Markov với lọc {t }t≥0 t ≥ ta có đối {ω ∈ Ω : τ (ω ) ≤ t} ∈ t Một thời điểm Markov gọi thời điểm P {ω ∈ Ω : τ (ω ) < +∞} = (nghĩa τ hữu hạn hầu chắn) Chú ý 1.4: dừng Cho = τ τ thời điểm Markov xét σ − đại số { A : A ∈ , A {τ ≤ t} ∈ , ∀t ≥ 0} , σ − đại số thơng tin có trước t thời điểm τ 1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ − trường Cho ( Ω, , P ) không gian xác suất, σ − trường , ⊂ X biến ngẫu nhiên, tức ánh xạ đo từ ( Ω, ) vào ( , B ) , B σ − trường tập Borel đường thẳng Khi đó, biến ngẫu nhiên X * gọi kỳ vọng có điều kiện X σ − trường , nếu: • X * biến ngẫu nhiên đo • Với tập ∈ ta có ∫ X dP = ∫ XdP * Biến ngẫu nhiên X * ký hiệu E ( X| ) Ta ý kỳ vọng có điều kiện E ( X| ) biến ngẫu nhiên Nếu ta chọn σ − trường σ − trường σ (Y ) sinh biến ngẫu nhiên đó, kỳ vọng có điều kiện X lấy σ (Y ) ký hiệu E ( X| ) 1.5 Martingale X Định nghĩa 1.5: Cho trình ngẫu nhiên= ( X t , t ≥ 0) thích nghi với lọc {t } khả tích E X t < ∞ với t ≥ Giả sử s t hai giá trị không âm cho s ≤ t Khi đó: • Nếu E ( X t |s ) ≤ X s X gọi martingale (supermartingale) • Nếu E ( X t |s ) ≥ X s X gọi martingale (supmartingale) • Nếu E ( X t |s ) = X s X gọi martingale lọc {t , t ≥ 0} Khi khơng rõ lọc ta hiểu {t } lọc tự nhiên { X t } , tức là: = t σ ( X s , s = ≤ t ) t X 1.6 Quá trình Wiener hay chuyển động Browwn: Định nghĩa 1.6: Chuyển động Brown hay trình Wiener ký hiệu W(t) thỏa mãn tính chất sau: i W(0)=0 ii W(t) biến liên tục theo thời gian t iii Sự thay đổi W(t+s)-W(s) ℵ(0,1), ∀0 ≤ s ≤ t , ℵ µ , σ biểu thị phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ phương sai σ 1.7 Tích phân Ito Định nghĩa 1.7: Cho f (t , ω ) trình ngẫu nhiên với W(t) chuyển động Brown, tất quỹ đạo f W xác định [ a; b ] Tích phân Itơ trình ngẫu nhiên f ( t , ω ) giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình sau tồn tại: = I f ( t , ω )dWt ∫= b a l.i.m max t i+1 −ti →0 ∑ f ( t , ω )[W i t+1 − Wt ] (1.1) Chú ý 1.8: i Nếu tích phân trên, ta đặt a = b= t > ta có tích phân Itô t ∫ f ( s, ω )dW s phụ thuộc vào cận t từ ta xét tích phân ii Nếu q trình ngẫu nhiên f ( s, ω ) thỏa mãn tích chất (i) (ii) sau có tích phân Itơ • f ( s, ω ) đo σ − trường tích B[0,t ] × và thích nghi t = t W , B[0,t ] σ − trường Borel [ 0,t ] t W σ − trường sinh chuyển động Brown Wt cho • b E ∫ f ( t , ω ) dt < ∞ a 1.7.1 Vi phân Itô = X Giả sử ( X t , t ≥ ) trình ngẫu nhiên cho: • Hầu hết quỹ đạo t → X t liên tục t t 0 • Hầu chắn X t có biểu diễn X t = X + ∫ h ( s, ω ) ds + ∫ f ( s, ω ) dWs Trong h f q trình ngẫu nhiên đo cho tích phân biểu diễn tồn ta nói X q trình Itơ có vi phân Itơ dX Vi phân Itơ dX viết hình thức sau: dX t h(t , ω )dt + f (t , ω )dWt = (1.2) Hay dX = hdt + fdW t 1.7.2 Công thức Itô Định nghĩa 1.9: Cho X q trình Itơ với dX = hdt + fdW Giả sử t g ( t , x ) : → hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ t , hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x Khi q trình ngẫu nhiên Yt = g ( t , X t ) q trình Itơ có vi phân Itơ cho công thức: ∂2 g ∂g ∂g (t , X t ) f (t , ω )dt dYt = (t , X t )dt + (t , X t )dX t + ∂t ∂t ∂x (1.3) Hay: t ∂g Yt =∫ ∂s t ∂g ( s, X s )ds + ∫ ∂x ( s, X s )dX s + t ∂2g ∫ ( s, X s ) f ( s, ω )ds ∂s (1.4) Chú ý: Trong tích phân (1.3) (1.4 ) dX coi biết ta thay dX = hdt + fdW Trong thực tính tốn vi phân, ta áp dụng quy tắc sau: = dt.dt 0,= dt.dW=dW.dt 0, dW.dW=dt ...2.5.2 Mơ hình định giá trái phiếu - 25 - 2.5.1 Giá trái phiếu - 32 - CHƯƠNG III: MÔ HÌNH HĨA CÁC Q TRÌNH LÃI SUẤT - 34 3.1 Mơ hình Vasicek mơ hình Ho-Lee: ... ……………………………………… Chương 2: LÃI SUẤT VÀ LÃI SUẤT ĐỊNH TRƯỚC ……………………………………… Chương 3: MƠ HÌNH HĨA CÁC Q TRÌNH LÃI SUẤT ……………………………………… CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa... Có nhiều nghiên cứu, tranh luận bàn cãi lãi suất, diễn biến lãi suất, mơ hình lãi suất,…Thông tin lãi suất cập nhật hàng ngày báo, tạp chí, tạp san chuyên nghành, Lãi suất thực vấn đề nóng bỏng