Chu de 4 phuong trinh bac hai và dinh ly viet

Nhóm file Word tốn THCS CHỦ ĐỀ – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VI-ET I ĐỊNH LÍ VIÉT DẠNG CÁC NGHIỆM THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG DẠNG 2: KẾT HỢP ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI CÁC NGHIỆM .4 DẠNG 3: GIẢI CÁC NGHIỆM DỰA VÀO ,  ' LÀ BÌNH PHƯƠNG 2 DẠNG 4: TÍNH x1 THEO x1 VÀ x2 THEO x2 DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH ax  bx  c 10 II HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT 12 DẠNG 1: DẠNG TỐN CĨ THÊM ĐIỀU KIỆN PHỤ 12 DẠNG SO SÁNH NGHIỆM VỚI SỐ VÀ SỐ α 15 DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ 16 III SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL 18 DẠNG 1: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC PARABOL, TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM 18 DẠNG 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI x A VÀ x B 19 DẠNG 3: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI XA VÀ XB 23 DẠNG 4: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARAPOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B LIÊN QUAN ĐẾN TUNG ĐỘ A, B 28 DẠNG 5: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH .30 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ 34 I ĐỊNH LÍ VIÉT 34 II HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ VIET 35 III SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL .35 Nhóm file Word tốn THCS I ĐỊNH LÍ VIÉT DẠNG CÁC NGHIỆM THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG Bài toán thường gặp Tìm m để phương trình x,x thỏa mãn biểu thức đối xứng ax  bx  c   a   có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x x,x Bước Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x , x     '  ax  bx  c   a   • có hai nghiệm x , x     ' > ax  bx  c   a   • có hai nghiệm phân biệt x,x x  x2 x x Bước Biến đổi biểu thức đối xứng tổng tích b c x1  x  x1 x  a , a thay vào biểu thức chứa tổng x1  x tích Bước Sử dụng định lý Viet, ta có x1x Giải m , đối chiếu điều kiện bước Một số phép biến đổi thường gặp • x12  x 2  x12  x 2  2x1x – 2x1x   x1  x  – 2x1x     • x13  x 23   x1  x   x12  x 2 – x1x    x1  x    x1  x  – 3x1x    Hoặc x13  x 23   x1  x  – 3x1x  x1  x     x 22 3 3 • x1  x 4 2 2 2 2 2 2 3 2 xét 2 3 2 2 • x1 – x  2x12 x 2 – 2x12 x 2  x12  x 2     – 2x x x  x x  x  • x  x tính x  x x  x xét tích • x  x  x   x   x  x x  x – x x  x  x   x    x    x  x  – 2x x Hoặc • x  x tính x  x x  x xét tích  x  x   x  x  • x14  x  x12 4 2 x1 – x   x1 – x    x1  x  – 4x1x x xét 2  | x |   x1  x  x x 2  x12  x12  x1x   x1  x  – 2x1x  x1x Chú ý : 2 A  A , A  B   A  B  , A B  A.B x   m  3 x  m2  0 Ví dụ Cho phương trình Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  x1  1  x2  1 9 Lời giải Có     m  3    m  3  m  3  m  6m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2    6m    m      6m    m   x  x  9  x1 x2   x1  x2   9 Có     (*) Nhóm file Word tốn THCS b c x x  a 2  m  3 , a m  Theo định lý Viét, ta có  m  3   m  3  9   2m  1 9 Thay vào (*) ta  2m  3  m  (loại), m 2 (thỏa mãn) Vậy m 2 giá trị cần tìm x   m  3 x   m  1 0 Ví dụ Cho phương trình Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 x1 , x2 cho biểu thức T  x1  x2 đạt giá trị nhỏ x1  x2  Lời giải 2     m  3      m  1   m  3  2m  m  4m   m     m Có Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 2  x1  x2   x1 x2 Có T  x1  x2 Theo định lý Viét, ta có Thay vào T ta x1  x2  b c x1 x2    m  1  m    a a , 2 T    m  3      m  1  4m  20m  32  2m    7 m  MinT 7 m giá trị cần tìm Vậy x   m  1 x  4m  m 0 Ví dụ Cho phương trình Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho biểu thức A  x1  x2 đạt giá trị nhỏ Lời giải Có     m  1    4m  m   m  1  4m  m 2m  2m   m Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 2 A2  x1  x2  x1  x2   x1 x2 Có b c x1  x2  2  m  1 x1 x2  a a 4m  m Theo định lý Viét, ta có , A2  x1  x2 Thay vào ta 2 A  x1  x2  x1  x2   x1 x2 1  A 4  m  1   4m  m  8m  8m  8  m    2 2  m  A   Min A  2 2 Nhóm file Word tốn THCS m giá trị cần tìm Vậy Ví dụ Cho phương trình x  mx  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 4 Lời giải Có ac   m phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo định lý Viét, ta có x Xét  x2  x1  x2  b c x1 x2  a  m , a   x12  x22  x1x2  x1  x2   x1x2  x1 x2 m    3   m  12 x  x2 4  m  12 16  m 2 Do Vậy m 2 giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x  mx  2m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x  x2 3 mãn Lời giải 2    m    2m   m  8m  16  m   Có Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2    m 4 b c x1  x2  x1 x2  a m , a 2m  Theo định lý Viét, ta có x Xét  x2  2  x12  x22  x1x2  x1  x2   x1x2  x1 x2 m   2m    2m  m  4m   m   m    m   x1  x2 3   m    m   9 Nên  m    m   0  m  1  m 1, m 3 (thảo mãn) Vậy m 1, m 3 giá trị cần tìm DẠNG 2: KẾT HỢP ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI CÁC NGHIỆM Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x2 ax  bx  c 0  a 0   0   0  có hai nghiệm x1 , x2  ax  bx  c 0  a 0        có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  b c x1  x2  x1 x2  a, a (*) Bước 2: Sử dụng định lý Vi ét, ta có b x1  x2  a biểu thức cho để tìm x1 , x2 theo m Bước 3: Giải hệ Nhóm file Word tốn THCS x1 x2  Bước 4:Thay x1 , x2 vừa tìm vào c a để giải m 2 Ví dụ Cho phương trình x  x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phân biệt thỏa mãn x2  x1 Lời giải Có        m  1 m   m 2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b c x1  x2  x1 x2  a 4 , a  m  Theo định lý Viét, ta có  x2  x1   x1  x1 4  x1   x2 5  x1  x2 4  Giải hệ c x x  a  m  , ta m 4  m 2 Thay x1  , x2 5 vào Vậy m 2 giá trị cần tìm x   k  1 x  4k 0 Ví dụ Cho phương trình Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phân biệt thỏa mãn x1  x2 2 Lời giải Có     k  1     4k   k  1  4k  k  1 Do phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 k  b c x1  x2  x1 x2   4k a 2k  , a Theo định lý Viét, ta có Giải hệ 3 x1  x2 2 k 3k   x1 2k  x1   x2   2  x1  x2 2k  k 3k  c x1   x2  x1 x2  2 a  4k , ta Thay vào k 3k    4k  3k  12k 0  k 0, k  2 (thỏa mãn) k  0, k  Vậy giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x  x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phân biệt thỏa mãn x2  x1 Lời giải Có    3   m  3 6  m Do phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2     m   m  b c x1  x2  x1 x2  a 6 , a m  Theo định lý Viét, ta có Nhóm file Word tốn THCS  x2 x12  x12  x1  0  x1   x1 2  Giải hệ  x1  x2 6  Với x1   x2 9 thay vào x1 x2 m   m  30 (thỏa mãn)  Với x1 2  x2 4 thay vào x1 x2 m   m 5 (thỏa mãn) Vậy m  30; m 5 giá trị cần tìm 2 Ví dụ Cho phương trình x  3x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa x  x2 3 mãn Lời giải 2    3    m  1 4m   m Có Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viét, ta có: x1  x2 3, x1 x2  m  x  x2 3  x1  x2 3 Trường hợp 1: Xét x1 0, x2 0 Kết hợp x1  x2 3 x2 0, x1 3 (thỏa mãn x1 0, x2 0 ) 2 Thay vào x1 x2  m   m   m 1 x  x2 3   x1  x2  Trường hợp 2: Xét x1 0, x2 0 Kết hợp x1  x2 3 x2  6, x1 9 (không thỏa mãn x1 0, x2 0 ) x  x2 3  x1  x2 3 Trường hợp 3: Xét x1  0, x2  Kết hợp x1  x2 3 x2 0, x1 3 (không thỏa mãn x1  0, x2  ) x  x2 3   x1  x2 3 Trường hợp 4: Xét x1  0, x2  Kết hợp x1  x2 3 x2 2, x1 1 (không thỏa mãn x1  0, x2  ) Vậy m 1 giá trị cần tìm x   m  3 x  0 Ví dụ Cho phương trình Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 số nguyên Lời giải 2     m  3       m  3  20  m Có Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt Cách 1: (Theo định lý Viét) b c x1  x2  m  3, x1 x2   a a Theo định lý Viét, ta có:  x   x1   x1 1  x 5 x1 x2  5, x1 , x2     ;  ;  ;   x2 5  x2 1  x2   x2  Từ Thay vào x1 x2 m   m 7; m  Vậy m 7; m  giá trị cần tìm Cách 2: (Sử dụng  phải số phương) Nhóm file Word toán THCS Từ x1  x2 m      m  3  20 Do để x1 , x2   trước hết phải số phương 2 *   m  3  20 n , n     m   n   m   n   20  m   n    m   n  2 m  Mà m   n  m   n tổng  m   n   m   n   20 chẵn nên m   n; m   n phải chẵn, đó: m   n   m 7     n 6 thử lại thỏa mãn * m   n 10 chẵn tích m   n  10 m     n 6 thử lại thỏa mãn * m   n 2 Vậy m 7, m  giá trị cần tìm x ,x Ví dụ Cho phương trình x  20 x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm số nguyên tố Lời giải  '   10   1 m   95  m Có Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  '   95  m   m  95 b c x1  x2  20, x1 x2  m  a a Theo định lý Viét, ta có: Từ x1  x2 20 x1 , x2 số nguyên tố, suy ra:  x1 3  x1 17  x1 7  x1 13 ;  ;  ;    x2 17  x2 3  x2 13  x2 7 Thay vào x1 x2 m   m 46, m 86 (thỏa mãn) Vậy m 46, m 86 giá trị cần tìm DẠNG 3: GIẢI CÁC NGHIỆM DỰA VÀO ,  ' LÀ BÌNH PHƯƠNG Khi tính   ' mà bình phương biểu thức ta giải theo cách tìm hai nghiệm x1 , x2 Giải theo cách cần ý phải xét hai trường hợp b  b  x1  ; x2  2a 2a Trường hợp 1: Xét Trường hợp 2: Xét x1  b  b  ; x2  2a 2a x   m  1 x  4m 0 Ví dụ Cho phương trình mãn x1  3x2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa Lời giải Có  '    m  1   1.4m  m  1  4m m  2m   m  1 Nhóm file Word tốn THCS  '    m  1   m 1 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  '  m  1 Vì nên hai nghiệm phương trình x  m  1  m  1  x 2, x 2m Trường hợp 1: Xét x1 2, x2 2m thay vào x1  x2 ta  3.2m  m  (thỏa mãn) Trường hợp 2: Xét x1 2m, x2 2 thay vào x1  x2 ta 2m  3.2  m  (thỏa mãn) m  3, m  giá trị cần tìm Vậy Chú ý: Bài ta giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải x1 , x2 dạng 2 Ví dụ Cho phương trình x  x  4a  a 0 Tìm a để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa mãn x1  x2  Lời giải  ' 2   4a  a Có  a  4a   a   2  '    a  1   a 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  '  a   Vì nên hai nghiệm phương trình x   a    x a  4, x  a Trường hợp 1: Xét x1 a  4, x2  a thay vào x1  x2  ta a    a    a  a   a  a  2a  0   a    a  1 0  a 2 (loại), a  (thỏa mãn) Trường hợp 2: Xét x1  a, x2 a  thay vào x1  x2  ta  a  a     a  7a  10  a  2a  5a  10 0   a    a   0  a 2 (loại), a 5 (thỏa mãn) Vậy a  1, a 5 giá trị cần tìm Chú ý: Bài ta giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải x1 , x2 dạng 2 Ví dụ Cho phương trình x  (2m  5) x  2m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt x  x2 7 thỏa mãn Lời giải Có     2m     4.1.( 2m  6)  2m    8m  24  2m   Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2     2m     m  Nhóm file Word tốn THCS x 2m   2m    x 2m  6, x  Phương trình có hai nghiệm x  x2 7 Trường hợp 1: Xét x1 2m  6, x2  thay vào ta 2m    7  2m  6  2m  6  m 0, m  (thỏa mãn) x  x2 7 Trường hợp 2: Xét x1  1, x2 2m  thay vào ta   2m  7  m 0, m  (thỏa mãn) Chú ý  Ta lập luận: “ Từ sử x1  1, x2 2m  ”  x1  x2 7 ta thấy x Ta giải theo cách xét  x2 x1 , x2  có vai trị nên khơng tính tổng qt, ta giả  x1  x2   x1 x2  x1 x2 sử dụng định lý Viét 2 x x Ví dụ Cho phương trình x  2mx  m  0 Tìm m phương trình có hai nghiệm phân biệt 1,  1 x x2 thỏa mãn Lời giải 2 2 Có  ' ( m)  (m  4) m  m  4  m Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x m 2 Điều kiện: x1 0, x2 0  m 2 0  m 2  1 x1 m  2, x2 m  x x2 Trường hợp 1: Xét thay vào ta m   3( m  2) 4m   1  1  1 m2 m (m  2)(m  2) m 4  4m  m   m2  4m  0  m  4m   12 0  (m  2) 12  m   12  m 2 2 (thỏa mãn)  1 x  m  2, x  m  x x2 Trường hợp 2: Xét thay vào ta m   3(m  2) 4m   1  1  1 m m2 m 4  m  2  m  2  4m  m   m2  4m 0  m 0, m 4 (thỏa mãn) m  0; 4; 2 Vậy giá trị cần tìm   Nhóm file Word tốn THCS 2 DẠNG 4: TÍNH x1 THEO x1 VÀ x2 THEO x2 DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH ax  bx  c x x Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) 1, + ax  bx1  c 0 ( a 0) có hai nghiệm x1 , x2   0 ( ' 0) x , x    ( '  0) + ax  bx  c 0 (a 0) có hai nghiêm phân biệt x ,x Bước 2: Sử dụng hai nghiệm phương trình ax  bx  c 0 nên  ax12  bx1  c 0 ax12  bx1  c    2  ax2  bx2  c 0 ax2  bx2  c Ví dụ Cho phương trình x  mx  0 Chứng minh với m, phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x  x1  16 x22  x2  16 H  x1, x2 x x2 giá trị biểu thức không phụ thuộc vào m Lời giải 2 Có  ( m)  4.1.(  8) m  32  m x x Do phương trình cho ln có hai nghiệm 1, phân biệt với m c x1 x2     x1 0, x2 0 a Theo định lý Viét, ta có x x Do 1, hai nghiệm phương trình x  mx  0 nên  x12  mx1  0  x12 mx1     2  x2  mx2  0  x2 mx2  Thay vào H, ta  mx1    x1  16  mx2    x2  16 H  x1 x2  mx1    x1  16 2(mx2  8)  x2  16  x x2 = 2mx1  x1 2mx2  x2 2m  2m     0 x1 x2 3 Không phụ thuộc vào m (đpcm)  Ví dụ Cho phương trình x  x  m  0 Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x  2  thỏa mãn x2  x1  x1  x1  Lời giải Có  ' ( 1)  1.(m  1) 2  m Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2  '    m   m  Do x1, x2 hai nghiệm phương trình x  x  m  0 nên 10